第3章金融市场风险的度量

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1、山东财经大学 金融风险管理1 1第第3章章 金融市场风险的度量金融市场风险的度量 山东财经大学 金融风险管理2 2学习目标学习目标 通过本章学习，您可以了解或掌握：1. 金融市场风险度量方法的发展与演变；2. 灵敏度方法的基本原理及应用；3. 波动性方法的基本原理及应用；4. VaR方法的基本原理及应用；5. 基于历史模拟法的VaR计算方法；6. 基于Monte Carlo模拟法的VaR计算方法；7. 基于Delta、Gamma灵敏度指标的VaR计算方法；8. 压力试验和极值理论。山东财经大学 金融风险管理3 3主要内容主要内容第一节 金融市场风险度量方法的演变第二节 灵敏度方法第三节 波动性

2、方法第四节 VaR方法第五节 基于历史模拟法的VaR计算第六节 基于Monte Carlo模拟法的VaR计算第七节 基于Delta、Gamma灵敏度指标的VaR计算第八节 压力试验第九节 极值理论山东财经大学 金融风险管理4 4第一节第一节金融市场风险度量方法的演变金融市场风险度量方法的演变山东财经大学 金融风险管理5 5一、名义值度量法一、名义值度量法 1. 名名义值度量法度量法(Notional Amounts)的基本思想： 将资产组合的价值作为该组合的市场风险值。2.方法评价优点：方便简单缺点：只是粗略估计，一般会高估市场风险的大小山东财经大学 金融风险管理6 6二、灵敏度二、灵敏度方法

3、方法1. 灵敏度方法灵敏度方法(Sensitivity Measures)的基本思想可以通过基于Taylor展示式的资产组合价值随市场因子变化的二阶形式来展现： 山东财经大学 金融风险管理7 7三、波动性方法三、波动性方法 1. 波波动性方法性方法(Volatility Measure)的基本思想： 利用因市场风险因子变化而引起的资产组合收益的波动程度来度量资产组合的市场风险。2. 波动性方法实则统计学中方差或标准差的概念在风险度量中的应用。 山东财经大学 金融风险管理8 8四、四、VaR方法方法 1. VaR(Value at Risk)的定义：指市场处于正常波动的状态下，对应于给定的置信度

4、水平，投资组合或资产组合在未来特定的一段时间内所遭受的最大可能损失。2.VaR的应用领域金融风险度量确定内部经济资本需求设定风险限额绩效评估金融监管山东财经大学 金融风险管理9 9五、压力试验和极值理论五、压力试验和极值理论1. 压力力试验(Stress Testing)的核心思想：通过构造、 模拟一些极端情景，度量资产组合在极端情景发生时的可能损失大小。2. 极极值理理论(Extreme Value Theory)的核心思想： 应用极值统计方法来刻画资产组合价值变化的尾部统计特征，进而估计资产组合所面临的最大可能损失。山东财经大学 金融风险管理1010六、集成风险或综合风险度量六、集成风险或

5、综合风险度量 1. 集成集成风险或或综合合风险的定义：在各种风险“共同作用” 下金融机构所面临的整体风险。2.集成风险或综合风险的度量基于Copula函数的度量方法，其基本思想和步骤简要介绍如下：(1) 将引致集成风险的所有不同类型的风险驱动因子组成一个联合随机向量；(2) 得到单个风险因子的边缘分布函数；(3) 引入Copula函数，利用边缘分布函数获得随机向量的联合分布函数；(4) 基于联合分布函数，运用VaR等方法度量集成风险。 山东财经大学 金融风险管理1111第二节第二节灵敏度方法灵敏度方法山东财经大学 金融风险管理1212一、简单缺口模型一、简单缺口模型 1. 简单缺口模型缺口模型

6、(Simple Gap Model)主要考察经营者 所持有的各种金融产品的缺口或净暴露情况以及市 场因子变动的幅度。 几个相关概念 正暴露：正暴露：有可能获得额外收益的金融产品的暴露； 负暴露：暴露：有可能遭受损失的金融产品的暴露； 净暴露：暴露：正暴露与负暴露之差的绝对值。山东财经大学 金融风险管理1313一、简单缺口模型一、简单缺口模型( (续续) ) 2.简单缺口模型的评价： 没有考虑期限对风险的影响，或者说没有考 虑正暴露和负暴露的期限结构对风险的影响。山东财经大学 金融风险管理1414二、到期日缺口模型二、到期日缺口模型1.利用到期日缺口模型度量金融风险的基本公式： GRSGR其中，

7、 GRSG：敏感性敏感性总缺口缺口 R：某市场因子的变动幅度山东财经大学 金融风险管理1515二、到期日缺口模型二、到期日缺口模型(续续) 2.评价 (1)优点计算简单，便于实施。 (2)缺点没有考虑资产和负债所面临的市场风险；以经营者的资产负债表为基础，不能体现表外项目的市场风险；考察期的划分不可避免地存在着误差。山东财经大学 金融风险管理1616三、久期三、久期(一)久期的概念1.债券定价的基本公式 (3.2.1)2. 一阶泰勒展式 (3.2.2) 山东财经大学 金融风险管理17山东财经大学 金融风险管理18山东财经大学 金融风险管理1919三、久期三、久期 (一一)久期的概念久期的概念(

8、续续)3. Macaulay久期由(3.2.1)式和(3.2.2)式，得Macaulay久期久期 (3.2.4) 山东财经大学 金融风险管理2020三、久期三、久期 （一）久期的概念（一）久期的概念(续续)4. 离散形式的久期公式 （3.2.5） 山东财经大学 金融风险管理2121三、久期三、久期 （一）久期的概念（一）久期的概念(续续)5. 调整久期整久期或修正久期修正久期 （3.2.6） 资产的利率的利率风险一般被表述一般被表述为资产价格价格变动的百分比的百分比对到期收益率到期收益率变动的敏感性。的敏感性。山东财经大学 金融风险管理2222三、久期三、久期 （一）久期的概念（一）久期的概念

9、( (续续) )6. 有效久期(Effective Duration)针对结构更为复杂的产品，提出有效久期有效久期的概念，定义如下： 山东财经大学 金融风险管理2323三、久期三、久期( (续续) )(二) 久期的性质 性性质1 零息债券的久期是其到期期限，息票债券 久期的上限是相应的永久债券的久期。 性性质2 息票债券的久期与息票率之间呈反向关系。 性性质3 久期与贴现率之间呈反向关系。 性性质4 债券到期日与久期之间呈正向关系。 性性质5 债券组合的久期是该组合中各债券久期的 加权平均。山东财经大学 金融风险管理2424三、久期三、久期( (续续) )(三) 久期的缺陷1.对不同期限的现金

10、流采用了相同贴现率，这与实际常常不符；2.仅仅考虑了收益率曲线平移对债券价格的影响，没有考虑不同期限的贴现率变动的不同步性； 3.仅仅考虑了债券价格变化和贴现率变化之间的线性关系，只适用于贴现率变化很小的情况。 山东财经大学 金融风险管理25o修正久期越大，收益率上升所引起的债券价格下降幅度就修正久期越大，收益率上升所引起的债券价格下降幅度就越大，而收益率下降所引起的债券价格上升幅度也越大。越大，而收益率下降所引起的债券价格上升幅度也越大。同等要素条件下，修正久期小的债券比修正久期大的债券同等要素条件下，修正久期小的债券比修正久期大的债券抗利率上升风险能力强，但抗利率下降风险能力较弱。抗利率上

11、升风险能力强，但抗利率下降风险能力较弱。 o当利率水平存在上升可能，则集中投资于短期品种、当利率水平存在上升可能，则集中投资于短期品种、缩短债券久期；当利率水平有可能下降，则拉长债券久期、缩短债券久期；当利率水平有可能下降，则拉长债券久期、加大长期债券的投资，这就可以帮助我们在债市的上涨中加大长期债券的投资，这就可以帮助我们在债市的上涨中获得更高的溢价。获得更高的溢价。 o广泛应用债券的投资组合。一个长久期的债券和一个短广泛应用债券的投资组合。一个长久期的债券和一个短久期的债券组合一个中等久期的债券投资组合，增加某一久期的债券组合一个中等久期的债券投资组合，增加某一类债券的投资比例则使该组合的

12、久期向该类债券的久期倾类债券的投资比例则使该组合的久期向该类债券的久期倾斜。当进行大资金运作时，准确判断利率走势后，然后确斜。当进行大资金运作时，准确判断利率走势后，然后确定债券投资组合的久期，确定后，灵活调整各类债券的权定债券投资组合的久期，确定后，灵活调整各类债券的权重，达预期效果。重，达预期效果。 山东财经大学 金融风险管理2626四、久期缺口四、久期缺口模型模型(一) 基本公式 (3.2.9) 其中， 称为久期缺口久期缺口(Duration Gap)。山东财经大学 金融风险管理2727四、久期缺口四、久期缺口模型模型( (续续) )(二) 评价1. 优点：考虑了每笔现金流量的时间价值，

13、避免了到期日缺口模型中因时间区间划分不当而有可能带来的的误差，从而比到期日缺口模型更加精确。2.缺点： 计算较为复杂，对小规模的金融机构可能不够经济； 作为模型基础的久期概念存在一些不足。山东财经大学 金融风险管理2828五、凸性五、凸性(一)凸性的定义1. 二阶泰勒展式 （3.2.10）2.结合二阶泰勒展式和久期公式，得 其中 称为凸性凸性 山东财经大学 金融风险管理2929五、凸性五、凸性 (一一)凸性的定义凸性的定义(续续)3. 有效凸性对于内含期权以及其他现金流不确定的利率衍生产品，可以定义有效凸性有效凸性如下：山东财经大学 金融风险管理3030五、凸性五、凸性(续续)(二) 凸性的性

14、质 性性质1 贴现率增加会使得债券价格减少的幅度 比久期的线性估计值要小，而贴现率减少会使得债券价格增加的幅度比久期值估计值要大；而且凸性越大，上述效应越明显。 性性质2 收益率和久期给定时，息票率越大，债券的凸性越大。 山东财经大学 金融风险管理3131五、凸性五、凸性 (二二)凸性的性质凸性的性质(续续) 性性质3 通常债券的到期期限越长，债券的凸性越大，并且债券凸性增加的速度随到期期限的增加越来越快。 性性质4 债券组合的凸性是组合内各种债券凸性的加权平均。 山东财经大学 金融风险管理32应用举例应用举例o假假设息票息票债券的面券的面值为100元，年息利率元，年息利率为8%，到期期限，到

15、期期限为10年，每年支付一次年，每年支付一次利息。假利息。假设收益率曲收益率曲线是水平的并且是水平的并且仅仅发生平行移生平行移动。我。我们考考虑收益率曲收益率曲线由原由原来的来的8%水平向上平移水平向上平移1%到达到达9%，经过计算得到算得到债券的价券的价值在收益率在收益率变化前后分化前后分别是是100元和元和93.58234元。元。山东财经大学 金融风险管理33山东财经大学 金融风险管理341/(1+0.08)48/(1+0.08)4山东财经大学 金融风险管理3535六、六、系数和风险因子敏感系数系数和风险因子敏感系数 (一) 系数与资本资产定价模型1. 系数的公式表示 根据CAPM，在证券

16、市场处于均衡状态时， （3.2.13）其中， 即为系数系数。系数是由系数是由Sharpe（1964）等人提出的）等人提出的资产资产定价模型定价模型（CAPM）中）中给出的。出的。CAPM模型表明，在模型表明，在证券市券市场处于于均衡状均衡状态时，单个个证券的超券的超额期望收益率（也称期望收益率（也称为风险升升水）等于市水）等于市场组合的超合的超额期望收益率的期望收益率的倍。倍。 山东财经大学 金融风险管理3636六、六、系数和风险因子敏感系数系数和风险因子敏感系数 (一一) 系数与资本资产定价模型系数与资本资产定价模型(续续)2. 系数的理解 i系数实际上反映了证券i的超额期望收益率对市场组合

17、超额期望收益率的敏感性；当系数取正值时，说明所考察的证券与市场组合的走势刚好一致，反之则反是；系数满足可加性。山东财经大学 金融风险管理3737六、六、系数和风险因子系数和风险因子敏感系数敏感系数(续续) (二) 风险因子敏感系数和套利定价模型 1. 风险因子敏感系数来源于Ross于1976年提出的套利定价理论（APT）。2. 套利定价理论的一般形式 (3.2.15) 其中， 称为第 k 个风险溢价因子 的风险 因子敏感系数因子敏感系数。 山东财经大学 金融风险管理3838七、金融衍生品的灵敏度测量七、金融衍生品的灵敏度测量 1. 金融衍生品的价格F 可以表示成下面的形式 F = F（S, t

