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1、第九章第九章 常微分方程初值问题数值解法常微分方程初值问题数值解法9.1 引言9.2 简单的数值方法与基本概念9.3 龙格库塔方法9.4 单步法的收敛性与稳定性9.5 线性多步法9.6 方程组和高阶方程9.1 引言引言 本章讨论一阶常微分方程的初值问题:只要函数 适当光滑如满足利普希茨条件:理论上就能保证初值问题的解 存在并且唯一。 所谓数值解法,就是寻求解 在一系列离散点上的近似值 ,相邻两个点间的距离 称为步长。一般情况下我们取为常数,这是节点为:9.1 引言引言 初值问题的求解有一个基本特点,它们都是采取“步进式”求解的,即,一步一步地求函数的值。 求解的主要方法是:先对方程进行离散化,
2、建立求数值解的递推公式,一类在计算 时只用到前面一步的 ,称为单步法。另一类在计算 时除了用到理论上就能保证初值问题的解 存在并且唯一。 所谓数值解法,就是寻求解 在一系列离散点上的近似值 ,相邻两个点间的距离 称为步长。一般情况下我们取为常数,这是节点为: 初值问题的求解有一个基本特点,它们都是采取“步进式”求解的,即,一步一步地求函数的值。 求解的主要方法是:先对方程进行离散化,建立求数值解的递推公式,一类在计算 时只用到前面一步的 ,称为单步法。另一类在计算 时除了用到前利用前面一步的 ,还要用到前面的 等,这种方称为多步法。 其次,要研究公式的局部截断误差和阶。数值解和精确解的误差估计
3、和收敛性,还有递推迭代公式的数值稳定性问题。n显式欧拉法 在 平面上,微分方程初值问题的解 称作方程的积分曲线。积分曲线上每一点 的斜率等于该点的函数值 。如果按函数 在 平面上建立一个方向场,那么,积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向一致。方称为多步法。 其次,要研究公式的局部截断误差和阶。数值解和精确解的误差估计和收敛性,还有递推迭代公式的数值稳定性问题。9.2 简单的数值方法与基本概念简单的数值方法与基本概念n显式欧拉法 在 平面上,微分方程初值问题的解 称作方程的积分曲线。积分曲线上每一点 的斜率等于该点的函数值 。如果按函数 在 平面上建立一个方向场,那么,积分曲线上每一
4、点的切线方向均与方向场在该点的方向一致。 基于上面的几何解释,我们从初始点 出发,先依方向场在该点的方向推进到 上一点 ,然后再从 依方向场的方向推进到 上一点 ,循此前进做出一条折线 。9.2 简单的数值方法与基本概念简单的数值方法与基本概念 一般地,设已做出该折线上的顶点 ,过 依方向场的方向再推进到 ,显然两个顶点 的坐标有如下关系即 基于上面的几何解释,我们从初始点 出发,先依方向场在该点的方向推进到 上一点 ,然后再从 依方向场的方向推进到 上一点 ,循此前进做出一条折线 。 一般地,设已做出该折线上的顶点 ,过 依方向场的方向再推进到 ,显然两个顶点 的坐标有如下关系即这就是著名的
5、欧拉公式。若初值 已知,则依该公式可逐步算出: 例1 求解初值问题:(其解为 )解:根据欧拉方法,得到:这就是著名的欧拉公式。若初值 已知,则依该公式可逐步算出: 例1 求解初值问题:(其解为 )解:根据欧拉方法,得到:取步长 ,计算得到如下结果:0.11.10001.09540.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43151.41421.01.78481.7321n隐式欧拉法 在前面的讨论中,近似计算公式可以看成是
6、由 在区间 上积分得到,而右边的积分是利用左矩形公式 近似,再以 代替 得到,现在右端的积分用右矩形公式,则得到:取步长 ,计算得到如下结果:0.11.10001.09540.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43151.41421.01.78481.7321n隐式欧拉法 在前面的讨论中,近似计算公式可以看成是由 在区间 上积分得到,而右边的积分是利用左矩形公式 近似,再以 代替 得到,现在右端的积分用右矩形公式,
