《高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.5 对数函数课件(理).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.5 对数函数课件(理).ppt（80页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节对数函数【知【知识识梳理】梳理】1.1.对对数的概念数的概念如果如果a ax x=N(a0,=N(a0,且且a1),a1),那么那么x x叫做以叫做以a a为为底底N N的的对对数数, ,记记作作_._.2.2.对对数的性数的性质质与运算法与运算法则则(1)(1)对对数的性数的性质质logloga a1=_;log1=_;loga aa=_.a=_.x=logx=loga aN N0 01 1(2)(2)对对数恒等式数恒等式 =_.( =_.(其中其中a0a0且且a1)a1)(3)(3)对对数的数的换换底公式底公式loglogb bN=_(a,bN=_(a,b均大于零且不等于均大于零且不
2、等于1,N0).1,N0).N N(4)(4)对对数的运算法数的运算法则则如果如果a0a0且且a1,M0,N0,a1,M0,N0,那么那么logloga a(MN)=_;(MN)=_;logloga a =_; =_;logloga aM Mn n=_(nR).=_(nR).logloga aM+logM+loga aN Nlogloga aM-logM-loga aN Nnlognloga aM M3.3.对对数函数的定数函数的定义义、图图象与性象与性质质定义定义函数函数_叫做对数函数叫做对数函数图象图象a1a10a10a0,x(a0,且且a1)a1)性质性质定义域定义域:_:_值域值域:_
3、:_当当x=1x=1时时,y=0,y=0,即过定点即过定点_当当0x10x1时时,y0;,y1x1时时,_,_当当0x10x0;,y0;当当x1x1时时,_,_在在(0,+)(0,+)上为上为_在在(0,+)(0,+)上为上为_(0,+)(0,+)(-,+)(-,+)(1,0)(1,0)y0y0y0y0(a0且且a1)a1)与与对对数函数数函数_(a0_(a0且且a1)a1)互互为为反函数反函数, ,它它们们的的图图象关于直象关于直线线_对对称称. .y=logy=loga ax xy=xy=x【特【特别别提醒】提醒】1.1.换换底公式的两个重要底公式的两个重要结论结论其中其中a0,a0,且且
4、a1,b0,a1,b0,且且b1,m,nR.b1,m,nR.2.2.对对数函数的数函数的图图象与底数大小的比象与底数大小的比较较如如图图, ,作直作直线线y=1,y=1,则该则该直直线线与四个函数与四个函数图图象交点的横坐象交点的横坐标为标为相相应应的底数的底数. .故故0cd1ab.0cd1ab.由此我由此我们们可得到以下可得到以下规规律律: :在第一象限内从左到右底数在第一象限内从左到右底数逐逐渐渐增大增大. .【小【小题题快快练练】链链接教材接教材练练一一练练1.(1.(必修必修1P75A1P75A组组T11T11改改编编)(log)(log2 29)(log9)(log3 34)=(4
5、)=() )A.A.B.B.C.2C.2D.4D.4【解析】【解析】选选D.D.方法一方法一: :原式原式= =方法二方法二: :原式原式= =2.(2.(必修必修1P68 T3(2)1P68 T3(2)改改编编) ) 的的值值是是_._.【解析】【解析】答案答案: :1 1感悟考感悟考题题试试一一试试3.(20153.(2015浙江高考浙江高考) )若若a=loga=log4 43,3,则则2 2a a+2+2-a-a=_.=_.【解析】【解析】因为因为a=loga=log4 43,3,所以所以4 4a a=3=3 2 2a a= ,= ,所以所以2 2a a+2+2-a-a答案答案: :4
6、.(20164.(2016惠州模惠州模拟拟) )若若x(ex(e-1-1,1),a=lnx,b=2lnx, ,1),a=lnx,b=2lnx, c=lnc=ln3 3x,x,则则a,b,ca,b,c的大小关系的大小关系为为_._.【解析】【解析】因为因为xx所以所以a=lnx(-1,0),b=2lnx=lnxa=lnx(-1,0),b=2lnx=lnx2 2. .又又y=lnxy=lnx是增函数是增函数,x,x2 2x,x,所以所以ba.b0,x-1)0,所以所以ca,ca,所以所以bac.bac.答案答案: :bacba0),=t(t0),所以所以t t2 2-4t+3=0,-4t+3=0,
