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1、 蔡锦钟（20110003012）第一页，共12页。情景(qngjng)引入珠江珠江(zh jin)珠江珠江(zh jin)珠江珠江天线海心沙 花花 城城 广广 场场黄 埔 大 道位置1位置2位置3第二页，共12页。问题(wnt)呈现1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球(dqi)表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？（即在地球(dqi)上什么部位，可视角最大？） 可视角人人O地面O人人B地面可视角(shjio)2可视角1第三页，共12页。用数学(shxu)符号表达 线段AB垂直于直线EF，垂足(chu z)为点O，在直线EF上任选一点C，使得 的值最大，求此
2、时点C的位置 ABOCEF已知：已知： ,垂直为点O隐含已知：隐含已知： 线段线段(xindun)AB的的长度，设为长度，设为a; 距离距离OB的长度。设的长度。设为为b；问题问题：当 最大时，此时C的位置动画演示第四页，共12页。解题(ji t)过程解：设 为 ，OC的距离(jl)为x， 因为 ，所以 是直角三角形。 所以 第五页，共12页。解法(ji f)一：采用(ciyng)放缩法和基本不等式。当且仅当第六页，共12页。解法(ji f)二： 把 看成是自变量， 看成因变量，运用(ynyng)导数讨论 的单调性，求得 最大值时（即 取得最大值时，）， 的值第七页，共12页。C米勒问题的几何
3、(j h)解法：A.罗斯（Ad.Lorsch）简明解法：在水平直线上选择点C，使得 外接圆与水平直线刚好相切于点C，切点就是(jish)视角最大的点。ABOEFCOC是切线，满足切割(qig)线定理。证明：在OF上任选一点C,连接AC、BC，设BC与圆的交点为D。第八页，共12页。C思考题：如果AB不是垂直于线段EF，那么用A.罗斯的几何解法得出的C点是否(sh fu)还使得 取得最大值？OEFBA证明(zhngmng)：在OF上任选一点C,连接AC、BC，设BC与圆的交点为D。D第九页，共12页。题目(tm)：1.（1986年全国卷高考题）如图，在直角坐标系中，在y轴的正半轴上给定两个定点A
4、,B，试在x轴的正半轴上求一点(y din)C,使得 取得最大值。yxABCO解：设OA=a，OB=b，由米勒(m l)定理可知：当且仅当 时， 最大，故点C的坐标为第十页，共12页。小结(xioji)：思想方法：1.求几何图形(jh t xng)角度最大值2.求证一个角是最大值米勒定理： 已知点A、B是角MON的一条边上的两个定点，点C是另一条边上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边相切于点C时，角ACB最大函数(hnsh)求最大值找中间量作比较第十一页，共12页。切割(qig)线定理的证明思路：画辅助线，然后利用(lyng)相似三角形进行证明。表述：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与交点的两条线段长的比例中项，即 OBACD证明(zhngmng)：在圆周上选点D，使得CD为圆的直径， 第十二页，共12页。
