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1、附附 录录截面图形的性质截面图形的性质1 1AppendixAppendixProperties ofProperties ofPlane AreasPlane Areas2 2一、一、一、一、一、一、 几何图形的一次矩几何图形的一次矩几何图形的一次矩几何图形的一次矩几何图形的一次矩几何图形的一次矩三、三、三、三、三、三、 平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理本章内容小结本章内容小结本章内容小结本章内容小结本章内容小结本章内容小结本章基本要求本章基本要求本章基本要求本章基本要求本章基本要求本章基本要求二、二、二、二、二、二、 几何图形的二次矩几何图形的二次矩
2、几何图形的二次矩几何图形的二次矩几何图形的二次矩几何图形的二次矩背景材料背景材料背景材料背景材料背景材料背景材料3 3背背背背 景景景景 材材材材 料料料料4 4背背背背 景景景景 材材材材 料料料料实体形截面实体形截面实体形截面实体形截面实体形截面实体形截面薄壁杆件（闭口）薄壁杆件（闭口）薄壁杆件（闭口）薄壁杆件（闭口）薄壁杆件（闭口）薄壁杆件（闭口）5 5背背背背 景景景景 材材材材 料料料料薄壁杆件（开口）薄壁杆件（开口）薄壁杆件（开口）薄壁杆件（开口）薄壁杆件（开口）薄壁杆件（开口）6 6杭州湾跨海大桥梁杭州湾跨海大桥梁杭州湾跨海大桥梁杭州湾跨海大桥梁杭州湾跨海大桥梁杭州湾跨海大桥梁工
3、程应用实例工程应用实例工程应用实例工程应用实例全长全长全长363636公里公里公里总投资总投资总投资118118118亿元亿元亿元7 7钢箱梁钢箱梁钢箱梁钢箱梁钢箱梁钢箱梁混凝土箱梁混凝土箱梁混凝土箱梁混凝土箱梁混凝土箱梁混凝土箱梁8 8200420042004年年年年年年101010月月月月月月242424日报道：日报道：日报道：日报道：日报道：日报道：上海外三环过街天桥在上海外三环过街天桥在上海外三环过街天桥在上海外三环过街天桥在上海外三环过街天桥在上海外三环过街天桥在吊装完成近五分钟时突吊装完成近五分钟时突吊装完成近五分钟时突吊装完成近五分钟时突吊装完成近五分钟时突吊装完成近五分钟时突然
4、垮塌，砸毁三辆汽车然垮塌，砸毁三辆汽车然垮塌，砸毁三辆汽车然垮塌，砸毁三辆汽车然垮塌，砸毁三辆汽车然垮塌，砸毁三辆汽车并有数人受重伤。该天并有数人受重伤。该天并有数人受重伤。该天并有数人受重伤。该天并有数人受重伤。该天并有数人受重伤。该天桥两根长桥两根长桥两根长桥两根长桥两根长桥两根长454545米米米米米米, , ,宽三四米宽三四米宽三四米宽三四米宽三四米宽三四米的的的的的的 T T T 形梁断裂成数段。形梁断裂成数段。形梁断裂成数段。形梁断裂成数段。形梁断裂成数段。形梁断裂成数段。工程应用实例工程应用实例工程应用实例工程应用实例9 9 掌握截面图形的各类一次矩、二次矩的定义并掌握截面图形的
5、各类一次矩、二次矩的定义并掌握截面图形的各类一次矩、二次矩的定义并能进行正确的计算。能进行正确的计算。能进行正确的计算。 熟练掌握典型截面的二次矩。熟练掌握典型截面的二次矩。熟练掌握典型截面的二次矩。 掌握形心在计算面积矩和惯性矩中所起的作用掌握形心在计算面积矩和惯性矩中所起的作用掌握形心在计算面积矩和惯性矩中所起的作用并能进行熟练的计算。并能进行熟练的计算。并能进行熟练的计算。 了解主惯性矩和形心主惯性矩的概念。了解主惯性矩和形心主惯性矩的概念。了解主惯性矩和形心主惯性矩的概念。本本本本 章章章章 基基基基 本本本本 要要要要 求求求求1010形心形心形心形心形心形心 ( center of
6、 an area ) ( center of an area ) ( center of an area ) 公式公式公式公式公式公式重要结论重要结论重要结论重要结论 坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。一、几何图形的一次矩一、几何图形的一次矩一、几何图形的一次矩一、几何图形的一次矩y yyx xxdAy yyx xxx xxy yydAy yyx xxx xxy yyCx xxC CCy yyC CC面积矩（静矩）面积矩（静矩）面积矩（静矩）面积矩（静矩）面积矩（静矩）面积矩（静矩）( first moment of area
7、 ) ( first moment of area ) ( first moment of area ) 1111数学工具箱数学工具箱数学工具箱数学工具箱平面图形中的微元面积平面图形中的微元面积平面图形中的微元面积平面图形中的微元面积平面图形中的微元面积平面图形中的微元面积直角坐标系直角坐标系直角坐标系极坐标系极坐标系极坐标系如果被积函数与如果被积函数与如果被积函数与 x x x 无关无关无关如果被积函数与如果被积函数与如果被积函数与 无关无关无关y yyx xxdAdAx xxy yyrb bby yyx xxdAdAx xxy yyr 1212例例例例例例 求如图半径为求如图半径为求如图半