7、解得解得t=1t=1或或t=3,t=3,当当t=1t=1时时,3,3x-1x-1=1,=1,所以所以x=1,x=1,而而9 91-11-1-50,-50,3-5=40,32-12-1-2=10,-2=10,所以所以x=2x=2满足条件满足条件, ,所以所以x=2x=2是原方程的解是原方程的解. .答案答案: :2 2考向一考向一对对数的运算数的运算【典例【典例1 1】(1)(2016(1)(2016保定模保定模拟拟) )设设2 2a a=5=5b b=m,=m,且且 =2, =2,则则m=_.m=_.(2)(2)计计算下列各式算下列各式: :lg14-2lg +lg7-lg18;lg14-2l
8、g +lg7-lg18;(lg5)(lg5)2 2+lg2lg50;+lg2lg50;(log(log3 32+log2+log9 92)(log2)(log4 43+log3+log8 83).3).【解题导引】【解题导引】(1)(1)将将2 2a a=5=5b b=m=m转化为对数函数形式转化为对数函数形式, ,代入代入 =2 =2中利用换底公式求解中利用换底公式求解. .(2)(2)利用利用logloga aM+logM+loga aN=logN=loga a(MN),log(MN),loga aM-logM-loga aN=logN=loga a , ,以及对数运算性质以及对数运算性质
9、 及换底公式求解及换底公式求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)因为因为2 2a a=5=5b b=m,=m,所以所以a=loga=log2 2m,b=logm,b=log5 5m,m,所以所以 =log =logm m2+log2+logm m5=log5=logm m10=2,10=2,所以所以m m2 2=10,m= .=10,m= .答案答案: :(2)(2)原式原式=lg(27)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(3=lg(27)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32 22)2)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.=lg2+lg7-2lg
10、7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.【一题多解】【一题多解】解答本题解答本题, ,你知道几种解法你知道几种解法? ?解答本题解答本题, ,还有以下解法还有以下解法: :原式原式=lg14-lg( )=lg14-lg( )2 2+lg7-lg18+lg7-lg18原式原式= =原式原式=(lg5)=(lg5)2 2+lg2(lg2+2lg5)+lg2(lg2+2lg5)=(lg5)=(lg5)2 2+2lg5lg2+(lg2)+2lg5lg2+(lg2)2 2=(lg5+lg2)=(lg5+lg2)2 2=1.=1.原式原式= = 【规规律方法】律方法】对对数运算的一般思路数运算的一般思
11、路(1)(1)拆拆: :首先利用首先利用幂幂的运算把底数或真数的运算把底数或真数进进行行变变形形, ,化成化成分数指数分数指数幂幂的形式的形式, ,使使幂幂的底数最的底数最简简, ,然后正用然后正用对对数运数运算性算性质质化化简简合并合并. .(2)(2)合合: :将将对对数式化数式化为为同底数同底数对对数的和、差、倍数运算数的和、差、倍数运算, ,然后逆用然后逆用对对数的运算性数的运算性质质, ,转转化化为为同底同底对对数真数的数真数的积积、商、商、幂幂的运算的运算. .【变变式式训练训练】1.(20161.(2016大大连连模模拟拟) )计计算算: : =_. =_.【解析】【解析】原式原
12、式=|log=|log2 25-2|+log5-2|+log2 25 5-1-1=log=log2 25-2-log5-2-log2 25=-2.5=-2.答案答案: :-2-22.(20162.(2016襄阳模襄阳模拟拟) )若正数若正数a,ba,b满满足足3+log3+log2 2a=a=2+log2+log3 3b=logb=log6 6(a+b),(a+b),则则 的的值为值为_._.【解析】【解析】根据题意设根据题意设3+log3+log2 2a=2+loga=2+log3 3b=logb=log6 6(a+b)=k,(a+b)=k,所以有所以有a=2a=2k-3k-3,b=3,b=
