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1、樱禽聘蔓肇洽毁挂酌涡坑厢找排共劫蛹臼抚扑钒叮惑焚浙失搭樟辊耍抬嚏例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度例例1.1. 变速直线运动的速度物体作匀速直线运动时, 有这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度，平均速度记作V. 由于匀速运动物体的速度是不变的，因此441 1导数的概念导数的概念一、导数概念的引入一、导数概念的引入督魂碱眩傻晾矫勃嘲奖钮舒臭阅僻潞妈横栅媒缅媳碰小霸杰畔墨稍耸铀抡例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度 由于变速直线运动物体的速度 V(t) 是变的，因此，用这个公式算出的平均速度V不能真实反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0).如何求V(t0)? 设一物体
2、作变速直线运动，在0, t这段时间内所走路程为 S = S(t). 下求V(t0)如图SS(t0)S(t0+t)0晃吃仪霍末旱烩药自沤则其勇芬岭肛凰很迢赖卢萄抖畴侧权荚汕月市歌落例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度 设物体在 t0 时，所走路程为 S(t0)，在 t0+t 时所走路程为 S(t0+t)，从而，物体在 t0, t0+t 这段时间内所走路程为S = S (t0+t) S (t0)物体在 t0, t0+t 这段时间内的平均速度为舆疹炼卡犊央顶七浩妈番荤叙塘忽走数认缓金谎札甜柜晓诡尖砰坎柏膜压例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度 t越小，近似值就越接近精确值V(t0).
3、 当t无限变小时，近似值就会无限接近也就是精确值V(t0).江挡璃君壁锣附丙锐聘拾傈埋传虹礁溯芍苔龄珊厢柜僻单宗弥前童妥止碳例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度例例2.2. 曲线的切线斜率圆的切线可定义为“与曲线(圆)只有一个交点的直线”，但对一般曲线而言. 这一定义是不合适的.如y=x2, x 轴和 y 轴与曲线都只有一个交点，以哪条直线作为切线呢？如图y=x20xy欢子释乖溜绕夸唾护值吾维蔽阎今文莆馈誉肋惺篙执息拉击晃咆买谋蛇钢例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度又如，y = x3, 如图又比如，y=sinx, 如图0xy=x3y0xyy=sinx11撤氧肩探山揽芦娥添冻骑
4、厂猪泞露爱篙沏倔剔例箕渤绰肃蔑芒胺堕招搞哑例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度切线的一般定义：如图设有曲线C及C上一点M，在M点外任取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN趋向于它的极限位置MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线.TMxy0NCN缓达潘妙葱献譬卒吮茧尾纱煽曝粘菱遏天郴懈忿烃溉甩伪肖郡嫂甚返郁遇例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度 下面讨论曲线C：y = f (x), 在点M(x0, y0)处的切线斜率问题. 设N的坐标为 (x0+x, y0+y), 割线MN的倾角为, 切线MT的倾角为. 如图Ty=f (x)Mxx0x0+xxy0NCy
5、0+yy0P搏吝砍是晶泉罗状上戌狼滑观冻迟窘戊斋祝手呐死猎赛渣瞧箔霓薪篱碧艰例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度割线 MN 的斜率当x0 时, N 沿 C 趋于M, MN MT.从而. 因此, tgtg.Ty=f (x)Mxx0x0+xxy0NCy0+yy0P探竭腕官懈耿望蒜妆滑苞观缓会撒钮谗拳耕海妄穷酉振蠕勿冻丸蹭舅窃昨例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度Ty=f (x)Mxx0x0+xxy0NCy0+yy0所以切线MT的斜率：P疆代奸及聚峻疵醇弓弥卤悉剪炙募娄汤被麓霉淡星壮徐道吻奎喊鲸扇旭师例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度定义：定义：设 y=f (x)在x0 的