7、则得到:此式的右端包含 ,是一种隐式的单步法,称为隐式欧拉方法。利用此法,每一步都要把该式作为 的方程来求解。从数值积分的误差来分析,很难期望隐式欧拉方法比显式欧拉方法精确。为了得到更精确的方法,我们用梯形公式来近似前面的积分,得到梯形方法:它也是一种隐式单步法。n改进的欧拉法 从梯形法的推导,可望它比欧拉法更精确,但它计算量较大,在实际计算中,可取欧拉法的结果为迭代计算 的初值,然后再用梯形公式计算一次,得到:欧拉方法。利用此法,每一步都要把该式作为 的方程来求解。从数值积分的误差来分析,很难期望隐式欧拉方法比显式欧拉方法精确。为了得到更精确的方法,我们用梯形公式来近似前面的积分,得到梯形方
8、法:它也是一种隐式单步法。n改进的欧拉法 从梯形法的推导,可望它比欧拉法更精确,但它计算量较大,在实际计算中,可取欧拉法的结果为迭代计算 的初值,然后再用梯形公式计算一次,得到:或写成:改进的欧拉法是一种显式单步法,有时为了计算方便,也用下面的公式: 其中:n单步法的截断误差与阶 初值问题的单步法可用一般形式表示为:其中多元函数 与 有关,当 含有 时,方法是隐式的,不含 时则为显式的,所以显式单步法可表示为:称 为增量函数,对于欧拉法,或写成:改进的欧拉法是一种显式单步法,有时为了计算方便,也用下面的公式: 其中:n单步法的截断误差与阶 初值问题的单步法可用一般形式表示为:其中多元函数 与
9、有关,当 含有 时,方法是隐式的,不含 时则为显式的,所以显式单步法可表示为:称 为增量函数,对于欧拉法,为了分析其截断误差,我们将 在 处作泰勒展开,得到: 假设 是精确的,于是可得欧拉法计算公式的误差为: 定义1 设 是初值问题的准确解,称为显式单步法 的局部截断误差。 之所以称为局部的,是假设在 前各步没有误差,当 时,计算一步,则有开,得到: 假设 是精确的,于是可得欧拉法计算公式的误差为: 定义1 设 是初值问题的准确解,称为显式单步法 的局部截断误差。 之所以称为局部的,是假设在 前各步没有误差,当 时,计算一步,则有所以,局部截断误差可以理解为用计算的方法计算一步的误差,这样,欧
10、拉法的局部截断误差为:这里 称为局部截断误差主项,显然 一般情况下的定义如下: 定义2 设 是初值问题的准确解,若存在最大整数 使显式单步法的局部误差满足则称该方法具有 阶精度。若将上式展开成则 称为局部截断误差主项。所以,局部截断误差可以理解为用计算的方法计算一步的误差,这样,欧拉法的局部截断误差为:这里 称为局部截断误差主项,显然 一般情况下的定义如下: 定义2 设 是初值问题的准确解,若存在最大整数 使显式单步法的局部误差满足则称该方法具有 阶精度。若将上式展开成则 称为局部截断误差主项。 以上定义对隐式单步法也适用,如对后退欧拉法,其局部截断误差为:这里 ,是1阶方法,局部截断误差主项
11、为 同样,对梯形方法有:所以梯形方法是2阶的,其局部误差主项为: 以上定义对隐式单步法也适用,如对后退欧拉法,其局部截断误差为:这里 ,是1阶方法,局部截断误差主项为 同样,对梯形方法有:所以梯形方法是2阶的,其局部误差主项为:n改进欧拉法的例 梯形法精度得到提高,但算法复杂,计算量大。为了控制计算量,通常只迭代一两次就转入下一步的计算,这样就可以简化计算。 具体做法:先用欧拉公式求一个初值 ,称为预测值,再用梯形公式校正一次,这样建立的公式通常称为改进的欧拉公式:预测:校正:或表示为:所以梯形方法是2阶的,其局部误差主项为:n改进欧拉法的例 梯形法精度得到提高,但算法复杂,计算量大。为了控制
