《8.5-曲线与方程课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《8.5-曲线与方程课件（81页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节曲线与方程【知【知识梳理】梳理】1.1.必会知必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)曲曲线与方程的定与方程的定义一般地一般地, ,在直角坐在直角坐标系中系中, ,如果某曲如果某曲线C C上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程f(x,y)=0f(x,y)=0的的实数解建立如下的数解建立如下的对应关系关系: :那么那么, ,这个方程叫做个方程叫做_的方程的方程; ;这条曲条曲线叫做叫做_的曲的曲线. .这个方程这个方程曲线上曲线上曲曲线方程方程(2)(2)求动点的轨迹方程的基本步骤求动点的轨迹方程的基本步骤任意任意x,yx,y所求方程所求方程2.2.必必备结论 教材提教材提炼记
2、一一记(1)(1)曲曲线的交点与方程的交点与方程组的关系的关系: :两条曲两条曲线交点的坐交点的坐标是两个曲是两个曲线方程的方程的_解解, ,即两个曲即两个曲线方程方程组成的方程成的方程组的的实数解数解; ;方程方程组有几有几组解解, ,两条曲两条曲线就有几个就有几个_;_;方程方程组无解无解, ,两条曲两条曲线就就没有交点没有交点. .(2)(2)两条曲两条曲线有交点的充要条件有交点的充要条件: :两条曲两条曲线的方程所的方程所组成的方程成的方程组有有实数解数解. .公共公共交点交点3.3.必用技法必用技法 核心核心总结看一看看一看(1)(1)常用方法常用方法: :直接法、定直接法、定义法、
3、代入法法、代入法( (相关点法相关点法) )、待定系数法、参数、待定系数法、参数法法. .(2)(2)数学思想数学思想: :数形数形结合思想、分合思想、分类讨论思想思想. .【小【小题快快练】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判(1)f(x(1)f(x0 0,y,y0 0)=0)=0是点是点P(xP(x0 0,y,y0 0) )在曲在曲线f(x,y)=0f(x,y)=0上的充要条件上的充要条件.(.() )(2)(2)方程方程x x2 2+xy=x+xy=x的曲的曲线是一个点和一条直是一个点和一条直线.(.() )(3)(3)到两条互相垂直的直到两条互相垂直的直线距离相等的点
4、的距离相等的点的轨迹方程是迹方程是x x2 2=y=y2 2.(.() )(4)(4)方程方程y= y= 与与x=yx=y2 2表示同一曲表示同一曲线.(.() )【解析】【解析】(1)(1)正确正确. .由由f(xf(x0 0,y,y0 0)=0)=0可知点可知点P(xP(x0 0,y,y0 0) )在曲线在曲线f(x,y)=0f(x,y)=0上上, ,又又P(xP(x0 0,y,y0 0) )在曲线在曲线f(x,y)=0f(x,y)=0上时上时, ,有有f(xf(x0 0,y,y0 0)=0,)=0,所以所以f(xf(x0 0,y,y0 0)=0)=0是是P(xP(x0 0,y,y0 0)
5、 )在曲线在曲线f(x,y)=0f(x,y)=0上的充要条件上的充要条件. .(2)(2)错误错误. .方程变为方程变为x(x+y-1)=0,x(x+y-1)=0,所以所以x=0x=0或或x+y-1=0,x+y-1=0,故方程表示直线故方程表示直线x=0x=0或直线或直线x+y-1=0.x+y-1=0.(3)(3)错误错误. .当以两条互相垂直的直线为当以两条互相垂直的直线为x x轴、轴、y y轴时轴时, ,是是x x2 2=y=y2 2, ,否则不正否则不正确确. .(4)(4)错误错误. .因为方程因为方程y= y= 表示的曲线只是方程表示的曲线只是方程x=yx=y2 2表示曲线的一部分表
