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1、 蔡锦钟(20110003012)第一页,共12页。情景(qngjng)引入珠江珠江(zh jin)珠江珠江(zh jin)珠江珠江天线海心沙 花花 城城 广广 场场黄 埔 大 道位置1位置2位置3第二页,共12页。问题(wnt)呈现1471年,德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题:在地球(dqi)表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长?(即在地球(dqi)上什么部位,可视角最大?) 可视角人人O地面O人人B地面可视角(shjio)2可视角1第三页,共12页。用数学(shxu)符号表达 线段AB垂直于直线EF,垂足(chu z)为点O,在直线EF上任选一点C,使得 的值最大,求此
2、时点C的位置 ABOCEF已知:已知: ,垂直为点O隐含已知:隐含已知: 线段线段(xindun)AB的的长度,设为长度,设为a; 距离距离OB的长度。设的长度。设为为b;问题问题:当 最大时,此时C的位置动画演示第四页,共12页。解题(ji t)过程解:设 为 ,OC的距离(jl)为x, 因为 ,所以 是直角三角形。 所以 第五页,共12页。解法(ji f)一:采用(ciyng)放缩法和基本不等式。当且仅当第六页,共12页。解法(ji f)二: 把 看成是自变量, 看成因变量,运用(ynyng)导数讨论 的单调性,求得 最大值时(即 取得最大值时,), 的值第七页,共12页。C米勒问题的几何
3、(j h)解法:A.罗斯(Ad.Lorsch)简明解法:在水平直线上选择点C,使得 外接圆与水平直线刚好相切于点C,切点就是(jish)视角最大的点。ABOEFCOC是切线,满足切割(qig)线定理。证明:在OF上任选一点C,连接AC、BC,设BC与圆的交点为D。第八页,共12页。C思考题:如果AB不是垂直于线段EF,那么用A.罗斯的几何解法得出的C点是否(sh fu)还使得 取得最大值?OEFBA证明(zhngmng):在OF上任选一点C,连接AC、BC,设BC与圆的交点为D。D第九页,共12页。题目(tm):1.(1986年全国卷高考题)如图,在直角坐标系中,在y轴的正半轴上给定两个定点A
4、,B,试在x轴的正半轴上求一点(y din)C,使得 取得最大值。yxABCO解:设OA=a,OB=b,由米勒(m l)定理可知:当且仅当 时, 最大,故点C的坐标为第十页,共12页。小结(xioji):思想方法:1.求几何图形(jh t xng)角度最大值2.求证一个角是最大值米勒定理: 已知点A、B是角MON的一条边上的两个定点,点C是另一条边上的一动点,则当且仅当三角形ABC的外圆与边相切于点C时,角ACB最大函数(hnsh)求最大值找中间量作比较第十一页,共12页。切割(qig)线定理的证明思路:画辅助线,然后利用(lyng)相似三角形进行证明。表述:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与交点的两条线段长的比例中项,即 OBACD证明(zhngmng):在圆周上选点D,使得CD为圆的直径, 第十二页,共12页。