12、计算量,通常只迭代一两次就转入下一步的计算,这样就可以简化计算。 具体做法:先用欧拉公式求一个初值 ,称为预测值,再用梯形公式校正一次,这样建立的公式通常称为改进的欧拉公式:预测:校正:或表示为:例:用改进的欧拉方法求解初值问题:解:仍取 ,计算结果如表0.11.09591.09540.61.48601.48320.21.18411.18320.71.55251.54920.31.26621.26490.81.61531.61250.41.34341.34160.91.67821.67330.51.41641.41421.01.73791.7321n显式龙格库塔法的一般形式 欧拉法的局部截断误
13、差为 ,是1阶的方法对于改进的欧拉法,它可表示为:此时增量函数例:用改进的欧拉方法求解初值问题:解:仍取 ,计算结果如表0.11.09591.09540.61.48601.48320.21.18411.18320.71.55251.54920.31.26621.26490.81.61531.61250.41.34341.34160.91.67821.67330.51.41641.41421.01.73791.73219.3 龙格库塔方法龙格库塔方法n显式龙格库塔法的一般形式 欧拉法的局部截断误差为 ,是1阶的方法对于改进的欧拉法,它可表示为:此时增量函数它比欧拉法的 多计算了一个函数值,可望
14、,若要使得到的公式阶数更大, 就必须包含更多的 值,实际上从方程 等价的积分形式,即 (*)9.3 龙格库塔方法龙格库塔方法要使公式的阶数提高,就必须使右端积分的数值求积公式精度提高,它必然要增加求积节点,为此可将(*)的右端用求积公式表示为:一般来说,点数 越多,精度越高,上式右端相当于增量函数 ,为得到便于计算的显式方法,可它比欧拉法的 多计算了一个函数值,可望 ,若要使得到的公式阶数更大, 就必须包含更多的 值,实际上从方程 等价的积分形式,即 (*)要使公式的阶数提高,就必须使右端积分的数值求积公式精度提高,它必然要增加求积节点,为此可将(*)的右端用求积公式表示为:一般来说,点数 越
15、多,精度越高,上式右端相当于增量函数 ,为得到便于计算的显式方法,可类似于改进欧拉法,将公式表示为:其中这里 均为常数,方法称为 级显式R-K方法 当 时,就是欧拉法,此时 当 时,改进欧拉法就是其中的一种,下面证明 ,要使公式有更高的阶,就要增加点数 。下面我们仅就 推导R-K方法,并给出 时的常用公式,其推导方法与 时类似,只是计算较为复杂。增量函数 ,为得到便于计算的显式方法,可类似于改进欧拉法,将公式表示为:其中这里 均为常数,方法称为 级显式R-K方法 当 时,就是欧拉法,此时 当 时,改进欧拉法就是其中的一种,下面证明 ,要使公式有更高的阶,就要增加点数 。下面我们仅就 推导R-K
16、方法,并给出 时的常用公式,其推导方法与 时类似,只是计算较为复杂。n二阶显式R-K方法 对于 的R-K方法,可以得到如下的计算公式:这里 均为待定常数,我们希望适当选取这些系数,使公式阶数 尽量高。根据局部截断误差的定义,上式的局部截断误差为: 这里 为得到 的阶 ,要将上式各项在 处做泰勒展开,由于 是二元函数,故要用到二元泰勒展开,各项展开为:n二阶显式R-K方法 对于 的R-K方法,可以得到如下的计算公式:这里 均为待定常数,我们希望适当选取这些系数,使公式阶数 尽量高。根据局部截断误差的定义,上式的局部截断误差为:这里 为得到 的阶 ,要将上式各项在 处做泰勒展开,由于 是二元函数,
17、故要用到二元泰勒展开,各项展开为:其中将以上结果代入:得到:其中将以上结果代入:得到:要使公式成为2阶的,必须有:即:上式的解不唯一,可以令 ,则得这样得到的公式称为二阶R-K方法,如取 ,则 ,这就是改进的欧拉法。 若取 ,则 ,得到:要使公式成为2阶的,必须有:即:上式的解不唯一,可以令 ,则得这样得到的公式称为二阶R-K方法,如取 ,则 ,这就是改进的欧拉法。 若取 ,则 ,得到:称为中点公式,相当于数值积分的中矩形公式,也即 对 的R-K公式能否使局部误差提高到 ?为此需要把 多展开一项,通过分析可以得到不可能的结论。因此 时只能得到2阶的公式。n三阶与四阶显式R-K方法 要得到三阶的