6、示曲线的一部分, ,故其不正确故其不正确. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.2.教材改教材改编 链接教材接教材练一一练(1)(1)(选修修2-1P372-1P37练习T2T2改改编) )已知方程已知方程axax2 2+by+by2 2=2=2的曲的曲线经过点点A(0, )A(0, )和和B(1,1),B(1,1),则曲曲线方程方程为. .【解析】【解析】由题意得由题意得所以曲线方程为所以曲线方程为即即答案：答案：(2)(2)(选修修2-1P372-1P37习题2.1A2.1A组T2T2改改编) )和点和点O(0,0),A(c,0)O(0,0),A(c,0)距
7、离的平方距离的平方和和为常数常数c c的点的的点的轨迹方程迹方程为. .【解析】【解析】设点的坐标为设点的坐标为(x,y),(x,y),由题意知由题意知( )( )2 2+( )+( )2 2=c,=c,即即x x2 2+y+y2 2+(x-c)+(x-c)2 2+y+y2 2=c,=c,即即2x2x2 2+2y+2y2 2-2cx+c-2cx+c2 2-c=0.-c=0.答案答案: :2x2x2 2+2y+2y2 2-2cx+c-2cx+c2 2-c=0-c=03.3.真真题小小试 感悟考感悟考题试一一试(1)(2015(1)(2015天津模天津模拟) )在平面直角坐在平面直角坐标系中系中,
8、 ,已知两点已知两点A(3,1),B(-1,A(3,1),B(-1,3),3),若点若点C C满足足 (O (O为原点原点),),其中其中1 1,2 2R,R,且且1 1+2 2=1,=1,则点点C C的的轨迹是迹是( () )A.A.直直线 B. B.椭圆 C. C.圆 D. D.双曲双曲线【解析】【解析】选选A.A.设设C(x,y)C(x,y)，因为，因为 所以所以(x,y)=(x,y)=1 1(3,1)+(3,1)+2 2(-1,3), (-1,3), 又又1 1+2 2=1=1，所以，所以 即即x+2y=5x+2y=5，所以点所以点C C的轨迹为直线的轨迹为直线, ,故选故选A.A.(
9、2)(2015(2)(2015南昌模南昌模拟) )已知已知A(-2,0),B(1,0)A(-2,0),B(1,0)两点两点, ,动点点P P不在不在x x轴上上, ,且且满足足APO=BPO,APO=BPO,其中其中O O为原点原点, ,则P P点的点的轨迹方程是迹方程是( () )A.(x+2)A.(x+2)2 2+y+y2 2=4(y0)=4(y0)B.(x+1)B.(x+1)2 2+y+y2 2=1(y0)=1(y0)C.(x-2)C.(x-2)2 2+y+y2 2=4(y0)=4(y0)D.(x-1)D.(x-1)2 2+y+y2 2=1(y0)=1(y0)【解析】【解析】选选C.C.
10、由由APO=BPOAPO=BPO得点得点O O在在APBAPB的平分线上的平分线上, ,由角平分线由角平分线定理得定理得|PA|PB|=|AO|OB|=21,|PA|PB|=|AO|OB|=21,设点设点P(x,y),P(x,y),则利用关系式可则利用关系式可知知 =2, =2,化简可得化简可得(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4(y0).=4(y0).(3)(2015(3)(2015临汾模拟临汾模拟) )在在ABCABC中，中，| |=4,ABC| |=4,ABC的内切圆切的内切圆切BCBC于于D D点，且点，且 则顶点则顶点A A的轨迹方程为的轨迹方程为_._.【解析】【解析】以以
11、BCBC的中点为原点，中垂线所在直线为的中点为原点，中垂线所在直线为y y轴建立如图所示的轴建立如图所示的坐标系坐标系,E,F,E,F分别为两个切点分别为两个切点. .则则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|,|AE|=|AF|.|BE|=|BD|,|CD|=|CF|,|AE|=|AF|.所以所以|AB|-|AC|=|AB|-|AC|=所以点所以点A A的轨迹为以的轨迹为以B,CB,C为焦点的双曲线的为焦点的双曲线的右支右支(y0),(y0),且且a= ,c=2,a= ,c=2,所以所以b= ,b= ,所以轨迹方程为所以轨迹方程为答案：答案：考点考点1 1 定定义法求点的法求点的轨迹方程迹方
