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1、第三章第三章 扭扭 转转3-1 3-1 概概 述述工程实例工程实例1.1.圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；2.2.杆表面上的纵向线变成螺旋线。杆表面上的纵向线变成螺旋线。受力特点：受力特点：圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用垂直于杆的轴线的外力偶作用变形特点：变形特点：Me Me 实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形。弯曲、拉压等其他变形。3-2 3-2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转通常指通常指 的圆筒，可假定其
2、的圆筒，可假定其应力沿壁厚方向均匀分布应力沿壁厚方向均匀分布内力偶矩内力偶矩扭矩扭矩T薄壁圆筒薄壁圆筒nnMeMe dlT Me nndr0圆筒两端截面之间相对转过圆筒两端截面之间相对转过的圆心角的圆心角 相对扭转角相对扭转角 表面正方格子倾斜的角度表面正方格子倾斜的角度直角的改变量直角的改变量 切应变切应变 即gjABDCMe Me 薄壁圆筒受扭时变形情况：薄壁圆筒受扭时变形情况：gABC D B1A1D1 C1 DD1C1CMe Me 圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距不变；不变；表面变形特点及分析：表面变形特点及分析：横截面在变形前后
3、都保持为形状、大小未改横截面在变形前后都保持为形状、大小未改变的平面，没有正应力产生变的平面，没有正应力产生所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周向均匀分布向均匀分布gjABDCMe Me 1 1、横截面上无正应力；、横截面上无正应力；2 2、只有与圆周相切的切应力，、只有与圆周相切的切应力，且沿圆筒周向均匀分布；且沿圆筒周向均匀分布； 薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析：薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析：gjABDCgABC D B1A1D1 C1 DD1C1C nnMe r0xt 3
4、 3、对于薄壁圆筒，可认为切、对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚也均匀分布。应力沿壁厚也均匀分布。薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：静力学条件静力学条件因薄壁圆环横截面上各点处的因薄壁圆环横截面上各点处的切应力相等切应力相等得得t dAnnMe r0xdr0剪切胡克定律剪切胡克定律由前述推导可知由前述推导可知薄壁圆筒的扭转实验曲线薄壁圆筒的扭转实验曲线Me Me gjABDC钢材的切变模量值约为：钢材的切变模量值约为：这就是这就是剪切胡克定律剪切胡克定律其中：其中：G材料的材料的切变模量切变模量t p剪切屈服极限剪切屈服极限3-3 3-3 传动轴的外力偶矩传动轴的
5、外力偶矩 扭矩及扭矩扭矩及扭矩图图、传动轴的外力偶矩、传动轴的外力偶矩传动轴的转速传动轴的转速n ；某一轮上某一轮上所传递的功率所传递的功率P (kW)作用在该轮上的外力偶矩作用在该轮上的外力偶矩Me。已知：已知：求：求：一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所作的功：作的功：Me1 Me2 Me3 n从动轮主动轮从动轮传动轮的转速传动轮的转速n 、功率功率P 及其上的外力偶矩及其上的外力偶矩Me之之间的关系：间的关系：主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同，主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同，从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。从动轮
6、上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。Me1 Me2 Me3 n从动轮主动轮从动轮、扭矩及扭矩图、扭矩及扭矩图 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩扭矩，用符号用符号T表示。表示。 扭矩大小可利用扭矩大小可利用截面法截面法来确定。来确定。11TTMe Me AB11BMe AMe 11x扭矩的符号规定扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定按右手螺旋法则确定: :扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。 仿照轴力图的做法，可作仿照轴力图的做法，可作扭矩图扭矩图，表明沿杆，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。轴线各横截面上扭矩的变化情况
