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1、xybzacd图图 9-2(2)9-2 平面应力状态下的应力研究平面应力状态下的应力研究 应力圆应力圆平面应力状态的普遍形式如平面应力状态的普遍形式如图图 9-2 a 所示所示 。单元体上有。单元体上有 x , x 和和 y , y。单元体用平面图形来表示单元体用平面图形来表示(图图9-2b)1一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力xy图图9-2 nef1、 截面法截面法截面法截面法: : 假想地沿斜截面假想地沿斜截面 ef 将单元体截分为二将单元体截分为二(图图9-2b) ,留下左边部分的单体元留下左边部分的单体元 ebf 作为研究对象作为研究对象(图图9-2c)。b befb b2 ：从：从
2、x 轴到外法线轴到外法线 n 逆时针转向为正，反之为负。逆时针转向为正，反之为负。正应力正应力 ：拉应力为正，压应力为负。：拉应力为正，压应力为负。剪应力剪应力 ：对单元体任一点的矩顺时针转为正，反之为负。：对单元体任一点的矩顺时针转为正，反之为负。xy图图9-2 nefb befb b3ebf(d) 研究对象的受力如图研究对象的受力如图 9-2d 所示所示ef设斜截面的面积为设斜截面的面积为 dAdA , eb 的面积为的面积为 dAcosdAcos ， bf 的面积为的面积为dAsindAsin b b 42、平面应力状态下、平面应力状态下, 任一斜截面任一斜截面 ( 截面截面 ) 上的应
3、力上的应力 的的 计算公式计算公式5二、主应力和主平面二、主应力和主平面主应力主应力: 主平面上的正应力称为主应力主平面上的正应力称为主应力主平面主平面: 一点处剪应力等于零的平面称为主平面一点处剪应力等于零的平面称为主平面 说明说明: 一点处必定存在这样的一个单元体一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直三个相互垂直的面均为主平面的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为三个互相垂直的主应力分别记为 1 , 2 , 3 且规定按代数且规定按代数值大小的顺序来排列值大小的顺序来排列, 即即6三、三、平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法7和和确定两个互相垂直的平面，一个是最大正
4、应力确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。8当即正应力达到极值的面上，剪应力必等于零。当即正应力达到极值的面上，剪应力必等于零。此平面为主平面。正应力的极值为主应力。此平面为主平面。正应力的极值为主应力。由公式由公式求出求出 0 0就可确定主平面的位置。就可确定主平面的位置。9将将 0 0代入公式代入公式得到得到 max max 和和 minmin( (主应力）主应力） （1 1）主应力）主应力10（2 2）主平面的位置）主平面的位置以以 1 1代表代表 maxmax作用面的方位角，作用面的方位角， 2 2代
5、表代表 minmin作用面的方位角。作用面的方位角。 11 若若 若若 12例例8-4 简支梁如图所示。已知简支梁如图所示。已知m-n截面上截面上A点的弯曲点的弯曲 正应正应力和剪应力分别为力和剪应力分别为 = - = -70MPa， = = 50MPa 。 确定确定A点的主应力及主平面的方位。点的主应力及主平面的方位。解：解：mnaA A l13解：解：A A 因为因为-62.5-62.50 0 与与 maxmax对应对应x x62.562.50 0 2626-96-96MPaMPa14 2626-96-96MPaMPa= =A A x x62.562.50 015四、四、平面应力状态分析平
6、面应力状态分析应力圆应力圆（1 1） 应力圆的概念应力圆的概念16当斜截面随方位角当斜截面随方位角 变化时变化时, 其上的应力其上的应力 , 在在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆直角坐标系内的轨迹是一个圆 ,圆心位于横坐标轴圆心位于横坐标轴 ( 轴轴 )上上,离原点的距离为离原点的距离为 半径为半径为此圆习惯上称为应力圆此圆习惯上称为应力圆 , 或称为莫尔圆。或称为莫尔圆。17C o图图 9-318o o (b)(b)（2 2）应力圆作法）应力圆作法D1量取量取 OB1 = x , B1D1 = x , 得得 D1点点B1 x x在在 - 坐标系内坐标系内 , 选定比例尺选定比例尺19o o图
7、图 9-4 9-4 (b)(b)B1 x xD1 量取量取 OB2= y , B2D2= y , 得得D2 点点D2 yB2 y20o o图图 9-4 9-4 (b)(b)B1 x xD1 y yB2D2连接连接D1D2两点的直线与两点的直线与 轴相交于轴相交于C 点点, 以以C为为圆心圆心, CD1或或CD2为半径为半径作圆作圆 C21o o (b)(b)B1 x x y yB2D2C该圆的圆心该圆的圆心 C 点到点到 坐标坐标原点的原点的 距离为距离为 半径为半径为该圆就是相应于该单元体该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆应力状态的应力圆D1 点的坐标为点的坐标为 ( x , x ) 因
