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1、电动力学电动力学Electrodynamics引引 言言 Introduction 电电动动力力学学的的研研究究对对象象是是电电磁磁场场的的基基本本性性质质、运动规律运动规律以及它和带电物质之间的以及它和带电物质之间的相互作用相互作用。 电电动动力力学学的的研研究究内内容容是是阐阐述述宏宏观观电电磁磁场场理理论论，主主要要从从实实验验定定律律中中总总结结电电磁磁场场的的普普遍遍规规律律，建建立立Maxwells equations。讨讨论论稳稳恒恒电电磁磁场场、电电磁磁波波传播、电磁波辐射及电动力学的参考系问题。传播、电磁波辐射及电动力学的参考系问题。学习电动力学课程的主要目的：学习电动力学课
2、程的主要目的： 1） 掌掌握握电电磁磁场场的的基基本本规规律律，加加深深对对电电磁场性质和时空概念的理解；磁场性质和时空概念的理解； 2） 获获得得本本课课程程领领域域内内分分析析和和处处理理一一些些基基本本问问题题的的初初步步能能力力，为为以以后后解解决决实实际际问问题题打下基础；打下基础； 3） 通通过过电电磁磁场场运运动动规规律律和和狭狭义义相相对对论论的学习，更深刻领会电磁场的物质性。的学习，更深刻领会电磁场的物质性。以电动力学为基础的应用领域：以电动力学为基础的应用领域： 在在生生产产实实践践和和科科学学技技术术领领域域内内，存存在在着着大大量量和和电磁场有关的问题。电磁场有关的问题
3、。 例例如如电电力力系系统统、凝凝聚聚态态物物理理、天天体体物物理理、粒粒子子加加速速器器等等，都都涉涉及及到到不不少少宏宏观观电电磁磁场场的的理理论论问问题题。在在迅迅变变情情况况下下，电电磁磁场场以以电电磁磁波波的的形形式式存存在在，其其应应用用更更为为广广泛泛。无无线线电电波波、热热辐辐射射、光光波波、X X射射线线和和射射线线等等都都是是在在不不同同波波长长范范围围内内的的电电磁磁波波，它它们们都都有有共共同同的的规规律律。因因此此，掌掌握握电电磁磁场场的的基基本本理理论论对对于于生生产实践和科学实验都有重大的意义。产实践和科学实验都有重大的意义。学习参考书：学习参考书： 1、电动力学
4、、电动力学 郭硕鸿郭硕鸿 编著编著 2、电动力学、电动力学 汪德新汪德新 编著编著 科学出版社科学出版社 3、电动力学、电动力学 吴寿煌吴寿煌 丁士章丁士章 编编 西安交通大学出版社西安交通大学出版社 4、经典电动力学、经典电动力学 蔡圣善蔡圣善 朱朱 耘耘 编著编著 复旦大学出版社复旦大学出版社预备知识预备知识 Preliminary nowledge主要内容：主要内容：一、一、矢量代数矢量代数二、二、矢量分析基础矢量分析基础（梯度、散度、旋度）（梯度、散度、旋度）三、三、几个重要定理及公式几个重要定理及公式一、矢量代数一、矢量代数1. 矢量的加、减矢量的加、减矢量的加、减，满足矢量的加、减
5、，满足平行四边形法则平行四边形法则。以两矢量为邻边作平行四边形，则平行四边形的对角线以两矢量为邻边作平行四边形，则平行四边形的对角线就是这两个矢量的和或差。就是这两个矢量的和或差。如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的和的和(差差)的分量等于这两个矢量对应分量的和的分量等于这两个矢量对应分量的和(差差)。设设，则则本书中直角坐标的三个单位矢量分别用本书中直角坐标的三个单位矢量分别用x , y , z 表示，表示，通用方法是通用方法是 再加上表示坐标轴名称的角标。再加上表示坐标轴名称的角标。2. 矢量的乘法矢量的乘法（1）两个矢量的点乘
6、）两个矢量的点乘两个矢量的点乘，乘积是一个标量，称为标积或内积。两个矢量的点乘，乘积是一个标量，称为标积或内积。设设，则则如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的标积等于这两个矢量对应分量的乘积之和。的标积等于这两个矢量对应分量的乘积之和。（2）两个矢量的叉乘）两个矢量的叉乘两个矢量的叉乘，乘积是一个矢量，称为矢积或两个矢量的叉乘，乘积是一个矢量，称为矢积或外积。其大小等于以两矢量为邻边所作平行四边外积。其大小等于以两矢量为邻边所作平行四边形的面积，方向满足右手螺旋法则。形的面积，方向满足右手螺旋法则。abab则则设设，由以上计算公式可
