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1、 习题9.13.设函数 在有界闭区域D上连续且 试证必存在点 使 . 证:证:因为 在有界闭区域上连续,所以 在D 上有最大值M与最小值m,且因 , 故有 ,积分得 当 时, 习题9.1于是有从而由二元连续函数的介值定理,必存在一点 ,使 即当g(x,y)=0时,所证等式显然成立。习题9.28.设闭区域D: 为D上的连续函数,且 求解:解:设 ,在已知等式两边求区域D上的二重积分有 9. 计算 ,其中D是由曲线 (a0) 和直线 y=-x 围成的区域. 解:解:区域D在极坐标系下D=I=令 r=2asint,有10.计算 ,其中解:解:设 则11.设g(x)0为已知连续函数,在圆域 上计算二重
2、积分 ,其中 为正常数。解:由于区域D关于直线y=x对称,故对连续函数f(x,y)有 因此从而有12.设f(x)为0,1上的单调增加的连续函数,证明:证:由于 同理可得将,相加,并注意到假设即故即 ,由此可推知命题成立。13.设函数f(x)在区间0,1上连续,并设 ,求解: 所以习题9.44.(8)计算 ,其中 为平面曲线 绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域。解法一:解法一:在柱面坐标系下,解法二解法二:采用“先二后一”法 ,7.设函数f(z)在-1, 1上连续,证明 其中 为球体证:证:令 ,则 故8.设f(x)连续,f(0)= a,函数 ,其中 及 ,求解:解:在球面坐标系下化三重积分为三次积分,得 9.假设f(x)在区间0, 1上连续,并且 ,证明:证:证:设 ,则 故因为故习题9.59.设有一半径为R的球体, 是此球的表面上的一个定点,球体上的任一点的密度与该点到 的距离的平方成正比(比例常数k0),求球体的质心坐标.解:解:记所考虑的球体为 ,以 的球心为原点O,射线 为正x轴建立直角坐标系(如图所示),则点 的坐标为(R,0,0),球面的方程为 设 的重心位置为 ,由对称性得而故 因此,球体的重心位置为