《九年级上册第二十四章圆24.1.2+垂直于弦的直径(1)ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级上册第二十四章圆24.1.2+垂直于弦的直径(1)ppt课件（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、人教版九年级上册人教版九年级上册 问题问题: :你知道赵州桥吗你知道赵州桥吗? ? 它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧弧的中点到弦的距离的中点到弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出赵州桥主你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？ 1 1、举例什么是轴对称图形。、举例什么是轴对称图形。 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。能够互相重
2、合，那么这个图形叫做轴对称图形。2 2、举例什么是中心对称图形。、举例什么是中心对称图形。 把一个图形绕着某一个点旋转把一个图形绕着某一个点旋转180180，如果旋转后，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。叫做中心对称图形。3 3、圆是不是轴对称图形？、圆是不是轴对称图形？ 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。它的对称轴。 实践探究 没有任何工具如何找到一个圆形纸片的圆心？可以利用：可以利用： 圆是轴对称图形，任何一条直径圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都
3、是它的对称轴所在直线都是它的对称轴O如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CD AB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？OABCDE思考（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧：，弧：，CAEBO.D想一想：想一想：垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。并且
4、平分弦对的两条弧。CD为为 O的直径的直径CDAB 条件条件结论结论AE=BEAE=BEAC=BCAC=BCAD=BDAD=BDOABCDE垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧题设题设结论结论（1）直径）直径（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得AE=BE,AD=BD. AC=BC, 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理垂径定理三种语言三种语言1.定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条
5、弧.OABCDMCDAB,3.如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD = BD.2.条件条件CD为直径为直径CDABCD 平平 分分 弧弧 ADBCD平分弦平分弦ABCD 平平 分分 弧弧 ACB结论结论垂径定理的几个基本图形：垂径定理的几个基本图形：CDCD过圆心过圆心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD= BDEOABDCEABCDEOABDCEOABCEOCDAB 练习1OBAED在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧的线段或相等的圆弧.O判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使
6、用垂径定理？注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）（直径，垂直于弦）缺一缺一不可！不可！ 1 1、如图，、如图，ABAB是是OO的直径，的直径，CDCD为弦，为弦，CDCDABAB于于E E，则下列结论中，则下列结论中不成立不成立的是（的是（ ）A、COE=DOEOE=DOEB、CE=DECE=DEC、OE=AEOE=AED、BD=BCBD=BC OABECD 8cm1 1半径半径为为4cm4cm的的O O中，弦中，弦AB=4cmAB=4cm, , 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 。2 2O O的的直径直径为为10cm10cm，圆心，圆心O O到
7、弦到弦ABAB的的 距离为距离为3cm3cm，则弦，则弦ABAB的长是的长是 。3 3半径半径为为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 。 练习练习 2ABOEABOEOABE方法归纳方法归纳: : 解决有关弦的问题时，经常解决有关弦的问题时，经常连接半径连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为等辅助线，为应用垂径定理创造条件。应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用垂径定理经常和勾股定理结合使用。E.ACDBO.ABOE例例1 如图，已知在如图，已知在 O中，中，弦弦AB的长为的长为