18、, r, ） （3.2.16） 其中：S表示标的物资产的当前价格，t表示当前时间，r表示无风险利率， 表示标的物资产价格的波动率。 山东财经大学 金融风险管理3939七、金融衍生品的灵敏度测量七、金融衍生品的灵敏度测量( (续续) )2. 金融衍生品定价公式的泰勒展式 （3.2.17） 山东财经大学 金融风险管理40灵敏度指标灵敏度指标 公式公式 含义含义 (Delta)反映金融衍生品价格对其标的物资产价格的线性敏感性 (Gamma)反映灵敏度系数对标的物资产价格S的灵敏性 (Theta)反映金融衍生品价格对时间变化的敏感性 (Vega)反映衍生证券价格对其标的物资产价格波动率的线性敏感性（R

19、ho）反映金融衍生品价格关于利率的线性敏感性40七、金融衍生品的灵敏度测量七、金融衍生品的灵敏度测量( (续续) )3. 金融衍生品灵敏度指标的含义解析 山东财经大学 金融风险管理41灵敏度指标灵敏度指标无收益资产组合的远期合约无收益资产组合的远期合约不付红利的欧式看涨期权不付红利的欧式看涨期权 Delta1Gamma0ThetaVega0Rho相互关系41七、金融衍生品的灵敏度测量七、金融衍生品的灵敏度测量( (续续) )4.远期合约和期权的灵敏度指标 山东财经大学 金融风险管理4242八、灵敏度度量法评述八、灵敏度度量法评述 1.主要特点：简明直观；应用方便；最适合于由单个市场风险因子驱动

20、的金融工具且市场因子变化很小的情形。山东财经大学 金融风险管理4343八、灵敏度度量法评述八、灵敏度度量法评述( (续续) ) 2. 不足：可靠性难以保证；难以定义受多个市场风险因子影响的资产组合的灵敏度指标；无法对不同市场因子驱动的风险大小进行横向比较；不能给出资产组合价值损失的具体数值；一阶灵敏度方法一般不考虑风险因子之间的相关性。山东财经大学 金融风险管理4444第三节第三节波动性方法波动性方法山东财经大学 金融风险管理4545一、单种资产风险的度量一、单种资产风险的度量 1.假设某种金融资产收益率r为随机变量，该资产的风险可用收益率标准差即波动系数来度量。 越大说明该资产面临的市场风险

21、越大，反之则反是。山东财经大学 金融风险管理4646一、单种资产风一、单种资产风险的度量险的度量( (续续) ) 2. 当无法准确知道资产收益率的概率分布时，可利用随机变量r的若干个历史样本观测值来估计 r的数学期望和标准差：期望：标准差：山东财经大学 金融风险管理4747二、资产组合风险的度量二、资产组合风险的度量 (一)基本思路 用收益率的方差或标准差来度量资产组合的风险。(二)相关的计算公式1.数学期望 (3.3.3)2.方差 （3.3.4）3.相关系数 (3.3.5) 山东财经大学 金融风险管理4848三、特征风险、系统性风险与风险分三、特征风险、系统性风险与风险分散化散化(一)资产组

22、合收益率方差 令 ,且所有单个资产的风险相同,则可得 资产组合收益率的方差为(二)讨论 1. 若 ,则 ，从而 。 2. 若 ,则 山东财经大学 金融风险管理49风险分散风险分散山东财经大学 金融风险管理5050四、波动性方法的优缺点评述四、波动性方法的优缺点评述 1. 优点：含义清楚，应用也比较简单。2. 缺点：对资产组合未来收益概率分布的准确估计比较困难;仅描述资产组合未来收益的波动程度，并不能说明资产组合价值变化的方向;无法给出资产组合价值变化的具体数值 。山东财经大学 金融风险管理5151第四节第四节 VaR方法方法山东财经大学 金融风险管理5252一、一、VaR方法的基本概念方法的基

23、本概念(一) VaR的定义 指市指市场处于于正常波正常波动的状的状态下，下，对应于于给定的定的置置信度水平信度水平，投，投资组合或合或资产组合在未来特定合在未来特定的的一段一段时间内内所遭受的最大可能所遭受的最大可能损失失。用数学。用数学语言可表示言可表示为 (3.4.1) 山东财经大学 金融风险管理5353一、一、VaR方法的基本概念方法的基本概念山东财经大学 金融风险管理54%W* *相对相对VaRVaRW绝对绝对VaRVaRVaR的计算的计算山东财经大学 金融风险管理5555一一、VaR方法的基本概念方法的基本概念( (续续) )(二) VaR的基本特点：1.仅在市场处于正常波动的状态下

24、才有效，无法准确度量极端情形时的风险；2.VaR值是一个概括性的风险度量值；3.VaR值具有可比性(Comparable) ；4.时间跨度越短，假定收益率服从正态分布计算的VaR值越准确、有效；5.置信度和持有期是影响VaR值的两个基本参数。 山东财经大学 金融风险管理56山东财经大学 金融风险管理5757一、一、VaR方法的基本概念方法的基本概念( (续续) )(三) 置信度和持有期的选择和设定1.持有期的选择和设定需考虑以下因素: (1) 考虑组合收益率分布的确定方式; a:a:直接假定（正直接假定（正态）分布，持有期越短，）分布，持有期越短，计算算值越有效、可靠越有效、可靠;b:;b:历

25、史史样本数据来模本数据来模拟收益率的概收益率的概率分布。持有期越率分布。持有期越长，数据，数据历史跨度就越史跨度就越长，问题困困难就越多。（数据就越多。（数据难获得；数据得；数据处理理计算模算模拟复复杂，操作成本高；，操作成本高；时间越久数据包含的信息越久数据包含的信息越少）因此越少）因此选择较短的持有期。短的持有期。 山东财经大学 金融风险管理5858一、一、VaR方法的基本概念方法的基本概念( (续续) ) (2) 考虑组合所处市场的流动性和所持组合头寸交易的频繁性。 计算算VaRVaR时一般假定持有期内一般假定持有期内组合的合的头寸保持不寸保持不变，无，无视持有期内持有期内组合合头寸的寸

26、的变化而得到的化而得到的VaRVaR值是不可靠的。是不可靠的。为保保证varvar值的可靠性的可靠性应选择较短的持有期。若市短的持有期。若市场流流动性性较差，投差，投资着着调整整头寸的寸的频率和可能性比率和可能性比较小，小，则宜宜选择较长的持有的持有期。期。19971997年底生效的年底生效的 巴塞巴塞尔委委员会的会的资本充足本充足性条款，将内部模型使用的持有期性条款，将内部模型使用的持有期设定定为1010个交个交易日。易日。山东财经大学 金融风险管理5959一一、VaR方法的基本概念方法的基本概念 (三三) 置信度和持有期选择和设定置信度和持有期选择和设定(续续) 2. 置信度的选择和设定需

27、考虑以下因素： (1) 考虑历史数据的可得性、充分性；为保保证可靠可靠性，性，稳定性需要定性需要设置置较高置信度，高置信度，对应VaR值就越大，就越大，历史史样本数据就越本数据就越多。但多。但过高置信度使高置信度使损失超失超过VaR的的历史数据就越少，有效性和可靠性无史数据就越少，有效性和可靠性无法保法保证。所以置信度的。所以置信度的选择必必须考考虑历史数据的可得性。史数据的可得性。 (2) 考虑VaR的用途；比较or确定资本99% (3) 考虑比较的方便。利用利用VaR对不同的金融机构的不同的金融机构的风险进行比行比较分析，但不同置信度下的分析，但不同置信度下的VaR值的比的比较没有意没有意

28、义。山东财经大学 金融风险管理6060二、二、VaR的计算的计算(一一) VaR的的计算方法概括算方法概括 计算算VaR值的核心的核心问题是估是估计资产组合未来合未来损益益P的概率分布。的概率分布。 山东财经大学 金融风险管理6161二二、VaR的计算的计算 (一一) VaR的计算方法概括的计算方法概括( (续续) ) 3. VaR计算方法的分算方法的分类(根据根据P 分布确定方法划分分布确定方法划分)(1)收益率映射估收益率映射估值法：直接法：直接应用用组合中合中资产的投的投资收益收益率来确定率来确定P分布分布。（。（历史数据确定概率分布）史数据确定概率分布）(2) 但当但当组合包含的合包含

29、的资产种种类和数量和数量较多多时，很，很难得到所有金融工具的得到所有金融工具的历史数据史数据风险因子映射估因子映射估值法：将法：将组合价合价值表示成表示成风险因子的函因子的函数，然后通数，然后通过风险因子的因子的变化来估化来估计组合的未来合的未来损益益分布。分布。进一步分一步分为： 风险因子映射估因子映射估值模模拟法法 风险因子映射估因子映射估值分析法分析法山东财经大学 金融风险管理6262二、二、VaR的计算的计算( (续续) )(二二) 基于收益率映射估基于收益率映射估值法的法的VaR计算算1. 绝对VaR和和相相对VaR的概念的概念(1) 以以组合的初始合的初始值为基点考察持有期内基点考

30、察持有期内组合的价合的价值变化化即即 PA=P-P0= P0R (3.4.3) 由此求得的由此求得的VaR称称为绝对VaR，记为VaRA 。(2) 以持有期内以持有期内组合的合的预期收益期收益为基点考察持有期内基点考察持有期内组合合的价的价值变化，即化，即PR=P-E(P)= P0(R-) (3.4.4) 由此求得的由此求得的VaR称称为相相对VaR ，记为VaRR 。山东财经大学 金融风险管理6363二、二、VaR的的计算计算 (二二) 基于收益率映射估值法的基于收益率映射估值法的VaR计算计算(续续) 2. 组合的投资收益率服从正态分布的日组合的投资收益率服从正态分布的日VaR计算计算假设

31、初始价值为假设初始价值为P0，日投资收益率，日投资收益率R服从正态分服从正态分布，期望收益率与波动率分别为布，期望收益率与波动率分别为和和，于是在于是在置信度置信度c下分别得到日绝对下分别得到日绝对VaRA山东财经大学 金融风险管理64山东财经大学 金融风险管理6565二、二、VaR的的计算计算 (二二) 基于收益率映射估值法的基于收益率映射估值法的VaR计算计算(续续) 2. 组合的投资收益率服从正态分布的日组合的投资收益率服从正态分布的日VaR计算计算假设初始价值为假设初始价值为P0，日投资收益率日投资收益率R服从正态分服从正态分布，期望收益率与波动率分别为布，期望收益率与波动率分别为和和

32、，于是在于是在置信度置信度c下分别得到日绝对下分别得到日绝对VaRA 和日相对和日相对VaRR：(3.4.6)(3.4.7) 山东财经大学 金融风险管理6666二二、VaR的计算的计算 (二二) 基于收益率映射估值法的基于收益率映射估值法的VaR计算计算(续续) 3. 组合中资产的投资收益率服从正态分布的日组合中资产的投资收益率服从正态分布的日VaR计计算算 假设组合由假设组合由n种资产构成种资产构成 ，n种资种资产的日投资收益率产的日投资收益率向量服从向量服从n维正态分布维正态分布山东财经大学 金融风险管理6767二二、VaR的计算的计算 (二二) 基于收益率映射估值法的基于收益率映射估值法

33、的VaR计算计算(续续) 当以组合的初始值为基点考察组合的日价值变化时，当以组合的初始值为基点考察组合的日价值变化时，资产资产i的日损益的日损益 ，组合的日损益率为，组合的日损益率为根据正态分布的可加性得根据正态分布的可加性得R服从正态分布服从正态分布山东财经大学 金融风险管理6868二、二、VaR的计算的计算 (二二) 基于收益率映射估值法的基于收益率映射估值法的VaR计算计算(续续) 在置信度c下资产组合的日绝对VaR： 山东财经大学 金融风险管理6969二、二、VaR的计算的计算 (二二) 基于收益率映射估值法的基于收益率映射估值法的VaR计算计算(续续) 同理当组合中资产的日预期价值为

34、基点时，资同理当组合中资产的日预期价值为基点时，资产产i的日损益的日损益 ，于是组合的日，于是组合的日损益为损益为 服从正态分布服从正态分布可直接验证可直接验证 山东财经大学 金融风险管理7070二、二、VaR的计算的计算 (二二) 基于收益率映射估值法的基于收益率映射估值法的VaR计算计算(续续) 4. 关于资产组合的关于资产组合的VaR计算计算 资产组合的初始价值资产组合的初始价值 ，在置信，在置信度度c下资产组合的日绝对下资产组合的日绝对VaR和日相对和日相对VaR分别分别为：为：日绝对日绝对VaR：日相对日相对VaR： 山东财经大学 金融风险管理7171二、二、VaR的的计算计算 (二

