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1、 导导 数数 及及 其其 应应 用（一）用（一） 一一.有关概念有关概念 导数定义导数定义:函数函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率处的瞬时变化率,即当即当 x0时时,函数从函数从x0到到x0+ x的平均变化的平均变化率的极限值率的极限值,我们称它为函数我们称它为函数y = f(x)在在x=x0处的导数处的导数,记作记作: f (x0)或或yx=x0 . 即即f (x0) = 导函数：导函数： 如果函数如果函数y= f(x)在开区间在开区间 (a,b)内的每一点处都有导数内的每一点处都有导数,其导其导数值在数值在(a,b)内构成一个新的函数内构成一个新的函数, 这个函数称为函数这个函数称
2、为函数y= f(x)在开区间在开区间内的导函数内的导函数,记作记作: f (x)或或y . 求导数的方法求导数的方法（1）定义法）定义法（2）公式法）公式法基本初等函数基本初等函数 导函数函数f(x) = C (C为常数常数)f (x) = 0 f(x) = xn (n Q) f (x) = nxn-1 f(x)= sinx f (x) = cosx f(x)= cosx f (x) = -sinx f(x)= ex f (x) = ex f(x)= ax f (x) = axlna f(x)= lnx f (x) = f(x)= logax f (x) = 导数的四则运算法则导数的四则运算法
3、则(1) f(x) g(x) = f (x) g (x) (2) f(x) g(x) =f (x)g(x)+f (x)g (x)(3) = (g(x) 0) 复合函数的导数复合函数的导数 一般地、设函数一般地、设函数u= (x)在点在点x处处有导数有导数, y=f(u)在点在点x的对应点的对应点u处有处有导数导数, 则复合函数则复合函数y= f (x)在在x处也处也有导数有导数. 即即: f (x) = f (u) (x)二二. 常见题型常见题型1.利用导数研究函数的单调利用导数研究函数的单调性；性；2.利利用导数研究函数的极值和最用导数研究函数的极值和最值；值；3.利利用导数作出函数图用导数
4、作出函数图象；象；3.利利用导数证明函数不等用导数证明函数不等式；式；4.利用导数求变量的取值范围；利用导数求变量的取值范围；5.恒成立问题；恒成立问题；6.存在性问题；存在性问题；7.是否存在性问题；是否存在性问题；三三.主要思想方法主要思想方法1 1函数与方程思想；函数与方程思想；2 2化归与转化思想；化归与转化思想；3 3数形结合思想；数形结合思想；4 4分类讨论思想分类讨论思想. .5.5.特殊特殊-一般一般-特殊思想特殊思想. .四关于含有四关于含有“任意任意”与与“存在存在”性问题性问题1. x1 A, x2 B,使使f(x1)= g(x2),则有则有Mf = Ng ; 2. x1
5、 A, x2 B,使使f(x1) = g(x2) , 则有则有Mf Ng; 3. x1 A, x2 B,使使f(x1) = g(x2),则有则有Mf Ng 4. x1 A, x2 B,使使f(x1) g(x2),则有则有f(x)min g(x)max; 5. x1 A, x2 B,使使f(x1) g(x2),则有则有f(x)min g(x) min ;6. x1 A, x2 B,使使f(x1) g(x2),则有则有f(x)max g(x)max;7. x1 A, x2 B,使使f(x1) g(x2),则有则有f(x)max g(x)min;例例1已知已知f(x)= (x R) ,若关于若关于x
6、的方程的方程f2(x)-mf(x)+m-1=0恰有四个不相等的实根，恰有四个不相等的实根，则实数则实数m的取值范围是的取值范围是( )A( , 2 ) (2 , e) B.( , 1 )C(1, +1) D ( , e )C数形结合思想与数形结合思想与化归与转化的思化归与转化的思想应用想应用C方法：把复杂问题转化成简单问方法：把复杂问题转化成简单问题；把代数问题转化成几何问题题；把代数问题转化成几何问题例例2 2设函数设函数f(x)= +xlnx ,g(x)=xf(x)= +xlnx ,g(x)=x3 3x x2 23 3 (1) (1) 如果对如果对 s,ts,t 1,21,2都有都有f(s
7、)f(s) g(t) g(t)成立，成立，求实数求实数a a的取值范围的取值范围. .(2) (2) 如果对如果对 s s 1,2,1,2, t t 1,21,2使使f(s)f(s) g(t)g(t)成立，求实数成立，求实数a a的取值范围的取值范围. .(3)(3)如果如果 s s 1,2,1,2,对对 t t 1,2,1,2,有有f(s)f(s) g(t)g(t)成立，求实数成立，求实数a a的取值范围的取值范围. .(4)(4)如果如果 s s 1,2,1,2, t t 1,2,1,2,使使f(s)f(s) g(t) g(t)成立，求实数成立，求实数a a的取值范围的取值范围. .a 1
