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1、高中数学知识点汇总（高一）高中数学知识点汇总（高一）高中数学知识点汇总（高一） . 1一、集合和命题 . 2二、不等式 . 4三、函数的基本性质 . 6四、幂函数、指数函数和对数函数 . 12（一）幂函数 . 12（二）指数&指数函数 . 13（三）反函数的概念及其性质 . 14（四）对数&对数函数 . 15五、三角比 . 17六、三角函数 . 24一、集合和命题一、集合和命题一、集合：一、集合：（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性；（2）元素与集合的关系：a Aa属于集合A；a Aa不属于集合A（3）常用的数集：N自然数集；N*正整数集；Z 整数集；Q有理数集；R实数集；空集；C
2、复数集；Z 正整数集Q 正有理数集R 正实数集Z 负整数集；Q 负有理数集；R 负实数集（4）集合的表示方法：集合有限集 列举法无限集 描述法；例如：列举法：z,h,a,n,g；描述法：x x 1（5）集合之间的关系：A B集合A是集合B的子集；特别地，A A；A BB C ACA B或A BA B集合A与集合B相等；AB集合A是集合B的真子集例：N Z Q R C；NZQRC空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集（6）集合的运算：交集：A B x x A且xB集合A与集合B的交集；并集：A B x x A或xB集合A与集合B的并集；补集：设U为全集，集合A是U的子集，则由U中所有不属于
3、A的元素组成的集合，叫做集合A在全集U中的补集，记作CUA得摩根定律：CU(AB) CUACUB；CU(AB) CUACUB（7）集合的子集个数：若集合A有n(nN*)个元素，那么该集合有2n个子集；2n1个真子集；2n1个非空子集；2n2个非空真子集二、四种命题的形式：二、四种命题的形式：（1）命题：能判断真假的语句（2）四种命题：如果用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，那么四种命题形式就是：命题原命题表示形式若，则逆命题否命题逆否命题若，则；若，则；若，则逆否命题否命题逆否命题逆命题逆命题否命题逆命题关系原命题逆命题否命题关系原命题否命题逆否命题关系原命题逆否命题同真同假
4、关系（3）充分条件，必要条件，充要条件：若，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件；若且，即，那么既是的充分条件，又是的必要条件，也就是说，是的充分必要条件，简称充要条件欲证明条件是结论的充分必要条件，可分两步来证：第一步：证明充分性：条件 结论；第二步：证明必要性：结论 条件（4）子集与推出关系：设A、B是非空集合，A x x具有性质，B y y具有性质，则A B与等价结论：小范围结论：小范围大范围；例如：小明是上海人大范围；例如：小明是上海人小明是中国人小明是中国人小范围是大范围的充分非必要条件；小范围是大范围的充分非必要条件；大范围是小范围的必要非充分条件大范围是小范围的必要非充分条件二、不
5、等式二、不等式一、不等式的性质：一、不等式的性质：1、a b,b c a c；2、a b ac bc；3、a b,c 0 ac bc；4、a b,c d ac bd；不等式的性质5、a b 0,c d 0 ac bd；6、a b 0 0 11；ab7、a b 0 an bn(nN*)；8、a b 0 na nb(n N*,n 1)二、一元一次不等式：二、一元一次不等式：一元一次不等式ax b解集三、一元二次不等式：三、一元二次不等式：ax2 bx c 0(a 0)a 0x baa 0x baa 0b 0b 0R b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0的根的判别式y ax2bxc(
6、a 0)ax2 bx c 0(a 0)ax2bx c 0(a 0)ax2 bx c 0(a 0)ax2 bx c 0(a 0)ax2 bx c 0(a 0)x0(,x0)(x0,)x1,x2，x1 x2(,x1)(x2,)R(x1,x2)(,x1x2,)Rx0Rx1,x2四、含有绝对值不等式的性质：四、含有绝对值不等式的性质：（1）a b ab a b；（2）a1 a2 an a1a2an五、分式不等式：五、分式不等式：axbaxb（1） 0 (axb)(cxd) 0；（2） 0 (axb)(cxd) 0cxdcxd六、含绝对值的不等式：六、含绝对值的不等式：x aa 0a x ax aa 0
