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1、第九章第九章 微分方程与差分方程简介微分方程与差分方程简介一、微分方程的一般概念一、微分方程的一般概念二、一阶微分方程二、一阶微分方程三、几种二阶微分方程三、几种二阶微分方程四、二阶常系数线性微分方程四、二阶常系数线性微分方程五、差分方程简介五、差分方程简介9.1 微分方程的一般概念微分方程的一般概念解解1、问题的提出解解代数方程代数方程特点：未知变量是数特点：未知变量是数方程方程：含有未知量含有未知量(数数)的等式。的等式。函数方程（泛函方程）函数方程（泛函方程）特点：未知变量是函数特点：未知变量是函数1. 1. 微分方程的定义微分方程的定义定义定义：包含自变量，未知函数以及未知函数的：包含
2、自变量，未知函数以及未知函数的某些阶导数的关系式，称之为某些阶导数的关系式，称之为微分方程微分方程 。 常微分方程常微分方程：自变量自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程常微分方程。 偏微分方程：偏微分方程：自变量自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程偏微分方程。未知函数的导数的最高阶数未知函数的导数的最高阶数n n称为该方程的阶称为该方程的阶。 当当n=1n=1时，称为时，称为一阶微分方程一阶微分方程； 当当n1n1时，称为时，称为高阶微分方程高阶微分方程。2. 2. 微分方程的阶微分方程的阶3. 微分方程的解微分方程的解常微分方程的解的表达式中，若其所包含的独立的常微分
3、方程的解的表达式中，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，我们称任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的这样的解为该微分方程的通解通解。在通解中给予任意。在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为常数以确定的值而得到的解，称为特解特解。为了得到合乎要求的特解，需要对微分方程为了得到合乎要求的特解，需要对微分方程附加一定的条件，它由系统在某一时刻的初附加一定的条件，它由系统在某一时刻的初始状态给定。称这种条件为始状态给定。称这种条件为初始条件初始条件。初始条件初始条件常微分方程；常微分方程；微分方程的阶；微分方程的阶；微分方程的解；微分方程的解；通
4、解通解; ;初始条件；初始条件；特解；特解；小结小结偏微分方程；偏微分方程；9.2 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程的一般形式是一阶微分方程的一般形式是一阶微分方程的初始条件：一阶微分方程的初始条件：记作记作或或当当时，时，解法解法为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法一、可分离变量的一阶微分方程一、可分离变量的一阶微分方程形如形如的方程，称为的方程，称为变量分离方程变量分离方程.说明：以后可以不需要详细写出处理绝对值符号的过程。例例2 2 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分例例3 练习：课本P410,2(1,2,3)二、齐次微分方程二、齐次微分方程的
5、微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.解法解法可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义例例 2 2 求解微分方程求解微分方程微分方程的解为微分方程的解为解解例例 3 3 求解微分方程求解微分方程解解微分方程的解为微分方程的解为练习：课本p410, 3(3,4)一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.三、一阶三、一阶线性线性微分方程微分方程齐次方程的通解为齐次方程的通解为1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用
6、分离变量法使用分离变量法)2. 线性非齐次方程线性非齐次方程解解例例3 3练习：课本P410 3(1，2)小结：一阶微分方程的求解一、变量分离方程；二、齐次方程（作变换y=ux）；三、线性方程（常数变异法）9.3 几种二阶微分方程几种二阶微分方程二阶微分方程的一般形式为二阶微分方程的一般形式为形形 如如 的微分方程是最简单的二阶微的微分方程是最简单的二阶微分方程。分方程。一、最简单的二阶微分方程一、最简单的二阶微分方程特点特点：右端是：右端是 的一元函数。的一元函数。解法解法：连续求：连续求 两两 次积分。次积分。例例 解微分方程解微分方程特点特点：右端不显含：右端不显含解法解法满足初始条件满
7、足初始条件的特解。的特解。方程并分离变量后，有方程并分离变量后，有两端积分，得两端积分，得例例1 求微分方程求微分方程即即所以所以两端积分，得两端积分，得于是所求的特解为于是所求的特解为特点特点：右端不显含：右端不显含解法解法解解代入原方程得代入原方程得 原方程通解为原方程通解为例例 2二阶常系数齐次线性方程的一般形式二阶常系数齐次线性方程的一般形式二阶常系数非齐次线性方程的一般形式二阶常系数非齐次线性方程的一般形式9.4 二阶常系数线性微分方程（补充内容）二阶常系数线性微分方程（补充内容）二、线性微分方程的解的结构二、线性微分方程的解的结构1.1.二阶常系数线性齐次方程解的结构二阶常系数线性
8、齐次方程解的结构: :问题问题: :其中其中 、 为常数为常数证明：证明：由前面定理知由前面定理知 是（是（1）的解）的解 在在 不等于常数的条件下，可以证明不等于常数的条件下，可以证明 中含有两个任中含有两个任意常数，所以意常数，所以 是（是（1）的解。）的解。若若 ，则，则 ，于是，于是其中其中 ，因而，因而 中只有一个常数，所以不是（中只有一个常数，所以不是（1）的通解。的通解。满足满足 不等于常数这一条件的两个解称为线性无关的。不等于常数这一条件的两个解称为线性无关的。 因此，因此， 是（是（1）的解的充分必要条件是：常数）的解的充分必要条件是：常数 为为分析分析:若能够找到一个函数若
9、能够找到一个函数 ,使得使得 ,且且 , 则则什么样的函数具有这样的特点呢什么样的函数具有这样的特点呢?我们很自然想到指数函数我们很自然想到指数函数 为常数为常数,将它代入上式得将它代入上式得则有则有 , 称为（称为（1）的特征方程。）的特征方程。特征方程的根。特征方程的根。-特征方程法特征方程法将其代入上方程将其代入上方程, 得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为有一对
10、共轭复根有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 1解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 2小结小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应
11、的通解. (见下表见下表)2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为(3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为设设(4)三、常数（或参数）变易法三、常数（或参数）变易法(5)(4),(5)联立方程组联立方程组积分可得积分可得非齐次方程通解为非齐次方程通解为例例 求非齐次方程求非齐次方程 的通解。的通解。9.5差分方程的一般概念差分方程的一般概念定义定义9.3 设函数设函数 ，记为，记为 。当。当 取非负整数时函数值取非负整数时函数值可以排成一个数列：可以排成一个数列：则差则差 称为函数称为函数 的差分，也称为一阶差分，记为的差
12、分，也称为一阶差分，记为即即 。记为记为 ，即，即称为函数称为函数 的二阶差分。的二阶差分。同样可定义三阶差分，四阶差分，同样可定义三阶差分，四阶差分，二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。由定义可知差分具有以下性质：由定义可知差分具有以下性质：（1） （C为常数）为常数）（2）例例1 求求（二）差分方程的一般概念（二）差分方程的一般概念定义定义.含有未知函数差分或表示未知函数几个时期含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程。形如值的符号的方程称为差分方程。形如的方程都是差分方程。方程中含未知函数附标的最大值与最小的方程都是差分方程。方程中含未知函数附标的最大值与最小值的差数称为差分方程的阶。值的差数称为差分方程的阶。定义定义.如果一个函数代入差分方程后，方程两边恒等，如果一个函数代入差分方程后，方程两边恒等，则称此函数为该差分方程的解。如果差分方程的解中含有独立的则称此函数为该差分方程的解。如果差分方程的解中含有独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称它为差分方程的通解。任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称它为差分方程的通解。一阶及二阶常系数线性差分方程（略）一阶及二阶常系数线性差分方程（略）
