《高等数学常量与变量教学课件PPT》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学常量与变量教学课件PPT（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.1 1.2.1 常量与变量常量与变量: : 在某过程中始终保持一个数值的量称为在某过程中始终保持一个数值的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而不断改变数值的量称为而不断改变数值的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x, y, t等表示等表示变变量量.1自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则.约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值
2、的一切实数值.2定义定义: :如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫多值函数则叫多值函数3例例1 1 求求 y y = =arcsinarcsin 的定义域和值域。的定义域和值域。解：解：函数的定义域为函数的定义域为: : 得定义域为得定义域为 x 0 0)0) 的定义域；的定义域； (2) (2) f f ( (lnlnx x) )的定义域。的定义域。解解: (1): (1)则则: : 若若 a a 1/2 1/2 ，定义域为空集定义域为空集; ;若若 a
3、 a 1/2 1/2 ，定义域为定义域为 a a, 1-, 1-a a; (2) 0ln (2) 0ln x x1 , 1xe1 , 1xe为定义域。为定义域。x x应取在应取在ax1-a, ax1-a, 而而a 1-aa 1-a5 (1) 符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo6(2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线7有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函狄利克雷函数数8(4) 取最值函数取最值函数yxoyxo
4、9在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.10oyM-Mxy=f(x)D有界有界无界无界M-MyxoD1函数的有界性函数的有界性:例例 y=siny=sin2 2x, y=x, y=cosxcosx在（在（-,+)-,+)上均为有界函数上均为有界函数, , y=x, y=x y=x, y=x2 2在在(-,+)(-,+)上无界上无界. .1.2.3 函数的特性函数的特性112函数的单调性函数的单调性:xyo例：例：y=x, y=ey=x, y=ex x 在（在（-,+)-,+)内单调增加。内
5、单调增加。12xyo133函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x14奇函数奇函数yxox-x15例例1 1 判断函数判断函数 的奇偶性的奇偶性. .解：解： f(x)f(x)是奇函数是奇函数. .例例2 2 设设f(x)f(x)在在R R上定义，证明上定义，证明f(x)f(x)可分解为一个奇函数与可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。一个偶函数的和。证明：设证明：设显然显然 g g( (x x) ) 是偶函数，是偶函数，h h( (x x) )是奇函数是奇函数, , 而而 故命题的证故命题的证. . 164函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的（通常说周期函数的周期周期是指其是
6、指其最小正周期最小正周期）.在在(无穷无穷)多个正周期中若存在一个最小数，此最小数称为多个正周期中若存在一个最小数，此最小数称为最小正周期最小正周期。170一个周期函数有无穷多个周期，一个周期函数有无穷多个周期， 如如y=sin x，2,4均为周期。均为周期。0一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数都存在最小正周期都存在最小正周期. 如如: f(x) = c例例 设设 c c0 0 , x, x (-, +) ，f(x+cf(x+c)=-f(x),)=-f(x),证明证明f(x)f(x)为周期函数。为周期函数。证明证明: f(x+2c)
7、=f(x+c)+c)=-f(x+c)=f(x): f(x+2c)=f(x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)f(x)f(x)为周期为为周期为2 2c c的函数的函数. .事实上事实上, , 对任何对任何y y (-(- , +, + ) )都有都有f(x+y)=f(x).f(x+y)=f(x).注意注意18 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.习惯上习惯上, 反函数反函数 x=(y)写成写成 y =(x) = 1.2.4 反函数反函数19例例1 1例例2 2 证明若函数证明若函数 y = y = f f (x)(x)是奇函数且存在反函数是奇函数且存在反函数
8、 x = x = f f 1 1(y), (y), 则反函数也是奇函数则反函数也是奇函数。证明：证明：的反函数是的反函数是反函数是奇函数。反函数是奇函数。20例例3 3解解单值函数单值函数, , 有界函数有界函数, ,偶函数偶函数, ,周期函数周期函数( (无最小正周期无最小正周期).).不是单调函数不是单调函数, ,21Z. 思考思考22思考题解答思考题解答设设则则故故231.2.5 复合函数复合函数 初等函数初等函数1.复合函数复合函数定义定义: 设函数设函数y=f(u)的定义域为的定义域为Df，函数函数u= (x)的值的值域域为为W =uu= (x), x D Df ，则称函数则称函数y
9、=f (x)为为x的的复合函数复合函数。代入法代入法24注注: :0不是任何两个函数都可以复合成一个不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的复合函数的;0复合函数可以由两个以上的函数经过复合复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成构成.252.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子一个式子表示表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.26例例1 1解解27综上所述综上所述281.2.6 基本初等函数基本初等函数1.幂函数幂函数292.指数函数指数函数303.对
10、数函数对数函数314.三角函数三角函数正弦函数正弦函数32余弦函数余弦函数33正切函数正切函数34余切函数余切函数35正割函数正割函数36余割函数余割函数375.反三角函数反三角函数383940 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.41双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数奇函数奇函数.偶函数偶函数.1.双曲函数双曲函数42奇函数奇函数,有界函数有界函数,43双曲函数常用公式双曲函数常用公式442.反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,4546奇函数奇函数,47小结小结函数的分类函数的分类:函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数( (分段函数分段函数, ,有无穷多项等函数有无穷多项等函数) )代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数( (多项式函数多项式函数) )有理分函数有理分函数( (分式函数分式函数) )48Z 思考思考49思考题解答思考题解答不能不能50