7、a 0x a或x ax aa 0a 0a 0x 0a 0a 0x aa 0a 0Ra x ax a或x aR七、指数不等式：七、指数不等式：（1）af (x) a(x)(a 1) f (x) (x)；（2）af (x) a(x)(0 a 1) f (x) (x)八、对数不等式：八、对数不等式：(x) 0（1）logaf (x) loga(x)(a 1) ；f (x) (x)f (x) 0（2）logaf (x) loga(x)(0 a 1) f (x) (x)九、不等式的证明：九、不等式的证明：（1）常用的基本不等式：a2b2 2ab(a、bR，当且仅当a b时取“”号)；a bab(a、bR
8、，当且仅当a b时取“”号)；22a2b2ab补充公式：ab1122aba3b3c3 3abc(a、b、cR，当且仅当a b c时取“”号)；abc3abc(a、b、cR，当且仅当a b c时取“”号)；3a a2anna1a2an(n为大于 1 的自然数，a1,a2,anR，当且仅当1na1 a2 an时取“”号)；（2）证明不等式的常用方法：比较法；分析法；综合法三、函数的基本性质三、函数的基本性质一、函数的概念：一、函数的概念：f 因变量因变量y，则y就是x的函数，记作y f (x),xD；（1）若自变量自变量x 对应法则x的取值范围D函数的定义域定义域；y的取值范围函数的值域值域求定义
9、域一般需要注意：y 1，f (x) 0；y nf (x)，f (x) 0；f (x)y ( f (x)0，f (x) 0；y logaf (x)，f (x) 0；y logf (x)N，f (x) 0且f (x) 1（2）判断是否函数图像的方法：任取平行于y轴的直线，与图像最多只有一个公共点；（3）判断两个函数是否同一个函数的方法：定义域是否相同；对应法则是否相同二、函数的基本性质：二、函数的基本性质：（1）奇偶性：函数y f (x),xD“定义域D关于 0 对称”成立前提条件f (x) f (x)f (x) f (x)“定义域D关于 0 对称” ； “f (x) f (x)” ； “f (x
10、) f (x)”成立奇偶性奇偶函数图像性质偶函数关于y轴对称成立奇函数关于O(0,0)对称成立不成立或者或者、都不成立非奇非偶函数注意：注意：定义域包括 0 的奇函数必过原点O(0,0)（2）单调性和最值：前提条件单调增函数y f (x),xD，I D，任取x1,x2区间Ix1 x2x1 x2或f (x1) f (x2)f (x1) f (x2)x1 x2x1 x2或f (x ) f (x )f (x ) f (x )1212任取xD,存在x0D, f (x) f (x0)任取xD,存在x0D, f (x) f (x0)单调减函数最小值ymin f (x0)最大值ymax f (x0)注意：注
11、意：复合函数的单调性：函数外函数y f (x)内函数y g(x)复合函数y fg(x)单调性如果函数y f (x)在某个区间I上是增（减）函数，那么函数y f (x)在区间I上是单调函单调函数数，区间I叫做函数y f (x)的单调区间单调区间（3）零点：若y f (x),xD，cD且f (c) 0，则x c叫做函数y f (x)的零点存在x0(a,b)y f (x),xa,b零点定理零点定理：； 特别地，特别地，当y f (x),xa,b是单调函数单调函数，f (a) f (b) 0f (x0) 0且f (a) f (b) 0，则该函数在区间a,b上有且仅有有且仅有一个零点，即存在唯一唯一x0
12、(a,b)，使得f (x0) 0（4）平移的规律： “左加右减，下加上减” 函数向左平移k向右平移ky f (x)y f (xk)y f (xk)向上平移hy h f (x)向下平移hy h f (x)备注k,h 0（5）对称性：轴对称的两个函数：函数对称轴函数x轴y f (x)y轴y f (x)y xx f (y)y x x f (y)x my n2n y f (x) y f (x)y f (2m x)中心对称的两个函数：函数对称中心y f (x)(m,n)函数2n y f (2m x)轴对称的函数：函数对称轴条件y f (x)y轴f (x) f (x)x mf (x) f (2m x)注意
13、：注意：f (a x) f (b x)f (x)关于x ab对称；2f (a x) f (a x)f (x)关于x a对称；f (x) f (x)f (x)关于x 0对称，即f (x)是偶函数中心对称的函数：函数对称中心条件y f (x)(m,n)f (x) 2n f (2m x)ab c, )对称；22abf (a x) f (b x) 0f (x)关于点(,0)对称；2注意：注意：f (a x) f (b x) cf (x)关于点(f (a x) f (a x) 2bf (x)关于点(a,b)对称；f (x) f (x) 0f (x)关于点(0,0)对称，即f (x)是奇函数（6）凹凸性：