8、8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半的半径。径。讲解AB.O垂垂 径径 定定 理理 的的 应应 用用2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形DOABCE证明：四边形ADOE为矩形，又AC=AB AE=AD 四边形ADOE为正方形.2 2、如图，、如图，OEOEABAB于于E E，若若OO的半径为的半径为10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,则则AB=AB= cmcm。OABE解：解：连接连接OAOA， OEOEABAB AB=2AE=16cmAB=2AE=16cm3 3、如图，在、如图，在
9、O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8 8cmcm，圆，圆心心O到到AB的距离为的距离为3 3cmcm，求，求O的半径。的半径。OABE解：解：过点过点O O作作OEOEABAB于于E E，连接连接OAOA即即O的半径为的半径为5 5cm.cm. 你能利用垂径定理解决求你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗赵州桥拱半径的问题吗? ?37.4m7.2mABOCD关于弦的问题，关于弦的问题，常常需要常常需要过圆心作过圆心作弦的垂线段弦的垂线段，这是，这是一条非常重要的一条非常重要的辅辅助线助线。圆心到弦的距离、圆心到弦的距离、半径、弦半径、弦构成构成直角直角三角形三角形，便将问题，便将问题转化为
10、直角三角形转化为直角三角形的问题。的问题。ABOCD解：解：如图，用如图，用ABAB表示主桥拱，设表示主桥拱，设ABAB所在的圆的圆心为所在的圆的圆心为O O，半径为，半径为r.r.经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OCOC垂足为垂足为D D，与，与ABAB交于点交于点C C，则，则D D是是ABAB的中点，的中点，C C是是ABAB的中点，的中点，CDCD就是拱高就是拱高. . AB=37.4m AB=37.4m，CD=7.2mCD=7.2m AD=1/2 AB=18.7m AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2OD=OC-CD=r-7.2 解得解得r=
11、27.9r=27.9（m m）即即主桥拱半径约为主桥拱半径约为27.9m.27.9m.垂径定理推论垂径定理推论 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直的直径垂直于弦于弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 CDAB,CDAB, CD CD是直径，是直径， AE=BE AE=BE AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE（1 1）如何证明？）如何证明？OABCDE已知：已知：如图，如图，CDCD是是OO的直径，的直径，ABAB为弦为弦，且，且AE=BE.AE=BE.证明：证明：连接连接OAOA，OBOB，则，则OA=OBOA=OB AE=B
12、E AE=BE CDAB CDAB CD是直径是直径 AD=BD, AD=BD, 求证：求证：CDABCDAB，且，且AD=BD,AD=BD, AC =BC AC =BC AC =BC AC =BC（2 2）“不是直径不是直径”这个条件能去掉吗？如这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。果不能，请举出反例。 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于的直径垂直于弦弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。OABCD CD CD是直径是直径, CDAB, , CDAB, AM=BM AM=BM AC=BC,AC=BC, AD=BD. AD=BD. 如果具备上面五个条件中的任何
13、两个，那么如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线一条直线满足满足:(1):(1)过圆心过圆心;(2);(2)垂直于弦垂直于弦;(3);(3)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）; (4); (4)平分弦所对优弧平分弦所对优弧;(5);(5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧. .OABCDM课堂讨论课堂讨论根据已知条件进行推导：根据已知条件进行推导：过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧（1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直径）的直径
14、垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。（3 3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2 2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。只要具备上述五个条件中任两个只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个就可以推出其余三个.(4)若若 ，CD是直径是直径,则则 、 、 .(1)若若CDAB, CD是直径是直径, 则则 、 、 .(2)若若AM=MB, CD是直径是直径, 则则 、 、 .(3)若若CDAB, AM=MB, 则则