35、二) 基于收益率映射估值法的基于收益率映射估值法的VaR计算计算(续续) 5. 关于关于VaR的的时间加加总问题(1)基本思路：当求出基本思路：当求出1单位的位的VaR，可直接利用，可直接利用时间加加总公公式求出持有期式求出持有期为t的的VaR。(2)计算公式算公式根据独立同分布随机根据独立同分布随机变量和的分布特征可知，量和的分布特征可知，组合在合在t日的日的投投资收益率服从正收益率服从正态分布分布 ，于是，于是t日的日的绝对VaR和相和相对VaR分分别为 绝对VaR: 相对VaR:山东财经大学 金融风险管理7272二、二、VaR的计算的计算 (二二) 基于收益率映射估值法的基于收益率映射估

36、值法的VaR计算计算(续续) 6.收益率映射估收益率映射估值法法优缺点缺点评述述(1)优点：原理点：原理简单，尤其在正，尤其在正态分布假分布假设下下应用更加方便。用更加方便。 (2) 缺点：缺点：组合中金融工具之合中金融工具之间相关系数的确定常常比相关系数的确定常常比较困困难，计算量大算量大;克服方法：其一克服方法：其一为风险因子映射估因子映射估值法；其二采用主成分分析法；其二采用主成分分析正正态分布的假分布的假设常常与常常与实际中的尖峰厚尾中的尖峰厚尾现象不符合。象不符合。克服方法：极克服方法：极值理理论山东财经大学 金融风险管理73（三）（三）计算算VaR的一般步的一般步骤 (1) 建立映

37、射关系；建立映射关系；把把组合中每一合中每一项资产头寸的价寸的价值表示表示为投投资收益率或收益率或风险因子的函数表达式。因子的函数表达式。 (2) 建模；建模；利用投利用投资收益率或收益率或风险因子的因子的历史数据，史数据，结合合统计的方法刻画出投的方法刻画出投资收益率或收益率或风险因子的分布特征或因子的分布特征或动态变化化规律。律。 (3) 给出估出估值模型和模型和VaR值。山东财经大学 金融风险管理7474三、边际三、边际VaR、增量、增量VaR和成分和成分VaR 由于由于实际中的投中的投资者或者或组合管理者合管理者进一步一步了解了解构成构成组合的每合的每项资产头寸以及每寸以及每项资产头寸

38、的寸的调整整变化化对整个整个组合合风险的影响的影响。引入了。引入了边际VaR、增量、增量VaR 、成分、成分VaR 。 山东财经大学 金融风险管理7575三、边际三、边际VaR、增量、增量VaR和成分和成分VaR(一) 边际VaR(Marginal VaR，简记为M-VaR) 设资产组合 ，所谓的边际VaR是指资产组合中资产的头寸变化而导致的组合VaR的变化，即 (3.3.14) 山东财经大学 金融风险管理76山东财经大学 金融风险管理7777三、边际三、边际VaR、增量、增量VaR和成分和成分VaR(续续)(二二)增量增量VaR(Incremental VaR，简记为I-VaR) 投投资者或

39、者或组合管理者通常都需要考合管理者通常都需要考虑是否在原来是否在原来的的资产组合中增加或剔除一合中增加或剔除一项或几或几项资产，也就，也就要考要考虑增加或剔除增加或剔除资产后后资产组合合风险状况的状况的变化，化，为此我此我们引入了增量引入了增量VaR的概念。的概念。山东财经大学 金融风险管理7878三、边际三、边际VaR、增量、增量VaR和成分和成分VaR(续续)(二)增量VaR(Incremental VaR，简记为I-VaR) 假设在原来资产组合 的基础上，新增加另一个资产组合 ，并将调整后的资产组合的VaR记为VaR(w+dw)。 于是，dw的VaR，即增量增量VaR被定义为 I-VaR

40、(dw)VaR(w+dw)VaR(w) (3.4.17)山东财经大学 金融风险管理7979三、边际三、边际VaR、增量、增量VaR和成分和成分VaR(续续)(三三) 成分成分VaR(Component VaR，简记为，简记为C-VaR)1.定义定义 若资产组合若资产组合 中资产中资产 i 的的VaR(记为记为 )满足满足 则称则称 为该资产为该资产i 的成分的成分VaR。 山东财经大学 金融风险管理8080三、边际三、边际VaR、增量、增量VaR和成分和成分VaR (三三) 成分成分VaR ( (续续) )2.C-VaR的四个特性：的四个特性：(1)组合中所有合中所有资产的成分的成分VaR之和

41、恰好等于之和恰好等于组合的合的VaR；(2)资产i的成分的成分VaR恰好恰好为资产i对组合合VaR的的贡献份献份额；山东财经大学 金融风险管理8181三、边际三、边际VaR、增量、增量VaR和成分和成分VaR (三三) C-VaR (续续) (3)若某若某资产的成分的成分VaR为负，则该资产可可对冲冲组合其余部分的合其余部分的风险，且，且对冲量冲量为成分成分VaR；(4)当当资产组合的合的 n 维收益率向量收益率向量 R 服从服从 n 维正正态分布分布 时，资产 i 的成分的成分VaR为： 山东财经大学 金融风险管理8282四、四、VaR方法的优缺方法的优缺点评述点评述 1. VaR方法的三个

42、方法的三个优点：点： VaR方法可以方法可以测量不同量不同风险因子、不同金融因子、不同金融工具构成的复工具构成的复杂资产组合以及不同合以及不同业务部部门所面所面临的的总体体风险；VaR方法提供了一个概括性的且具有可比性方法提供了一个概括性的且具有可比性的的风险度量度量值；VaR方法能更加体方法能更加体现出投出投资组合分散化合分散化对降降低低风险的作用。的作用。 山东财经大学 金融风险管理8383四、四、VaR方法的优方法的优缺点评述缺点评述( (续续) )2.VaR方法的八个局限性：方法的八个局限性： (1) 决定决定组合价合价值变化的化的风险因子在未来的因子在未来的发展展变化同化同过去的行去

43、的行为一致的一致的隐含假定与含假定与实际不符；不符； (2) 正正态性假性假设不能准确刻画不能准确刻画资产收益率分布收益率分布经常常出出现的尖峰、厚尾、非的尖峰、厚尾、非对称等分布特征；称等分布特征； (3) 基于同基于同样的的历史数据，运用不同方法所史数据，运用不同方法所计算的算的VaR值往往差异往往差异较大；大； (4) 不能准确度量金融市不能准确度量金融市场处于极端情形于极端情形时的的风险；山东财经大学 金融风险管理8484四、四、VaR方法的方法的优缺点评述优缺点评述( (续续) ) (5) 可能不可能不满足次可加性足次可加性(Sub-additive)； (6) 对组合合损益的尾部特

44、征的描述并不充分，从益的尾部特征的描述并不充分，从而而对风险的刻画也不完全；的刻画也不完全； (7) VaR方法得到的是方法得到的是统计意意义上的上的结论，对个个体所得体所得结论并不确定；并不确定； (8) 计算算VaR时对历史数据的搜集、史数据的搜集、处理一般比理一般比较繁繁杂，而且有，而且有时还无法无法获得相得相应的的历史数史数据；同据；同时，计算复算复杂，计算量也比算量也比较大。大。 山东财经大学 金融风险管理8585第五节第五节基基于历史模拟法的于历史模拟法的VaR计算计算山东财经大学 金融风险管理8686引言引言1. 历史模史模拟法法(Historical Simulation，有，

45、有时简记为HS)包括：包括：标准准历史模史模拟方法方法(Standard Historical Simulation，简记为SHS)加加权历史模史模拟法法(Weighted Historical Simulation)滤波波历史模史模拟法法(Filtered Historical Simulation) 山东财经大学 金融风险管理8787一、基于一、基于标准历史模拟法计算标准历史模拟法计算VaR的的基本原理和实施步骤基本原理和实施步骤(一一) 基本原理基本原理 1. 将各个将各个风险因子在因子在过去某一去某一时期上的期上的变化分布化分布或或变化情景准确刻画出来，作化情景准确刻画出来，作为该风险

46、因子未因子未来的来的变化分布或化分布或变化情景；化情景；2. 在上述基在上述基础上通上通过建立建立风险因子与因子与资产组合价合价值之之间的映射表达式模的映射表达式模拟出出资产组合未来可能合未来可能的的损益分布；益分布；3. 计算算给定置信度下的定置信度下的VaR。山东财经大学 金融风险管理88o 标准准历史模史模拟法法不需要不需要假假设市市场风险因子服从某种概率分布，而是因子服从某种概率分布，而是直接用直接用风险因子因子过去的去的变化分布表示未来的化分布表示未来的变化分布，化分布，所以所以标准准历史模史模拟法不需要法不需要进行参数估行参数估计，因而是一种非参数全因而是一种非参数全值估估计法。法

47、。一、基于一、基于标准准历史模史模拟法法计算算VaR的的基本原理和基本原理和实施步施步骤山东财经大学 金融风险管理8989一、基于一、基于标准历史模拟法计算标准历史模拟法计算VaR的的基本原理和实施步骤基本原理和实施步骤( (续续) )(二二) 一般一般计算步算步骤1. 识别风险因子因子变量，建立量，建立证券券组合价合价值与与风险因子因子变量之量之间的映射关系；的映射关系；2. 用用历史数据模史数据模拟风险因子未来可能取因子未来可能取值；3. 计算算证券券组合未来价合未来价值水平或水平或损益分布；益分布；4. 基于基于损益分布益分布计算置信度算置信度c下的下的VaR。山东财经大学 金融风险管理

48、90一、基于一、基于标准准历史模史模拟法法计算算VaR的的基本原理和基本原理和实施步施步骤山东财经大学 金融风险管理91一、基于一、基于标准准历史模史模拟法法计算算VaR的的基本原理和基本原理和实施步施步骤山东财经大学 金融风险管理92山东财经大学 金融风险管理93o根据根据标准准历史模史模拟法的假定，即法的假定，即风险因子因子变量量的未来的未来变化完全等同于化完全等同于过去，于是可以用去，于是可以用风险因子因子变量量过去已去已经发生的生的T种种变化作化作为风险因子因子未来可能出未来可能出现的的T种种变化，从而化，从而风险因子因子变量量 未来的可能取未来的可能取值为一、基于一、基于标准准历史模

49、史模拟法法计算算VaR的的基本原理和基本原理和实施步施步骤山东财经大学 金融风险管理94山东财经大学 金融风险管理9595一、基于一、基于标准历史模拟法计算标准历史模拟法计算VaR的的基本原理和实施步骤基本原理和实施步骤( (续续) )(三三) 举例例1. 假假设某美国公司于某美国公司于1998年年12月月31日日持有一份三个月后到期、以持有一份三个月后到期、以16.5百万百万美元交美元交换10百万英百万英镑的的远期合期合约。用。用标准准历史模史模拟法法计算算这家美国公司于家美国公司于1998年年12月月31日持有日持有该合合约在在c=95%置信度下的日置信度下的日VaR值。 山东财经大学 金

50、融风险管理96962. 定义以下符号：定义以下符号：S ：以美元表示的英镑的即期价格；：以美元表示的英镑的即期价格；K ：货币远期合约中的约定价格，：货币远期合约中的约定价格，K=1.65；f ：远期合约的市场价值；：远期合约的市场价值；r ：用年化的百分率表示的：用年化的百分率表示的3个月的美元利率；个月的美元利率；r*：用年化的百分率表示的：用年化的百分率表示的3个月的英镑利率；个月的英镑利率； ：合约的到期期限，：合约的到期期限，=92/365年；年； ：3个月的美元折现因子；个月的美元折现因子； ：3个月的英镑折现因子。个月的英镑折现因子。 一、基于一、基于标准历史模拟法计算标准历史模

51、拟法计算VaR的基本原的基本原 理和实施步骤理和实施步骤 (三三)举例举例( (续续) )山东财经大学 金融风险管理97973.分四步分四步计算算(1)第一步确定第一步确定风险因子，分因子，分别为即期即期汇率率S、美元利率美元利率r以及英以及英镑利率利率r*；再建立；再建立远期合期合约的市的市场价价值与上述市与上述市场风险因子之因子之间的函的函数表达式，即数表达式，即 一、基于一、基于标准历史模拟法计算标准历史模拟法计算VaR的基本原的基本原 理和实施步骤理和实施步骤 (三三)举例举例( (续续) )山东财经大学 金融风险管理9898(2) 第二步，第二步，选取市取市场风险因子从因子从1998