8、,+ )a -3,+ )a 2-4ln2,+ )a -6-4ln2,+ )(1) f(x)min g(x)max(2) f(x)min g(x)min(3) f(x)max g(x)max(4) f(x)max g(x)min例例3. 设函数设函数f(x)= + xlnx , g(x) = 3x2-2x ;(1) 如果对如果对 x 1,2都有都有f(x) g(x)成成立，求实数立，求实数a的取值范围的取值范围.(2) 如果如果 x 1,2使使f(x) g(x)成立，成立，求实数求实数a的取值范围的取值范围.问题：例问题：例1、例、例2的区别与联系？的区别与联系？区别：区别：在在例例2中中两个函
9、数两个函数f(x)、g(x) 自变量的自变量的取值不一定相同；在取值不一定相同；在例例3中中两个函数自两个函数自变量的取值一定相同变量的取值一定相同.a 16-4ln2a 1例例4 .设函数设函数f(x)= alnx-bx2(x0).(1)若函数若函数f(x)在在x=1处与直线处与直线y =- 相相切，求切，求a,b的值；的值；(2)在在(1)的条件下，求函数的条件下，求函数f(x)在在 ,e 上的最大值；上的最大值；(3)当当b=0时，若不等式时，若不等式f(x) m + x对对所有的所有的a0， ,x (1，e2 都成立，求都成立，求实数实数m的取值范围的取值范围. a = 1 ；b= f
10、(x)max= f(1) =- (- , - e2 多变量下的恒成立和存在性问题多变量下的恒成立和存在性问题- 逐步减少变量逐步减少变量变式：变式：(3)当当b=0时时,若不等式若不等式f(x) m+x存在存在a0， 且对且对所有所有的的x (1，e2 , 都都成立，求实数成立，求实数m的取值范围的取值范围.( - , 3-e2例例1.已知已知a,b是实数，是实数，1和和-1是函数是函数f(x)= x3+ax2+bx的两个极值点的两个极值点.(1) 求求a,b的值；的值；(2)设设h(x)= f(f(x)- c, 其中其中c -2,2,求函数求函数y= h(x)的零点个数的零点个数.导数及其应
11、用（三）导数及其应用（三）化归与转化思想及数形结合思想的应用化归与转化思想及数形结合思想的应用函数零点函数零点方程的根方程的根函数图象函数图象与与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标两个函数图两个函数图象交点的横坐标象交点的横坐标a =0, b= -3导数解决问题的难点在于：求导以后无法求出导数导数解决问题的难点在于：求导以后无法求出导数的零点。常用技巧有：的零点。常用技巧有：1.1.注意观察、变形导数式得到导数的零点。注意观察、变形导数式得到导数的零点。2 2. .提取因式，然后求导。（二次求导）提取因式，然后求导。（二次求导）3 3. .设出导数的零点，利用零点存在性定理得出零点设出导数的零点，
12、利用零点存在性定理得出零点所在区间，然后利用导数等于零的式子代换。所在区间，然后利用导数等于零的式子代换。4 4. .利用重要不等式或上一问所得不等式放缩。利用重要不等式或上一问所得不等式放缩。5 5. .研究两个函数利用导数或图像解决问题。研究两个函数利用导数或图像解决问题。例例1.已知函数已知函数f(x)= xlnx.(1)求函数求函数g(x)=-ax+f(x)的单调区间；的单调区间；(2)若若k Z,且且f(x)+ x-k(x-1)0对于对于x1时恒成立，求时恒成立，求k的最大值的最大值.(1) g(x)的单调减区间为的单调减区间为:(0,ea-1)； (2) g(x)的单调增区间为的单
13、调增区间为:(ea-1,+ )(2) kmax = 3 技巧技巧3 3. .设出导数的零点，利用零点存设出导数的零点，利用零点存在性定理得出零点所在区间，然后利在性定理得出零点所在区间，然后利用导数等于零的式子代换。用导数等于零的式子代换。2010课标卷课标卷1理理21 设函数设函数 （)若若a=0,求求f(x)的单调区间的单调区间;（）若当）若当x0时时f(x)0，求，求a的取值范围的取值范围.技巧技巧4 4. .利用重要不利用重要不等式或上一问所得等式或上一问所得不等式放缩不等式放缩2014新课标卷1理21设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为（1）求a,b; (2)证明：技巧技巧5 5. .研究两个函研究两个函数利用导数或图像数利用导数或图像解决问题解决问题