12、程【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015北京模北京模拟)ABC)ABC的的顶点点A(-5,0),B(5,0),ABCA(-5,0),B(5,0),ABC的的内切内切圆圆心在直心在直线x=3x=3上上, ,则顶点点C C的的轨迹方程是迹方程是. .(2)(2)已知已知圆C C与两与两圆x x2 2+(y+4)+(y+4)2 2=1,x=1,x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1=1外切外切, ,圆C C的的圆心心轨迹方程迹方程为L,L,设L L上的点与点上的点与点M(x,y)M(x,y)的距离的最小的距离的最小值为m,m,点点F(0,1)F(0,1)与点与点M(x,y)M(x,
13、y)的距离的距离为n.n.求求圆C C的的圆心心轨迹迹L L的方程的方程; ;求求满足条件足条件m=nm=n的点的点M M的的轨迹迹Q Q的方程的方程. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)根据题设条件根据题设条件, ,寻找动点寻找动点C C与两定点与两定点A,BA,B距离的差满足距离的差满足的等量关系的等量关系|CA|-|CB|=6,|CA|-|CB|=6,由双曲线的定义得出所求轨迹为双曲线的一由双曲线的定义得出所求轨迹为双曲线的一部分部分, ,再求其方程再求其方程. .(2)(2)将圆将圆C C与另外两圆都外切与另外两圆都外切, ,转化为圆心距与两圆半径和之间的关转化为圆心距与两圆半径和
14、之间的关系系.m=n.m=n说明到定点的距离与到定直线的距离相等说明到定点的距离与到定直线的距离相等. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)如图如图,|AD|=|AE|=8,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以所以|CA|-|CB|=8-2=6.|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线的定义根据双曲线的定义, ,所求轨迹是以所求轨迹是以A,BA,B为焦点为焦点, ,实轴长为实轴长为6 6的双曲线的右支的双曲线的右支, ,方程为方程为 =1(x3). =1(x3).答案答案: : =1(x3) =1(x3)(2)
15、(2)两圆半径都为两圆半径都为1,1,两圆圆心分别为两圆圆心分别为C C1 1(0,-4),C(0,-4),C2 2(0,2),(0,2),由题意得由题意得|CC|CC1 1|=|CC|=|CC2 2|,|,可知圆心可知圆心C C的轨迹是线段的轨迹是线段C C1 1C C2 2的垂直平分线的垂直平分线,C,C1 1C C2 2的中点的中点为为(0,-1),(0,-1),直线直线C C1 1C C2 2的斜率不存在的斜率不存在, ,故圆心故圆心C C的轨迹是线段的轨迹是线段C C1 1C C2 2的垂直平的垂直平分线分线, ,其方程为其方程为y=-1,y=-1,即圆即圆C C的圆心轨迹的圆心轨迹
16、L L的方程为的方程为y=-1.y=-1.因为因为m=n,m=n,所以所以M(x,y)M(x,y)到直线到直线y=-1y=-1的距离与到点的距离与到点F(0,1)F(0,1)的距离相等的距离相等, ,故点故点M M的轨迹的轨迹Q Q是以是以y=-1y=-1为准线为准线, ,点点F(0,1)F(0,1)为焦点为焦点, ,顶点在原点的抛物顶点在原点的抛物线线, ,而而 =1, =1,即即p=2,p=2,所以所以, ,轨迹轨迹Q Q的方程是的方程是x x2 2=4y.=4y.【易【易错警示】警示】解答本例解答本例(1)(1)有两点容易出有两点容易出错: :(1)(1)忽忽视ABCABC的内切的内切圆
