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1、第九章第九章 能量法能量法Energy method 9.1 概述9.2 应变能 余能9.3 卡氏定理9.4 能量法解超静定系统9.5 虚位移原理及单位力法9.1 概述概述能量法能量法: 固体力学中，把一个和功、能的概念有关的理论和方法统称为能量法能量法 恒力功恒力功: 9.2 应变能 余能1 功功: 力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物体做了功力对物体做了功变形功变形功: 在线弹性范围内在线弹性范围内广义力广义力 广义位移广义位移 轴向拉伸时外力做功扭转时外力做功弯曲时外力做功统一表示为统一表示为2 能（应变能或变形能）能（应变能或变
2、形能）应变能密度：应变能密度：单位体积内积蓄的应变能若微元各边分别为若微元各边分别为若整个体积内若整个体积内 相同相同根据能量守恒定律。贮存在物体中的应变能根据能量守恒定律。贮存在物体中的应变能 等于外力在物等于外力在物体变形过程中所做的功体变形过程中所做的功W。 三三 卡氏第一定理卡氏第一定理为最后位移 的函数卡氏第一定理卡氏第一定理卡氏第一定理卡氏第一定理应变能对于构件上某一应变能对于构件上某一位移之变化率，就等于位移之变化率，就等于与该位移相应的荷载。与该位移相应的荷载。由于 改变了 ，外力功相应改变量为四四 余功、余能及卡氏第二定理余功、余能及卡氏第二定理与外力功 之和等于矩形面积与余
3、功相应的能称为余能线弹性范围内外力功等线弹性范围内外力功等线弹性范围内外力功等线弹性范围内外力功等于余功，能等于余能。于余功，能等于余能。于余功，能等于余能。于余功，能等于余能。试计算图示结构在荷载 作用下的余能，结构中两杆的长度均为 ，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力应变曲线如图所示。解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为于是两杆横截面上的应力为由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得余能密度为9.39.39.39.3 卡氏第二定理卡氏第二定理表明余能为一系列荷载表明余能为一系列荷载 的函数的函数由于由于 改变了改变了
4、，外力余功相应改变量为，外力余功相应改变量为余能定理余能定理余能定理余能定理余能定理余能定理杆件的余能对于杆杆件的余能对于杆杆件的余能对于杆件上某一荷载的变件上某一荷载的变件上某一荷载的变化率就等于与该荷化率就等于与该荷化率就等于与该荷载相应的位移。载相应的位移。载相应的位移。在线弹性范围内在线弹性范围内在线弹性范围内在线弹性范围内卡氏第二定理卡氏第二定理卡氏第二定理卡氏第二定理卡氏第二定理卡氏第二定理线弹性范围内线弹性范围内线弹性范围内，杆件，杆件，杆件的应变能对于杆件上的应变能对于杆件上的应变能对于杆件上某一荷载的变化率，某一荷载的变化率，某一荷载的变化率，就等于与该荷载相应就等于与该荷载
5、相应就等于与该荷载相应的位移。的位移。的位移。试计算图示结构在荷载试计算图示结构在荷载 作用下作用下C C点的竖向位移，结构中两杆的点的竖向位移，结构中两杆的长度均为长度均为 ，横截面面积均为，横截面面积均为A A材料在单轴拉伸时的应力材料在单轴拉伸时的应力应变曲应变曲线如图所示。线如图所示。解：由结点解：由结点C C的平衡方程，可得两杆的轴力为的平衡方程，可得两杆的轴力为于是两杆横截面上的应力为于是两杆横截面上的应力为由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得由非线
6、性弹性材料的应力应变关系曲线可得余能密度为余能密度为五 能量法解超静定1.简单超静定问题及其解法 未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为静定问题静定问题,相应的结构称为静定结构静定结构. 未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问题超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定超静定结构或静不定结构结构. . 所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束. 未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数
7、或静不定次数. 求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡平衡, ,变形协调和物理变形协调和物理三个方面.一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用有载荷F垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为E1A1,E2A2,若横梁AB的自重不计,求两杆中的内力.L112变形协调方程试计算图示结构在荷载试计算图示结构在荷载 作用下的余能，结构中两斜杆的长度均作用下的余能，结构中两斜杆的长度均为为 ，横截面面积均为，横截面面积均为A A材料在单轴拉伸时的应力材料在单轴拉伸时的应力应变曲线如图应变曲线如图所示。求各杆内力。所示。求各杆内力。解：由结点解：由结点C C的平衡方程，得两斜杆轴力为的平衡方程，得两斜杆轴力为于是两杆横截面上的应力为于是两杆横截面上的应力为由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得余能密度为余能密度为 例例例例试计算图示结构的支座反力试计算图示结构的支座反力这种以力为基本未知量，把它的求解当作关键性问题的方法称为力法力法力法力法
