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1、一、定积分一、定积分(jfn)(jfn)问题问题举例举例1. 曲边梯形曲边梯形(txng)的面的面积积设曲边梯形(txng)是由连续曲线以及两直线所围成 ,求其面积 A .矩形面积梯形面积第1页/共50页第一页，共51页。abxyoabxyo用矩形面积近似取代用矩形面积近似取代(qdi)曲边梯曲边梯形面积形面积显然显然(xinrn)，小矩形越多，矩形总面积，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。越接近曲边梯形面积。（四个小矩形（四个小矩形(jxng)）（九个小矩形）（九个小矩形）第2页/共50页第二页，共51页。观察观察(gunch)下列演示过程，注意当分割加下列演示过程，注意当分割加细时
2、，细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第3页/共50页第三页，共51页。观察下列观察下列(xili)演示过程，注意当分割加细时，演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第4页/共50页第四页，共51页。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形矩形面积和与曲边梯形(txng)面积的关系面积的关系第5页/共50页第五页，共51页。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积矩形面积(min j)和与曲边梯形面积和与曲边梯形面积(min
3、 j)的的关系关系第6页/共50页第六页，共51页。观察下列演示过程观察下列演示过程(guchng)，注意当分割加，注意当分割加细时，细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第7页/共50页第七页，共51页。观察下列演示过程观察下列演示过程(guchng)，注意当分割，注意当分割加细时，加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第8页/共50页第八页，共51页。观察下列演示过程，注意观察下列演示过程，注意(zh y)当分割加细时，当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第9页/共50页第九页，共51页。观察观
4、察(gunch)下列演示过程，注意当分割加细下列演示过程，注意当分割加细时，时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第10页/共50页第十页，共51页。观察下列观察下列(xili)演示过程，注意当分割加细演示过程，注意当分割加细时，时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第11页/共50页第十一页，共51页。观察下列演示过程观察下列演示过程(guchng)，注意当分割，注意当分割加细时，加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第12页/共50页第十二页，共51页。观察下列演示过程，注意观察下列演示过程，注意(zh y)
5、当分割加当分割加细时，细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第13页/共50页第十三页，共51页。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形矩形面积和与曲边梯形(txng)面积的关系面积的关系第14页/共50页第十四页，共51页。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形矩形(jxng)面积和与曲边梯形面积的关系面积和与曲边梯形面积的关系第15页/共50页第十五页，共51页。观察下列演示过程，注意观察下列演示过程，注意(zh y)当分割加当分割加细时，细时，矩形面积和与曲边梯形面积的
6、关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系第16页/共50页第十六页，共51页。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积矩形面积(min j)和与曲边梯形面积和与曲边梯形面积(min j)的关系的关系第17页/共50页第十七页，共51页。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积矩形面积(min j)和与曲边梯形面积和与曲边梯形面积(min j)的关系的关系第18页/共50页第十八页，共51页。 设An为第n个小矩形的面积，当小矩形分得越来越细时(此时n不断变化增大，显然(xinrn)n个小矩形的面积之和 Bn=A1+A2+
7、A3+An 变得越来越接近于曲边梯形的面积A, 我们就说曲边梯形的面积A是当n无限增大时Bn的极限，并记作第19页/共50页第十九页，共51页。解决解决(jiju)步骤步骤:1) 大化大化(d hu)小小.在区间 a , b 中任意(rny)插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底 ,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得第20页/共50页第二十页，共51页。3)近似近似(jns)和和.4) 取极限取极限(jxin).令则曲边梯形(txng)面积第21页/共50页第二十一页，共51页。2.变速变速(b