17、与与边ABAB的切点的切点为(3,0)(3,0)这一一隐含条件而找不到解含条件而找不到解题突破口突破口; ;(2)(2)忽忽视顶点点C C始始终在在x=3x=3的右的右侧. .【规律方法】律方法】定定义法求法求轨迹方程的适用条件及关迹方程的适用条件及关键(1)(1)适用条件适用条件动点与定点、定直点与定点、定直线之之间的某些关系的某些关系满足直足直线、圆、椭圆、双曲、双曲线、抛物抛物线的定的定义. .(2)(2)关关键定定义法求法求轨迹方程的关迹方程的关键是理解平面几何是理解平面几何图形的定形的定义. .提醒提醒: :弄清各种常弄清各种常见曲曲线的定的定义是用定是用定义法求法求轨迹方程的关迹方
18、程的关键. .【变式式训练】等腰三角形的等腰三角形的顶点是点是A(4,2),A(4,2),底底边一个端点是一个端点是B(3,5),B(3,5),求求另一个端点另一个端点C C的的轨迹方程迹方程, ,并并说明它的明它的轨迹是什么迹是什么. .【解析】【解析】设另一端点设另一端点C C的坐标为的坐标为(x,y).(x,y).依题意依题意, ,得得|AC|=|AB|.|AC|=|AB|.由两点间的距离公式由两点间的距离公式, ,得得整理得整理得(x-4)(x-4)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=10.=10.方程表示以点方程表示以点A(4,2)A(4,2)为圆心为圆心, , 为半径的圆为半径的
19、圆, ,如图所示如图所示, ,又因为又因为A, A, B,CB,C为三角形的三个顶点为三角形的三个顶点, ,所以所以A,B,CA,B,C三点不共线三点不共线. .即点即点B,CB,C不能重合不能重合且且B,CB,C不能为圆不能为圆A A的一直径的两个端点的一直径的两个端点. .因为点因为点B,CB,C不能重合不能重合, ,所以点所以点C C不能为不能为(3,5).(3,5).又因为点又因为点B,CB,C不能为一直径的两个端点不能为一直径的两个端点, ,所以所以 4, 4,且且 2, 2,即点即点C C不能为不能为(5,-1).(5,-1).故点故点C C的轨迹方程是的轨迹方程是(x-4)(x-
20、4)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=10(=10(除去点除去点(3,5)(3,5)和和(5,-1).(5,-1).它的它的轨迹是以点轨迹是以点A(4,2)A(4,2)为圆心为圆心, , 为半径的圆为半径的圆, ,但要除去但要除去(3,5)(3,5)和和(5,-1)(5,-1)两点两点. .【加固【加固训练】1.1.已知定点已知定点F F1 1(-2,0),F(-2,0),F2 2(2,0),N(2,0),N是是圆O:xO:x2 2+y+y2 2=1=1上任意一点上任意一点, ,点点F F1 1关于点关于点N N的的对称点称点为M,M,线段段F F1 1M M的中垂的中垂线与直与直线F F
21、2 2M M相交于点相交于点P,P,则点点P P的的轨迹是迹是( () )A.A.椭圆 B. B.双曲双曲线 C. C.抛物抛物线 D. D.圆【解析】【解析】选选B.B.设设N(a,b),M(x,y),N(a,b),M(x,y),则则 代入圆代入圆O O的方程得的方程得点点M M的轨迹方程是的轨迹方程是(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=2=22 2, ,此时此时|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=|PM|-|PF|=|PM|-|PF2 2|=|MF=|MF2 2|= =2,2|F|= =2,20)0)(a0)，且满足条件，且满足条件sin C-sin Bsin C-sin
22、 B sin A sin A，则动点，则动点A A的轨的轨迹方程是迹方程是_._.【解析】【解析】由正弦定理，得由正弦定理，得 (R (R为外接圆半径为外接圆半径) )，所以所以|AB|-|AC|AB|-|AC| |BC| |BC|，且为双曲线右支，且为双曲线右支. .答案：答案： 1(x01(x0且且y0)y0)考点考点2 2 直接法求点的直接法求点的轨迹方程迹方程知知考情考情直接法求直接法求轨迹方程是求迹方程是求轨迹方程的一个重要方法迹方程的一个重要方法, ,也是高考命也是高考命题的一个的一个热点内容点内容, ,该部分大多数是以解答部分大多数是以解答题的形式出的形式出现, ,考考查求求轨迹