7、以得到：由以上计算公式可以得到：3. 三个矢量的乘积三个矢量的乘积:（1）三个矢量的混合积）三个矢量的混合积三个矢量的混合积是一个标量，其绝对值等于以这三个三个矢量的混合积是一个标量，其绝对值等于以这三个矢量为棱的平行六面体的体积。矢量为棱的平行六面体的体积。，则则三矢量的混合积一定是先叉乘，后点乘。否则无意义。三矢量的混合积一定是先叉乘，后点乘。否则无意义。注意注意:设设，利用行列式的性质，可以证明以下结论：利用行列式的性质，可以证明以下结论：（混合积）（混合积）（2）三个矢量的叉乘）三个矢量的叉乘，必定处于，必定处于a和和垂直于矢量垂直于矢量b 所决定的平面内所决定的平面内，可以用可以用a
8、和和b的线性组合来表示。的线性组合来表示。acbab计算公式为：计算公式为：（三个矢量的叉乘）（三个矢量的叉乘）注意：注意：即：即：三个矢量的叉乘，可以表示为括号内两矢量的线性组合，括三个矢量的叉乘，可以表示为括号内两矢量的线性组合，括号外的矢量与括号内距离较远的矢量点乘作为系数的一项为号外的矢量与括号内距离较远的矢量点乘作为系数的一项为正，与较近的矢量点乘作为系数的一项为负。正，与较近的矢量点乘作为系数的一项为负。“远交近攻远交近攻”形象地记做：形象地记做：在在自自然然界界中中，许许多多问问题题是是定定义义在在确确定定空空间间区区域域上上的的，在在任任何何时时刻刻，该该区区域域上上每每一一点
9、点都都有有确确定定的的量量与与之之对对应应，我我们们称称在在该该区区域域上上定定义义了了一一个个场场。如如电电荷荷在在其其周周围围空空间间激激发发的的电电场场，电电流流在在周周围围空空间激发的磁场等。间激发的磁场等。二、矢量分析基础二、矢量分析基础场的概念：场的概念：（梯度、散度和旋度的概念）（梯度、散度和旋度的概念）撇撇开开物物理理含含义义，若若一一个个量量是是空空间间坐坐标标和和时时间间的函数，则这个量叫做场。的函数，则这个量叫做场。 如如果果某某个个物物理理量量是是标标量量，空空间间每每一一点点都都对对应应着着该该物物理理的的一一个个确确定定数数值值，则则称称此此空空间间为为标标量量场场
10、。如电势场、温度场等。如电势场、温度场等。 如如果果某某物物理理量量是是矢矢量量，空空间间每每一一点点都都存存在在着着它它的的大大小小和和方方向向，则则称称此此空空间间为为矢矢量量场场。如如电电场场、速度场等。速度场等。 若若场场中中各各点点处处的的物物理理量量与与时时间间无无关关，就就称称为为恒定场。恒定场。 若物理量与坐标无关，就称为均匀场。若物理量与坐标无关，就称为均匀场。 1. 标量场的梯度标量场的梯度(Gradient of Scalar Field)方向导数是标量函数方向导数是标量函数变化率，它的数值与所取变化率，它的数值与所取在一点处沿某方向在一点处沿某方向的方向有关。在不同的方
11、向上的方向有关。在不同的方向上的值是不同的。的值是不同的。的空间的空间（1）方向导数）方向导数（2）梯度）梯度由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场在一点处的由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场在一点处的方向导数有无穷多个。方向导数有无穷多个。设等势面的法线方向为设等势面的法线方向为，由几何关系可知，电势沿等势，由几何关系可知，电势沿等势面的法线方向的方向导数最大，等于面的法线方向的方向导数最大，等于。由此引入梯度。由此引入梯度的概念。记作：的概念。记作：注意：注意：大小大小为最大的空间变化率，为最大的空间变化率，pp1p2等值面 等值面方向方向指指向标量增向标量增加最快的方向。所以说，
12、标量场的梯度是加最快的方向。所以说，标量场的梯度是一个矢量场。一个矢量场。梯度是一个矢量梯度是一个矢量增加的方向。增加的方向。它指向它指向（3）任意方向的方向导数与梯度的关系：）任意方向的方向导数与梯度的关系：是等值面是等值面上上p点法线方向单位矢量。点法线方向单位矢量。表示过表示过p2 点的任一方向。点的任一方向。显见，当显见，当时，时，所以所以pp1p2等值面 等值面该式表明：该式表明：由此不难得到：由此不难得到：这是标量场微分的计算公式。这是标量场微分的计算公式。即：即：方向上的方向导数等于梯度在该方向上的投影。方向上的方向导数等于梯度在该方向上的投影。（4）在直角坐标系中梯度的计算公式
13、：）在直角坐标系中梯度的计算公式：关于关于 算符算符在直角坐标系中，在直角坐标系中，算符是一个算符是一个矢性微分算符矢性微分算符，在不同坐标系中形式不同。，在不同坐标系中形式不同。所以，有所以，有梯度的基本运算公式：梯度的基本运算公式：解：解：=？例例1：又解又解解：解：例例2：=？2. 矢量场的散度矢量场的散度（Divergence of Vector Field）表示平均单位体积内所发出的场线的条数。表示平均单位体积内所发出的场线的条数。设闭合面设闭合面S所包围的体积为所包围的体积为，则，则 可见，散度就是空间某点处单位体积所发出的场可见，散度就是空间某点处单位体积所发出的场线的条数。线的