18、显式R-K方法,必须 ,此时计算 若取 ,则 ,得到:称为中点公式,相当于数值积分的中矩形公式,也即 对 的R-K公式能否使局部误差提高到 ?为此需要把 多展开一项,通过分析可以得到不可能的结论。因此 时只能得到2阶的公式。n三阶与四阶显式R-K方法 要得到三阶的显式R-K方法,必须 ,此时计算公式为:其中 及 均为待定参数,误差为只要将 按二元函数的泰勒公式展开,使 可得待定参数需满足的方程为: 要得到三阶的显式R-K方法,必须 ,此时计算公式为:其中 及 均为待定参数,误差为只要将 按二元函数的泰勒公式展开,使 可得待定参数需满足的方程为:这里为8个未知数,6个方程,解也是不唯一的,可以得
19、到很多公式,下面是其中称为库塔的公式这里为8个未知数,6个方程,解也是不唯一的,可以得到很多公式,下面是其中称为库塔的公式继续上述过程,经过较复杂的演算,可以导出各种四阶龙格库塔公式,下面是常用的经典公式:例3:用四阶龙格库塔方法求解定解问题:取步长 ,从 到 。解:写出具体的四阶龙格库塔的具体格式为:继续上述过程,经过较复杂的演算,可以导出各种四阶龙格库塔公式,下面是常用的经典公式:例3:用四阶龙格库塔方法求解定解问题:取步长 ,从 到 。解:写出具体的四阶龙格库塔的具体格式为: 列出计算结果如下表:0.21.18321.18320.41.34171.34160.61.48331.48320
20、.81.61251.61251.01.73211.7321列出计算结果如下表:可见计算精度较以前大为提高。n变步长的龙格库塔方法 单从每一步看,步长越小,截断误差就越小,但随着步长的缩小,在求解区间内的步数就增加了,这在增加计算量的同时也增加了计算的舍入误差,因此也有一个选择步长的问题。0.21.18321.18320.41.34171.34160.61.48331.48320.81.61251.61251.01.73211.7321n选择步长需要考虑的两个问题: 怎样衡量和检验计算结果的精度? 如何依据所获得的精度处理步长? 我们考虑经典的四阶龙格库塔公式,从节点 出发,先以 为步长求出一个
21、近似值,记为 ,由于公式的局部截断误差为 ,故变步长的龙格库塔方法 单从每一步看,步长越小,截断误差就越小,但随着步长的缩小,在求解区间内的步数就增加了,这在增加计算量的同时也增加了计算的舍入误差,因此也有一个选择步长的问题。n选择步长需要考虑的两个问题: 怎样衡量和检验计算结果的精度? 如何依据所获得的精度处理步长? 我们考虑经典的四阶龙格库塔公式,从节点 出发,先以 为步长求出一个近似值,记为 ,由于公式的局部截断误差为 ,故然后将步长折半,即取 为步长,从 跨两步到再来求得一个近似值 ,每一步的截断误差是因此有 比较前后两式,我们得到,步长折半后,误差大约减少到 ,即有由此易得下列事后估
22、计式:这样,我们可以通过检查步长,折半前后两次计算结果的偏差 来判定所选的步长是否合适,公式的局部截断误差为 ,故然后将步长折半,即取 为步长,从 跨两步到再来求得一个近似值 ,每一步的截断误差是因此有 比较前后两式,我们得到,步长折半后,误差大约减少到 ,即有由此易得下列事后估计式:这样,我们可以通过检查步长,折半前后两次计算结果的偏差 来判定所选的步长是否合适,分下列两种情况处理,称为变步长方法: 1)对于给定的精度 ,如果 ,我们反复将步长折半进行计算,直到 为止,这时取最终得到的作为结果; 2)如果 ,我们将反复将步长加倍,直到 为止,这时再将步长折半一次,得到结果。9.4 单步法的收
23、敛性与稳定性单步法的收敛性与稳定性n收敛性与相容性 数值解法的基本思想是通过离散将微分方程转化为差分方程,如单步法 (1)它在 处的解为 ,而初值问题的解为 ,记分下列两种情况处理,称为变步长方法: 1)对于给定的精度 ,如果 ,我们反复将步长折半进行计算,直到 为止,这时取最终得到的作为结果; 2)如果 ,我们将反复将步长加倍,直到 为止,这时再将步长折半一次,得到结果。9.4 单步法的收敛性与稳定性单步法的收敛性与稳定性n收敛性与相容性 数值解法的基本思想是通过离散将微分方程转化为差分方程,如单步法 (1)它在 处的解为 ,而初值问题的解为 ,记 ,称为整体截断误差,收敛性就是讨论当 固定