23、方迹方程的方法程的方法, ,曲曲线与方程的定与方程的定义, ,基本运算能力等基本运算能力等. .明明角度角度命命题角度角度1:1:已知已知动点点满足的关系式求足的关系式求轨迹方程迹方程( (或判断或判断轨迹迹) )【典例【典例2 2】(2015(2015成都模成都模拟) )在平面直角坐在平面直角坐标系系xOyxOy中中, ,点点P(a,b)P(a,b)(ab0)(ab0)为动点点,F,F1 1,F,F2 2分分别为椭圆 =1 =1的左、右焦点的左、右焦点. .已知已知FF1 1PFPF2 2为等腰三角形等腰三角形. .(1)(1)求求椭圆的离心率的离心率e.e.(2)(2)设直直线PFPF2
24、2与与椭圆相交于相交于A,BA,B两点两点,M,M是直是直线PFPF2 2上的点上的点, ,满足足=-2,=-2,求点求点M M的的轨迹方程迹方程. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)借助图形及条件借助图形及条件FF1 1PFPF2 2为等腰三角形为等腰三角形, ,可知可知|PF|PF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2|.|.(2)(2)由由(1)(1)可知直线可知直线PFPF2 2的方程的方程, ,从而可求出从而可求出A,BA,B两点的坐标两点的坐标, ,进而根据进而根据 =-2 =-2可求点可求点M M的轨迹方程的轨迹方程. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)设设F F1 1
25、(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0)(c0).(c,0)(c0).由题意，可得由题意，可得|PF|PF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2| |，(2)(2)由由(1)(1)知知a=2c,b= ca=2c,b= c，可得椭圆方程为，可得椭圆方程为3x3x2 2+4y+4y2 2=12c=12c2 2, ,直线直线PFPF2 2方程为方程为y= (x-c).y= (x-c).A,BA,B两点的坐标满足方程组两点的坐标满足方程组消去消去y y并整理，得并整理，得5x5x2 2-8cx=0-8cx=0，解得，解得x x1 1=0,x=0,x2 2= c,= c,不妨设不妨设设点设点M
26、 M的坐标为的坐标为(x,y),(x,y),则则所以所以x0.x0.因此，点因此，点M M的轨迹方程是的轨迹方程是18x18x2 2-16 xy-15=0(x0).-16 xy-15=0(x0).命命题角度角度2:2:无明确等量关系求无明确等量关系求轨迹方程迹方程【典例【典例3 3】(2013(2013陕西高考西高考) )已知已知动圆过定点定点A(4,0),A(4,0),且在且在y y轴上截得的上截得的弦弦MNMN的的长为8.8.(1)(1)求求动圆圆心的心的轨迹迹C C的方程的方程. .(2)(2)已知点已知点B(-1,0),B(-1,0),设不垂直于不垂直于x x轴的直的直线l与与轨迹迹C
27、 C交于不同的两点交于不同的两点P,Q,P,Q,若若x x轴是是PBQPBQ的平分的平分线, ,证明直明直线l过定点定点. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)借助图形寻找等量关系借助图形寻找等量关系, ,然后求轨迹方程然后求轨迹方程. .(2)(2)设出直线方程设出直线方程, ,结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解系数的关系求解, ,要特别注意判别式与位置关系的联系要特别注意判别式与位置关系的联系. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)如图如图, ,设动圆圆心为设动圆圆心为O O1 1(x,y),(x,y),由题意由题意,