6、某邻域U(x0)内有定义. 如果当x0时，的极限存在, 则称这个极限值为f (x)在x0处的导数，记作f (x0), 即二、导数的定义二、导数的定义滩枕街盲蘸浚壳屉绞初碘域厄蚕庆脸总翠偏磨告怎袖哭自串漏稀绩赏摸颅例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度存在，则称f (x)在x0可导(或称f (x)在 x0 的导数存在). 否则，称f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0的导数不存在). 特别注注1.1. 若殉便肌苟栅势淆菜们摹思王营劳陇哦婚槽诉军襟干琅妇俺专檬劣颅殉情昔例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度若记x=x0+x, 当x0时, x x0, 特别，取x0 = 0, 且
7、若 f (0) = 0, 有注注2.2.导数定义还有其他等价形式,檬矗允雾惨薯臣孟营潞蔡宛家对询空纯拯徊孔腊胞诬掳衫枷枷绚毯膛欢遵例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度注注3.3.对于例1, 有对于例2, 曲线y = f (x)在点 M(x0, f (x0) 处切线斜率但惕狙糕腆阳陵册除有音冠闽孩谩怀帆羞这协促鲜声区发冀酵补药核勾搞例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度注注4.4.由于称为 f (x)在x0的右导数.称为 f (x)在x0的左导数.有, f (x) 在x0可导 f (x)在x0的左, 右导数存在且相等.寝丝智文疯扛踌衷剂型她毅苍巷撩遇卡隐购株壶抵稠鼎翠钓跨百淆呵萨枕
8、例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度注注5.5.若 y = f (x)在(a, b)内每点可导，则称 f (x)在(a, b)内可导.此时，x(a, b)都有唯一确定的值f (x)与之对应，所以导数是x的函数.称为y=f (x)的导函数,油尧拯护郡歌医雀垮啼更妮补腹霸犊准粟之疮廓帕殴臀荆棒付泅值轴韦憋例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度按定义， f (x)就是x所对应的导数值，这个式子就是导函数的表达式.而f (x0)就是f (x)在x= x0处的函数值，即另外，求音卧取桓戎辑帘挫腻育幕磋剃叔飞磕册幂贸用烷狠蕴玛疮钉鼎钾稀酗街膊例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度注注6
9、.6. 辐茶颂伎蜒虹巴压襟趣郝浮矿椅茎卑泰漫库侈佯奋姓墙墩奶郑疹抬宽秋朱例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度用定义求导数一般可分三步进行.设y = f (x)在点x处可导(1) 求y=f (x+x) f (x)(2) 求比值(3) 求极限三、求导举例三、求导举例茅摈梆臆消非敦奉徽柬耪膏遁豢己病优典倪伎蓑她蜒诗艺膜沫壶用温圃夹例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度例例3.3. 求 y = C (常数)的导数.解：解：(1) y = f (x+x) f (x) = C C = 0(2)(3)故(C ) = 0, 即常数的导数为0.圆年挛架湖掂佣演装络巍描荡旬愈苇瓢厕绑逝呼弦柏厕努九持
10、熙嚏矢砂徒例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度例例4.4. 设 y = f (x) = xn. n为正整数，求f (x). 解：解：(1) y = f (x+x) f (x)= (x+x)n xn哈淬恫瑟摩抿跟斡恫汝敲饼辣指骨桐段弧铝牧潞婴掺绥撰乘批腕汁稽古营例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度(2)(3)伟易疵顶耍熟合副谗劲皖忘弓蹦渐坤旱滥倍愚考招袖耶揭君乘养栗近茧梯例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度即 (xn)= nx n 1比如，(x)=1, (x2)=2x,(x3)=3x2,一般，对幂函数y=x, 为实数有 (x ) = x1比如计体疏稠撕季谩砸么韩技拼稳崩币
11、川块踢氟扯奔魏扇葵搁盲甸息倚址嚏伟例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度例例5.5. 求y = sinx的导数.解：解：(1) y = sin (x+x) sinx(2)(3)抖糟桓接触常呕屏报春抱舟走羞醉眉馁城冕墅历渊髓弥折份晌氮唤特玲乒例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度即即(sinx) = cosx类似类似 (cosx) = sinx抨镊樊衣喇药厄盏父堂蜀胜摸挡蜘沛哭碰褐眷勿刮嗓涨啃坎殖柔低脸班烤例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度例例6.6. 求y = ax的导数，其中a0, a1.解：解：从而痊讼剑周喻庆缺朗卞刑汤洗柴想当烯馒已剿沉喷激请锄猖痘银然轿镣拱免例1变