14、条数。（1）概念）概念 只包围一点时，上式的极限称为矢量场只包围一点时，上式的极限称为矢量场 f 在该点的散度。在该点的散度。而而当当（2）在直角坐标系中散度的计算公式）在直角坐标系中散度的计算公式（3）积分变换式）积分变换式高斯定理高斯定理（Gausss Theorem） 它能把一个矢量对闭合曲面的面积分转为该矢量它能把一个矢量对闭合曲面的面积分转为该矢量的散度对同一曲面所包围体积的体积分，反之亦然。的散度对同一曲面所包围体积的体积分，反之亦然。或或 证明证明证：证：例例3：求其中其中求3. 矢量场的旋度矢量场的旋度设闭合曲线设闭合曲线L所围面积为所围面积为，则矢量场，则矢量场 f 沿有向闭
15、合曲线沿有向闭合曲线（1）概念）概念（Rotation of Vector Field）L的环流为的环流为，设想将闭合曲线缩小到空间某一点，设想将闭合曲线缩小到空间某一点附近，那么以闭合曲线附近，那么以闭合曲线L为界的面积为界的面积 逐渐缩小，逐渐缩小，也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作即即单单位位面面积积平平均均环环流流的的极极限限。它它与与闭闭合合曲曲线线的的形形状状无无关关，但但显显然然依依赖赖于于以以闭闭合合曲曲线线为为界界的的面面积积法法线线方方向向 ，为矢量场为矢量场 f 的旋度。且规定的旋度。且规定矢矢量量场场
16、的的旋旋度度是是矢矢量量，其其方方向向与与dl 的的环环绕绕方方向向构构成成右手螺旋关系。右手螺旋关系。的方向与的方向与dl 的环绕方的环绕方向构成右手螺旋关系。向构成右手螺旋关系。为此定义为此定义所以：所以：（2）在直角坐标系中旋度的计算公式）在直角坐标系中旋度的计算公式（3）积分变换式）积分变换式斯托克斯定理斯托克斯定理（Stokes Theorem） 它能把一矢量对任意闭合曲线边界的线积分转换为该矢量它能把一矢量对任意闭合曲线边界的线积分转换为该矢量的旋度对此闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。的旋度对此闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。或或例例4：例例5：= 0= 0证证
17、证证n证明证明1. 定理定理三、定理及公式三、定理及公式（1）标量场的梯度必为无旋场）标量场的梯度必为无旋场（2）矢量场的旋度必为无散场）矢量场的旋度必为无散场（梯度的旋度恒等于（梯度的旋度恒等于0）（旋度的散度恒等于（旋度的散度恒等于0）（4）无散场可由一个矢量场的旋度来表示）无散场可由一个矢量场的旋度来表示（3）无旋场可由一个标量场的梯度来表示）无旋场可由一个标量场的梯度来表示使使成立成立成立成立使使，则必存在一个标量场，则必存在一个标量场如果如果即：即：，则必存在一个矢量场，则必存在一个矢量场 A ，如果如果即：即：2. 公式公式 （ 附录附录P.343）（1）先先根根据据算算符符的的微
18、微分分特特性性，依依次次将将它它作作用用到到每每一一个个场场量上，并标上角标。即：将表达式写成几项微分之和。量上，并标上角标。即：将表达式写成几项微分之和。（2）将将各各项项中中的的算算符符作作用用到到所所选选定定的的场场量量上上，将将其其余余场场量量移移到到算算符符的的作作用用范范围围之之外外，同同时时根根据据算算符符的的矢矢量量特特性性，检查每一项的矢量性。检查每一项的矢量性。（3）将将算符的角标去掉。算符的角标去掉。再如：再如：注意：注意：结果应是矢量，且每一项的方向均与结果应是矢量，且每一项的方向均与 f 和和 g有关。有关。若简单地将若简单地将算符作用于算符作用于 f 或或 g上，得到的表达式上，得到的表达式只与只与 f 或或 g有关，是错误的。有关，是错误的。利用公式：利用公式：得：得：（1） 算符在方向关系上是一个矢量，在运算算符在方向关系上是一个矢量，在运算（2）电动力学中会遇到）电动力学中会遇到的运算，要注意区别。的运算，要注意区别。过程中是一个微分算符。所以与普通矢量过程中是一个微分算符。所以与普通矢量注意：注意：不同，其位置不能随便写。不同，其位置不能随便写。梯度、散度、旋度等于梯度、散度、旋度等于0各有含义是什么？各有含义是什么？思考：思考：