13、3k-2k-2,a+b=6,a+b=6k k, ,答案答案: :7272【加固【加固训练训练】1.1.设设a,b,ca,b,c均均为为不等于不等于1 1的正的正实实数数, ,则则下列等式中恒成立下列等式中恒成立的是的是( () )A.logA.loga ablogblogc cb=logb=logc ca aB.logB.loga ablogblogc ca=loga=logc cb bC.logC.loga a(bc)=log(bc)=loga ablogbloga ac cD.logD.loga a(b+c)=log(b+c)=loga ab+logb+loga ac c【解析】【解析】选
14、选B.B.利用对数的换底公式进行验证利用对数的换底公式进行验证, ,logloga ablogblogc ca= loga= logc ca=loga=logc cb,b,只有只有B B正确正确. .2.2.计算：计算： =_. =_.【解析】【解析】原式原式= =( log=( log3 33-log3-log3 33)log3)log5 5(10-3-2)(10-3-2)=( -1)log=( -1)log5 55=- .5=- .答案答案: :- -3.3.已知函数已知函数f(x)= f(x)= 则则f(f(1)+f( )f(f(1)+f( )的的值值是是_._.【解析】【解析】因为因为
15、f(1)=logf(1)=log2 21=0,1=0,所以所以f(f(1)=f(0)=2.f(f(1)=f(0)=2.因为因为loglog3 3 0, 0,所以所以所以所以f(f(1)+f( )=2+3=5.f(f(1)+f( )=2+3=5.答案答案: :5 5考向二考向二对对数函数的数函数的图图象及象及应应用用【典例【典例2 2】(1)(1)函数函数y=2logy=2log4 4(1-x)(1-x)的的图图象大致是象大致是( () )(2)(2)当当0x 0x 时时,4,4x xlog1a1时不满足条件时不满足条件, ,当当0a10a1时时, ,画出两画出两个函数在个函数在(0, (0,
16、上的图象上的图象, ,可知可知, ,即即2log2 ,a ,所以所以a a的取值范围为的取值范围为【一题多解】【一题多解】解答本题解答本题, ,你知道几种解法你知道几种解法? ?解答本题解答本题, ,还有以下解法还有以下解法: :选选B.B.因为因为0x ,0x ,所以所以1414x4x x1,1,所以所以0a1,0a1,排除选项排除选项C,D;C,D;取取a= ,x= ,a= ,x= ,则有则有 显然显然4 4x xlogloga ax x不成立不成立, ,排除选项排除选项A.A.【易错警示】【易错警示】解答本题解答本题(2)(2)会出现以下错误：会出现以下错误：(1)(1)不能将不等式恒成
17、立转化为两函数图象的位置关系不能将不等式恒成立转化为两函数图象的位置关系. .(2) (2) 与与 的关系不明确的关系不明确. .【母【母题变题变式】式】1.1.若本例若本例(2)(2)变为变为: :若不等式若不等式x x2 2-log-loga ax0x0对对x(0, )x(0, )恒恒成立成立, ,求求实实数数a a的取的取值值范范围围. .【解析】【解析】由由x x2 2-log-loga ax0x0得得x x2 2logloga ax,x,设设f f1 1(x)=x(x)=x2 2,f,f2 2(x)=log(x)=loga ax,x,要使要使x(0, )x(0, )时时, ,不等式不
18、等式x x2 2log1a1时时, ,显然不成立显然不成立; ;当当0a10a1时时, ,如图所示如图所示, ,要使要使x x2 2logloga ax x在在x(0, )x(0, )上恒成立上恒成立, ,需需所以有所以有( )( )2 2logloga a , ,解得解得a ,a ,所以所以 a1. a1.即实数即实数a a的取值范围是的取值范围是2.2.若本例若本例(2)(2)条件条件变为变为“当当0x 0x 时时,16,16x xlog1a1时时,16,16x x0,log0,loga ax0,x0,因此因此1616x xlogloga ax x不成不成立立; ;当当0a10a1时时,
19、,令令f(x)=16f(x)=16x x-log-loga ax,x,则只要则只要f(x)f(x)maxmax0,0,又又f(x)f(x)在在0, 0, 上是增函数上是增函数, ,因此因此f(x)f(x)maxmax=f( )=2-log=f( )=2-loga a , ,由由2-log2-loga a 0, .a .所以所以a a的取值范围为的取值范围为( ,1).( ,1).【规规律方法】律方法】利用利用对对数函数的数函数的图图象可求解的两象可求解的两类热类热点点问题问题(1)(1)对对一些可通一些可通过过平移、平移、对对称称变换变换作出其作出其图图象的象的对对数型数型函数函数, ,在求解