24、,且 时 的问题。 定义3 若一种数值方法对于固定的 ,当时有 ,则称该方法是收敛的。 显然,数值方法收敛是指 ,对单步法(1)有下述收敛性定理:9.4 单步法的收敛性与稳定性单步法的收敛性与稳定性 定理1 假设单步法(1)具有 阶精度,且增量函数 关于 满足利普希茨条件 (2)又设初值 准确,即 ,则其整体截断误差为 (3)证明:设以 表示取 用公式(1)求得的结果, 固定,且 时 的问题。 定义3 若一种数值方法对于固定的 ,当时有 ,则称该方法是收敛的。 显然,数值方法收敛是指 ,对单步法(1)有下述收敛性定理: 定理1 假设单步法(1)具有 阶精度,且增量函数 关于 满足利普希茨条件
25、(2)又设初值 准确,即 ,则其整体截断误差为 (3)证明:设以 表示取 用公式(1)求得的结果,即 (4)则 为局部截断误差,由于所给的方法具有 阶精度,按定义2,存在定数 ,使又由(4)和(1),有利用条件(2),有: 从而有即对整体截断误差 成立下列递推关系:反复递推,可得:证明:设以 表示取 用公式(1)求得的结果,即 (4)则 为局部截断误差,由于所给的方法具有 阶精度,按定义2,存在定数 ,使又由(4)和(1),有利用条件(2),有: 从而有即对整体截断误差 成立下列递推关系:反复递推,可得:再注意到当 时, ,最终得到下列估计式:由此可以断定,如果初值是准确的,则(3)成立。 推
26、论:对于一个 阶的显式单步法,若微分方程的右端函数 关于 满足利普希茨条件,且初值是精确的,则显式欧拉法,改进欧拉法和龙格库塔方法是收敛的。 定理1表明, 时单步法收敛,并且当 是初值问题的解,且具有 阶精度时,有展开式:再注意到当 时, ,最终得到下列估计式:由此可以断定,如果初值是准确的,则(3)成立。 推论:对于一个 阶的显式单步法,若微分方程的右端函数 关于 满足利普希茨条件,且初值是精确的,则显式欧拉法,改进欧拉法和龙格库塔方法是收敛的。 定理1表明, 时单步法收敛,并且当 是初值问题的解,且具有 阶精度时,有展开式: 所以 的充要条件是 ,而 ,于是可给出如下的定义:定义4 单步法
27、的增量函数 称为该单步法与初值问题相容。 以上讨论表明 阶方法当 与初值问题相容,反之,相容的方法至少是一阶的。 于是,由定理1可知,线性单步方法收敛的充分必要条件是该方法是相容的。n绝对稳定性与绝对稳定域 所以 的充要条件是 ,而 ,于是可给出如下的定义:定义4 单步法的增量函数 称为该单步法与初值问题相容。 以上讨论表明 阶方法当 与初值问题相容,反之,相容的方法至少是一阶的。 于是,由定理1可知,线性单步方法收敛的充分必要条件是该方法是相容的。n绝对稳定性与绝对稳定域 定义5 若一种数值方法在节点值 上有大小为 的扰动,而于以后各节点上产生的偏差均不超过 ,则称该方法是稳定的。 例4 考
28、察初值问题其准确解 是一个按指数曲线衰减的很快的函数,如图:n绝对稳定性与绝对稳定域 定义5 若一种数值方法在节点值 上有大小为 的扰动,而于以后各节点上产生的偏差均不超过 ,则称该方法是稳定的。 例4 考察初值问题其准确解 是一个按指数曲线衰减的很快的函数,如图: 用欧拉方法解该方程,得到:若取 ,则欧拉法的具体形式为:若取 ,则欧拉法的具体形式为:显然,前一形式计算不稳定,后一形式计算稳定。再考察后退欧拉方法,可以得到,当 时,计算是稳定的。具体数据见书上356页表94。 例题表明:稳定性不但与方法有关,也与步长 有关。当然也与 有关,为了只考察数值方法本身,通常只检验将数值方法用于解模型