8、径为 R R R 的四分之一圆的形心位置。的四分之一圆的形心位置。的四分之一圆的形心位置。同理同理同理x xxy yydAr 1313形心公式形心公式形心公式面积矩面积矩面积矩面积面积面积组合图形的计算组合图形的计算组合图形的计算组合图形的计算组合图形的计算组合图形的计算负面积法负面积法负面积法负面积法负面积法负面积法形心公式形心公式形心公式面积矩面积矩面积矩面积面积面积分割法分割法分割法分割法分割法分割法14147 77a/ a/a/ 2 223 33a/ a/a/ 2 22例例例例例例 求如图截面的形心位置。求如图截面的形心位置。求如图截面的形心位置。3 33a aaa aaa aa3 3
9、3a aax xx5 55a/ a/a/ 2 22例例例例例例 求如图截面的形心位置。求如图截面的形心位置。求如图截面的形心位置。以下边缘为基准以下边缘为基准以下边缘为基准 以下边缘为基准以下边缘为基准以下边缘为基准 a aaa aa2 22a aaa aaa aa2 22a aaa aaa aa2 22a aaa aaa aa2 22a aax xxa aaa aa2 22a aax xx1.371.371.37a aa形心位于左右对称轴上形心位于左右对称轴上形心位于左右对称轴上形心位于左右对称轴上形心位于左右对称轴上形心位于左右对称轴上1515惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩 ( mo
10、ment of inertia ) ( moment of inertia ) ( moment of inertia )惯性积惯性积惯性积惯性积惯性积惯性积 ( product of inertia ) ( product of inertia ) ( product of inertia )dAy yyx xxx xxy yy 极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩 ( polar moment of inertia ) ( polar moment of inertia ) ( polar moment of inertia )r rr二、几何图形的二次矩二、几何图形的二次矩二
11、、几何图形的二次矩二、几何图形的二次矩1616例例例例例例 求如图三角形对求如图三角形对求如图三角形对 x x x 轴的惯性矩。轴的惯性矩。轴的惯性矩。斜边的方程斜边的方程斜边的方程h hhb bby yyx xxh hhb bby yyx xxd ddA AAh hhb bby yyx xxd ddA AA另一计算方案另一计算方案另一计算方案另一计算方案另一计算方案另一计算方案：考虑如图的横向微元面积条考虑如图的横向微元面积条考虑如图的横向微元面积条1717求如图矩形关于坐标轴的惯性矩与惯性积。求如图矩形关于坐标轴的惯性矩与惯性积。求如图矩形关于坐标轴的惯性矩与惯性积。h hhb bby y
12、yx xx动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔对对对 x x x 轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩同理可得对同理可得对同理可得对 y y y 轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩对对对 xyxyxy 轴的惯性积轴的惯性积轴的惯性积1818例例例例例例 求如图半径为求如图半径为求如图半径为 R R R 的四分之一圆关于坐标轴的惯性矩和的四分之一圆关于坐标轴的惯性矩和的四分之一圆关于坐标轴的惯性矩和极惯性矩。极惯性矩。极惯性矩。x xxy yydAr 对对对 x x x 轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩同理可得对同理可得对同理可得对 y y y 轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩对原点的极惯性矩对原点的极惯