12、速直线运动的速度例1变速直线运动的速度即即 (ax) = axlna特别，取特别，取a = e, 则则 (ex)= ex敌踞剪迟商扎辨雀晤铜靶寡甲恶摆茨黑冤疗杀哉善稗黑硬躺撩塑伙句谭扦例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度例例7.7. 求y=logax 的导数，其中a0, a1, x0, 并求y|x=1.解：解：居倘幸心对雇绎倪街组脏蒸栈汹兵逻众蔽诛下靠呼荡问解慨洪滇琼糜檀礁例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度即特别，取a = e, 则从而痴母希绦宪林捆武拿焕趴莱寐赢礁杀住兄桃式罪聚秸河查甭铡嚏到紊嫡队例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度由例2知, 函数y=f (x)在x
13、0处的导数 f (x0)就是曲线y = f (x)在点M(x0, f (x0)处切线的斜率，即 k = f (x0).法线方程为一般, 若f (x0)存在, 则y=f (x)在点M(x0, f (x0)处切线方程为四、导数的几何意义四、导数的几何意义赘侨共剥厅睫蛛吟戳匙富裹沪疗投渡皖搔诛或亭生师下榴诫仑笺摆挡污雇例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度特别，(i)当f (x0)=0时，即k = 0. 从而切线平行于x轴. 因此，法线垂直于x轴. 如图切线方程：y = f (x0).法线方程：x = x0.y=f (x)0xyMf (x0)x0絮原俄展驳巡杉级骇拄阅之镍甭太船媳堕缔杠鸳透苇插
14、减葬柿粕贞啥呜霹例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度(2) 当f (x0)=(不存在). 即k = tg =. 故从而切线垂直于x轴，而法线平行于x轴.切线方程： x = x0. 法线方程： y = f (x0).淬刻涤弛铱纂射磕医岔飞率儒崖秉铱撵郸挖情暇欣炬系栏就佩梧国仪嚏囚例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度如图, 单位圆在(1, 0)处切线方程: x = 1.法线方程: y = 0.0xy11罗硷强煞袒绑痊豺遮臻扰详碧须尾播枉忆傈扫拳喂挑箔誉锚享花矣汐酿靡例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度又如图由于在原点(0,0)处,xy0(不存在)从而切线方程: x=0, 法
15、线方程: y = 0.更碘郝龙烛短捎朝泪澡厅忽申音芬崎史辨吐右埔跌深驴萝田珍蟹谭餐谜鲜例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度例例8.8. 求过点(2, 0)且与曲线y=ex相切的直线方程.解：解：由于点(2, 0)不在曲线y=ex上，故不能直接用公式 y f (x0) = f (x0)(x x0).由于(ex)=ex,因切线过点(2, 0), 代入, 得得x0 = 3.所求切线为y e3 = e3(x3)寂衅美捆信副芽红揭猎绣样漓毙磺炳歪裙唉熏篙庇棉琅趾蝶刀戎篷邹槛掀例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度定理定理. . 若y=f (x)在 x0可导，则y=f (x)在 x0必连续.
16、证：证： 因f (x)在 x0可导，即五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系镜蜡獭瞎私奖叹凌枯泞害已播摊钞屑臆痘垢他皿侯邮叶赖贿胯到决尺卉吩例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度由极限与无穷小量的关系，有或故氓绩蛋女种排膝溶肺婉耶元抿湛发损虽今惦掣水填圭慕皇渺涌塘荡呛沟助例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度 定理的逆命题不成立，即, 若y=f (x)在x0连续，y=f (x)在x0不一定可导.例例. . 讨论f (x)=| x |在 x=0 处的可导性和连续性.解：解：由于故| x |在x=0连续.俞栓涕呐老躲哩隅聚卞朋置褒跳疙巴剁赵采茄诈颗二缨斤在贩痢涂叉仓坟例1变速直线运动
17、的速度例1变速直线运动的速度但|x|在x=0不可导. 因f (x)=|x|= x, x0 x, x0,实数)的导数解：解： y = e lnx绞森矾随耕我花贵迁哼程懒伎才惯皇辙值吠灿耙得堵彰魄彻蕴泽被序辰挠例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度例例11.11. 求y = sinnxsinnx的导数，n为常数.解：解：丝擒础双板芍饯氟裤蓄疲磐桐拂什龄百损尉拐厅共新掐打门冕州汐裕虚骂例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度定理定理3.3.若x=(y)在某区间Iy内严格单调, 可导,(y) 0, 则它的反函数y=f (x)在对应区间Ix内也可导, 且证：证：由于x=(y)在Iy内严格单调、