14、 x x f (x1) f (x2)设函数y f (x),xD，如果对任意x1,x2D，且x1 x2，都有f12，则称22函数y f (x)在D上是凹函数；例如：y x2进一步，如果对任意x1,x2, x x xnD，都有f12n xnf (x1) f (x2)nf (xn)，则称函数y f (x)在D上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式； x x f (x1) f (x2)设函数y f (x),xD，如果对任意x1,x2D，且x1 x2，都有f12，则称22函数y f (x)在D上是凸函数例如：y lgx进一步，如果对任意x1,x2, x x xnD，都有f12n xnf (x1)
15、 f (x2)nf (xn)，则称函数y f (x)在D上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式（7）翻折：函数翻折后翻折过程将y f (x)在y轴右边的图像不变，并将其翻折到y轴左边，并覆盖并覆盖将y f (x)在x轴上边的图像不变，并将其翻折到x轴下边，并覆盖并覆盖第一步：将y f (x)在y轴右边的图像不变，并将其翻折到左边，并覆盖并覆盖；第二步：将x轴上边的图像不变，并将其翻折到x轴下边，并覆盖并覆盖y f ( x)y f (x)y f (x)y f ( x)y f (x)（8）周期性：将y f (x)在x轴上边的图像保持不变，并将x轴下边的图像翻折到x轴上边，不覆盖不覆盖若y
16、f (x),xR，T 0，任取xR，恒有f (xT) f (x)，则称T为这个函数的周期注意：若T是y f (x)的周期，那么kT(k Z,k 0)也是这个函数的周期；周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期f (xa) f (xb)，a bf (x)是周期函数，且其中一个周期T ab；（阴影部分下略）f (x) f (x p)，p 0T 2p；f (xa) f (xb)，a bT 2 ab；f (x) 11或f (x) ，p 0T 2p；f (x p)f (x p)1 f (x p)f (x p)1或f (x) ，p 0T 2p；1 f (x p)f (x p)11 f (x p)f
17、(x p)1或f (x) ，p 0T 4p；1 f (x p)f (x p)1f (x) f (x) f (x)关于直线x a，x b，a b都对称T 2 ab；f (x)关于两点(a,c)，(b,c)，a b都成中心对称T 2 ab；f (x)关于点(a,c)，a 0成中心对称，且关于直线x b，a b对称T 4 ab；若 f (x) f (xa) f (x2a)为周期的周期函数；若f (x) f (xa) f (x2a)2(n1)a为周期的周期函数， 则f (x)是以(n1)a f (xna) m（m为常数，nN*） f (xna) m（m为常数，n为正偶数） ，则f (x)是以三、三、V
18、 V 函数：函数：定义分类形如y a xm h(a 0)的函数，称作 V V 函数函数y a xm h,a 0y a xm h,a 0图像定义域值域对称轴开口顶点在(,m上单调递减；单调性在m,)上单调递增注意Rh,)x m(,h向上(m,h)向下在(,m上单调递增；在m,)上单调递减当m 0时，该函数为偶函数四、分式函数：四、分式函数：定义分类a形如y x(a 0)的函数，称作分式函数分式函数xaay x,a 0（耐克函数耐克函数）y x,a 0xx图像定义域值域渐近线(,2 a2 a,)(,0)(0,)Rx 0，y x在(, a， a,)上单调递增；单调性在 a,0)，(0,a上单调递减五
19、、曼哈顿距离：五、曼哈顿距离：在平面上，M(x1, y1)，N(x2, y2)，则称d x1 x2 y1 y2为MN的曼哈顿距离六、某类带有绝对值的函数：六、某类带有绝对值的函数：1、对于函数y xm，在x m时取最小值；2、对于函数y xm xn，m n，在xm,n时取最小值；3、对于函数y xm xn x p，m n p，在x n时取最小值；4、对于函数y xm xn x p xq，m n p q，在xn, p时取最小值；5、推广到y x x1 x x2y x x1 x x2在(,0)，(0,)上单调递增； x x2n，x1 x2 x x2n1，x1 x2 x2n，在xxn,xn1时取最小
20、值； x2n1，在xxn时取最小值思考：对于函数y x1 2 x 3 x2，在x_时取最小值四、幂函数、指数函数和对数函数四、幂函数、指数函数和对数函数（一）幂函数（一）幂函数（1）幂函数的定义：形如y xa(a R)的函数称作幂函数，定义域因a而异（2）当a 0,1时，幂函数y xa(a R)在区间0,)上的图像分三类，如图所示（3）作幂函数y xa(a 0,1)的草图，可分两步：根据a的大小，作出该函数在区间0,)上的图像；根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在(,0上的图像（4）判断幂函数y xa(a R)的a的大小比较：方法一：y xa(a R)与直线x m(m 1)的交点越靠上，