13、性矩对原点的极惯性矩1919动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔求图形的惯性矩。求图形的惯性矩。求图形的惯性矩。实心圆实心圆实心圆实心圆实心圆实心圆空心圆空心圆空心圆空心圆空心圆空心圆D DDx xxy yyDx xxy yyDx xxy yyd2020重要数据重要数据重要数据重要数据重要数据重要数据 高为高为高为 h h h 宽为宽为宽为 b b b 的的的矩形截面对通过形心且平矩形截面对通过形心且平矩形截面对通过形心且平行于底边的坐标轴的惯性矩为行于底边的坐标轴的惯性矩为行于底边的坐标轴的惯性矩为 。 重要结论重要结论重要结论重要结论重要结论重要结论 坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零
14、。坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零。坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零。重要数据重要数据重要数据重要数据重要数据重要数据 实心圆截面对通过圆心的坐标轴的惯性矩实心圆截面对通过圆心的坐标轴的惯性矩实心圆截面对通过圆心的坐标轴的惯性矩，极惯性矩为，极惯性矩为，极惯性矩为 。空心圆截面的惯性矩空心圆截面的惯性矩空心圆截面的惯性矩，极惯性矩为，极惯性矩为，极惯性矩为为为为为为为， 为内径为内径为内径与外径之比。与外径之比。与外径之比。2121组合图形组合图形组合图形组合图形组合图形组合图形组合图形的分割组合图形的分割组合图形的分割组合图形的组合图形的组合图形的负二次矩法负二次矩法负二次矩法例例例例例
15、例 求如图工字形截面关于水平对求如图工字形截面关于水平对求如图工字形截面关于水平对称轴的惯性矩。称轴的惯性矩。称轴的惯性矩。 截面可视为截面可视为截面可视为一个矩形与两个一个矩形与两个一个矩形与两个矩形之差。矩形之差。矩形之差。101010101010606060606060101010101010101010606060606060102222组合图形组合图形组合图形组合图形组合图形组合图形组合图形的分割组合图形的分割组合图形的分割组合图形的组合图形的组合图形的负二次矩法负二次矩法负二次矩法例例例例例例 求如图工字形截面关于水平对求如图工字形截面关于水平对求如图工字形截面关于水平对称轴的惯性
16、矩。称轴的惯性矩。称轴的惯性矩。101010101010606060606060101010 截面可视为截面可视为截面可视为三个矩形之和。三个矩形之和。三个矩形之和。101010101010606060606060101010错在何处？错在何处？错在何处？2323主惯性矩主惯性矩主惯性矩主惯性矩主惯性矩主惯性矩 ( principal moments of inertia ) ( principal moments of inertia ) ( principal moments of inertia ) 若图形对某一对轴的惯性积为零，则称这对轴为图形的若图形对某一对轴的惯性积为零，则称这对轴
17、为图形的若图形对某一对轴的惯性积为零，则称这对轴为图形的惯性主轴惯性主轴惯性主轴惯性主轴惯性主轴惯性主轴 ( ( ( principal axes of inertia )principal axes of inertia )principal axes of inertia )。 图形关于惯性主轴的惯性矩称之为图形关于惯性主轴的惯性矩称之为图形关于惯性主轴的惯性矩称之为主惯性矩主惯性矩主惯性矩主惯性矩主惯性矩主惯性矩。形心惯性。形心惯性。形心惯性主轴对应的惯性矩，称为主轴对应的惯性矩，称为主轴对应的惯性矩，称为形心主惯性矩形心主惯性矩形心主惯性矩形心主惯性矩形心主惯性矩形心主惯性矩。 如果惯
18、性主轴通过形心，则称之为如果惯性主轴通过形心，则称之为如果惯性主轴通过形心，则称之为形心惯性主轴形心惯性主轴形心惯性主轴形心惯性主轴形心惯性主轴形心惯性主轴。重要结论重要结论重要结论重要结论重要结论重要结论 若坐标轴之一是图形的对称轴，则两根坐标轴若坐标轴之一是图形的对称轴，则两根坐标轴都是图形的惯性主轴。其中对称轴是形心惯性主轴。都是图形的惯性主轴。其中对称轴是形心惯性主轴。2424判断图形的形心惯性主轴判断图形的形心惯性主轴判断图形的形心惯性主轴分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论结论结论结论结论结论结论 若任意过圆心的轴都是圆的形心惯性主轴。若任意过圆心的轴都是圆的形心惯性主轴。 宽
19、为宽为 b b 高为高为 h h 的矩形的形心主惯性矩为多少？的矩形的形心主惯性矩为多少？ 直径为直径为 d d 的圆的形心主惯性矩为多少？的圆的形心主惯性矩为多少？2525三、平行移轴定理三、平行移轴定理三、平行移轴定理三、平行移轴定理 如果已知图形对某一坐标系的如果已知图形对某一坐标系的如果已知图形对某一坐标系的如果已知图形对某一坐标系的如果已知图形对某一坐标系的如果已知图形对某一坐标系的惯性矩和惯性积，惯性矩和惯性积，惯性矩和惯性积，惯性矩和惯性积，惯性矩和惯性积，惯性矩和惯性积， 如何求图形关于另一平行坐标如何求图形关于另一平行坐标如何求图形关于另一平行坐标如何求图形关于另一平行坐标如
