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1、1.5 函数极限的基本性质函数极限的基本性质和运算法则和运算法则性质性质1 1： （函数极限的函数极限的唯一性）唯一性）函数函数 f( (x) )当当 xx0 0时极限存在，则极限必唯一时极限存在，则极限必唯一. .一、函数极限的基本性质一、函数极限的基本性质性性 质质 2 2： （ 函函 数数 极极 限限 的的 局局 部部 有有 界界 性性 ) )如如 果果 则则 存存 在在 常常 数数 M 0和和 0, 使使 得得 当当 时时, ,有有| |f( (x)|)|M. .定理定理3(3(保号性保号性) )极限值在极限值在x轴的上方轴的上方推论推论f(x)非负非负此例中此例中A=0推论推论f(x
2、)非负非负此例中此例中A0性质性质4 (局部保序性局部保序性) 数列极限存在准则I迫敛准则，可以推广到函数的情形中去：二、极限运算法则二、极限运算法则定理定理3 3推论推论1 1推论推论2 2常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.1.条件满足直接用法则条件满足直接用法则例例2 2三、求极限方法举例三、求极限方法举例小结：小结：例例3. 2.例例4 . 求求（分解因式或有理化，消去零因子）（分解因式或有理化，消去零因子）例例5 . 求求解解: x = 1 时时分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因但因3 3.分子极限不为分子极限不为0，分母极限为，分母极限为0（考虑倒数极限
3、）（考虑倒数极限）例例6 6解解无穷小分出法无穷小分出法: :以分子分母中自变量的最高次幂以分子分母中自变量的最高次幂除分子除分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.例例7 求求解解例例8 求求小结小结: :例例9. 求求5. 型（通分或有理化）型（通分或有理化）练习练习. 求原式 =例例10. 求例例1111解解6.有界函数与无穷小之积有界函数与无穷小之积例例1212解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,7.分段函数求分段点的极限分段函数求分段点的极限定理定理4 48.复合函数求极限复合函数求极限例例13. 求求9.幂指函数求极限幂指函数求极限小结：小结：1、极限的性质、四则运算法则及其推论、极限的性质、四则运算法则及其推论;2、极限求法、极限求法;(1)多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;(2)消去零因子法求极限消去零因子法求极限-分解因式或有理化分解因式或有理化(3)无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;(4)利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限(5)利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.(6)复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则(7)幂指函数求极限幂指函数求极限