21、a越大；方法二：y xa(a R)与直线x m(0 m 1)的交点越靠下，a越大axb(c 0)的变形幂函数的作图：cxdda作渐近线（用虚线） ：x 、y ；cc（5）关于形如y b选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0,)；d画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下） （二）指数（二）指数&指数函数指数函数1 1、指数运算法则：、指数运算法则：a a axyxyaxax；(a ) a；(ab) a b；( ) x，其中(a,b 0,x、y R)bbxyxyxxx2 2、指数函数图像及其性质：、指数函数图像及其性质：/y ax(a 1)y ax(0 a 1)
22、图像定义域值域奇偶性渐近线单调性在(,)上单调递增；R(0,)非奇非偶函数x轴在(,)上单调递减；指数函数y ax的函数值恒大于零；指数函数y ax的图像经过点(0,1)；性质当x 0时，y 1；当x 0时，0 y 13 3、判断指数函数、判断指数函数y ax中参数中参数a的大小：的大小：方法一：y ax与直线x m(m 0)的交点越靠上，a越大；方法二：y ax与直线x m(m 0)的交点越靠下，a越大当x 0时，0 y 1；当x 0时，y 1（三）反函数的概念及其性质（三）反函数的概念及其性质1 1、反函数的概念：、反函数的概念：对于函数y f (x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对于
23、A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y f (x)，这样得到的x关于y的函数叫做y f (x)的反函数，记作x f1(y)在习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为y f1(x)(x A)2 2、求反函数的步骤：、求反函数的步骤： （ “解”“解”“换”“换”“求”“求” ）将y f (x)看作方程，解出x f (y)；将x、y互换，得到y f1(x)；标出反函数的定义域（原函数的值域） 3 3、反函数的条件：、反函数的条件：定义域与值域中的元素一一对应4 4、反函数的性质：、反函数的性质：原函数y f (x)过点(m,n)，则反函数y f原函数y f (
24、x)与反函数y f奇函数的反函数必为奇函数5 5、原函数与反函数的关系：、原函数与反函数的关系：/定义域值域11(x)过点(n,m)；(x)关于y x对称，且单调性相同；函数y f (x)y f1(x)DAAD（四）对数（四）对数&对数函数对数函数1 1、指数与对数的关系：、指数与对数的关系：ab Nab指数N幂真数底数logaN b对数2 2、对数的运算法则：、对数的运算法则：loga1 0，logaa 1，alogaN N；常用对数lgN log10N，自然对数ln N logeN；loga(MN) logaM logaN，logalogbN M logaM logaN，logaMn nl
25、ogaM；NlogaN1m，logab ，loganbmlogab，logacbc logab，alogNb blogNalogbanlogab3 3、对数函数图像及其性质：、对数函数图像及其性质：/y logax(a 1)y logax(0 a 1)图像定义域值域奇偶性渐近线单调性在(0,)上单调递增；(0,)R非奇非偶函数y轴在(0,)上单调递减；对数函数y logax的图像在y轴的右方；对数函数y logax的图像经过点(1,0)；性质当x 1时，y 0；当0 x 1时，y 0当x 1时，y 0；当0 x 1时，y 04 4、判断对数函数、判断对数函数y logax,x 0中参数中参数a
26、的大小：的大小：方法一：y logax,x 0与直线y m(m 0)的交点越靠右，a越大；方法二：y logax,x 0与直线y m(m 0)的交点越靠左，a越大五、三角比五、三角比1 1、角的定义：、角的定义：（1）终边相同的角：与2k,kZ表示终边相同的角度；终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；与k,k Z表示终边共线的角（同向或反向） （2）特殊位置的角的集合的表示：位置在x轴正半轴上在x轴负半轴上在x轴上在y轴正半轴上角的集合 2k,kZ 2k,kZ k,kZ 2k2,k Z在y轴负半轴上 2k3,k Z2在y轴上 k2,k Z在坐标轴上 k,k Z2在第一象限内2k 2k