20、何求图形关于另一平行坐标如何求图形关于另一平行坐标系的惯性矩和惯性积？系的惯性矩和惯性积？系的惯性矩和惯性积？系的惯性矩和惯性积？系的惯性矩和惯性积？系的惯性矩和惯性积？特别地，先考虑过形心的坐标系。特别地，先考虑过形心的坐标系。y yyx xxy yyy yy x xx x xx2626平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理 ( parallel-axis theorem )( parallel-axis theorem )( parallel-axis theorem )由于由于由于 x x x 轴过形心轴过形心轴过形心同理同理同理dAy yyx xxcd
21、Ay yyx xxcdAy yyba aay yy x xx x xxcdAy yyxba aayy yy x xx x xx（x x x ，y y y ） 普通坐标系。普通坐标系。普通坐标系。（x x x ，y y y ） 形心坐标系。形心坐标系。形心坐标系。2727平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理 ( parallel-axis theorem )( parallel-axis theorem )( parallel-axis theorem )注意注意注意注意注意注意 在应用上述公式时，应确保其中一组坐标系过形心。在应用上述公式时，应确保其中一组坐
22、标系过形心。在应用上述公式时，应确保其中一组坐标系过形心。否则应用公式否则应用公式否则应用公式 。重要结论重要结论重要结论重要结论重要结论重要结论 在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小惯性矩为最小惯性矩为最小。 cdAy yyxba aayy yy x xx x xx重要公式重要公式重要公式重要公式重要公式重要公式 A A Aa a aI I II I Ix xxx xx2 22+ + + + + += = = = = = A Ab bI II Iyyyy22+ + + += = = = abAab
23、AI II Iyyxxxyxy+ + + += = = = A Ab ba aI II I) )( (2222PPPP+ + + + + + += = = = 2828bbhhCC例例例例例例 求如图的截面对形心轴的惯性矩。求如图的截面对形心轴的惯性矩。求如图的截面对形心轴的惯性矩。动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔KK求直角三角形对于过形心的求直角三角形对于过形心的求直角三角形对于过形心的 C C C 轴的惯性矩。轴的惯性矩。轴的惯性矩。3 33a aaa aaa aa3 33a aaa aaa aa3 33a aa3 33a aa5 55a/ a/a/ 2 22a aaa aa3 3
24、3a aa3 33a aaa aaa aa3 33a aaa aaa aax xxc cc3 33a aaa aaa aa3 33a aaa aaa aax xxc cc3 33a aay yy2929例例例例例例 求如图的截面对求如图的截面对求如图的截面对 x x x 和和和 y y y 轴的惯性矩。轴的惯性矩。轴的惯性矩。半圆对半圆对半圆对 K K K 轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩已知半圆对已知半圆对已知半圆对 x x x 轴的惯性矩为轴的惯性矩为轴的惯性矩为故图形对故图形对故图形对 x x x 轴的惯性矩为轴的惯性矩为轴的惯性矩为K KK半圆对半圆对半圆对 y y y 轴的惯性矩为轴的
25、惯性矩为轴的惯性矩为a aaa aax xxy yya aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aax xxa aaa aaa aaa aaa aaa aay yya aaa aax xxa aaa aaa aaa aaa aaa aay yy错在何处？错在何处？错在何处？3030K KK故半圆对故半圆对故半圆对 y y y 轴的惯性矩为轴的惯性矩为轴的惯性矩为故原图形对故原图形对故原图形对 y y y 轴的惯性矩为轴的惯性矩为轴的惯性矩为y y y 轴与轴与轴与 C C C 间的距离为间的距离为间的距离为半圆对半圆对半圆对 C C C 轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩4 44a