52、年年8月月10日至日至拟考察的日期考察的日期12月月31日之日之间101个交易日的个交易日的连续历史数据，并史数据，并对应地地计算出即期算出即期汇率率S的的值，见后面的表格。后面的表格。 一、基于一、基于标准历史模拟法计算标准历史模拟法计算VaR的基本原的基本原 理和实施步骤理和实施步骤 (三三)举例举例( (续续) )山东财经大学 金融风险管理9999t日期日期（1998年）年）r（%/年）年）r*（%/年）年）S（美元（美元/英镑）英镑）012月月31日日4.93755.96881.6637112月月30日日4.9686.9671.6108212月月29日日5.0076.9891.6087

53、312月月28日日4.9947.0161.60855412月月25日日4.9746.9821.61005一、基于一、基于标准历史模拟法计算标准历史模拟法计算VaR的基本原的基本原 理和实施步骤理和实施步骤 (三三)举例举例( (续续) )山东财经大学 金融风险管理100100(3) (3) 第三步第三步计算算S S、r r和和r r* *在在19991999年年1 1月月4 4日的日的100100个可能取个可能取值，此，此时T=100T=100；并；并对应计算出算出远期合期合约价价值和和损益益值在在19991999年年1 1月月4 4日的日的100100个可能取个可能取值，具体的，具体的计算算

54、结果果见后后面的表格。面的表格。 一、基于一、基于标准历史模拟法计算标准历史模拟法计算VaR的基本原的基本原 理和实施步骤理和实施步骤 (三三)举例举例( (续续) )山东财经大学 金融风险管理101101t风险因子可能值风险因子可能值r（%/年）年）r*（%/年）年）S（美元（美元/英镑）英镑）14.9074.97061.716624.89855.94681.665834.95055.94181.6638544.95756.00281.662254.93755.94881.66315一、基于一、基于标准历史模拟法计算标准历史模拟法计算VaR的基本原的基本原 理和实施步骤理和实施步骤 (三三)

55、举例举例( (续续) )山东财经大学 金融风险管理102102t风险因子可能值风险因子可能值r（%/年）年）r*（%/年）年）S（美元（美元/英镑）英镑）14.9074.97061.716624.89855.94681.665834.95055.94181.6638544.95756.00281.662254.93755.94881.66315r(1) r(0)r(-1) r(0)r(0)r(-1)= 4.9375+ 4.9375- 4.968一、基于一、基于标准历史模拟法计算标准历史模拟法计算VaR的基本原的基本原 理和实施步骤理和实施步骤 (三三)举例举例( (续续) )r(4)r(0)

56、r(-3)r(-4) r(0)r(-4)山东财经大学 金融风险管理103103t风险因子可能值风险因子可能值r（%/年）年）r*（%/年）年）S（美元（美元/英镑）英镑）14.9074.97061.716624.89855.94681.665834.95055.94181.6638544.95756.00281.662254.93755.94881.66315S(4)S(0)S(-4)=S(0) S(-3)S(-4)=1.6637+1.60855-1.61005一、基于一、基于标准历史模拟法计算标准历史模拟法计算VaR的基本原的基本原 理和实施步骤理和实施步骤 (三三)举例举例( (续续) )

57、山东财经大学 金融风险管理104104(4)第四步将第四步将远期合期合约在在1999年年1月月4日的日的100个个损益益值的可能取的可能取值从大到小排列，从大到小排列，可得到可得到远期合期合约在在1999年年1月月4日的日的损益分布；益分布；计算出算出95%置信度下的分位置信度下的分位数数为Tc= 10095% =95，则第第Tc+1=96个数个数值26408.2977美元，即美元，即为美国公司持有美国公司持有该合合约在在95%置信度置信度下的日下的日VaR值。具体。具体结果果见后面的表后面的表格。格。 一、基于一、基于标准历史模拟法计算标准历史模拟法计算VaR的基本原的基本原 理和实施步骤理

58、和实施步骤 (三三)举例举例( (续续) )山东财经大学 金融风险管理105105t风险因子可能值风险因子可能值远期合约价值远期合约价值f的可能取值的可能取值（美元）（美元）远期合约损益远期合约损益值值f的可能的可能取值（美元）取值（美元）r（%/年）年）r*（%/年）年）S（美元（美元/英英镑）镑）14.9074.97061.7166655265.6353561684.635324.89855.94681.6658113592.00320011.00334.95055.94181.6638596672.741763091.74175544.95756.00281.662278235.1592

59、7-15345.840754.93755.94881.6631588969.37713-4611.62287f2f2f0=113592.003-93581一、基于一、基于标准历史模拟法计算标准历史模拟法计算VaR的基本原的基本原 理和实施步骤理和实施步骤 (三三)举例举例( (续续) )山东财经大学 金融风险管理106106Kt风险因子可能值风险因子可能值远期合约价值远期合约价值f的可能取值的可能取值（美元）（美元）远期合约损益值远期合约损益值f的可能取值的可能取值（美元）（美元）r（%/年）年）r*（%/年）年）S（美元（美元/英英镑）镑）934.87655.90781.661672894.

60、64051-20686.3595944.93455.99581.661671680.40446-21900.5955954.91856.05581.661971572.65537-22008.3446964.90855.92281.6609567172.70234-26408.2977974.86155.98281.6613566802.61306-26778.3869f从大到小排列一、基于一、基于标准历史模拟法计算标准历史模拟法计算VaR的基本原的基本原 理和实施步骤理和实施步骤 (三三)举例举例( (续续) )山东财经大学 金融风险管理107107Kt风险因子可能值风险因子可能值远期合约价

61、值远期合约价值f的可能取值的可能取值（美元）（美元）远期合约损益值远期合约损益值f的可能取值的可能取值（美元）（美元）r（%/年）年）r*（%/年）年）S（美元（美元/英英镑）镑）934.87655.90781.661672894.64051-20686.3595944.93455.99581.661671680.40446-21900.5955954.91856.05581.661971572.65537-22008.3446964.90855.92281.6609567172.70234-26408.2977974.86155.98281.6613566802.61306-26778.38

62、69 95%置信度下的分位数：Tc=10095% =95VaR=f (kTc+1) =f (96)一、基于一、基于标准历史模拟法计算标准历史模拟法计算VaR的基本原的基本原 理和实施步骤理和实施步骤 (三三)举例举例( (续续) )山东财经大学 金融风险管理108108二、计算二、计算VaR的标准历史模拟法评述的标准历史模拟法评述 (一一) 优点点 1.直直观、简单、便于理解，、便于理解，计算算过程容易掌握；程容易掌握；2.非参估非参估计，减少参数估，减少参数估计风险和模型和模型风险；3.不用假定市不用假定市场风险因子未来因子未来变化的分布形式，化的分布形式，可以可以处理非理非对称和尖峰厚尾等

63、称和尖峰厚尾等问题；4.能能够处理非理非线性性问题；5.原理原理简单而而实用，所以容易与用，所以容易与计算算VaR的其他的其他方法相融合，从而也容易被改方法相融合，从而也容易被改进和推广。和推广。 山东财经大学 金融风险管理109109二、计算二、计算VaR的标准历史模拟法评述的标准历史模拟法评述( (续续) )(二二) 不足不足1.风险因子的未来因子的未来变化等同于化等同于历史数据史数据变化的基化的基本假本假设与与现实不符；不符；2.风险因子因子历史数据在未来史数据在未来时刻等概率出刻等概率出现的假的假设，与，与现实也也经常不符；常不符；3.获取大量取大量连续历史数据并非易事；史数据并非易事

64、；4.得到的得到的VaR值的波的波动性性较大，大，稳健性健性较差；差；5.第三第三节所言有关所言有关VaR方法的一些缺陷仍然存在。方法的一些缺陷仍然存在。 山东财经大学 金融风险管理110110三、计算三、计算VaR的标准历史模拟法的标准历史模拟法的修正及扩展的修正及扩展 (一一) 时间加权历史模拟法时间加权历史模拟法 1.假设风险因子在过去第假设风险因子在过去第t期的变化值期的变化值fi (-t)、可可能价值能价值V(t)和可能损益值和可能损益值V(t)在未来出现的可在未来出现的可能性能性(权数权数)都是都是2. 根据置信度根据置信度c计算分位数时，即求满足计算分位数时，即求满足 的最大值的

65、最大值m，于是损益分布中所对应的第，于是损益分布中所对应的第m个值个值V(km)即为置信度即为置信度c下的下的VaR。山东财经大学 金融风险管理111山东财经大学 金融风险管理112o采用时间加权历史模拟法可以得到比标准历史采用时间加权历史模拟法可以得到比标准历史模拟法更好的模拟法更好的VaRVaR值值o但是时间加权历史模拟法仍没有考虑但是时间加权历史模拟法仍没有考虑市市场风险因子波因子波动性性在在不同不同时期的差异期的差异对市场风险因子对市场风险因子的影响。的影响。三、三、计算算VaR的的标准准历史模史模拟法法的修正及的修正及扩展展( (续) )山东财经大学 金融风险管理113113三、计算

66、三、计算VaR的标准历史模拟法的标准历史模拟法的修正及扩展的修正及扩展( (续续) )(二二) 波波动率加率加权历史模史模拟法法1.根据根据历史数据建立史数据建立风险因子因子时间序列模型；序列模型；2.模模拟风险因子在因子在历史数据史数据选用区用区间中的波中的波动率率以及未来以及未来时期的波期的波动率率 (t=1,2,T)和和 ；3.用下式用下式对历史数据史数据权重加以重加以调整整4.再再选择标准准历史模史模拟法或者法或者时间加加权历史模史模拟法法计算算VaR。 山东财经大学 金融风险管理114o波波动率加率加权历史模史模拟法的主要改法的主要改进在于通在于通过建立建立风险因因子子时间序列模型来

67、判序列模型来判别是否需要是否需要对选定的定的历史数据史数据进行行调整并提出整并提出调整方法。整方法。o若若历史数据史数据选用区用区间的波的波动率明率明显高于或低于未来高于或低于未来时期期风险因子的波因子的波动率，那么借助于率，那么借助于标准准历史模史模拟法或法或时间加加权历史模史模拟法，不加法，不加调整地直接用整地直接用历史数据史数据选用区用区间的数据的数据计算得到的算得到的VaR将会高估或者低估将会高估或者低估资产组合未来合未来的的实际风险。三、三、计算算VaR的的标准准历史模史模拟法法的修正及的修正及扩展展( (续) )山东财经大学 金融风险管理115o例如，当由新模型预测的未来波动率值大

68、于历例如，当由新模型预测的未来波动率值大于历史数据选用区间的波动率值时，利用史数据选用区间的波动率值时，利用 调整调整后的数据显然会放大原始数据，因为后的数据显然会放大原始数据，因为 此时就不会因为在历史数据选用区间中缺少极此时就不会因为在历史数据选用区间中缺少极端历史数据而及大地低估未来风险，反之则反端历史数据而及大地低估未来风险，反之则反是。是。三、三、计算算VaR的的标准准历史模史模拟法法的修正及的修正及扩展展( (续) )山东财经大学 金融风险管理116116第六节第六节基于基于Monte Carlo模拟法的模拟法的VaR计算计算山东财经大学 金融风险管理117117一、一、Monte

69、 Carlo模拟模拟法法 (一一) 基本原理与基本原理与实施步施步骤1. 解决解决问题时如果没有如果没有实际数据，数据，则无法借助随无法借助随机抽机抽样统计分析方法分析方法对总体体进行推断，怎么行推断，怎么办?在美国研制原子在美国研制原子弹的的“曼哈曼哈顿计划划”中，需中，需要要计算中子算中子进入反入反应堆屏障的堆屏障的随机性运随机性运动，但无法但无法获得得实际数据。数据。解决解决办法：运用法：运用计算机算机产生随机数。生随机数。冯诺伊曼（伊曼（Von Neumann）借用）借用赌城城Monte Carlo来来为这种方法命名。种方法命名。山东财经大学 金融风险管理118118一、一、Monte