27、2,k Z在第二象限内2k2 2k,kZ3,k Z2在第三象限内2k 2k在第四象限内（3）弧度制与角度制互化：rad 180；1rad 2k3 2k2,k Z2180；1 180rad（4）扇形有关公式：l；r弧长公式：l r；11扇形面积公式：S lr r2（想象三角形面积公式） 22（5）集合中常见角的合并：x kx 2kkx x 2k22x k2x 2k2x 2kx 2kx 2kx 2kx 2kkx ,kZ44 x k54k4x 2434 x k44（6）三角比公式及其在各象限的正负情况：以角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴建立直角坐标系，在的终边上任取一个异于原点的点P(x, y
28、)，点P到原点的距离记为r，则（7）特殊角的三角比：角度制0030456090180270323602弧度制61242233221sin0010cos1323322120101tan013无0无0（8）一些重要的结论： （注意，如果没有特别指明，k的取值范围是kZ）角和角的终边：角和角的终边关于x轴对称sin sincos costan tan关于y轴对称关于原点对称sin sinsin sincos coscos costan tantan tan的终边与的终边的关系2的终边在第一象限(2k,2k)(k,k)；224,k)；242233的终边在第三象限(2k,2k)(k,k)；224233,
29、k),2k2)(k的终边在第四象限(2k242sin与cos的大小关系：3,2k)的终边在直线y x右边（x y 0）sin cos(2k；445sin cos(2k,2k)的终边在直线y x左边（x y 0） ；4452k的终边在直线y x上（x y 0）sin cos2k，44的终边在第二象限(2k,2k)(ksin与cos的大小关系：sin cos(kx y 0x y 0或；,k)的终边在44x y 0x y 0x y 0x y 03sin cos(k,k)的终边在或；44x y 0x y 0sin cosk4,k3，kZ的终边在y x42 2、三角比公式：、三角比公式：（1）诱导公式：
30、 （诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）第一组诱导公式：第二组诱导公式：第三组诱导公式：（周期性）（奇偶性）（中心对称性）sin(2k) sincos(2k) costan(2k) tancot(2k) cotsin() sincos() costan() tancot() cotsin() sincos() costan() tancot() cot第四组诱导公式：第五组诱导公式：第六组诱导公式：（轴对称）（互余性）sin() cos2sin() sincos() sincos() cos2tan() tantan() cot2cot() cotcot() tan2sin() cos2co
31、s() sin2tan() cot2cot() tan2（2）同角三角比的关系：倒数关系：商数关系：平方关系：sincsc1cossec1tancot1sintan(cos 0)coscotcos(sin 0)sinsin2 cos21221 tan sec1 cot2 csc2（3）两角和差的正弦公式：sin() sincos cossin；) coscos sinsin；两角和差的余弦公式：cos(两角和差的正切公式：tan() tan tan1 tantan（4）二倍角的正弦公式：sin2 2sincos；二倍角的余弦公式：cos2 cos2sin21 2sin2 2cos21；2tan
32、；21 tan降次公式：万能置换公式：21cos 2sin22tan1cos22sin2sin1cos 2cos21 tan2221 tan21cos222；cos2cos221 tan1sinsincos221cos22tan2tantan221cos21 tan21sin sincos22sin1cos半角公式：tan；21 cossin（5）辅助角公式：版本一：二倍角的正切公式：tan2bsina2b222asinbcosa b sin()，其中0 2,acosa2b2版本二：basinbcosa2b2sin()，其中a,b 0,0 ,tan2a3 3、正余弦函数的五点法作图：、正余弦函
33、数的五点法作图：3以y sin(x)为例，令x依次为0,2，求出对应的x与y值，描点(x, y)作图224 4、正弦定理和余弦定理：、正弦定理和余弦定理：abc（1）正弦定理： 2R(R为外接圆半径)；sin Asin BsinC其中常见的结论有：a 2Rsin A，b 2Rsin B，c 2RsinC；abcsin A ，sinB ，sinC ；2R2R2Rsin A:sinB:sinC a:b:c；SABC 2R2sin Asin BsinC；SABCaRsin BsinCabcbRsin AsinC；SABC4RcRsin Asin Bb2c2 a2cos A 2bca2 b2c2 2b