7、。TTTTT (+)T (-)右手定则：右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。扭扭矩矩符符号号规规定定：mITImIITmITImIIT11TTMe Me AB11BMe AMe 11xMeT 图图+例例 3-1 一传动轴如图一传动轴如图，转速转速n = 300r/min； 主动轮主动轮输入的功率输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分三个从动轮输出的功率分别为：别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。 首先必须计算作用在各轮上的外
8、力偶矩首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩解：解：221133M1 M2 M3 M4 ABCD分别计算各段的扭矩分别计算各段的扭矩221133M1 M2 M3 M4 ABCDT111xM2AT2AM2 BM3 22xT333DM4 x扭矩图扭矩图Tmax = 9.56 kNm 在在BC段内段内M1 M2 M3 M4 ABCD4.789.566.37T 图(kNm) 图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA4kNm， mB10kNm, mC6kN m，试求11截面和22截面上的扭矩，并画扭矩图。补充例补充例题题11122轮轮轴轴轴承轴承6KNm4KNm一圆轴如图所示，已知其转速为n300转分，主动轮A输
9、入的功率为NA400KW，三个从动轮B、C和D输出的功率分别为NBNC120KW，ND160KW。试画出此圆轴的扭距图。112233轴的转向轴的转向3.82kNm7.64kNm5.10kNm补充例补充例题题23-4 3-4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力强度条件强度条件、横截面上的应力、横截面上的应力（一）几何方面（一）几何方面 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、形状、间距都未变；形状、间距都未变；纵向线倾斜了同一个角度纵向线倾斜了同一个角度g ，表面上所有矩形均变表面上所有矩形均变成平行四边形成平行四边形。g(a)Me Me (
10、b)MeMe 杆的横截面上只有垂直于半径的切应力，没杆的横截面上只有垂直于半径的切应力，没有正应力产生。有正应力产生。平面假设平面假设 等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动。样绕杆的轴线转动。推论：推论：(a)gMe Me (b)gMe Me djgDGGETTO1O2ababdxDAgrrdjgDGGEO1O2DAgrrdxd横截面上任一点处的切应变随点的位置的变化规律横截面上任一点处的切应变随点的位置的变化规律即即相对扭转角沿杆长的变化率，对于给相对扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面为常量定的横截面为常量djgDGGETTO1O2
11、ababdxDAgrrdjgDGGEO1O2DAgrrdxd剪切胡克定律剪切胡克定律（二）物理方面（二）物理方面（三）静力学方面（三）静力学方面称为横截面称为横截面的的极惯性矩极惯性矩trdA trdA rrrO令令得得TdxTTdxOd等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式rtmaxtrtmaxT发生在横截面周边上各点处。发生在横截面周边上各点处。称为称为扭转扭转截面系数截面系数最大切应力最大切应力tmaxtmax令令即即OdrtrT同样适用于空心圆截面杆受扭的情形同样适用于空心圆截面杆受扭的情形tmaxtmaxODdTrtr（四）圆截面的极惯性矩（四）圆截
12、面的极惯性矩Ip和扭转截面系数和扭转截面系数Wp实心圆截面：实心圆截面：Odrrd空心圆截面：空心圆截面：DdrrOd注意：对于空心圆截面注意：对于空心圆截面DdrrOd此处为以横截面、径截面以及与表面平此处为以横截面、径截面以及与表面平行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面体微小的正六面体（五）单元体（五）单元体切应力互等定理切应力互等定理单元体单元体Me Me xyzabOcddxdydztttt自动满足自动满足存在存在t得得 单元体的两个相互垂直单元体的两个相互垂直的截面上，与该两个面的交的截面上，与该两个面的交线垂直的切应力数值相等，线垂直的切