20、其在求解其单调单调性性( (单调单调区区间间) )、值值域域( (最最值值) )、零点、零点时时, ,常利用数形常利用数形结结合思想求解合思想求解. .(2)(2)一些一些对对数型方程、不等式数型方程、不等式问题问题常常转转化化为为相相应应的函数的函数图图象象问题问题, ,利用数形利用数形结结合法求解合法求解. .【变变式式训练训练】(2016(2016攀枝花模攀枝花模拟拟) )已知已知lga+lgb=0(a0lga+lgb=0(a0且且a1,b0a1,b0且且b1),b1),则则函数函数f(x)=af(x)=ax x与与g(x)=-logg(x)=-logb bx x的的图图象可能是象可能是
21、( () )【解析】【解析】选选B.B.因为因为lga+lgb=0,lga+lgb=0,所以所以lg(ab)=0,lg(ab)=0,所以所以ab=1,ab=1,即即b= ,b= ,故故g(x)=-logg(x)=-logb bx= =logx= =loga ax,x,则则f(x)f(x)与与g(x)g(x)互为反函数互为反函数, ,其图象关于直线其图象关于直线y=xy=x对称对称, ,结合图象知结合图象知,B,B正正确确. .【加固【加固训练训练】1.1.已知函数已知函数f(x)=logf(x)=loga a(2(2x x+b-1)(a0,a1)+b-1)(a0,a1)的的图图象如象如图图所示
22、所示, ,则则a,ba,b满满足的关系是足的关系是( () )A.0aA.0a-1-1b1b1B.0baB.0ba-1-111C.0bC.0b-1-1a1a1D.0aD.0a-1-1bb-1-111.a1.又由图象知函数图象与又由图象知函数图象与y y轴交点的纵坐标介于轴交点的纵坐标介于-1-1和和0 0之之间间, ,即即-1f(0)0,-1f(0)0,所以所以-1log-1loga ab0,b0,故故a a-1-1b1,b1,因此因此0a0a-1-1b1.b1.2.(20162.(2016石家庄模石家庄模拟拟) )设设方程方程1010x x=|lg(-x)|=|lg(-x)|的两个根的两个根
23、分分别为别为x x1 1,x,x2 2, ,则则( () )A.xA.x1 1x x2 20 B.x1 D.01 D.0x1 1x x2 211【解析】【解析】选选D.D.作出作出y=10y=10x x与与y=|lg(-x)|y=|lg(-x)|的大致图象的大致图象, ,如如图图. . 显然显然x x1 10,x0,x2 20.0.不妨设不妨设x x1 1xx2 2, ,则则x x1 1-1,-1x-1,-1x2 20, 0, 所以所以此时此时 即即lg(-xlg(-x1 1)-lg(-x)-lg(-x2 2),),由此得由此得lg(xlg(x1 1x x2 2)0,)0,所以所以0x0x1
24、1x x2 21.0(x+b)(a0且且a1)a1)的的图图象象过过两点两点(-1,0)(-1,0)和和(0,1),(0,1),则则loglogb ba=_.a=_.【解析】【解析】f(x)f(x)的图象过两点的图象过两点(-1,0)(-1,0)和和(0,1).(0,1).则则f(-1)=logf(-1)=loga a(-1+b)=0(-1+b)=0且且f(0)=logf(0)=loga a(0+b)=1,(0+b)=1,所以所以 即即 所以所以loglogb ba=1a=1答案答案: :1 1考向三考向三对对数函数的性数函数的性质质及其及其应应用用 【考情快【考情快递递】 命题方向命题方向命
25、题视角命题视角求函数的定义求函数的定义域域以对数函数为载体以对数函数为载体, ,考查函数定义域的考查函数定义域的求法求法, ,属中档题属中档题比较对数值的比较对数值的大小大小利用对数函数的性质并结合对数函数利用对数函数的性质并结合对数函数的图象进行数值的比较的图象进行数值的比较, ,属中档题属中档题【考【考题题例析】例析】命命题题方向方向1:1:求函数的定求函数的定义义域域【典例【典例3 3】(2015(2015重重庆庆高考高考) )函数函数f(x)=logf(x)=log2 2(x(x2 2+2x-3)+2x-3)的定的定义义域是域是( () )【解题导引】【解题导引】利用对数函数的性质真数
26、大于零求解利用对数函数的性质真数大于零求解. .【规范解答】【规范解答】选选D.D.由对数函数的真数大于零可知由对数函数的真数大于零可知,x,x2 2+ + 2x-30,2x-30,解得解得x-3,x1,x1,所以函数所以函数f(x)=logf(x)=log2 2(x(x2 2+2x-3)+2x-3)的定义域是的定义域是(-,-3)(1,+).(-,-3)(1,+).命命题题方向方向2:2:比比较对较对数数值值的大小的大小【典例【典例4 4】(2013(2013全国卷全国卷)设设a=loga=log3 32,b=log2,b=log5 52, 2, c=logc=log2 23,3,则则( (