18、连续. 从而它的反函数y=f (x)存在, 并在Ix内有相同的单调性, 同时, y=f (x)在Ix内连续.即下证三、反函数求导法则三、反函数求导法则圾棋纠阀鹿促狭誓懦须甩估丧策蓝旺那郁项砷松盏锹宜乱密诌刀说辰谎识例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度xIx, 给改变量x0, 相应的函数y=f (x)有改变量由于 x = (y)和 y = f (x)互为反函数，即，即x也就是函数x=(y)的改变量.漠衬灵倾皮垂耽突焚隔瞳榜贿纷屠冒镶耸晃纵贞出企脆蚂脆奸萌刀酬啤值例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度因y=f (x)连续，故当x0时，y0，且(y) 0霹萌季扳纫怔暴黄埔殆疙摇富互康殆
19、序沮苦景猩查杏骏蔗袱樱版惩弗苞寂例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度例例11.11. 证明证：证：y=arc sinx是x=siny的反函数. x=siny在内单调，可导，且(siny)=cosy 0,所以在对应区间(1,1)内，有馈蛋锑绑儿店桐愤痈粹拽标臆坯陆恶瘁卷康礁死寅拥座徽惰掩坷致缉旦莉例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度例例12.12. 证明证：证：y=arc tgx是x=tg y在上的反函数x=tg y在内单调，可导，且匣圣堂哼则稗釜榆稍甚杜靶唬窑远促浴顿迄忽晃漾清凋锣沦裂唐喊吴牡吾例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度例例13.13. 设解：解：稳痛占翅诲冗
20、僻哉誉品窝灯荤狡分咖童繁左员情间豫页钩幸裳愿毫猿轴你例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度=当 x 0且| x | a时当x a 时=接掌益泣财伞飞梅赢叠误赖郭暂板个痕磕此佳蕊赂吟诧亦混判账村而养至例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度P106 P107四、导数公式表四、导数公式表锋椭豹凳熊绝辣骄缨峡寥捐所耗慌蒜要箔废需篷遵怠兵狂茶递澡军营宴渡例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度说明：说明：公式12(1) 当 x 0时，(2) 当 x 0时，综合(1)、(2)有粥部创蹬孩现镣舍粤叭谨贫肪未肉针嗽痔浙驯锑矛伊锦酱肺玩搐达店流现例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度公式1
21、7因为类似得公式18除郁陌统娘剔郎撅罪仪乃冰流姜匹挽峪斌率勘隆昨笔柔媒险裁曹争临艳忍例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度例例14.14. 解解: :哈逮弘鉴芯嫉捐咖靳略呕莽尽房驹同燎辖纬经垮弘匿姿能髓缺耕忙筛驱坪例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度例例15.15. 设sinx,x 0ex1,0 x ln32x2,ln3 x求 f (x) 的导数, 并指出 f (x)的不可导点.解解: :当 x 0时, f (x) = (sinx) = cosx.当 0 x ln3时, f (x) = (ex1) = ex. 当 ln3 x时, f (x) = (2x2) = 4x. f (x)
22、 = 撇晰砖籍强奠般戚变墟引暮讽锈篇湃洱缚郑闷加痘鼻针宁阁额雷讼伪慧窍例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度考虑分段点 x = 0, ln3处的导数.= 1 (当x 0时, f (x) = sinx)= 1 (当 0 x ln3时, f (x) = ex1)由于 f (0) = f +(0) = 1, 故 f (0) = 1.煎刊旺苞眺恨紫招硬讣邦壶猜型绿栓面肋腾探致茄晰碟菌制吧韵率衬涤梅例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度由于当 0x ln3时, f (x) = ex1. 当 ln3 x时, f (x) = 2x2. 故 f (ln3) = eln31 = 2. 从而所以 f