28、 ,得得|O|O1 1A|=|OA|=|O1 1M|,M|,当当O O1 1不在不在y y轴上时轴上时, ,过过O O1 1作作O O1 1HMNHMN交交MNMN于点于点H,H,则点则点H H是是MNMN的中点的中点, ,所以所以|O|O1 1M|= M|= 又又|O|O1 1A|= A|= 所以所以 化简得化简得y y2 2=8x(x0).=8x(x0).又当又当O O1 1在在y y轴上时轴上时,O,O1 1与与O O重合重合, ,点点O O1 1的坐标为的坐标为(0,0)(0,0)也满足方程也满足方程y y2 2=8x,=8x,所以动圆圆心的轨迹所以动圆圆心的轨迹C C的方程为的方程为
29、y y2 2=8x.=8x.(2)(2)由题意由题意, ,设直线设直线l的方程为的方程为y=kx+b(k0),P(xy=kx+b(k0),P(x1 1,y,y1 1),Q(x),Q(x2 2,y,y2 2),),将将y=kx+by=kx+b代入代入y y2 2=8x=8x中中, ,得得k k2 2x x2 2+(2bk-8)x+b+(2bk-8)x+b2 2=0.=0.其中其中=-32kb+640.=-32kb+640.由根与系数的关系得由根与系数的关系得, ,x x1 1+x+x2 2= ,= ,x x1 1x x2 2= ,= ,因为因为x x轴是轴是PBQPBQ的平分线的平分线, ,所以
30、所以 即即y y1 1(x(x2 2+1)+y+1)+y2 2(x(x1 1+1)=0,+1)=0,(kx(kx1 1+b)(x+b)(x2 2+1)+(kx+1)+(kx2 2+b)(x+b)(x1 1+1)=0,+1)=0,2kx2kx1 1x x2 2+(b+k)(x+(b+k)(x1 1+x+x2 2)+2b=0)+2b=0 将将,代入代入得得2kb2kb2 2+(k+b)(8-2bk)+2k+(k+b)(8-2bk)+2k2 2b=0,b=0,所以所以k=-b,k=-b,此时此时0,0,所以直线所以直线l的方程为的方程为y=k(x-1),y=k(x-1),即直线即直线l过定点过定点(
31、1,0).(1,0).悟悟技法技法利用直接法求利用直接法求轨迹方程迹方程(1)(1)利用直接法求解利用直接法求解轨迹方程的关迹方程的关键是根据条件准确列出方程是根据条件准确列出方程, ,然后然后进行化行化简. .(2)(2)运用直接法运用直接法应注意的注意的问题在用直接法求在用直接法求轨迹方程迹方程时, ,在化在化简的的过程中程中, ,有有时破坏了方程的同解破坏了方程的同解性性, ,此此时就要就要补上上遗漏的点或漏的点或删除多余的点除多余的点, ,这是不能忽是不能忽视的的. .若方程的化若方程的化简过程是恒等程是恒等变形形, ,则最后的最后的验证可以省略可以省略. .通通一一类1.(20151
32、.(2015兰州模州模拟) )已知点已知点O(0,0),A(1,2),O(0,0),A(1,2),动点点P P满足足 =2, =2,则点点P P的的轨迹方程是迹方程是( () )A.4xA.4x2 2+4y+4y2 2-4x-8y+1=0-4x-8y+1=0B.4xB.4x2 2+4y+4y2 2-4x-8y-1=0-4x-8y-1=0C.8xC.8x2 2+8y+8y2 2+2x+4y-5=0+2x+4y-5=0D.8xD.8x2 2+8y+8y2 2-2x+4y-5=0-2x+4y-5=0【解析】【解析】选选A.A.设点设点P P的坐标为的坐标为(x,y),(x,y),则则 =(x,y),
33、 =(x-1,y-2), =(x,y), =(x-1,y-2), =(2x-1,2y-2). =(2x-1,2y-2).所以所以(2x-1)(2x-1)2 2+(2y-2)+(2y-2)2 2=4,=4,整理得整理得4x4x2 2+4y+4y2 2-4x-4x-8y+1=0.-8y+1=0.2.(20152.(2015深圳模深圳模拟) )已知点已知点F(0,1),F(0,1),直直线l:y=-1,P:y=-1,P为平面上的平面上的动点点, ,过点点P P作直作直线l的垂的垂线, ,垂足垂足为Q,Q,且且 则动点点P P的的轨迹迹C C的方的方程程为( () )A.xA.x2 2=4y=4yB.