70、 Carlo模拟法模拟法 (一一) 基本原理与实施步骤基本原理与实施步骤( (续续) )2. Monte Carlo模模拟法的法的应用用领域：域：(1)求解确定性求解确定性问题积分的数分的数值计算；算；各各类方程的求解等。方程的求解等。(2)求解随机性求解随机性问题运筹学中的运筹学中的库存存问题；随机服随机服务系系统中的排中的排队问题；金融金融资产价格的价格的变化化问题等。等。山东财经大学 金融风险管理1191193. 本文通本文通过Monte Carlo模模拟法法计算算资产组合合VaR所涉及到的有关金融所涉及到的有关金融问题几乎都是随机性的，几乎都是随机性的，求解随机性求解随机性问题的的Mo

71、nte Carlo模模拟法的成功法的成功实施主要取决于三个基本要素：施主要取决于三个基本要素：用以模用以模拟随机随机变量未来量未来变化路径的随机模型化路径的随机模型的准确性；的准确性；每次模每次模拟的独立性；的独立性；足足够多的模多的模拟次数。次数。 一、一、Monte Carlo模拟法模拟法 (一一) 基本原理与实施步骤基本原理与实施步骤( (续续) )山东财经大学 金融风险管理120 布朗运动（布朗运动（Brownian MotionBrownian Motion）起源于英国植物学）起源于英国植物学家布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。家布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。 120

72、山东财经大学 金融风险管理121山东财经大学 金融风险管理122山东财经大学 金融风险管理123山东财经大学 金融风险管理124山东财经大学 金融风险管理125山东财经大学 金融风险管理126山东财经大学 金融风险管理127 127 对于标准布朗运动来说：设对于标准布朗运动来说：设 代表一个代表一个小的时间间隔长度，小的时间间隔长度， 代表变量代表变量z z在在 时时间内的变化，遵循标准布朗运动的间内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两具有两种特征：种特征：特征特征1 1： 和和 的关系满足：的关系满足： = =其中，其中， 代表从标准正态分布（即均值为代表从标准正态分布（即均值为0 0、标、标

73、准差为准差为1 1的正态分布）中取的一个随机值。的正态分布）中取的一个随机值。特征特征2 2：对于任何两个不同时间间隔：对于任何两个不同时间间隔 ， 的值相互独立。的值相互独立。山东财经大学 金融风险管理128市场有效理论与随机过程市场有效理论与随机过程 1965年，法玛（年，法玛（Fama）提出）提出了著名的效率市场假说。该假说认了著名的效率市场假说。该假说认为，证券价格对新的市场信息的反为，证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息。全反应全部信息。1、弱式效率市场假说、弱式效率市场假说2、半强式效率市场假说、半强式效率市场假说3、

74、强式效率市场假说、强式效率市场假说 根据众多学者的实证研根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场究，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假大体符合弱式效率市场假说。一般认为，弱式效率说。一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机市场假说与马尔可夫随机过程（过程（Markov Stochastic Process）是内在一致的。）是内在一致的。因此我们可以用数学来刻因此我们可以用数学来刻画股票的这种特征。画股票的这种特征。有效有效市市场三个三个层次次128山东财经大学 金融风险管理129设 , 表示t时刻资产总数和增长率, 只考虑增长率,其它因素的影响不考虑. 则在t至t+ 这段时间内财富总额

75、的增长为 两端同除以 ,并令 ,得 确定增长率的模型确定增长率的模型129山东财经大学 金融风险管理130130为常数随机增长率的模型随机增长率的模型山东财经大学 金融风险管理131131一、一、Monte Carlo模拟法模拟法( (续续) )(二二) 单变量量资产价格的随机模价格的随机模拟与随机数的与随机数的产生生1.单变量量资产价格的随机模价格的随机模拟(1)几何布朗运几何布朗运动：(2)确定股票初始价格确定股票初始价格St，并估，并估计出参数出参数和和；(3)利用利用计算机生成算机生成n个相互独立的个相互独立的标准正准正态随随机数机数，代入上式，代入上式递推得到股价的推得到股价的时间序

76、列序列 ，得到股票价格的一条，得到股票价格的一条样本本轨道；道；(4)重复得到重复得到N条条样本本轨道，及股价的道，及股价的变化分布。化分布。山东财经大学 金融风险管理132山东财经大学 金融风险管理1331332. 单变量随机数的量随机数的产生生(1)第一步基于第一步基于0,1上均匀分布的随机数的上均匀分布的随机数的产生生借助于在借助于在计算机上算机上设立的所立的所谓“随机数随机数发生生器器”来来实现 ；通通过迭代算法生成大量的迭代算法生成大量的“伪随机数随机数”。一、一、Monte Carlo模拟法模拟法 (二二) 单变量单变量 资产价格的随机模拟与随机数的产生资产价格的随机模拟与随机数的

77、产生( (续续) )山东财经大学 金融风险管理1341342. 单变量随机数的量随机数的产生生(2)第二步，通第二步，通过累累积密度函数密度函数(或分布函数或分布函数)的逆函数，的逆函数，把第一步把第一步产生的生的0,1上均匀分布的随机数上均匀分布的随机数转化化为特特定概率分布的随机数。定概率分布的随机数。 假假设服从某特定概率分布的随机服从某特定概率分布的随机变量量X X的分布函数的分布函数为F(x),F(x),且且F(x)F(x)可逆，可逆，则对于于0,10,1上均匀分布的随机上均匀分布的随机数数x,x,从从x=F(y)x=F(y)计算出算出 就是随机就是随机变量量X X的一个随机数，依次

78、的一个随机数，依次计算下去，就算下去，就可得大量的服从某特定概率分布的随机数序列。可得大量的服从某特定概率分布的随机数序列。一、一、Monte Carlo模拟法模拟法 (二二) 单变量单变量 资产价格的随机模拟与随机数的产生资产价格的随机模拟与随机数的产生( (续续) )山东财经大学 金融风险管理135135一、一、Monte Carlo模拟法模拟法( (续续) )(三) 多变量资产价格的随机模拟与随机数的产生1. 若风险因子不相关按按单变量的方法分量的方法分别模模拟每个每个风险因子因子变量。量。2. 若若风险因子相关因子相关基于基于Cholesky因子分解法模因子分解法模拟资产价格以及价格以

79、及产生随机数。生随机数。山东财经大学 金融风险管理136山东财经大学 金融风险管理137山东财经大学 金融风险管理138山东财经大学 金融风险管理139山东财经大学 金融风险管理140山东财经大学 金融风险管理141山东财经大学 金融风险管理142山东财经大学 金融风险管理143143二、基于二、基于Monte Carlo模拟法的模拟法的计算计算VaR的基本步骤的基本步骤 1.1.识别风险因子变量，建立资产组合价值与风险识别风险因子变量，建立资产组合价值与风险因子变量之间的映射关系；因子变量之间的映射关系；2.2.对风险因子未来变化进行随机模拟，得到各个对风险因子未来变化进行随机模拟，得到各个

80、风险因子变量未来变化的一条样本轨道；风险因子变量未来变化的一条样本轨道；3.3.利用第利用第1 1步给出的映射关系计算组合价值及组步给出的映射关系计算组合价值及组合价值的变化值；合价值的变化值；4.4.不断重复第二与第三步，直至达到模拟要求的不断重复第二与第三步，直至达到模拟要求的次数；次数；5.5.基于损益分布计算置信度基于损益分布计算置信度c c下的下的VaRVaR。 山东财经大学 金融风险管理144三、基于三、基于Monte Carlo模拟法计算模拟法计算VaR的应用举例的应用举例第一步第一步 以历史数据估计风险因子的分布特征以历史数据估计风险因子的分布特征风险因子协方差矩阵风险因子协方

81、差矩阵SS（美元（美元/ /英英镑）镑）rr（%/%/年）年）r*r*（%/%/年）年）SS3.02E-053.02E-05-1.89E-05-1.89E-05-0.000515-0.000515rr-1.89E-05-1.89E-050.0013050.0013050.0001450.000145r*r*-0.000515-0.0005150.0001450.0001450.0111520.011152风险因子样本均值风险因子样本均值SSrrr*r*0.000550.00055-0.000395-0.000395-0.010132-0.010132144山东财经大学 金融风险管理145第二步

82、第二步 风险因子协方差矩阵的风险因子协方差矩阵的CholeskyCholesky分解分解a a0.0054954530.005495453下三角矩阵下三角矩阵T Tb b-3.44E-03-3.44E-03d d-9.37E-02-9.37E-02c c0.0359606990.035960699e e-0.00493042-0.00493042f f0.0484293940.048429394145三、基于三、基于Monte Carlo模拟法计算模拟法计算VaR的应用举例的应用举例(续续)山东财经大学 金融风险管理146第三步 利用Monte Carlo模拟方法生成三个风险因子的样本第四、第

83、五步 估值并计算VaR风险因子的随机数风险因子的随机数风险因子未来变化的可能取值风险因子未来变化的可能取值远期合约价值和损益的可能取值远期合约价值和损益的可能取值e1e1e2e2e3e3S S（美元（美元/ /英镑）英镑） r r（%/%/年）年）r*r*（%/%/年）年） （美元）（美元）1 12.352.35 -0.51-0.510.350.351.6771643151.6771643154.91E+004.91E+005.7579377955.757937795233680.3677233680.3677140099.3677140099.36772 21.711.71 1.421.42

84、-0.37-0.371.6736472251.6736472254.98E+004.98E+005.7735209375.773520937201256.9875201256.9875107675.9875107675.98753 31.761.76 0.760.760.550.551.6739219971.6739219974.96E+004.96E+005.8166450375.816645037201250.0586201250.0586107669.0586107669.058696961.991.99 2.362.36-0.31-0.311.6533140491.6533140495

85、.03E+005.03E+006.1184821056.118482105-11153.012-11153.012-104734.012-104734.0129999 -2.13-2.13 0.340.340.810.811.6525446851.6525446854.95E+004.95E+006.195800456.19580045-24732.5699-24732.5699-118313.57-118313.57100100 -2.39-2.39 -0.77-0.770.340.341.6511158671.6511158674.92E+004.92E+006.202873416.202

86、87341-40656.5788-40656.5788-134237.579-134237.579146山东财经大学 金融风险管理147山东财经大学 金融风险管理148山东财经大学 金融风险管理149山东财经大学 金融风险管理150150四、基于四、基于Monte Carlo模拟法模拟法VaR计算的评述计算的评述 1. 优势：(1) 与与历史模史模拟法相比，法相比，该法法结果更精确。果更精确。可以可以产生大量关于生大量关于风险因子未来取因子未来取值的模的模拟样本；本；可以最大程度地将可以最大程度地将风险因子未来因子未来变化的各种化的各种可能情景模可能情景模拟出来；出来；不必受到不必受到历史数据

87、在数量与史数据在数量与质量等方面所存量等方面所存在的种种制在的种种制约 。 山东财经大学 金融风险管理151151四、基于四、基于Monte Carlo模拟法模拟法VaR计算的评述计算的评述( (续续) ) (2) 是一种完全估是一种完全估值法，可以法，可以处理非理非线性、非正性、非正态问题。 (3) 通通过建立随机模型并建立随机模型并对模型中相关参数模型中相关参数进行行估估计和修正，从而使得和修正，从而使得对风险因子因子变化的模化的模拟更加更加贴近于近于现实 。 (4) 可以借助可以借助计算机来完成，从而大大提高有效算机来完成，从而大大提高有效性和精确性。性和精确性。 山东财经大学 金融风险

88、管理152152四、基于四、基于Monte Carlo模拟法模拟法VaR计算的评述计算的评述( (续续) )2. 不足：不足：(1) 依依赖于随机模型以及估于随机模型以及估计模型参数的模型参数的历史数史数据，存在模型据，存在模型风险和参数估和参数估计误差；差；(2) 伪随机数可能随机数可能导致模致模拟错误和失效；和失效；(3) 收收敛速度慢、速度慢、计算效率低，算效率低，计算量大；算量大；(4) 随机模随机模拟次数不次数不够多多时，方差比，方差比较大；大；(5) 对小区小区间内内变化用静化用静态方法方法处理会理会产生相生相应偏差，分割数偏差，分割数过少会大大地加少会大大地加剧该偏差。偏差。山东

89、财经大学 金融风险管理153153五、五、Monte Carlo模拟法的模拟法的改进与扩展介绍改进与扩展介绍 1. 下文有下文有时会根据需要将前文介会根据需要将前文介绍的的Monte Carlo模模拟法，称法，称为传统Monte Carlo模模拟法。法。 2.对传统Monte Carlo模模拟法的改法的改进和修正主要体和修正主要体现在三方面：在三方面：(1)降低降低伪随机数的集聚性，合理减少随机数的集聚性，合理减少风险因子因子数量，以提高数量，以提高计算效率和收算效率和收敛速度；速度；(2)降低降低样本的方差，以提高本的方差，以提高计算的准确性；算的准确性；(3)引入引入Markov过程，以降