13、应力数值相等，且均指向且均指向( (或背离或背离) ) 两截面两截面的交线。的交线。切应力互等定理切应力互等定理 单元体在其两对互相单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为而无正应力的状态称为纯纯剪切应力状态剪切应力状态。dabcttttxyzabOcddxdydztttt例例3-2 实心圆截面轴实心圆截面轴和空心圆截面轴和空心圆截面轴 (a = d2/D2 =0.8)的材料、扭转力偶矩的材料、扭转力偶矩 Me 和长度和长度l 均相同。试求在两圆轴均相同。试求在两圆轴横截面上最大切应力相等的情况下，横截面上最大切应力相等的情况下，D2/d1之比以及两轴
14、之比以及两轴的重量比。的重量比。(a) Me Me d1lMe (b) Me lD2d2解：解：已知已知得得两轴的重量比两轴的重量比可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。讨论：讨论：为什么说为什么说空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构件？件？、斜截面上的应力、斜截面上的应力假定斜截面假定斜截面ef 的的面积为面积为d Aaefdabcttttxantttaahxsafebax讨论：讨论：1、2、此时切应力均为零。此时切应力均为零。ftattaebahxsax解得解得ttttx4545smaxsmaxsminsmin、强度条件、强度条件等
15、直圆轴等直圆轴材料的许用切应力材料的许用切应力强度条件强度条件强度计算的三类问题强度计算的三类问题 ：(1)(1)、强度校核、强度校核(2)(2)、截面设计、截面设计 (3)(3)、确定许用荷载、确定许用荷载 例例3-4 图示阶梯状圆轴，图示阶梯状圆轴，AB段直径段直径 d1=120mm，BC段直径段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用切应力材料的许用切应力t = 80MPa ，试校核该轴的强度。试校核该轴的强度。解：解： 1、求内力，作出轴的扭矩图、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kNm）MA MBM
16、C ACBBC段段AB段段2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度即该轴满足强度条件。即该轴满足强度条件。2214T图（kNm） 实实心心圆圆轴轴与与空空心心圆圆轴轴通通过过牙牙嵌嵌离离合合器器连连接接。已已知知轴轴的的转转速速n=100 r/min，传传递递功功率率P=10 kW，许许用用切切应应力力=80MPa，d1/d2=0.6。试试确确定定实实心心轴轴的的直直径径d，空空心心轴轴的内、外径的内、外径d1和和d2。 补充补充例题例题11、扭矩：、扭矩：2 2、由实心轴的切应力强度条件：由实心轴的切应力强度条件： 解：解：3 3、由空心轴的切应力强度条
17、件：、由空心轴的切应力强度条件： 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。(A)(B)(C)(D)补充补充例题例题2解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。 因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆
18、环截面）的剪切弹性模量（G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。 在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。 根据以上分析，正确答案是（C）(A)(B)(C)(D)3-5 等直圆轴扭转时的变形等直圆轴扭转时的变形刚度条件刚度条件、扭转时的变形、扭转时的变形两个横截面的两个横截面的相对扭转角相对扭转角j扭转角沿杆长的变化率扭转角沿杆长的变化率相距相距d x 的的微段两端截面间微段两端截面间相对扭转角为相对扭转角为gMe Me
