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1、18.2.318.2.3正方形的判定正方形的判定18.2.3 18.2.3 18.2.3 18.2.3 第第第第2 2 2 2课时课时课时课时1. 你觉得什么样的四边形是正方形呢你觉得什么样的四边形是正方形呢?( ?( 判断一个四边形是正方形有哪些方法？）判断一个四边形是正方形有哪些方法？）2平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正正方方形形正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？3平行四边形平行四边形正方形正方形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角1 1、 正方形正方形菱形菱形 2 2、一内角是直角一内角是直角矩形矩形3
2、3、一组邻边相等一组邻边相等正方形正方形正方形的判定方法：正方形的判定方法：(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）可从平行四边形、矩形、菱形为基础）对角线相等对角线相等对角线互相垂直对角线互相垂直45种判种判定方法定方法三个角是直角三个角是直角四条边相等四条边相等一一个个角角是是直直角角或或对对角角线线相相等等一组邻边相等一组邻边相等或对角线垂直或对角线垂直一组邻边相等一组邻边相等或对角线垂直或对角线垂直一个角是直角一个角是直角或对角线相等或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结5正方形的判定
3、方法正方形的判定方法1：w定义:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形w求证:四边形ABCD是正方形.w证明:四边形ABCD是平行四边形,A=900,又AB=BC,四边形ABCD是正方形.w已知:四边形ABCD是平行四边形,A=900.AB=BCABCD四边形ABCD是矩形.6正方形的判定方法正方形的判定方法2：w有一个组邻边相等的矩形是正方形有一个组邻边相等的矩形是正方形w求证:四边形ABCD是正方形.w证明:四边形ABCD是矩形,又AB=BC,AB=BC=CD=AD四边形ABCD是正方形.w已知:四边形ABCD是矩形,AB=BC.A
4、BCDA=B=C=D=90，AD=BC,AB=CD.7正方形的判定方法正方形的判定方法3w有一个角是直角的菱形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形. .w求证:四边形ABCD是正方形.w分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.w证明:AB=BC,C=A=900,B=1800-A=900.A=B=C=900.四边形ABCD是矩形.四边形ABCD是菱形,A=900,AB=BC,四边形ABCD是正方形.w已知:四边形ABCD是菱形,A=900.ABCD8w对角线互相垂直的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形. .w求证:四边形ABCD是正方形.w证明:ABC=9
5、00,四边形ABCD是平行四边形.ACBD,四边形ABCD是菱形.ABC=900.四边形ABCD是矩形,四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是矩形,且ACBD.ABCDO正方形的判定方法正方形的判定方法49w对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形.w求证:四边形ABCD是正方形.w证明:AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.AC=BD,四边形ABCD是矩形.AB=BC,四边形ABCD是菱形,四边形ABCD是正方形.w已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.ABCDO正方形的判定方法正方形的判定方法510归纳：归纳：正方形的正方形的5种判定方法种判定方法w2 2、有一
6、个组邻边相等的矩形是正方形、有一个组邻边相等的矩形是正方形w3 3、有一个角是直角的菱形是正方形、有一个角是直角的菱形是正方形. .w4 4、对角线互相垂直的矩形是正方形、对角线互相垂直的矩形是正方形. .w5 5、对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形.w1、定义:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形11(1)(1)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）(2)(2)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形是正方形 （ ）(3)(3)如果一个