34、yB.y2 2=3x=3xC.xC.x2 2=2y=2yD.yD.y2 2=4x=4x【解析】【解析】选选A.A.设点设点P(x,y),P(x,y),则则Q(x,-1).Q(x,-1).因为因为 所以所以(0,y+1)(-x,2)=(x,y-1)(x,-2),(0,y+1)(-x,2)=(x,y-1)(x,-2),即即2(y+1)=x2(y+1)=x2 2-2(y-1),-2(y-1),整理得整理得x x2 2=4y,=4y,所以动点所以动点P P的轨迹的轨迹C C的方程为的方程为x x2 2=4y.=4y.3.(20153.(2015武威模武威模拟) )有一有一动圆P P恒恒过定点定点F(a
35、,0)(a0)F(a,0)(a0)且与且与y y轴相交于相交于点点A,B,A,B,若若ABPABP为正三角形正三角形, ,则点点P P的的轨迹迹为( () )A.A.椭圆B.B.双曲双曲线C.C.抛物抛物线D.D.圆【解析】【解析】选选B.B.设设P(x,y)P(x,y)，动圆，动圆P P的半径为的半径为R R，由于，由于ABPABP为正三角形，为正三角形，所以点所以点P P到到y y轴的距离轴的距离所以所以 即点即点P P的轨迹为双的轨迹为双曲线曲线. .考点考点3 3 相关点相关点( (代入法代入法) )、参数法求、参数法求轨迹方程迹方程【典例【典例4 4】(1)(1)已知已知长为1+ 1
36、+ 的的线段段ABAB的两个端点的两个端点A,BA,B分分别在在x x轴、y y轴上滑上滑动,P,P是是ABAB上一点上一点, ,且且 则点点P P的的轨迹方程迹方程为. .(2)(2013(2)(2013福建高考福建高考) )如如图, ,在正方形在正方形OABCOABC中中, ,O O为坐坐标原点原点, ,点点A A的坐的坐标为(10,0),(10,0),点点C C的坐的坐标为(0,10),(0,10),分分别将将线段段OAOA和和ABAB十等分十等分, ,分点分分点分别记为A A1 1,A,A2 2,A,A9 9和和B B1 1,B,B2 2,B,B9 9, ,连接接OBOBi i, ,过
37、A Ai i作作x x轴的垂的垂线与与OBOBi i交于点交于点P Pi i(iN(iN* *,1i9).,1i9).求求证: :点点P Pi i(iN(iN* *,1i9),1i9)都在同一条抛物都在同一条抛物线上上, ,并求抛物并求抛物线E E的方程的方程; ;过点点C C作直作直线l与抛物与抛物线E E交于不同的两点交于不同的两点M,N,M,N,若若OCMOCM与与OCNOCN的面的面积之比之比为41,41,求直求直线l的方程的方程. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)设出设出P(x,y),A(xP(x,y),A(x0 0,0),B(0,y,0),B(0,y0 0),),然后利用然后
38、利用x x0 0和和y y0 0分别分别表示出表示出x,y,x,y,并根据并根据|AB|=1+ |AB|=1+ 求点求点P P的轨迹方程的轨迹方程. .(2)(2)注意注意P Pi i是直线是直线OBOBi i与过与过A Ai i(iN(iN* *,1i9),1i9)且与且与x x轴垂直的直线的轴垂直的直线的交点交点, ,适当选择一个参数即可适当选择一个参数即可;将面积相等转化为点的坐标之间的关将面积相等转化为点的坐标之间的关系即可求解系即可求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)设设A(xA(x0 0,0),B(0,y,0),B(0,y0 0),P(x,y),),P(x,y),答案：答
39、案：(2)(2)依题意依题意, ,过过A Ai i(iN(iN* *,1i9),1i9)且与且与x x轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为x=i,x=i,B Bi i的坐标为的坐标为(10,i),(10,i),所以直线所以直线OBOBi i的方程为的方程为y= x.y= x.设设P Pi i的坐标为的坐标为(x,y),(x,y),由由得得y= xy= x2 2, ,即即x x2 2=10y.=10y.所以点所以点P Pi i(iN(iN* *,1i9),1i9)都在同一条抛物线上都在同一条抛物线上, ,且抛物线且抛物线E E的方程为的方程为x x2 2=10y.=10y.依题意依题意, ,直线