26、/ a/a/ 3 33 C CC+ + + +? ?a aaa aax xxa aaa aaa aaa aaa aaa aay yy+ +? ?C CC3131分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论a aaa aaa aaA AAB BBC CCD DD 如图的三角形对哪一根轴的如图的三角形对哪一根轴的如图的三角形对哪一根轴的惯性矩最小？对哪一根轴的惯性惯性矩最小？对哪一根轴的惯性惯性矩最小？对哪一根轴的惯性矩最大？矩最大？矩最大？b bbK KKR 要使如图的半圆对要使如图的半圆对要使如图的半圆对 K K K 轴的惯轴的惯轴的惯性矩为最小，性矩为最小，性矩为最小，b b b 应取何值？应取
27、何值？应取何值？ 图示图形的惯性积是正数还是图示图形的惯性积是正数还是图示图形的惯性积是正数还是负数？负数？负数？3232恒正恒正恒正恒正恒正恒正可正可负可正可负可正可负可正可负可正可负可正可负恒正恒正恒正恒正恒正恒正可正可负可正可负可正可负可正可负可正可负可正可负恒正恒正恒正恒正恒正恒正m mm 2 2 2m mm 3 3 3m mm 4 4 4不为零不为零不为零不为零不为零不为零等于零等于零等于零等于零等于零等于零不为零不为零不为零不为零不为零不为零轴为对称轴为对称轴为对称轴为对称轴为对称轴为对称轴时为零轴时为零轴时为零轴时为零轴时为零轴时为零不为零不为零不为零不为零不为零不为零（面积）（
28、面积）（面积）（面积）（面积）（面积）零次矩零次矩零次矩零次矩零次矩零次矩一次矩一次矩一次矩一次矩一次矩一次矩二二二二二二 次次次次次次 矩矩矩矩矩矩定义定义定义定义定义定义符号符号符号符号符号符号单位单位单位单位单位单位轴过轴过轴过轴过轴过轴过形心形心形心形心形心形心关于关于关于关于关于关于形心形心形心形心形心形心计算计算计算计算计算计算惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩惯性积惯性积惯性积惯性积惯性积惯性积极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩3333截面图形几何性质本本本本 章章章章 内内内内 容容容容 小小小小 结结结结静矩静矩静矩静矩静矩静矩形心的计算方法形心的计算方法形心
29、的计算方法形心的计算方法形心的计算方法形心的计算方法 组合图形静矩及形心的计算组合图形静矩及形心的计算组合图形静矩及形心的计算组合图形静矩及形心的计算组合图形静矩及形心的计算组合图形静矩及形心的计算 有整体面积挖空部有整体面积挖空部有整体面积挖空部分分分面积的情况下可采用负面积法。面积的情况下可采用负面积法。面积的情况下可采用负面积法。 用定义计算静矩时注意选择适当的坐标系。用定义计算静矩时注意选择适当的坐标系。用定义计算静矩时注意选择适当的坐标系。 在某些情况下积分可化为单重积分。在某些情况下积分可化为单重积分。在某些情况下积分可化为单重积分。 坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。坐标轴通过形
30、心，则相应的静矩为零。坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。3434截面图形几何性质二次矩二次矩二次矩二次矩二次矩二次矩 惯性积惯性积惯性积惯性积惯性积惯性积 惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩 极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩常用图形的惯性矩常用图形的惯性矩常用图形的惯性矩常用图形的惯性矩常用图形的惯性矩常用图形的惯性矩矩形矩形矩形实心圆实心圆实心圆空心圆空心圆空心圆 坐标轴之一是图形对称轴，则图形的惯性积为零。坐标轴之一是图形对称轴，则图形的惯性积为零。坐标轴之一是图形对称轴，则图形的惯性积为零。3535截面图形几何性质平行移轴公式平行移轴公式平行移轴公式平行移轴公式平行移轴公式平行移轴公式 用上述公式时应保证其中一组坐标系原点在形心上。用上述公式时应保证其中一组坐标系原点在形心上。用上述公式时应保证其中一组坐标系原点在形心上。 计算惯性积时注意计算惯性积时注意计算惯性积时注意 a a a 和和和 b b b 的符号。的符号。的符号。cy yyba aay yy x xx x xx形心惯性主轴、形心主惯性矩形心惯性主轴、形心主惯性矩形心惯性主轴、形心主惯性矩形心惯性主轴、形心主惯性矩形心惯性主轴、形心主惯性矩形心惯性主轴、形心主惯性矩3636本章内容结束本章内容结束3737