27、) )A.acb B.bA.acb B.bca C.cba D.cabca C.cba D.cab【解题导引】【解题导引】结合对数函数的性质判断结合对数函数的性质判断a,b,ca,b,c的范围的范围, ,确定大小关系确定大小关系. .【规范解答】【规范解答】选选D.D.方法一方法一:a=log:a=log3 32log2log3 33=1,3=1,b=logb=log5 52log2log3log2 22=1,2=1,又又loglog3 32= ,log2= ,log5 52= ,lg3lg5,2= ,lg3log2log5 52,2,综上综上cab.cab.方法二方法二: :因为因为 23,
28、12 , 23,12 ,所以所以loglog3 3 log log3 32log2log3 33,log3,log5 51log1log5 52log2log3log2 22,2,所以所以 a1,0b1, a1,0b1,所以所以cab.cab.【技法感悟】【技法感悟】1.1.求函数的定求函数的定义义域的方法域的方法列出列出对应对应的不等式的不等式( (组组) )求解即可求解即可. .要注意要注意对对数函数的底数函数的底数和真数的取数和真数的取值值范范围围. .2.2.比比较对较对数数值值的大小的方法的大小的方法(1)(1)若底数若底数为为同一常数同一常数, ,则则可由可由对对数函数的数函数的单
29、调单调性直接性直接进进行判断行判断; ;若底数若底数为为同一字母同一字母, ,则则需需对对底数底数进进行分行分类讨类讨论论. .(2)(2)若底数不同若底数不同, ,真数相同真数相同, ,则则可以先用可以先用换换底公式化底公式化为为同同底后底后, ,再再进进行比行比较较. .(3)(3)若底数与真数都不同若底数与真数都不同, ,则则常借助常借助1,01,0等中等中间间量量进进行比行比较较. .【题组题组通关】通关】1.(20161.(2016咸阳模咸阳模拟拟) )设设a=loga=log4 4,b= ,c=,b= ,c=4 4, ,则则a,b,ca,b,c的大小关系是的大小关系是( () )A
30、.acb B.bA.acb B.bca C.cba D.cabca C.cba D.cab【解析】【解析】选选D.D.因为因为0a=log0a=log4 41,b= 0,c=1,b= 1,1,所以所以cab.cab.2.(20162.(2016肇肇庆庆模模拟拟) )函数函数y=ln(x-2)+ y=ln(x-2)+ 的定的定义义域域为为_._.【解析】【解析】要使函数有意义要使函数有意义, ,需满足需满足 解得解得2x3,200的解集的解集为为_._.【解析】【解析】因为因为f(x)f(x)是是R R上的偶函数上的偶函数, ,所以它的图象关于所以它的图象关于y y轴对称轴对称. .如图如图,
31、,因为因为f(x)f(x)在在0,+)0,+)上为增函数上为增函数, ,所以所以f(x)f(x)在在(-,0(-,0上为减函数上为减函数, ,由由f( )=0,f( )=0,得得f(- )=0.f(- )=0.所以所以 或或 x2x2或或0x ,0x0,a1),(a0,a1),若若f(x)1f(x)1在区在区间间1,21,2上恒成立上恒成立, ,则实则实数数a a的取的取值值范范围为围为_._.【解析】【解析】当当a1a1时时,f(x)=log,f(x)=loga a(8-ax)(8-ax)在在1,21,2上是减函上是减函数数, ,由由f(x)1f(x)1恒成立恒成立, ,则则f(x)f(x)
32、minmin=log=loga a(8-2a)1,(8-2a)1,解之得解之得1a ,1a ,当当0a10a1f(x)1恒成立恒成立, ,则则f(x)f(x)minmin=log=loga a(8-a)1,(8-a)1,且且8-2a0,8-2a0,所以所以a4,a4,且且a1,a0,b0,a1). (a0,b0,a1).(1)(1)讨论讨论f(x)f(x)的奇偶性的奇偶性. .(2)(2)讨论讨论f(x)f(x)的的单调单调性性. .【解析】【解析】(1)(1)要使要使f(x)f(x)有意义有意义, ,则则 0, 0,因为因为b0,b0,所以所以xbxb或或x-b,xbx|xb或或x-b.xxx2 2, ,则则u u1 1-u-u2 2= =当当x x1 1xx2 2bb时时, 0, 0,即即u u1 1ux-bx1 1xx2 2时时,u,u也为减函数也为减函数, ,所以当所以当a1a1时时,f(x)=log,f(x)=loga a 在在(-,-b)(-,-b)上为减函数上为减函数, ,在在(b,+)(b,+)上也为减函数上也为减函数. .当当0a10a1时时,f(x)=log,f(x)=loga a 在在(-,-b)(-,-b)上为增函数上为增函数, ,在在(b,+)(b,+)上也为增函数上也为增函数. .