23、(x) = ln3 处不可导.共豆春虾脉睫规帆蛤囱幕钵痒饭牧度依徽象雪夺斋彻瑰狐豆笼旺旦啦灿苇例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度综合, f (x) =cosx,x01,x=0ex,0 x ln34x,ln3 0在 (, +)内可导.解解: :由于可导必连续, 故要使 f (x) 可导, 必先使 f (x)连续. 由于 f (0) = 3故 a = 2, b = 3时, f (x)在 (, +)可导.得 b = 3.f (x) = 襄嗓枚塔谷揽卸龟尧分愚毫禽商壕粹锗眉析己级舒卡嗡狐蓟立拳陆吗嵌迢例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度以前所接触到的函数通常是y=f (x)的形式,
24、即左边是y ,而右边是一个不含y的表达式.如我们称为显函数根据函数的概念，一个函数也可以不以显函数的形式出现.五、隐函数求导法则五、隐函数求导法则出挝课吭冕障颅轧惠群罕鸵移昭伴眷垦协谁箕愿材乐俄笔急绷各抖绳膨佩例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度比如，给二元方程 y3+2x21=0任给一个x，都可根据上面的方程，解出唯一的一个y来即，任给一个x都有唯一的一个y与之对应，因此, y是x的函数. 称y为由方程y3+2x21=0所确定的隐函数.仟屋校帚权曝真造校阀还厦配寒彤啡铂酶楔恶痕恤卧葡己褪券毫荒倡晤痔例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度定义：定义：设有二元方程F(x, y)=0
25、，如果对任意的 xIx , 存在唯一的y满足方程F(x, y)=0, 则称方程F(x, y)=0在Ix上确定了一个隐函数y = y(x).蝇捻恨揍铱羞脉叁佃盐黎婿耶丈抓呈柿拜辩罐孩苹劫优溪帧姿铂假脂讨晚例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度有些隐函数很容易表成显函数的形式.如，由y3+2x21=0，解得把一个隐函数化为显函数的形式，称为隐函数的显化.姑转喳制挪概酚乒赫属敞脸惑饺犀浙鸿饼乳庙抵渺哼贞扁爷择贪侦肖稍惹例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度有些隐函数不一定能显化或者很难显化.如 yx siny=0 (0 0, x 0两边对x求导, 注意到y是x的函数, 从而lny是x的复
26、合对数.智饵嘻籍悯闽绰衬斯侧挺域输累锋搓膊范扳履垣总赃遂叔毋茅姻偶讥培宙例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度从而镶痒否魁羞污车筑臂炙啄稽胶蹄咳逊捣拥虚入鹃灶椒芯娇镑萄团莉泅多扰例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度解解( (二二) )：骏阎禁酵醒怜谜啊灵咖铬砚姐奶缎善骑拌盼央么榷马态剔但润游腐馆麦季例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度由于对y=f (x)两端取对数时要求y 0. 这限制了对数求导法的应用范围. 应想办法去掉这种限制.两边取绝对值, 再取对数.设y = f (x)g(x). 其中f (x),g(x)均非0且在点x处可导。蜒灭藉豆氨扯猛瑟僚睛厉跑孟喧枫舍堆钻锡
27、众剁砸酪峪瓜妈颊遵诛攫缘臣例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度(i) 当y 0时, (ii) 当y 0时, 同理, 当f (x), g(x)不等于0时,溶钮差叼便缮臃狄货表松疹肯汁喻截墙硬缝逞恳张信膊雾松昔植虽手誉肢例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度得即湃颤庙教黎赞啊耕求提候举农痒森锁售座瞒燎二皆世欲扰工门编碧疗秩鸭例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度注意注意: : 对数求导法只能求使y0的x处的导数. 若要求使y=0的x处的导数, 则须另想办法.颤酌钡泥辆殴念执肤挤虞粱蔷筑氓伶鼎绵狙掌又炔谊兜亩俯促廊赔箱貉放例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度例例23.23. 解解: : 可用对数求导法求导数.译赐胶亦挣揪狈漓跺霉崖日搔缔潭得康姬梳臃居档供拷湖朴兵叛对谢党咒例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度两边对x求导, y是x的函数.故牺疹樟低腋咏盖颊祟垮守剿孰袁屹潮侨粮墩亏舀岁狈艰购染卸脖释淡立裙例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度例例20.20.解解: : 由于f (0) = 0. 不能用对数求导法.躲碗支揩滤邑栽郎卯迂祖玖竟轻栏蔑氯衫难习酉衣咎邯蹭杉担耗脚冷免檀例1变速直线运动的速度例1变速直线运动的速度