8、ins)直线运动直线运动的路程的路程设某物体(wt)作直线运动,且求在运动(yndng)时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1) 大化小大化小.将它分成在每个小段上物体经2) 常代变常代变.得已知速度n 个小段过的路程为第22页/共50页第二十二页，共51页。3)近似近似(jns)和和.4) 取极限取极限(jxin) .上述两个问题(wnt)的共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限第23页/共50页第二十三页，共51页。二、定积分二、定积分(jfn)定义定义任一种(y zhn)分法任取总趋于确定(
9、qudng)的极限 I , 则称此极限 I 为函数在区间上的定积分定积分,即此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .记作第24页/共50页第二十四页，共51页。积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分(jfn)仅与被积函数及积分(jfn)区间有关 ,而与积分(jfn)变量用什么字母表示(biosh)无关 ,即第25页/共50页第二十五页，共51页。定积分定积分(jfn)的几何的几何意义意义:曲边梯形(txng)面积曲边梯形面积(min j)的负值各部分面积的代数和第26页/共50页第二十六页，共51页。可积的充分条件可积的充分条件(chnfntiojin):取定理定
10、理(dngl)1.定理定理(dngl)2.且只有有限个间断点 (证明略)例例1. 利用定义计算定积分解解: 将 0,1 n 等分, 分点为第27页/共50页第二十七页，共51页。注注注 注. 当n 较大时, 此值可作为 的近似值第28页/共50页第二十八页，共51页。例例2.用定积分表示用定积分表示(biosh)下列极限下列极限:解解:第30页/共50页第三十页，共51页。三三.定积分定积分(jfn)的的近似计算近似计算根据(gnj)定积分定义可得如下(rxi)近似计算方法:将 a , b 分成 n 等份: 1. 左矩形公式例12. 右矩形公式第31页/共50页第三十一页，共51页。推导推导(
11、tudo)3.梯形梯形(txng)公式公式4. 抛物线法公式(gngsh)第32页/共50页第三十二页，共51页。例例3.用梯形用梯形(txng)公式和抛公式和抛物线法公式物线法公式解解: :计算计算(j (j sun)yi(sun)yi(见右表见右表) )的近似值.ixiyi00.04.0000010.13.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取 n = 10, 计算(j sun)时取5位小数)用梯形公式得用抛物线法公
12、式得积分准确值为计算定积分第34页/共50页第三十四页，共51页。四、定积分四、定积分(jfn)的性质的性质(设所列定积分(jfn)都存在)( k 为常数(chngsh)证证:= 右端第35页/共50页第三十五页，共51页。证证: 当时,因在上可积 ,所以在分割区间(q jin)时, 可以永远取 c 为分点 ,于是(ysh)第36页/共50页第三十六页，共51页。当当a,b,c的相对的相对(xingdu)位置任意时位置任意时,例如例如则有第37页/共50页第三十七页，共51页。6.若在若在a , b上上则证证:推论推论(tuln)1. 若在若在 a , b 上上则注注上连续上连续(linx),
13、(linx),则可得到则可得到(d do)(d do)严格不等式严格不等式第38页/共50页第三十八页，共51页。推论推论(tuln)2.证证:即7. 设则第39页/共50页第三十九页，共51页。例例4.试证试证:证证: 设则在上, 有即故即第40页/共50页第四十页，共51页。8.积分积分(jfn)中中值定理值定理则至少存在(cnzi)一点使证证:则由性质(xngzh)7 可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7 第41页/共50页第四十一页，共51页。注注1 1内取到内取到, ,事实上若事实上若 则由连续函数的介值定理则由连续函数的介值定理(dngl), (dngl), 必
14、恒有必恒有因此因此(yn(ync)c)第42页/共50页第四十二页，共51页。注注2 2 积分第一中值定理积分第一中值定理(dngl)(dngl)的几何意义如下的几何意义如下图所示图所示: :第43页/共50页第四十三页，共51页。 可把故它是有限个数的平均值概念(ginin)的推广. 积分(jfn)中值定理对因注注3 3注注4 4第44页/共50页第四十四页，共51页。例例5.计算(j sun)从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度(sd).解解: 已知自由落体速度已知自由落体速度(sd)为为故所求平均速度第45页/共50页第四十五页，共51页。内容内容(nirng)小结小结1.
15、定积分(jfn)的定义 乘积(chngj)和式的极限2. 定积分的性质3. 积分中值定理矩形公式 梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算抛物线法公式第46页/共50页第四十六页，共51页。思考思考(sko)与练习与练习1. 用定积分表示(biosh)下述极限 :解解:或第47页/共50页第四十七页，共51页。思考思考(sko):如何(rh)用定积分表示下述极限 提示提示(tsh):极限为 0 !第48页/共50页第四十八页，共51页。2.解解:设则即第49页/共50页第四十九页，共51页。感谢您的欣赏(xnshng)！第50页/共50页第五十页，共51页。内容(nirng)总结一、定积分问题举例。用矩形面积近似取代曲边梯形面积。显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。观察下列演示过程，注意当分割加细时，。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。Bn=A1+A2+A3+。总趋于确定的极限 I ,。则称此极限 I 为函数。定积分仅与被积函数及积分区间(q jin)有关 ,。例1. 利用定义计算定积分。例3. 用梯形公式和抛物线法公式。故它是有限个数的平均值概念的推广.。解: 已知自由落体速度为。感谢您的欣赏第五十一页，共51页。