15、 、 、 .1.如图所示如图所示:练习练习OABCDMAM=BM AC=BC AD=BD CDAB AC=BC AD=BD CD是直径是直径 AC=BC AD=BD AC=BC CDABAM=BM AD=BD 试一试试一试2.判断：判断：( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧.( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧这条弦所对的另一条弧.( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等圆的两条弦所夹的弧相等
16、,则这两条弦平行则这两条弦平行. ( )(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. 3 3、如图，点、如图，点P P是半径为是半径为5cm5cm的的OO内一点，且内一点，且OP=3cm, OP=3cm, 则过则过P P点的弦中，点的弦中，（1 1）最长的弦）最长的弦= = cmcm（2 2）最短的弦）最短的弦= = cmcm（3 3）弦的长度为整数的共有（）弦的长度为整数的共有（ ） A A、2 2条条 b b、3 3条条 C C、4 4条条 D D、5 5条条AOCD54P3B4 4、如图，点、如图，点A A、B B是是OO上两点，上两点，AB=8,AB
17、=8,点点P P是是OO上的动点（上的动点（P P与与A A、B B不重合）不重合）, ,连接连接APAP、BP,BP,过点过点O O分别作分别作OEAPOEAP于于E,OFBPE,OFBP于于F,F,EFEF= = 。4OABC 已知已知A、B、C是是 O上三点，且上三点，且AB=AC，圆，圆心心O到到BC的距离为的距离为3厘米，圆的半径为厘米，圆的半径为5厘米，厘米，求求AB长。长。DD试一试试一试OABCOABOAB 已知已知 O的半径为的半径为5厘米，弦厘米，弦AB的长为的长为8厘米，厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。离。 EEDD练
18、习练习1.已知已知P为为 O内一点，且内一点，且OP2cm，如，如果果 O的半径是的半径是3cm,那么过那么过P点的点的最短的最短的弦弦等于等于.EDCBAPO2.过过 O内一点内一点M的最长弦长为的最长弦长为4厘米，最短厘米，最短弦长为弦长为2厘米，则厘米，则OM的长是多少？的长是多少？OMA某圆直径是某圆直径是10,内有两条平行弦内有两条平行弦,长度分别为长度分别为6和和8求这两条平行弦间的距离求这两条平行弦间的距离. 回顾与思考回顾与思考这节课你有什么收获？这节课你有什么收获？还有哪些疑问？还有哪些疑问？1.1.过过oo内一点内一点M M的最长的弦长为的最长的弦长为1010, ,最短弦长
19、为最短弦长为8 8, ,那么那么oo的半径是的半径是2.2.已知已知oo的弦的弦AB=6AB=6, ,直径直径CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那么那么C C到到ABAB的距离等于的距离等于3.3.已知已知OO的弦的弦AB=4AB=4, ,圆心圆心O O到到ABAB的中点的中点C C的距离为的距离为1 1, ,那么那么OO的半径为的半径为4.4.如图如图, ,在在OO中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分别为垂足分别为M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,则则AB= ,AB= ,AC= ,OA=AC= ,OA=BAMCO
20、N51或或964Cm5 5、如图，、如图，OO中中CDCD是弦，是弦，ABAB是直径，是直径，AECDAECD于于E E，BFCDBFCD于于F F，求证：，求证：CECEDFDF。MFEABDCO基本图形基本图形A AB B.O OE E弦心距弦心距半径半径半弦半弦弦心距弦心距2 2+ +半弦半弦2 2= =半径半径2 22.2.在圆中在圆中解决有关弦的问题时，解决有关弦的问题时， 经常是经常是连结半径连结半径,过圆心作弦的垂线段过圆心作弦的垂线段(即即弦心距弦心距) 等等 辅助线，为应用垂径定理创造条件辅助线，为应用垂径定理创造条件.测验测验：如图，：如图， O的半径的半径OC10, DC
21、2，直径，直径CEAB于于D， 求弦求弦AB的长的长.分层作业分层作业基础题基础题1.如图，直径如图，直径AB垂直于弦垂直于弦CD，垂足为，垂足为M， 则（则（1）相等的线段有）相等的线段有 ，相等的劣弧有，相等的劣弧有 ； （2）若）若AB10，CD8，则，则OM .基础题基础题2.如图，如图， O的直径的直径AB与弦与弦CD相交于相交于E，且弧，且弧BC= 弧弧BD，CD6，AB8，则，则EB的长为的长为 .3.如图，已知如图，已知 O的半径为的半径为5mm，弦，弦AB=8mm， 则圆心则圆心O到到AB的距离是的距离是 .分层作业分层作业分层作业分层作业提高题提高题4.如图，以如图，以O为
22、圆心的两个同心圆中，大圆的弦为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交交小圆于小圆于C、D两点，若两点，若AB10cm，CD6cm，则，则AC的长为的长为 cm.5.如图，如图，ABC为为 O的内接三角形，的内接三角形，O为圆心，为圆心，ODAB，垂足为，垂足为D，OEAC， 垂足为垂足为E，若，若DE=3，则，则BC=_.提高题提高题6.如图，矩形如图，矩形ABCD与圆心在与圆心在AB上的上的 O交于点交于点G， B，F，E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm， 则则EF=_cm.7.如图，如图，AB是是 O的弦，的弦，C、D是是AB边延长线上的边延长线上的 点，且点，且ACBD，求证：，求证：OCD是等腰三角形是等腰三角形.分层作业分层作业