7、矩形的对角线互相垂直，那么它如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形一定是正方形 （ ）(4)(4)四条边相等，且有一个角是直角的四边形四条边相等，且有一个角是直角的四边形 是正方形（是正方形（ ）(5)(5)四个角都相等的四边形是正方形四个角都相等的四边形是正方形 ( )( )(6)(6)四条边都相等的四边形是正方形四条边都相等的四边形是正方形 ( )( )练习练习练习练习1 1 1 1判断题判断题判断题判断题: :12 1、下列命题正确的是（、下列命题正确的是（ ） A、四个角都相等的四边形是正方形、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形、四条边都相等的四
8、边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形、对角线互相垂直的矩形是正方形D例1:13 练习2四个内角都相等的四边形一定是（四个内角都相等的四边形一定是（ ）A、正方形、正方形 B、菱形、菱形 C、矩形、矩形 D、平行四边形、平行四边形练习 3在四边形在四边形ABCD中，中，O是对角线的交点是对角线的交点能判定这个四边形是正能判定这个四边形是正 方形的是：（方形的是：（ ）AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCOBODOABBC DACBD CA14练习4 四个内角都相等，四条边也都相等四个内角都相等，四条
9、边也都相等 的四边形一定是：（的四边形一定是：（ ）A正方形正方形 B菱形菱形 C矩形矩形 D平行四边形平行四边形A15练习练习5 5、已知四边形、已知四边形ABCDABCD是平行四边形，对角线是平行四边形，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O。若若AB=BC，则四边形，则四边形ABCD是（是（ ）若若AC=BD，则四边形，则四边形ABCD是（是（ ）若若 BCD=900，则四边形，则四边形ABCD是（是（ ）若若OA=OB，则四边形，则四边形ABCD是（是（ ）若若AB=BC，且，且AC=BD，则四边形，则四边形ABCD是是 （ ）菱形菱形矩形矩形矩形矩形矩形矩形正方形正方形16例
10、例2 2、直角三角形、直角三角形ABCABC中，中，CDCD平分平分ACBACB交交ABAB于于D D，DEACDEAC，DFABDFAB。求证：四边形。求证：四边形CEDFCEDF是是正方形。正方形。ABCDEF四边形四边形ABCDABCD是正方形（是正方形（ ) ) DE=DF( ) DE=DF( )DEACDEAC， DFBCDFBC CD CD平分平分ACBACB 四边形四边形ABCDABCD为矩形为矩形( )( )而而ACB=90ACB=90 DEC=90 DEC=90， DFC=90DFC=90证明：证明： DEAC DEAC，DFABDFAB有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是
11、直角的四边形是矩形角平分线的定理角平分线的定理有一组邻边相等的矩形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形17 已知已知: :正方形正方形ABCDABCD中中, ,点点E E、F F、G G 、H H分别是分别是AB AB 、BC BC 、CD CD 、DADA的中点的中点, ,试判试判断四边形断四边形EFGHEFGH是正方形吗是正方形吗? ?为什么为什么? ?达标检测达标检测达标检测达标检测5 5 5 518 达标检测6：已知已知: :正方形正方形ABCDABCD中中, ,点点E E、F F、G G 、H H分别在分别在AB AB 、BC BC 、CD CD 、DADA上上, ,且且AE=BF=
12、CG=DH,AE=BF=CG=DH,试判断四边形试判断四边形EFGHEFGH是正方形吗是正方形吗? ?为什么为什么? ?12319 例4：已知已知: :正方形正方形ABCDABCD中中, ,点点E E、F F、G G 、H H分别在分别在AB AB 、BC BC 、CD CD 、DADA上上, ,且且AE=BF=CG=DH,AE=BF=CG=DH,试判断四边形试判断四边形EFGHEFGH是正方形吗是正方形吗? ?为什么为什么? ?123证明：证明： 四边形四边形ABCD是正方形是正方形 A= B= C=D=90，AB=AD=DC=BC又又 AE=BF=CG=DHAB-AE=AD-DH=DC-C