90、低用静程，以降低用静态方法方法处理理时所所产生的偏差。生的偏差。 山东财经大学 金融风险管理154154五、五、Monte Carlo模拟法的模拟法的改进与扩展介绍改进与扩展介绍( (续续) )(一一) 对收收敛速度和速度和计算效率的改算效率的改进1. 拟Monte Carlo方法方法(QuasiMonte Carlo Simulation)(1) 用用预先先设定的确定性方法在空定的确定性方法在空间中中产生一些低生一些低偏差偏差(Low Discrepancy)的的拟随机数。随机数。(2) 优点：点：能能够更加均匀地分布在更加均匀地分布在间隔域中；隔域中；收收敛速度更快，从而速度更快，从而计算

91、精度也更高。算精度也更高。 山东财经大学 金融风险管理155155五、五、Monte Carlo模拟法的改进与扩展介绍模拟法的改进与扩展介绍 (一一) 对收敛速度和计算效率的改进对收敛速度和计算效率的改进( (续续) )2. 情景情景Monte Carlo模模拟法法(QuasiMonte Carlo Scene Simulation)(1) 先采用主成分分析方法从众多先采用主成分分析方法从众多风险因子中提因子中提取少数几个主成分，再取少数几个主成分，再进行下一步的模行下一步的模拟。 (2)优点：点：由于各个主成分的所有可能不同由于各个主成分的所有可能不同组合的个数合的个数有限有限 ，因此情景，

92、因此情景Monte Carlo模模拟方法会提方法会提高高计算的速度和效率。算的速度和效率。 山东财经大学 金融风险管理156156五、五、Monte Carlo模拟法的模拟法的改进与扩展介绍改进与扩展介绍( (续续) )(二) 对降低样本方差的改进1. 镜像像变量法量法(Antithetic Variables)抽取标准正态随机变量的样本时，取其相反数-为另一个样本。2. 控制控制变量法量法(Control Variates) 假设有两种金融衍生工具A和B， 如果B 存在着封闭的定价公式，则可以利用工具B的定价误差来对工具A的定价结果进行调整。山东财经大学 金融风险管理1571573. 重要抽

93、重要抽样法法(Importance Sampling)通过变换随机样本的概率测度，以适当加大对我们所研究的问题具有重要影响的样本出现的可能性。4. 分分层抽抽样法法(Stratified Sampling) 为避免不能抽取到随机变量在某些取值范围内的样本，可以设法将拟要抽取的样本比较均匀地分布在随机变量的取值空间中。五、五、Monte Carlo模拟法的改进与扩展模拟法的改进与扩展介绍介绍 (二二) 对降低样本方差的改进对降低样本方差的改进( (续续) )山东财经大学 金融风险管理1581585. 矩匹配法矩匹配法(Moment Matching) 在模拟生成某个分布的样本时，可以对已经生成的

94、样本进行一个变换，使得变换之后样本的某些矩与被模拟分布理论上的矩保持一致；然后，再将变换后的样本运用到定价或者是VaR估计中去。 五、五、Monte Carlo模拟法的改进与扩展模拟法的改进与扩展介绍介绍 (二二) 对降低样本方差的改进对降低样本方差的改进( (续续) )山东财经大学 金融风险管理159159五、五、Monte Carlo模拟法的模拟法的改进与扩展介绍改进与扩展介绍( (续续) )(三) 马尔可夫链Monte Carlo模拟法马尔可夫可夫链(Markov链)Monte Carlo模模拟法法， (MCMC Simulation)，将Markov过程引入到传统Monte Carlo

95、模拟法之中，从而实现动态模拟的目的，即抽样分布能够随着模拟的进行而不断改变。山东财经大学 金融风险管理160160第七节第七节基于基于Delta、Gamma灵敏度灵敏度指标的指标的VaR计算计算山东财经大学 金融风险管理161161引言引言 基于基于Delta，Gamma灵敏度指灵敏度指标的的VaR计算，本算，本质上是借助于上是借助于Taylor展开式中所涉及的灵敏度指展开式中所涉及的灵敏度指标对资产组合未来合未来损益分布益分布进行一行一阶或二或二阶近似，其近似，其缺点是往往不能很好地模缺点是往往不能很好地模拟非非线性分布，因此是性分布，因此是一种局部估一种局部估值法。法。 历史模史模拟法与法

96、与Monte Carlo模模拟法是一法是一类借助于借助于风险因子的模因子的模拟值和和风险因子与因子与资产组合价合价值之之间的映射函数关系全面准确地估的映射函数关系全面准确地估计资产组合未来合未来损益分布的全部估益分布的全部估值法。法。山东财经大学 金融风险管理162162引言引言 1. Delta类方法方法用用Taylor一一阶展式近似展式近似资产组合的价合的价值2. Delta-Gamma类方法方法用用Taylor二二阶展式近似展式近似资产组合的价合的价值山东财经大学 金融风险管理163163一、基于一、基于Delta类方法的类方法的VaR计算计算 1. Delta类方法主要包括：方法主要包

97、括：Delta-正正态方法方法Delta-加加权正正态方法方法Delta-混合正混合正态方法方法Delta-GARCH方法方法 山东财经大学 金融风险管理164164一、基于一、基于Delta类方法的类方法的VaR计算计算(续续)(一一) 基于基于Delta正正态方法的方法的VaR计算算 1. 基本原理：基本原理：资产组合的合的损益近似益近似为 若若风险因子因子x =(x1，xn)的收益率向量服从正的收益率向量服从正态分分布布 ，则资产组合的合的损益益 也近似地服从也近似地服从正正态分布；分布；估估计出近似出近似损益分布的均益分布的均值和方差参数；和方差参数；基于近似基于近似损益分布益分布计算

98、算VaR。山东财经大学 金融风险管理165165一、基于一、基于Delta类方法的类方法的VaR计算计算 (一一) 基于基于Delta-正态方法的正态方法的VaR计算计算(续续)2.基于基于Delta - 正正态方法方法计算算VaR的具体步的具体步骤：(1) 识别风险因子因子变量，建立量，建立组合价合价值与与风险 因子之因子之间的映射关系；的映射关系；(2) 估估计风险因子收益率的因子收益率的协方差矩方差矩阵；(3) 计算灵敏度系数算灵敏度系数Delta； (4) 估估计资产组合未来合未来损益的近似分布；益的近似分布； (5) 计算算VaR。山东财经大学 金融风险管理166166一、基于一、基

99、于Delta类方法的类方法的VaR计算计算 (一一) 基于基于Delta-正态方法的正态方法的VaR计算计算(续续)3. 假设某美国公司于假设某美国公司于1998年年12月月31日持有一份三日持有一份三个月后到期、以个月后到期、以16.5百万美元交换百万美元交换10百万英镑百万英镑的远期合约。基于的远期合约。基于Delta正态方法的正态方法的VaR计算计算持有该远期合约在持有该远期合约在95置信度下的置信度下的VaR。 (1) 写出远期价值和风险因子之间的函数关系写出远期价值和风险因子之间的函数关系 ：3个月的美元折现因子；个月的美元折现因子； ：3个月的英镑折现因子。个月的英镑折现因子。 山

100、东财经大学 金融风险管理167167一、基于一、基于Delta类方法的类方法的VaR计算计算 (一一) 基于基于Delta-正态方法的正态方法的VaR计算计算(续续) (2) (2) 计算远期合约在未来一天内价值变化的一阶近似式计算远期合约在未来一天内价值变化的一阶近似式 (3) (3) 估计三个风险因子收益率估计三个风险因子收益率 S/SS/S、P P* */P/P* *以及以及P/P P/P 的协方差矩阵；的协方差矩阵； (4) (4) 计算风险因子计算风险因子S S、P P* *以及以及P P的协方差矩阵；的协方差矩阵； (5) (5) 根据资产组合价值对每个风险因子的根据资产组合价值对

101、每个风险因子的DeltaDelta值计算出组值计算出组合价值变化合价值变化 f f 的标准差；的标准差； (6) (6) 计算得到在计算得到在95%95%的置信度下持有该远期合约的的置信度下持有该远期合约的VaRVaR为为$98,150.135 $98,150.135 。山东财经大学 金融风险管理168一、基于一、基于Delta类方法的类方法的VaR计算计算 (一一) 基于基于Delta-正态方法的正态方法的VaR计算计算(续续)风险因子收益风险因子收益率协方差矩阵率协方差矩阵S/SS/SP*/P*P*/P*P/PP/PS/SS/S1.17E-051.17E-057.88E-077.88E-0

102、72.90E-082.90E-08P*/P*P*/P*7.88E-077.88E-076.76E-086.76E-088.83E-108.83E-10P/PP/P2.90E-082.90E-088.83E-108.83E-107.96E-097.96E-09风险因子暴露向量风险因子暴露向量SP*SP*SP*SP*（-KP-KP）16392392.7216392392.7216392392.7216392392.72-16298811.5-16298811.5组合损益的方差组合损益的方差3.56E+093.56E+09组合损益的标准差组合损益的标准差59665.7355659665.73556V

103、aRVaR（95%95%置信度）置信度）$98150.135$98150.135山东财经大学 金融风险管理169169一、基于一、基于Delta类方法的类方法的VaR计算计算 (一一) 基于基于Delta-正态方法的正态方法的VaR计算计算(续续)4. Delta-正正态方法方法评述述 (1) 优点：点：计算算简单、操作方便；、操作方便；当当风险因子因子变化很小化很小时，计算算误差差较小。小。 (2) 缺陷：缺陷：不能反映非不能反映非线性性风险；多元正多元正态分布假分布假设不尽合理；不尽合理；使用使用简单移移动平均方法估平均方法估计收益率收益率协方差矩方差矩阵易易导致致预测结果失真果失真;历史

104、数据史数据长度度对协方差估方差估计的可靠性也会的可靠性也会产生影响。生影响。山东财经大学 金融风险管理170170一、基于一、基于Delta类方法的类方法的VaR计算计算(续续)(二二) 基于基于Delta加加权正正态方法的方法的VaR计算算1.Delta加加权正正态模型，又称模型，又称“RiskMetrics”方法：方法：由由JP Morgan公司提出；公司提出；解决解决Delta-正正态方法采用方法采用简单移移动平均方法估平均方法估计协方差矩方差矩阵时容易出容易出现失真的失真的问题。 2. 基本原理：除采用基本原理：除采用对历史数据史数据赋权重的方法估重的方法估计风险因子收益率向量因子收益

105、率向量r的的协方差矩方差矩阵 的方法外，其的方法外，其它原理均与它原理均与Delta-正正态方法相同。方法相同。山东财经大学 金融风险管理171山东财经大学 金融风险管理172172一、基于一、基于Delta类方法的类方法的VaR计算计算(续续)(三三) 基于基于Delta-GARCH方法的方法的VaR计算算1.与与Delta-正正态方法、方法、Delta-加加权正正态方法比方法比较，Delta-GARCH方法更擅方法更擅长于刻画：于刻画：金融金融时间序列的厚尾分布；序列的厚尾分布；金融金融时间序列的波序列的波动性聚集特征。性聚集特征。2. 基本原理：除利用基本原理：除利用GARCH模型来估模

106、型来估计风险因因子收益率向量子收益率向量 r 的的协方差矩方差矩阵 外，外，该法的基法的基本原理、思路和本原理、思路和计算步算步骤完全完全类似于似于Delta-正正态方法。方法。 山东财经大学 金融风险管理173173一、基于一、基于Delta类方法的类方法的VaR计算计算(续续)(四四) 基于基于Delta-EGARCH-GED方法的方法的VaR计算算1. 与与Delta-正正态方法、方法、Delta-加加权正正态方法和方法和Delta-GARCH方法比方法比较， Delta-EGARCH-GED方法更加擅方法更加擅长刻画：刻画：金融金融时间序列的厚尾分布；序列的厚尾分布；金融金融时间序列的

107、波序列的波动性聚集特征；性聚集特征；杠杆效杠杆效应。2. Delta-EGARCH-GED方法用广方法用广义误差分布差分布(Generalized Error Distribution，GED)描述具有厚尾特征的描述具有厚尾特征的资产组合价合价值的未来的未来变化。化。山东财经大学 金融风险管理174174一、基于一、基于Delta类方法的类方法的VaR计算计算( (续续) )(五五) Delta-混合正混合正态模型模型1. Delta-混合正混合正态模型用混合正模型用混合正态分布来描述分布来描述风险因子收益率或者是因子收益率或者是资产组合价合价值变化的厚尾化的厚尾分布特征。分布特征。 山东财经

