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1、数学归纳法的运用数学归纳法的运用苍南中学:叶思迁2005年年3月月 数学归纳法在恒等式问题、整除问题、几何问题、归纳猜测问题及不等式问题中有着广泛的运用。例例4 4、用数学、用数学归纳法法证明：明： 42n+1+3n+2(nN* ) 42n+1+3n+2(nN* )能被能被1313整除。整除。证明：明：1 1n=1n=1时：4 21+1+31+2=914 21+1+31+2=91，能被，能被1313整除。整除。 2 2假假设当当n=k(kNn=k(kN) )时, 42k+1+3k+2, 42k+1+3k+2能被能被1313整除，整除，当当n=k+1n=k+1时：42(k+1)+1+3(k+1)
2、+2 = 4(2k+1)+2+3(k+2)+142(k+1)+1+3(k+1)+2 = 4(2k+1)+2+3(k+2)+1=16(42k+1+3k+2)-133k+2 (=16(42k+1+3k+2)-133k+2 () )42k+1+3k+242k+1+3k+2及及133k+2133k+2均能被均能被1313整除整除,(,() )式能被式能被1313整整除。除。 42(k+1)+1+3(k+1)+2 42(k+1)+1+3(k+1)+2也能被也能被1313整除，即当整除，即当n=k+1n=k+1时命命题仍成立。仍成立。由由1 1、2 2可知，可知，对一切一切nNnN原命原命题均成立。均成立
3、。中心步中心步骤多退少多退少补密密诀例例5 5、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明： x2n-y2n x2n-y2n能被能被x+yx+y整除整除(n(n为正整数为正整数) )。证明：明：1 1n=1n=1时： x2-y2=(x+y)(x-y), x2-y2=(x+y)(x-y),能被能被x+yx+y整除，命整除，命题成立。成立。2 2假假设当当n=k(kNn=k(kN) )时有有x2k - y2kx2k - y2k能被能被x+yx+y整除整除, , 当当n=k+1n=k+1时由由1 1、2 2可知，可知，对一切一切nNnN， x2n-y2n x2n-y2n都能被都能被x+yx+y整除。整除。
4、 =(x2k - y2k)x2 +y2k(x2 - y2) =(x2k - y2k)x2 +y2k(x2 - y2) (x2k - y2k) (x2k - y2k)和和(x2 - y2)(x2 - y2)都能被都能被x+yx+y整除，整除， 式也能被式也能被x+yx+y整除。即：整除。即：n=k+1n=k+1时命命题也成立也成立中心步中心步骤多退少多退少补密密诀例例6 6、求证：当、求证：当n n取正奇数时，取正奇数时，xn+ynxn+yn能被能被x+yx+y整除。整除。证明：明：1 1n=1n=1时：x1+y1=x+yx1+y1=x+y，能被，能被x+yx+y整除，命整除，命题成立。成立。2
5、 2假假设n=k(kn=k(k为正奇数正奇数) )时，有，有xk+ykxk+yk能被能被x+yx+y整除整除, ,当当n=k+2n=k+2时:xk+2+yk+2 =xkx2 :xk+2+yk+2 =xkx2 +yky2 +yky2 = xkx2+ykx2-ykx2 +yky2= xkx2+ykx2-ykx2 +yky2=(xk+yk)x2 - yk(x2-y2)=(xk+yk)x2 - yk(x2-y2)=(xk+yk)x2 - yk(x-y)(x+y), =(xk+yk)x2 - yk(x-y)(x+y), 以上两以上两项均能被均能被x+yx+y整除，整除，xk+2+yk+2xk+2+yk+