29、方程的稳定性,模型方程为: ,其中 为复数。 对于一般的方程,将方程 中的 在解域内某点 作泰勒展开并局部线性化:忽略高阶项,令 和 对上式显然,前一形式计算不稳定,后一形式计算稳定。再考察后退欧拉方法,可以得到,当 时,计算是稳定的。具体数据见书上356页表94。 例题表明:稳定性不但与方法有关,也与步长 有关。当然也与 有关,为了只考察数值方法本身,通常只检验将数值方法用于解模型方程的稳定性,模型方程为: ,其中 为复数。 对于一般的方程,将方程 中的 在解域内某点 作泰勒展开并局部线性化:忽略高阶项,令 和 对上式作变量代换,得到: 这就是模型方程。 首先研究欧拉方程的稳定性。模型方程的
30、欧拉公式为:假设在节点 上有一扰动 ,它的传播使节点值 产生大小为 的扰动值,假设用 按欧拉公式得出 的计算过程不再有新的误差,则扰动值满足可见扰动值满足原来的差分方程,这样如果差分方程的解是不增长的,即有: 这就是模型方程。 首先研究欧拉方程的稳定性。模型方程的欧拉公式为:假设在节点 上有一扰动 ,它的传播使节点值 产生大小为 的扰动值,假设用 按欧拉公式得出 的计算过程不再有新的误差,则扰动值满足可见扰动值满足原来的差分方程,这样如果差分方程的解是不增长的,即有:则它就是稳定的。这一结论对于以下研究的其它方法也适用。 显然,为了保证 ,只要 ,这在的复平面上是一个以(-1,0)为圆心,1为
31、半径的单位圆我们称其为欧拉法的绝对稳定域,一般情形可有如下的定义。 定义6 单步法 用于模型 ,若得到的解 ,满足 ,则称该方法是绝对稳定的。使得 成立的区域,称为绝对稳定区域,它与实轴的交称为绝对稳定区间。 对于欧拉法 ,其绝对稳定域已由给出,绝对稳定区间为 。在具体问题中,由则它就是稳定的。这一结论对于以下研究的其它方法也适用。 显然,为了保证 ,只要 ,这在的复平面上是一个以(-1,0)为圆心,1为半径的单位圆我们称其为欧拉法的绝对稳定域,一般情形可有如下的定义。 定义6 单步法 用于模型 ,若得到的解 ,满足 ,则称该方法是绝对稳定的。使得 成立的区域,称为绝对稳定区域,它与实轴的交称
32、为绝对稳定区间。 对于欧拉法 ,其绝对稳定域已由给出,绝对稳定区间为 。在具体问题中,由于 不同,因此,是否稳定就与 有关。 对于二阶龙格库塔方法,解模型方程可得:故:绝对稳定域由 得到,于是可得到为即 ,类似可得三阶及四阶的龙格库塔方法的 分别为:于 不同,因此,是否稳定就与 有关。 对于二阶龙格库塔方法,解模型方程可得:故:绝对稳定域由 得到,于是可得到为即 ,类似可得三阶及四阶的龙格库塔方法的 分别为:由 可得相应的绝对稳定域,从而得到绝对稳定区间如下: 三阶龙格库塔方法: 四阶龙格库塔方法:龙格库塔方法的稳定域为有限域,都对步长有限制 自学书上359页的例,学会稳定区间的具体求法。 9
33、.5 线性多步法 不作要求。由 可得相应的绝对稳定域,从而得到绝对稳定区间如下: 三阶龙格库塔方法: 四阶龙格库塔方法:龙格库塔方法的稳定域为有限域,都对步长有限制 自学书上359页的例,学会稳定区间的具体求法。 9.5 线性多步法 不作要求。9.6 方程组和高阶方程方程组和高阶方程n一阶方程组 前面关于一阶方程的所有解法,都可用于一阶方程组,这只要把 和 理解为向量就可以了。 考察一阶方程组: 初始条件为:这时,龙格库塔法为:其中:9.6 方程组和高阶方程方程组和高阶方程n自学书上375页两个方程的情形,加深理解方程组的解法。n高阶方程 化为一阶方程组来求解考虑高阶方程:初始条件为:这时,龙格库塔法为:其中:n自学书上375页两个方程的情形,加深理解方程组的解法。n高阶方程 化为一阶方程组来求解考虑高阶方程:初始条件为:只要引进新变量就可以把原来的高阶方程化为一阶方程组此时,初始条件也相应的化为:根据微分方程的理论,我们知道它们是等价的,因此问题得到解决。只要引进新变量就可以把原来的高阶方程化为一阶方程组此时,初始条件也相应的化为:根据微分方程的理论,我们知道它们是等价的,因此问题得到解决。n自学书上376页关于二阶方程的叙述,理解高阶方程的求解过程。n刚性方程部分不作要求。