34、ccos A2a2c2b222（2）余弦定理：版本一：b a c 2accosB；版本二：cosB ；2acc2 a2b2 2abcosCb2 a2c2cosC 2aba bcosC ccosB（3）任意三角形射影定理（第一余弦定理） ：b ccos AacosCc acosBbcos A5 5、与三角形有关的三角比：、与三角形有关的三角比：（1）三角形的面积：1SABCdh；2111SABCabsinC bcsin A acsin B；222SABCl l l labc，l为ABC的周长2222（2）在ABC中，a b A B sin A sinB cosA cosB cot A cotB；
35、若ABC是锐角三角形，则sin A cosB；sin(A B) sinCcos(A B) cosCtan(A B) tanCsin(BC) sin A；cos(BC) cos A；tan(BC) tan A；sin(AC) sin Bcos(AC) cosBtan(AC) tan BBCABCAsin costan cot2222ACBACBsin cos；tan cot；2222A BCA BCsin costan cot2222sinsinABBACA cossin cossin cos222；2；22；ACBCCB cossin cossin cos222222BABAsinsin co
36、scos2222ABCABCCACAsinsin coscossinsinsin coscoscos；2222222222CBCBsinsin coscos2222ABCsin Asin BsinC 4coscoscos222ABCcos AcosBcosC 14sinsinsin；222ABCsin Asin BsinC 4sinsincos222sin2Asin2Bsin2C 4sin Asin BsinC；cos2Acos2Bcos2C 4cos AcosBcosC 13 3sin Asin BsinC(0,3 38sin Asin BsinC(0,2；sin Asin BsinC co
37、s AcosBcosC3cos AcosBcosC(1, 1cos AcosBcosC(1, 28其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明（3）在ABC中，角A、B、C成等差数列B （4）ABC的内切圆半径为r 32Sabc6 6、仰角、俯角、方位角：、仰角、俯角、方位角：略7 7、和差化积与积化和差公式（理科）、和差化积与积化和差公式（理科） ：1sincossin()sin()2cossin1sin()sin()2（1）积化和差公式：；coscos1cos()cos()21sinsincos()cos()2sinsin 2sincos22sinsin 2c
38、ossin22（2）和差化积公式：coscos 2coscos22coscos 2sinsin22六、三角函数六、三角函数1 1、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质、图像：、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质、图像：定义域值域奇偶性周期性单调性y sin xy cosxR1,1y tan xx x kR1,12,k ZR奇函数奇函数偶函数最小正周期T 2,2k2232k,2k22（k Z）2k最小正周期T 22k,2k2k,2k最小正周期T ；(k,k)22（k Z）（k Z）当x 2k时，ymin 1；无当x 2k时，ymax1；最值当x 2k2时，ymin 1；时，ymax1；当x 2k2
39、图像例 1：求函数y 5sin(2x)的周期、单调区间和最值 （当x的系数为负数时，单调性相反）3解析：周期T 2k2，由函数y sin x的递增区间2k,2k，可得2225 x k，12122325,k于是，函数y 5sin(2x)7的递增区间为k312127同理可得函数y 5sin(2x)7递减区间为k,k31212 2x 2k，即k当2x3 2k2，即x k时，函数y 5sin(2x)取最大值 5；123当2x3 2k2，即x k5时，函数y 5sin(2x)取最大值5123例 2：求函数y 5sin(2x)7,x0,的单调区间和最值324解析：由x0,，可得2x,2333然后画出2x当
40、2x3的终边图，然后就可以得出,，即x0,时，函数y 5sin(2x)7单调递增；33 21234 当2x,，即x,时，函数y 5sin(2x)7单调递减32312 23同时，当2x当2x 32，即x 时，函数y 5sin(2x)7取最大值 12；12335 34，即x 时，函数y 5sin(2x)7取最小值7；2233注意：当x的系数为负数时，单调性的分析正好相反2 2、函数、函数y Asin(x)h&y Acos(x)h&y Atan(x)h，其中，其中A 0, 0：（1）复合三角函数的基本性质：y Asin(x)hy Acos(x)hy Atan(x)h三角函数其中A 0, 0振幅基准线