6、2能被能被x+yx+y整除，整除，即当即当n=k+2n=k+2时命命题仍成立。仍成立。 由由1 1、2 2可知，可知，对一切正奇数一切正奇数n n，都有，都有xn+ynxn+yn能被能被x+yx+y整除。整除。平面上有平面上有 条直条直线，恣意两条，恣意两条不平行，恣意三条不共点不平行，恣意三条不共点.求求证： 共有交点共有交点 个个 构成构成线段或射段或射线 条条 把平面分成把平面分成 部分部分.例例8 8、知数列、知数列anan中，中，a1= ,a1= ,其前其前n n项和和SnSn满足：足： (n2) (n2)，计算算S1S1，S2S2，S3S3，S4S4，猜，猜测SnSn，并，并证明之
7、。明之。 解：解：S1=a1= ,S2= ,S3= ,S4= .S1=a1= ,S2= ,S3= ,S4= .猜测：猜测：Sn= Sn= ，下证明之。，下证明之。证明：明：1 1n=1n=1时由前可知，猜由前可知，猜测正确。正确。 2 2假假设当当n=k(kNn=k(kN) )时有：有：Sk= ,Sk= ,当当n=k+1n=k+1时猜猜测仍正确。仍正确。由由1 1、2 2可知，可知，对一切一切nNnN猜猜测均正确。均正确。例例9、 当当n=k+1n=k+1时，不等式仍成立。，不等式仍成立。由由1 1、2 2可知，可知，对一切一切nN nN ，原不等式均成立。，原不等式均成立。练习：1 1、求证
8、：、求证：n3+5nn3+5n能被能被6 6整除。整除。2 2、证明凸、证明凸n n边形对角线条数为边形对角线条数为 f(n)= (n f(n)= (n 4)4)。3 3、数列、数列anan和和bnbn满足满足an,bn,an+1an,bn,an+1成等差数成等差数列，列，bn,an+1,bn+1bn,an+1,bn+1成等比数列。知成等比数列。知a1=1,b1=2,a2=3,a1=1,b1=2,a2=3,求求a4,b4,a4,b4,并猜测并猜测an,bn,an,bn,用数学归纳法证明。用数学归纳法证明。3 3、 数学归纳法的运用之二：1 1、证明整除明整除问题时留意构造的技巧留意构造的技巧-
9、多多退少退少补，常用增，常用增项减减项或拆或拆项的方法；的方法；2 2、证明几何明几何问题时留意理清留意理清n n从从k k到到k+1k+1时几何量的几何量的变化情况；化情况；3 3、“归纳、猜、猜测，然后，然后证明其正确性明其正确性是一种常用的分析是一种常用的分析问题、处理理问题的方的方法。法。4 4、证明不等式明不等式时常用放常用放缩法。法。作业：1、仔细领会、琢磨数学归纳法的运用规律、仔细领会、琢磨数学归纳法的运用规律及题型特点。及题型特点。2、完成、完成中的相关内容中的相关内容祝同窗们学习愉快祝同窗们学习愉快 人人成果优良！人人成果优良！2004，11，20哥哥德德巴巴赫赫猜猜测n德国
10、数学家哥德巴赫德国数学家哥德巴赫经过察看察看,发现一个有趣的一个有趣的景象：任何大于景象：任何大于5的整数的整数,都可以表示都可以表示为三个三个质数的和数的和,他猜他猜测这个命个命题是正确的是正确的,但他本人无但他本人无法法给予予证明明.1742年年6月月6日日,哥德巴赫去哥德巴赫去讨教当教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉欧拉经过反复研反复研讨,发现问题的关的关键在于在于证明恣意大于明恣意大于2的偶数的偶数能表示能表示为两个两个质数的和数的和.于是于是,欧拉欧拉对大于大于2的偶的偶数逐个加以数逐个加以验算算,最后欧拉猜最后欧拉猜测上述上述结论是正确是正确的。的。6月月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于任何大于2的偶数都是两个的偶数都是两个质数的和，数的和，虽然我然我还不能不能证明它，但我确信无疑明它，但我确信无疑这是完全正确的是完全正确的定理。定理。这就是著名的哥德巴赫猜就是著名的哥德巴赫猜测.前前往往
