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1、线性代数电子课件第四讲 行列式的性质行列式的性质小结一、行列式的性质性性性性质质1 1 1 1 行列式行列式与它与它的的转置行列式相等置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. 记记证明证明按定义按定义 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为故故证毕证毕性性性性质质2 2 2 2 互互换行列式的行列式的两两行（列）行（列）, ,行列式行列式变号号. .证明证明证明证明设行列式设行列式说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式是由
2、行列式 变换变换 两行得到的两行得到的,于是于是则有则有即即当当 时时,当当 时时,例如例如性性质3 3 如果行列式有如果行列式有两两行（列）完全相同，行（列）完全相同，则此行列式此行列式为零零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 故故证毕证毕性性性性质质4 4 4 4 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一乘以同一数数 ，等于用，等于用数数 乘此行列式乘此行列式. .推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质性质6行列式中如果有两行（列）元
3、素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零证明证明性质性质5行列式中如果有某行（列）元素都为零，行列式中如果有某行（列）元素都为零，则此行列式为零则此行列式为零性性质7 7若行列式的某一列（行）的元素都是若行列式的某一列（行）的元素都是两两数数之和之和. .则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如性质性质8把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如性性质9 9 行列式任一行（列）的元素行列式任一行（列）的元素与与另一行另一行（列）的（列）的对应元素的代元素的代数数余子式乘余子式乘积之和等于零，之和等于零，即即证证同理同理相同相同更一般的形式可以表示为更一般的形式可以表示为 (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立). 利用性质利用性质8可以把某一行（列）只保留一个可以把某一行（列）只保留一个元素，其余元素都化成零。元素，其余元素都化成零。三、小结行列式的行列式的9个性质个性质