13、G=BC-BF即即BE=AH=DG=CF AEHBFE CGF DHG EH=EF=GF=HG 1=3又又 3+2=90 1+2=90 EFH=90 四边形四边形EFGH是正方形是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形）有一个角是直角的菱形是正方形） 20 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路使得两条直的小路将花坛在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分平均分成面积相等的四部分(不考虑道路的宽度不考虑道路的宽度).你有几种方法？你有几种方法？设计花坛设计花坛2122例例2 2、已知：如图、已知：如图(4)(4)在正方形在正方形ABCDABCD中
14、，中，F F为为CDCD延长线上一点，延长线上一点，CEAFCEAF于于E E，交，交ADAD于于M M，求，求证：证：MFDMFD4545证明：证明：DM=DFDM=DFRtADFRtCDMRtADFRtCDM(ASA)(ASA)又又ADADCDCD，ADFADFMDC=90MDC=901122又又CMDCMDAME AME （对顶角）（对顶角）ADCADCAEMAEM9090CEAF CEAF 四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形MFDMFD454523例例3：如图，已知：如图，已知RtABC中，中，C=900，A、B的角平分线相交于点的角平分线相交于点D，DEBC于点于点E，DF
15、AC于点于点F，求证：四边形求证：四边形AEDF是正方形。是正方形。DABCEFM24. 1 1、在正方形、在正方形ABCDABCD中，中，AC=10AC=10，P P是是ABAB上任意一点，上任意一点，PEACPEAC于点于点E E，PFBDPFBD于点于点F F，求，求PE+PFPE+PF的值。的值。ABCDEPFO25思考题：思考题： 如图正方形如图正方形ABCDABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O O，O O又是另一个正方形又是另一个正方形OEFGOEFG的一个顶点，若的一个顶点，若正方形正方形OEFGOEFG绕点绕点O O旋转，在旋转的过程中旋转，在旋转的过程中. .探究探究2
16、:2:若正方形若正方形OEFGOEFG与正方形与正方形ABCDABCD两边分别相交于两边分别相交于M NM N，试判断线段，试判断线段AMAM于于BNBN之间的关系之间的关系. .探究探究1:1:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？探究探究3:3:若正方形若正方形ABCDABCD的边长为的边长为1 1，则阴影部分面积，则阴影部分面积BMONBMON为多少？为多少？26例例5、如图，点、如图，点M是矩形是矩形ABCD边边AD的中点，的中点，2ABAD，点点P是边是边BC上一动点，上一动点，PEMC，PFMB，垂足分别为，垂足分别为E、F，求点，求点P运
17、动到什么位置时，四边形运动到什么位置时，四边形PEMF为正方形？为正方形？ 272 2、已知，如图在、已知，如图在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADBCADBC，垂足为点，垂足为点D D，ANAN是是ABCABC外角外角CAMCAM的平分线，的平分线，CEANCEAN垂足为点垂足为点E E，求证：四边形求证：四边形ADCEADCE是矩形。是矩形。当当ABCABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形 ADCEADCE是正方形，说明理由。是正方形，说明理由。ABCEMND283、如图、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形是同一直线上的三个点，四边形ABCD与与CEFG是正
18、方形，连接是正方形，连接BG、DE（1）观察、猜想）观察、猜想BG与与DE之间的大小关系，并说明理由。之间的大小关系，并说明理由。（2）正方形）正方形CEFG在绕点在绕点C旋转过程中，旋转过程中，BG与与DE之间的关系是否仍然成立。之间的关系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC294、如图，、如图，M为正方形为正方形ABCD边边AB的中点，的中点，E是是AB延长线上一点，延长线上一点，MNDM，且交，且交CBE的平分线于点的平分线于点N。（1）求证：）求证：MD=MN（2）若将上述条件中的）若将上述条件中的“M是是AB的中点的中点”改为改为“M为为AB上任意一点上任意一点”，其它条件不变，其它条件不变，问结论问结论MD=MN是否仍然成立。是否仍然成立。ABCDMENFABCDENMP305 5、在、在ABCABC中中,AB=AC,D,AB=AC,D是是BCBC的中点的中点,DEAB,DEAB,DFAC,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.1)1)试说明试说明:DE=DF:DE=DF2)2)只添加一个条件只添加一个条件, ,使四边形使四边形EDFAEDFA是正方形是正方形. .请你至少写出两种不同的添加方法请你至少写出两种不同的添加方法.(.(选择其中一种进行证明选择其中一种进行证明) )31