41、定义域值域最小正周期(,)Ah, AhT 2其中A 0, 0其中A 0, 0无Ay hxx k2,k Z(,)T 频率相位初相f 1T2f 1Tx（2）函数y Asin(x)h与函数y sin x的图像的关系如下：相位变换： y sin(x)；当 0时，y sin x y sin(x)；当 0时，y sin x 向右平移个单位向左平移个单位周期变换： y sin(x)；当1时，y sin(x) y sin(x)；当01时，y sin(x) 1所有各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）1所有各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）振幅变换：所有各点的纵坐标伸长到原来的 A倍（横坐标不变） y
42、Asin(x)；当A1时，y sin(x) 所有各点的纵坐标缩短到原来的 A倍（横坐标不变） y Asin(x)；当0 A1时，y sin(x) 最值变换：所有各点向上平行移动 h个单位 y Asin(x) h；当h 0时，y Asin(x) 所有各点向下平行移动 h个单位 y Asin(x) h；当h 0时，y Asin(x) 注意：函数y Acos(x)h和函数y Atan(x)h的变换情况同上3 3、三角函数的值域：、三角函数的值域：（1）y asin xb型：设t sin x，化为一次函数y at b在闭区间1,1上求最值（2）y asin xbcosxc，a,b 0型：引入辅助角,t
43、anb，化为y a2b2sin(x)ca（3）y asin2xbsin xc型：设t sin x1,1，化为二次函数y at2bt c求解（4）y asin xcosxb(sin xcosx)c型：a(t21)bt c在闭设t sin xcos x 2,2，则t 12sin xcosx，化为二次函数y 22区间t 2,2上求最值（5）y atan xbcot x型：b设t tanx，化为y at ，用“Nike 函数”或“差函数”求解tasin xb（6）y 型：csin xd方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为1sin x 1求解asin xb（7）y 型：ccosxd化为a
44、sin x yccosx bdy，合并a2 y2c2sin(x) bdy，利用有界性，sin(x) bdya y c2221,1求解（8）asin xcosxbsin2xccos2x， （a 0,b,c不全为 0）型：acbbc利用降次公式，可得asin xcosxbsin2xccos2x sin2x，然后利用辅cos2x222助角公式即可4 4、三角函数的对称性：、三角函数的对称性：对称中心对称轴方程y sin x(k,0)，k Zx k2，k Zy cosxy tan xy cot x(k(2,0)，k Zx k，k Z/k,0)k Z2k(,0)k Z2备注：y sin x和y cosx
45、的对称中心在其函数图像上；y tan x和y cot x的对称中心不一定在其函数图像上 （有可能在渐近线上）例 3：求函数y 5sin(2x)7的对称轴方程和对称中心3解析：由函数y sin x的对称轴方程x k解得x 2，k Z，可得2x3 k2，k Z12k，k Z2k所以，函数y 5sin(2x)7的对称轴方程为x ，k Z3122由函数y sin x的中心对称点(k,0)，k Z，可得2x解得x 3 k，k Z6k，k Z2k,7)，k Z所以，函数y 5sin(2x)7的对称中心为(3625 5、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像：、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像：定义域
46、值域奇偶性单调性对称中心y arcsin x1,1y arccosx1,1y arctanx(,),2 2奇函数 0,(非奇非偶函数在1,1上是减函数点(0,)2,)2 2奇函数 在1,1上是增函数点(0,0)在(,)上是增函数点(0,0)图像重要结论：（1）先反三角函数后三角函数：a1,1 sin(arcsina) cos(arccosa) a；aR tan(arctana) a（2）先三角函数后反三角函数： ,arcsin(sin) ；2 20,arccos(cos) ；,)arctan(tan) 2 2（3）反三角函数对称中心特征方程式：( a1,1arcsin(a) arcsina；a1,1arccos(a) arccosa；a(,)arctan(a) arctana6 6、解三角方程公式：、解三角方程公式：sin x a, a 1x k(1)karcsina,kZcosx a, a 1x 2karccosa,kZtan x a,aRx karctana,kZ