8、而因而 D1 点代表单元体点代表单元体 x 平面上的应力平面上的应力 。D122x x D2o o B1 x x y yB2Ce ef f （3 3）利用应力圆求单元体上任一）利用应力圆求单元体上任一 截面上的应力截面上的应力从应力圆的半径从应力圆的半径 CD 1 按方位角按方位角 的转向转动的转向转动 2 2 , 得到半径得到半径 CE , 圆周上圆周上 E 点的点的 坐标坐标 就依次为就依次为 。（ 证明略证明略证明略证明略 ）2 2 E ED123说明说明说明说明点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标。应于应力
9、圆上某一点的坐标。夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。 oc2 AB 24o o图图 9-4 9-4 (b)(b)B1 x xD1 y yB2D2Ce ef f 2 2 E E25o o （4 4）利用应力圆求主应力）利用应力圆求主应力数值和主平面位置数值和主平面位置 xD1 y yB2D2C主应力数值主应力数值A1和和 A2两点为与主平面两点为与主平面对应的点，其横坐标对应的点，其横坐标 为主应力为主应力 1 , 226o o xC yB2 D1 yD2
10、（9-3）（9-4）27o o xD1 y yB2D2C主平面方位主平面方位2由由顺时针转顺时针转到到所以从所以从 x 轴顺时针转轴顺时针转（负值）即负值）即到到 1对应的对应的主平主平 面的外法线面的外法线 确定后，确定后， 1 对应的对应的主平面方位即确定。主平面方位即确定。28o o xD1 y yB2D2C2（9-5）29由此可定出主应力由此可定出主应力1 所在所在平面的位置。由于平面的位置。由于 A1A2 为为应力圆的直径应力圆的直径, 则则 2 所在的所在的另一主平面与另一主平面与 1 所在的主平所在的主平面垂直面垂直 ( 如图如图 9-4 c所示所示 ) 。o o xD1 y y
11、B2D2C230xo o xD1 y yB2D2C2x x 平面应力圆画法平面应力圆画法 应力圆作法总结应力圆作法总结31例题例题9-1 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, x= - 1MPa , y= - 0.4MPa , x= - 0.2MPa , y= 0.2MPa , 绘出相应的应力圆绘出相应的应力圆确定此单元体在确定此单元体在 =30和和 = - 40两斜面上的应力。两斜面上的应力。x32 oB1D1(-1,-0.2)D2(-0.4,0.2)C解解: (1) 画应力圆画应力圆OB2 = y= - 0.4MPa 和和 B2D2 = y = 0.2
12、MPa , 定出定出 D2 点点 . OB1 = x= - 1MPa , B1 D1 = x= - 0.2MPa,定出定出 D1点点;以以 D1 D2 为直径绘出的圆即为应力圆。为直径绘出的圆即为应力圆。33将将 半径半径 CD1 逆时针转动逆时针转动逆时针转动逆时针转动 2 2 = 60 = 60到半径到半径 CE, E 点的坐标就点的坐标就代表代表 = 30斜截面上的应力。斜截面上的应力。(2) 确定确定 = 30斜截面上的应力斜截面上的应力 oB1D1(-1,0.2)D2(-0.4,0.2)CE E34(3) 确定确定 = - 40斜截面上的应力斜截面上的应力将将 半径半径 CDCD1
13、1 顺时针转顺时针转顺时针转顺时针转 2 2 = 80 = 80到半径到半径 CF, F 点的坐标就代表点的坐标就代表 = - 40斜截面上的应力。斜截面上的应力。 oB1D1(-1,0.2)D2(-0.4,0.2)CF35xy36例题例题 9-2 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图 a , b 所示所示，梁的横截面尺寸示于图，梁的横截面尺寸示于图 c 中。试绘出截面中。试绘出截面 c 上上 a , b 两点处两点处的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。250KN1.6m2mABC(a)12015152709zab
14、单位：单位：mm(c)37250KN1.6m2mABC+200KN50KN+80KM.m解解: : 首先计算支反力首先计算支反力, 并作出并作出 梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图MC = 80 kNmQC左左 = 200 kN3812015152709zab单位：单位：mm横截面横截面C上上a 点的应力为点的应力为39a 点的单元体如图所示。点的单元体如图所示。 由由定出定出点点由由定出定出点点以以D1D2为直径作应力圆。为直径作应力圆。oC(122.5 , 64.6)(0 , - 64.6)40oC(122.5 , 64.6)(0 , - 64.6)A1，A2两点的横坐标分别代表两点的横
15、坐标分别代表 a 点的两个主应力点的两个主应力 1 和和 3。A1A241oC(122.5 , 64.6)(0 , - 64.6)A1A2A1 点对应于单圆体上点对应于单圆体上 1 所在的主平面所在的主平面主平面及主应力如图所示。主平面及主应力如图所示。4212015152709zab单位：单位：mmb点的单元体如图所示。点的单元体如图所示。43 B点的三个主应力为点的三个主应力为 1所在的主平面就是所在的主平面就是 x 平面平面 , 即梁的横截面即梁的横截面 C 。44a a解析法求解析法求a点的主平面和主应力点的主平面和主应力 0 0 = =因为因为所以所以150150-27-2745补充题：单元体应力状态如图。用解析法和图解法求：补充题：单元体应力状态如图。用解析法和图解法求： 主应力，并在单元体中画出主应力方向。主应力，并在单元体中画出主应力方向。5020(1) 解析法解析法=57-7465020因为因为 x x y y，所以，所以470 5020(2) 图解法图解法D1D2CA1A22 048(3) 画主应力方向画主应力方向 49