40、直线l的斜率存在的斜率存在, ,设直线设直线l的方程为的方程为y=kx+10.y=kx+10.由由得得x x2 2-10kx-100=0.-10kx-100=0.此时此时=100k=100k2 2+4000,+4000,直线直线l与抛物线与抛物线E E恒有两个不同的交点恒有两个不同的交点M,N.M,N.设设M(xM(x1 1,y,y1 1),N(x),N(x2 2,y,y2 2),),则则因为因为S SOCMOCM=4S=4SOCNOCN, ,所以所以|x|x1 1|=4|x|=4|x2 2|.|.又因为又因为x x1 1xx2 20,b0)C: =1(ab0)的的一个焦点一个焦点为( ,0)
41、,( ,0),离心率离心率为 . .(1)(1)求求椭圆C C的的标准方程准方程. .(2)(2)若若动点点P(xP(x0 0,y,y0 0) )为椭圆C C外一点外一点, ,且点且点P P到到椭圆C C的两条切的两条切线相互垂相互垂直直, ,求点求点P P的的轨迹方程迹方程. .解题导思解题导思 研读信息快速破题研读信息快速破题规范解答规范解答 阅卷标准体会规范阅卷标准体会规范(1)(1)由题意知由题意知 所以所以a=3,ba=3,b2 2=a=a2 2-c-c2 2=4,=4,故椭圆故椭圆C C的标准方程为的标准方程为 =1. =1. 4 4分分(2)(2)设两切线为设两切线为l1 1,
42、,l2 2, ,当当l1 1xx轴或轴或l1 1xx轴时轴时, ,l2xx轴或轴或l2 2xx轴轴, ,可知可知P(3,2).P(3,2).当当l1 1与与x x轴不垂直且不平行时轴不垂直且不平行时,x,x0 03,3,设设l1 1的斜率为的斜率为k,k,且且k0,k0,则则l2 2的斜率为的斜率为 l1 1的方程为的方程为y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0),),与与 联立联立, ,整理得整理得(9k(9k2 2+4)x+4)x2 2+18(y+18(y0 0-kx-kx0 0)kx+9(y)kx+9(y0 0-kx-kx0 0) )2 2-36=0,-36=0,因为直线因为直
43、线l1 1与椭圆相切与椭圆相切, ,所以所以=0,=0,即即9(y9(y0 0-kx-kx0 0) )2 2k k2 2-(9k-(9k2 2+4)(y+4)(y0 0- -kxkx0 0) )2 2-4=0,-4=0,所以所以(x(x0 02 2-9)k-9)k2 2-2x-2x0 0y y0 0k+yk+y0 02 2-4=0,-4=0,所以所以k k是方程是方程(x(x0 02 2-9)x-9)x2 2-2x-2x0 0y y0 0x+yx+y0 02 2-4=0-4=0的一个根的一个根, , 8 8分分同理同理, , 是方程是方程(x(x0 02 2-9)x-9)x2 2-2x-2x0
44、 0y y0 0x x+y+y0 02 2-4=0-4=0的另一个根的另一个根, ,所以所以整理得整理得x x0 02 2+y+y0 02 2=13,=13,其中其中x x0 03,3,所以点所以点P P的轨迹方程为的轨迹方程为x x2 2+y+y2 2=13(x3). =13(x3). 1111分分检验检验P(3,2)P(3,2)满足上式满足上式. .综上综上, ,点点P P的轨迹方程为的轨迹方程为x x2 2+y+y2 2=13.=13.1212分分高考状元高考状元 满分心得分心得 把握把握规则争取争取满分分1.1.注意答注意答题的的规范性及全面性范性及全面性在解在解题过程中程中, ,注意
45、注意严格按照格按照题目及相关知目及相关知识的要求答的要求答题, ,如本例中的如本例中的切切线l1 1与与l2 2垂直可垂直可转化化为两直两直线的斜率之的斜率之积为-1,-1,从而求出从而求出P P点的点的轨迹方迹方程程, ,但但应注意此关系的注意此关系的应用前提是用前提是“两直两直线的斜率都存在的斜率都存在”,”,故故应分分类讨论, ,最后求出最后求出P P点坐点坐标时再再进行行检验, ,否否则易易导致致错解解. .2.2.关关键步步骤要全面要全面求求轨迹方程迹方程时, ,要注意要注意检验曲曲线上的点与方程的解是否上的点与方程的解是否为一一一一对应关关系系, ,若不是若不是, ,则应对方程加上一定的限制条件方程加上一定的限制条件, ,检验可从以下两个方面可从以下两个方面进行行: :一是方程的化一是方程的化简是否是否为同解同解变形形; ;二是是否符合二是是否符合题目的目的实际意意义. .