108、大学 金融风险管理175175二、基于二、基于Delta-Gamma类方法类方法的的VaR计算计算 1. Delta-Gamma类方法主要包括：方法主要包括： Delta-Gamma-GARCH方法方法 Delta-Gamma-Wilson方法方法 Gamma-CF方法方法 Gamma-Johnson方法方法 山东财经大学 金融风险管理176176二、基于二、基于Delta-Gamma类方法类方法的的VaR计算计算(一一) 基于基于Delta-Gamma正正态方法方法计算算VaR1. Delta-Gamma正正态方法的基本原理：方法的基本原理：采用采用资产组合价合价值的的变化或化或损益益 关于

109、关于风险因因子子变化向量的二化向量的二阶Talyor展式作展式作为 的近似；的近似； 仍假仍假设风险因子的收益率服从正因子的收益率服从正态分布；分布；仿照仿照Delta-正正态方法的方法的实施步施步骤来来进行。行。山东财经大学 金融风险管理177177二、基于二、基于Delta-Gamma类方法的类方法的VaR计算计算(二二) 其他重要的其他重要的Delta-Gamma类方法方法1. Delta-Gamma-GARCH方法的基本原理方法的基本原理为：采用采用资产组合价合价值的的损益益 关于关于风险因子因子变化向量的二化向量的二阶Talyor展式作展式作为 的近似；的近似； 风险因子的收益率因子

110、的收益率变化服从多元化服从多元GARCH模模型。型。山东财经大学 金融风险管理1781782. Delta-Gamma-Wilson方法方法的基本思路：将VaR计算归结为一个最优化问题来求解 s.t. 其中， 为标准正态分布下对应于 的分位数。 二、基于二、基于Delta-Gamma类方法的类方法的VaR计算计算 (二二) 其他重要的其他重要的Delta-Gamma类方法类方法山东财经大学 金融风险管理1791793. Gamma-CF方法方法和Gamma-Johnson方法方法产生的主要背景：若采用资产组合价值的损益 关于风险因子变化向量的二阶Talyor展式作为 的近似，即使风险因子的收益

111、率服从正态分布， 也不服从正态分布，此时计算VaR就比较麻烦。二、基于二、基于Delta-Gamma类方法的类方法的VaR计算计算 (二二) 其他重要的其他重要的Delta-Gamma类方法类方法山东财经大学 金融风险管理1801804.Gamma-CF方法的基本思想：通过非标准正态分布 的偏度和峰度对标准正态分布的分位数进行调整，从而得到 自身的分位数近似计算公式。5.Gamma-Johnson方法的基本思想：对非正态分布 做一个单调变换，使得变换之后的随机变量服从标准正态分布。 二、基于二、基于Delta-Gamma类方法的类方法的VaR计算计算 (二二) 其他重要的其他重要的Delta-

112、Gamma类方法类方法山东财经大学 金融风险管理181181三、基于三、基于Hull-White正态变换方法正态变换方法1. Hull-White正态变换方法，最早由Hull和White (1998)提出，核心思想是：(1) 利用变换 将风险因子收益率 rit (非正态随机变量，分 布函数为Git) 变换为标准正态随机变量 fit；(2) 利用Cholesky分解方法，模拟生成关于多元 正态随机向量(f1t , f2t , , fnt)的样本；山东财经大学 金融风险管理182182三、基于三、基于Hull-White正态变换方法正态变换方法(续续)(3) 利用逆变换 得到风险因子收益率随机向量

113、 (r1t, r2t,rnt) 的样本；(4) 在上述样本基础上计算VaR。山东财经大学 金融风险管理183183第八节第八节压力试验压力试验山东财经大学 金融风险管理184184引言引言1. 现实市场中的非正常波动或者极端波动的事件和情景时有发生，金融风险因子或金融资产价值的变化分布往往呈现出明显的“厚尾”特征，此时继续运用经典的VaR方法度量厚尾分布事件的风险将有可能产生较大的估计偏差。山东财经大学 金融风险管理185185引言引言( (续续) )2.对于厚尾分布厚尾分布，通常有两种理解：(1)一种是与正态分布比较，把峰度比正态分布高的分布称为厚尾分布。包括t-分布、对数正态分布、广义误差

114、分布、混合正态分布等。本文厚尾分布皆是这种意义的。(2)另一种是Ramazan Gencay的定义，即满足 的分布F（x）称为厚尾分布。 按该定义，上述的分布都不是厚尾的。 山东财经大学 金融风险管理1861863. 压力试验和极值理论是目前度量厚尾分布事件风险的两种基本方法。本节介绍压力试验，下一节介绍极值理论。4. 压力力试验，是在模拟或构造未来可能出现的极端情景的基础上，对极端情景及其影响下的资产组合的价值变化做出评估和判断。5. 压力试验的两种主要方法：(1) 情景分析法(2) 系统化压力试验 引言引言( (续续) )山东财经大学 金融风险管理187187一、情景分析法一、情景分析法(

115、一) 情景分析法情景分析法是最常用的压力试验方法，主要用于评估一个或几个市场风险因子突然从当前市场情景变化到某些极端情景或事件的过程中对资产组合价值变化的影响程度。各种情景分析法的实施主要包含两个关键步骤：情景构造；情景评估。山东财经大学 金融风险管理188188(二) 情景构造情景构造1. 市场情景和极端情景：(1) 对影响资产组合价值 P 的n个市场风险因子r1,r2,rn 依次赋值，得到的一个取值组合，称为一个市市场情景情景，记为 。 (2) 对未来某个极端情景s下的n个风险因子进行评估 赋值，此时的市场情景就是我们所构造的极端情景极端情景，记为 。 一、情景分析法一、情景分析法山东财经

116、大学 金融风险管理1891892. 情景构造包括：典型情景构造典型情景构造；历史情景构造史情景构造；VaR情景构造情景构造；特殊事件假定法特殊事件假定法；Monte Carlo情景构造情景构造。一、情景分析法一、情景分析法 (二二) 情景构造情景构造(续续)山东财经大学 金融风险管理1901903. 典型情景构造典型情景构造是通过对市场风险因子的未来变化进行构造模拟，进而生成极端情景，又称为标准准压力情景法力情景法。衍生产品政策集团(Derivatives Policy Group，简称DPG)针对银行业所提出的标准压力情景法已为许多银行所广泛应用。典型情景构造法的优势是可比性。一、情景分析法

117、一、情景分析法 (二二) 情景构造情景构造(续续)山东财经大学 金融风险管理1911914. 历史情景构造(1)主要根据历史上曾发生过的极端事件来模拟、构造未来的极端情景；或者说选择历史上发生极端事件时风险因子的时间序列数据，来模拟、构造未来的极端情景。(2)分类不考虑风险因子之间相关性的历史情景构造考虑风险因子之间相关性的历史情景构造一、情景分析法一、情景分析法 (二二) 情景构造情景构造(续续)山东财经大学 金融风险管理1921925.VaR情景构造构造与持有期相对应的各个风险因子的波动性以及风险因子之间相关性的极端情景。6.特殊事件假定法通过设想未来可能发生的一次突发性事件（例如可能发生

118、的自然灾害、突发性的政治事件等）对市场风险因子可能产生的影响，进而生成极端情景。一、情景分析法一、情景分析法 (二二) 情景构造情景构造(续续)山东财经大学 金融风险管理1931937. Monte Carlo模拟情景构造(1) 基本思想：用Monte Carlo法生成压力情景。(2) 具体做法：假设市场风险因子变化服从特定分布，通过历史数据估计出分布函数中的参数；模拟生成市场风险因子变化的大量样本；根据事先确定的压力情景的判断标准，在已经生成的大量情景中，筛选出压力情景。一、情景分析法一、情景分析法 (二二) 情景构造情景构造(续续)山东财经大学 金融风险管理194194一、情景分析法一、情

119、景分析法( (续续) )(三) 情景评估1. 情景情景评估估：对极端情景发生时资产组合价值未来的可能变化进行评估。2. 情景评估的具体做法：根据资产定价理论和映射关系，得到市场极端情景rs下资产组合的价值以及资产组合的当前市场价值；前者减去后者得到极端情景发生时资产组合价值在未来的一个变化量。 山东财经大学 金融风险管理195195一、情景分析法一、情景分析法( (续续) )(四) 情景分析法的评价1. 优点：可考察市场风险因子的极端变动的影响；VaR情景分析法还能够用来评估市场风险因子波动率和相关系数发生极端变化时对资产组合价值的可能影响；可以使得金融机构的高层和风险管理部门能较为准确地评估

120、和把握极端事件的影响，提高风险管理策略的有效性和可靠性。 山东财经大学 金融风险管理196196一、情景分析法一、情景分析法 (四四) 情景分析法的评价情景分析法的评价(续续)2. 不足：压力情景的构造往往具有较大的主观性；不可能考虑到所有可能的压力情景；仅能指出损失，而不能给出可能性；根据历史构造的压力情景，未必是未来的最坏情景；基于历史数据构造的压力情景很少考虑到资产组合自身的风险特征。 山东财经大学 金融风险管理197197二、系统化压力试验二、系统化压力试验(一) 基本原理 1. 系系统化化压力力试验是在一定条件下，对影响资产组合价值P的风险因子r1，r2，rn，采用数学或者统计的方法

121、生成大量的市场情景，然后评估这些情景对资产组合价值变化的影响，从中搜寻资产组合的最坏情景，即导致资产组合价值损失最大的压力情景。 山东财经大学 金融风险管理198198二、系统化压力试验二、系统化压力试验 (一一) 基本原理基本原理 (续续)2. 系统化压力试验与情景分析法的主要区别：前者针对一系列不同的压力情景进行压力试验，因此更加彻底、系统化；前者既考虑了风险因子在历史上的极端变动，又考虑到未来潜在的所有可能压力情景，因而本质上是一种前瞻性的情景分析法；前者考虑了资产组合的风险特征在确定其最坏情景过程中的作用。 山东财经大学 金融风险管理199199二、系统化压力试验二、系统化压力试验(

122、(续续) )(二) 搜寻最坏情景的基本思路和步骤 1. 所谓最坏情景最坏情景（Worst-case Scenarios）是指导致资产组合在未来发生最大损失的市场情景。2. 搜寻最坏情景的基本思路：在一些合理性条件下，搜寻资产组合最小价值对应的市场情景。 (1) 合理性条件合理性条件：在搜寻最坏情景时，不可能保证所有市场情景都会被搜寻，所以必须考虑不同市场情景的合理性，即发生的可能性。合理性条件记为C 。山东财经大学 金融风险管理200200二、系统化压力试验二、系统化压力试验(二二) 搜寻最坏情景的基本思路和步骤搜寻最坏情景的基本思路和步骤 (续续)(2) 满足合理性条件C的所有市场情景的集合

123、，称为允允许域域（Admissibility Domain），记为D。 (3) 系统化搜寻最坏情景就转化为下面的一个最优化问题：r* 其中P(r1,r2,rn)是资产组合的价值函数；表示允许域D中的一个市场情景；r*指的是该资产组合在给定的合理性条件C下的最坏情景。 山东财经大学 金融风险管理2012013. 系统化压力试验的一般步骤:(1) 确定合理性条件和允许域；不考虑风险因子之间相关性的情形考虑风险因子之间相关性的情形(2) 搜寻最坏情景。因素推动方法网格搜寻方法Monte Carlo法和拟Monte Carlo模拟法二、系统化压力试验二、系统化压力试验(二二) 搜寻最坏情景的基本思路和

124、步骤搜寻最坏情景的基本思路和步骤 (续续)山东财经大学 金融风险管理202202合理性条件合理性条件C 价价值函数函数P（r）允允许域域D最坏情景最坏情景r* 二、系统化压力试验二、系统化压力试验(二二) 搜寻最坏情景的基本思路和步骤搜寻最坏情景的基本思路和步骤 (续续)山东财经大学 金融风险管理2032034.合理性条件以及允许域的确定 (1)不考虑风险因子之间相关性的情形:二、系统化压力试验二、系统化压力试验(二二) 搜寻最坏情景的基本思路和步骤搜寻最坏情景的基本思路和步骤 (续续)r1r2山东财经大学 金融风险管理204204 (2) 考虑风险因子之间相关性的情形: D = r : （r