19、 jdjgDTTO1O2ababdxDA等直圆杆仅两端截面受外力偶矩等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时作用时称为等直圆杆的称为等直圆杆的扭转刚度扭转刚度相距相距l 的两横截面间相对扭转角为的两横截面间相对扭转角为gMe Me j(单位：单位：rad)例例3-5 图示钢制实心圆截面轴，已知：图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1592Nm, M2=955 Nm，M3=637 Nm， d =70mm， lAB=300mm，lAC=500mm，钢的切变模量钢的切变模量G=80GPa。求横截面求横截面C相对于相对于B的扭转角的扭转角jCB。解：解： 1、 先用截面法求各段轴的扭矩：先用截面法求
20、各段轴的扭矩：BA段段AC段段M1M3 BACM2 dlABlAC2、 各段两端相对扭转角：各段两端相对扭转角：jCAjABM1M3 BACM2 dlABlAC3、 横截面横截面C相对于相对于B的扭转角：的扭转角：jABjCAM1M3 BACM2 dlABlAC图示空心圆杆图示空心圆杆 AB，A端固定，底板端固定，底板 B为刚性杆，为刚性杆，在其中心处焊一直径为在其中心处焊一直径为d2的实心圆杆的实心圆杆CB。空心空心杆的内、外径分别为杆的内、外径分别为 D1和和 d1，外力偶矩外力偶矩 Me、两杆的长度两杆的长度l1、l2 及材料的切变模量及材料的切变模量G 均为已均为已知。试求：知。试求：
21、1、两杆横截面上的切应力分布图两杆横截面上的切应力分布图；2、实心杆、实心杆C端的绝对扭转角端的绝对扭转角jC 。ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I刚性板刚性板补充补充例题例题1解：解：1、分析两轴的受力、分析两轴的受力如图，求出其扭矩分别为如图，求出其扭矩分别为ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I刚性板刚性板MeMeABMeB CMe2、求横截面上的切应力、求横截面上的切应力空心圆轴空心圆轴实心圆轴实心圆轴空心圆轴空心圆轴实心圆轴实心圆轴t2,maxt1,maxt1,minT1T23、计算绝对扭转角、计算绝对扭转角jCABCMeMeMeB CABMeMeACjCjBAjCB、刚度条
22、件、刚度条件等直圆杆在扭转时的刚度条件：等直圆杆在扭转时的刚度条件：对于精密机器的轴对于精密机器的轴对于一般的传动轴对于一般的传动轴常用单位：常用单位： /m例例3-6 由由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比径之比a = 0.5。已知材料的许用切应力已知材料的许用切应力t = 40MPa ，切变模量切变模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为轴的横截面上最大扭矩为Tmax=9.56 kNm ，轴的许可单位长度扭转角轴的许可单位长度扭转角j =0.3 /m 。试选择轴的直径。试选择轴的直径。解：解：1、按强度条件确定外直径、按强度条件确定外直径D2
23、、由刚度条件确定所需外直径、由刚度条件确定所需外直径D3、确定内外直径、确定内外直径3-6 3-6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆仅在两端受外力偶矩等直圆杆仅在两端受外力偶矩 Me 作用且作用且 时时或或gMe Me jjMe Me j当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时或或jABjCAM1M3 BACM2 dlABlAC纯纯剪切应力状态下的剪切应力状态下的应变能密度应变能密度( )xyzabOcdxddydzttttOtgtpg扭矩扭矩T为常量时，长为为常量时，长为 l 的等直圆杆的应变能为的等直圆杆的应变能为等直圆杆的扭转应变能与应变能
24、密度的关系等直圆杆的扭转应变能与应变能密度的关系gMe Me j例例3-7 圆柱螺旋弹簧如图圆柱螺旋弹簧如图(簧杆斜度簧杆斜度a d 。 试推导弹簧的应试推导弹簧的应力和变形计算公式。力和变形计算公式。解：解：1、 求簧杆横截面上的内力求簧杆横截面上的内力分离体的平衡分离体的平衡2、求簧杆横截面上的应力、求簧杆横截面上的应力a) 略去与剪力相略去与剪力相应的切应力应的切应力b) D d 时时略去略去簧圈的曲率影响簧圈的曲率影响3、 求弹簧的变形求弹簧的变形近似认为簧杆长度近似认为簧杆长度 l =2pRn弹簧在线弹性范围内工作时弹簧在线弹性范围内工作时称为弹簧的称为弹簧的刚度系数刚度系数（N/m)试用能量法求图示杆系截面试用能量法求图示杆系截面C处的扭转角。处的扭转角。图中图中Me，l1，l2，D1，d1，d2及杆材的切变及杆材的切变模量模量G均为已知。均为已知。解：解：ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I刚性板刚性板已求得两轴的扭矩已求得两轴的扭矩补充补充例题例题1其转向与其转向与Me 相同。相同。ABCMe杆系扭转应变能为杆系扭转应变能为而而