125、0 - r） -1（r0 - r）T k2 其中为风险因子的变化r - r0 的协方差矩阵。二、系统化压力试验二、系统化压力试验(二二) 搜寻最坏情景的基本思路和步骤搜寻最坏情景的基本思路和步骤 (续续)山东财经大学 金融风险管理2052055. 搜寻最坏情景 (1) 因素推因素推动方法方法确定市场因子的最不利变化方向；让各风险因子朝最不利的变化方向移动一个给定的数值，使资产组合的价值减少最多；并据此确定资产组合的最坏情景以及最坏情景下的资产组合价值。二、系统化压力试验二、系统化压力试验(二二) 搜寻最坏情景的基本思路和步骤搜寻最坏情景的基本思路和步骤 (续续)山东财经大学 金融风险管理206

126、206(2) 网格搜网格搜寻方法方法先把前面得到的“长方体”允许域进一步分割为若干小的长方体，每个小长方体的顶点就对应着一个压力情景；再根据资产组合的价值函数表达式，可计算出上述每个压力情景处的资产组合价值；最后，通过比较不同情景处资产组合价值的大小，可近似得到资产组合的最坏情景。 二、系统化压力试验二、系统化压力试验(二二) 搜寻最坏情景的基本思路和步骤搜寻最坏情景的基本思路和步骤 (续续)山东财经大学 金融风险管理207207r0r1r2二、系统化压力试验二、系统化压力试验(二二) 搜寻最坏情景的基本思路和步骤搜寻最坏情景的基本思路和步骤 (续续)山东财经大学 金融风险管理208208(3

127、)Monte Carlo法和拟Monte Carlo方法确定一个从n维单位长方体到n维空间中的长方体允许域的变换T；采用Monte Carlo或者拟Monte Carlo方法生成N个随机向量，可得到N个压力情景 T(xi)；分别计算所对应的资产组合价值，其中那个最小值所对应的压力情景就是近似的最坏情景。二、系统化压力试验二、系统化压力试验(二二) 搜寻最坏情景的基本思路和步骤搜寻最坏情景的基本思路和步骤 (续续)山东财经大学 金融风险管理209209r变化的幅度r*因子变动-0.1445-0.10837-0.0723-0.0361200.0361250.072250.108370.1445-0

128、.422412112558.8127110.3141655156201.4170741.1185280.2199817214350228881-0.3168169840.684392.0898936.9113483.2128022.9142562157098171632186163-0.2112127145.4441696.9256241.870788.0685327.7399866.81114403128937143468-0.1056-15531.55-980.06613564.828111.0842650.7457189.8371726.386259.81007910-58182.29-

129、43630.8-29086-14539.71.93E-0514539.0829075.643609.158140.40.105603-100812.1-86260.6-71716-57169.4-42629.8-28090.7-13554979.315510.60.211206-143419.7-128868-114323-99777-85237.4-70698.3-56162-41628.3-270970.316809-186005.1-171454-156909-142362-127823-113284-98747-84213.8-69682.50.4224121-228568.5-214

130、017-199472-184926-170386-155847-141311-126777-112246二、系统化压力试验二、系统化压力试验(二二) 搜寻最坏情景的基本思路和步骤搜寻最坏情景的基本思路和步骤 (续续)山东财经大学 金融风险管理210210三、压力试验方法评述三、压力试验方法评述 (一) 良好特性：压力试验能为风险管理部门提供比VaR模型更多的有价值信息：压力试验对于度量资产波动率的变化所产生的影响也具有重要作用；运用压力试验还可以识别风险因子之间相关性的变化对资产组合风险的影响。山东财经大学 金融风险管理211211(二) 不足之处压力试验受限于实施压力试验者的主观判断及其经验

131、；全值估值法计算量往往很大，从而需要花费很大的人力、物力。 压力试验没有给出每一种结果发生的可能性。 三、压力试验方法评述三、压力试验方法评述(续续) 山东财经大学 金融风险管理212212第九节第九节极值理论极值理论山东财经大学 金融风险管理213213213引言引言1.极值理论主要运用统计（特别是极值统计）理论和方法测度厚尾分布事件或极端事件所导致的风险损失。2.极值理论主要包括：分块样本极值理论分块样本极值理论 对大量独立同分布样本分块后的极大值进行建模POT (Peaks Over Threshold) 对超过给定阈值的样本数据进行建模山东财经大学 金融风险管理214214一、分块样本

132、极值理论一、分块样本极值理论(一) 分块样本极值理论的基本思想1.关键概念：X1，X2，Xn，：与总体 X 的独立同分布的非退化随机样本序列，这里表示金融风险因子的随机样本序列；样本极大本极大值： 极大极大值随机随机样本序列本序列：样本极小本极小值：极小极小值随机随机样本序列本序列：214山东财经大学 金融风险管理215215一、分块样本极值理论一、分块样本极值理论 (一一) 分块样本极值理论的基本思想分块样本极值理论的基本思想(续续)2.分块样本极值理论的基本思想在于：由于总体 X 的分布函数F(x)与极值 和 的分布函数满足 (3.8.4) (3.8.5) 所以，要获得总体 X 的分布函数

133、F(x)，只要得到极大值 或极小值 的分布函数即可； 分块样本极值理论考察总体X的尾部特征，即x充分大时的 。 215山东财经大学 金融风险管理216216一、分块样本极值理论一、分块样本极值理论(续续)(二) 极大值的分布估计基于Fisher-Tippett定理1. 由于难获得极大值 的精确分布，所以一般情况下用极大值 的渐近分布极值分布进行近似。 极极值分布分布的定义：假设存在实数序列cn和dn，n=1,2, cn 0 和某个非退化分布函数 ，使得当 时有： 则称 为一个极值渐近分布，简称为极值分布。同时称总体X的分布函数F(x)处于 的最大吸引场中，记为FMDA(H)。 216山东财经大

134、学 金融风险管理217217一、分块样本极值理论一、分块样本极值理论 (二二) 极大值的分布估计极大值的分布估计(续续)2. 估计极值分布的预备工作广义极值分布(1) 设： 则称 为广义极值分布(Generalized Extreme Value Distribution)，其中 ；为使 , 均有 ， 应满足 ；当 时， 定义为 。 217山东财经大学 金融风险管理218218一、分块样本极值理论一、分块样本极值理论 (二二) 极大值的分布估计极大值的分布估计(续续)(2) 广义极值分布的分类按 的取值范围分类： 0，Frchet分布 时，称为标准广义极值分布，记为 。218山东财经大学 金融

135、风险管理219219一、分块样本极值理论一、分块样本极值理论(续续)3. 基于Fisher-Tippett 定理估计极值分布的基本思路： Fisher-Tippett 定理证明了，样本极大值 的渐 近分布，即极值分布 ，必为标准广义极值分布 ，或者必是标准的Weibull分布、Gumbel 分布和 Frchet 分布中的一种； 估计出 cn、dn和 之后，可以用 进一 步估计X 的分布 F(x) 。219山东财经大学 金融风险管理220220二、二、POT模型模型(一) POT模型的基本思想1. 分块样本极值理论实际操作中存在的主要问题： 在对极值分布 H(x) 进行估计时经常没有充足的样本数

136、据； 已有的不能用以刻画尾部特征的数据对极值分布拟合的意义不大。220山东财经大学 金融风险管理221221二、二、POT模型模型 (一一) POT模型的基本思想模型的基本思想(续续)2. POT模型的基本思想：以超过某个充分大阈值u的所有观测值序列为样本，估计总体 X (金融风险因子)的超阈值 u 的尾部分布，即当x充分大时的 ，其中的 即下文定义的超额分布函数。超超额分布函数分布函数：总体 X 的分布函数为F(x)，阈值 u 为常数，定义F(x)的右端点为 。对阈值 u xF，定义 为总体 X 对阈值 u 的超超额分布函数分布函数(Excess Distribution Function)

137、。221山东财经大学 金融风险管理222222二、二、POT模型模型(二) 超额分布函数的估计基于P-B-H定理1. 预备定义 广义帕累托分布： 其中 ；当 0时， ；当 0时有根据Pickands-Balkama-de Haan定理，超额分布函数可以用广义帕累托分布来逼近。 山东财经大学 金融风险管理224三、三、广义极值分布与广义帕雷托分布对广义极值分布与广义帕雷托分布对厚尾分布的拟合及参数、分位数的估计厚尾分布的拟合及参数、分位数的估计(一) 分块样本极值理论中广义极值分布的估计1.主要估计方法包括：Hill估计Hall试算法山东财经大学 金融风险管理225三、广义极值分布与广义帕雷托分

138、布对厚尾分三、广义极值分布与广义帕雷托分布对厚尾分布的拟合及参数、分位数的估计布的拟合及参数、分位数的估计(续续) (一一)分块样本极值理论中广义极值分布的估计分块样本极值理论中广义极值分布的估计(续续)2.估计思路： (1) 估计广义极值分布的参数 、标准化或正规化参数cn和dn ； (2) 将上述估计结果代入如下两个式子的右边 从而得到F (x)的尾部估计，及X 的p-分位数 。 山东财经大学 金融风险管理226三、三、广义极值分布与广义帕雷托分布对厚广义极值分布与广义帕雷托分布对厚尾分布的拟合及参数、分位数的估计尾分布的拟合及参数、分位数的估计(续续)(二) POT模型中的广义帕累托分布

139、的估计1. 估计思路： (1) 估计 根据 Hill 图或超额均值函数 的图形估计阈值u；用超过阈值的样本估计 。山东财经大学 金融风险管理227三、三、广义极值分布与广义帕雷托分布对厚尾分广义极值分布与广义帕雷托分布对厚尾分布的拟合及参数、分位数的估计布的拟合及参数、分位数的估计 (二二) POT模型中的广义帕累托分布的估计模型中的广义帕累托分布的估计(续续)(2) 估计估计广义帕累托分布的参数 与 ；将上述估计结果代入如下式子的右边山东财经大学 金融风险管理228(3) 将 和 的估计结果代入如下式的右边 , 从而得到F (x)的尾部估计，以及X 的p-分位数 。 三、三、广义极值分布与广

140、义帕雷托分布对厚尾分广义极值分布与广义帕雷托分布对厚尾分布的拟合及参数、分位数的估计布的拟合及参数、分位数的估计 (二二) POT模型中的广义帕累托分布的估计模型中的广义帕累托分布的估计(续续)山东财经大学 金融风险管理229229四、基于极值理论四、基于极值理论VaR计算计算1. 利用POT模型计算VaR的步骤： 根据经验超额均值函数确定资产组合的收益率分布是否具有厚尾特征； 根据前文所述思路和步骤，估计用来逼近超额分布函数的广义帕累托分布的参数； 给定充分大的置信度c ，计算资产组合的VaR：山东财经大学 金融风险管理230230五、基于极值理论计算五、基于极值理论计算VaR方法评述方法评

141、述1. 运用极值理论计算VaR的优点： 可以较为准确地描述厚尾分布的尾部特征； 具有计算分位数或VaR的具体公式，便于操作。2. 弱点： 只适于描述资产组合价值变化分布的尾部特征； 有关历史数据较少，这会加大该法的应用难度，和影响应用效果； 某些条件在现实市场中并不一定能得到满足。230山东财经大学 金融风险管理231231思考题思考题1. 简述金融市场风险度量方法的演变过程。2. 请简要介绍现代金融市场风险度量的主要方法，并对各种方法的应用步骤、适用范围、优缺点进行讨论。3. 试对久期、凸性以及灵敏度方法中所涉及的灵敏度系数的含义、特性、应用范围、局限性等进行剖析和比较。4. 简述在VaR方

142、法中选择和设定置信度和持有期时应考虑的基本要素。山东财经大学 金融风险管理232232思考题思考题(续续)5. 简述VaR方法的一般计算步骤并讨论该法存在的局限性。6. 请运用历史模拟法和股价的历史数据，计算中信证券公司的VaR。7. 请运用Monte Carlo模拟法并选择相应的股价历史数据对招商银行进行VaR计算。8. 以本章第五节中远期合约为例，请运用Delta-Gamma方法计算资产组合的VaR。9. 试析压力试验与极值理论方法较传统的VaR方法有哪些异同和改进。山东财经大学 金融风险管理233233思考题思考题(续续)10. 受金融风暴的影响，从2007年第四季度开始，美国花旗集团连续五个季度亏损，2008年全年亏损达到187亿美元，股价从2007年5月的近50美元狂泻至最低不到1美元（0.97美元），仅2008年11月19日-21日的3天之内就下跌了55%，11月20日单日跌幅达到了26%。为使花旗集团免于破产，美国财政部通过问题资产处置计划（简称为TARP）于2008年10-11月间两次向花旗集团注资合计450亿美元，同时提供了高额的资产担保。试运用压力试验与极值理论，揭示美国财政部向花旗集团注资的有效性和合理性，并给出具体的分析步骤。