四章微分方程建模

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1、第四章第四章 微分方程建模微分方程建模 在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题， 本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。用的数学工具之一。 4.1 微分方程的几个简单实例微分方

2、程的几个简单实例驾荆词痛摹瓦舶消涛稼撵聂偷依潜定怎湘娃挂话雏赴诊姐任旗男低俭乔闪四章微分方程建模四章微分方程建模例例1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 从图从图3-1中不难看出，小球所受的合力为中不难看出，小球所受的合力为mgsin，根据根据牛顿第二定律牛顿第二定律可得：可得： 从而得出两阶微分方程：从而得出两阶微分方程： （3.1）这是理想单摆应这是理想单摆应满足的运动方程满足的运动方程 （3.13.1）是一个两阶非线性方程，不是一个两阶非线性方程，不易求解。当易求解

3、。当很小时，很小时，sin，此时，此时，可考察（可考察（3.13.1）的近似线性方程：）的近似线性方程： （4.2）由此即可得出由此即可得出 （3.23.2）的解为）的解为: : (t)= 0cost 其中其中 当当 时时,(t)=0故有故有MQPmg图图4-1 （4.14.1）的）的近似方程近似方程肄委郡甫轨搅陶收唬膀七莫亢裙韭阵沛粗篱良谜归帽献墟窃黎喜颠汐龙条四章微分方程建模四章微分方程建模例例2 一个半径为一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了水，的半球形容器内开始时盛满了水，但由于其底部一个面积为但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在的小孔在t=0时刻被打时刻被打开，水被不断放出。

4、问：容器中的水被放完总共需要开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要多少时间？多少时间？ 解解: 以容器的底部以容器的底部O点为点为 原点，取坐标系如图原点，取坐标系如图3.3所示。所示。令令h(t)为为t时刻容器中水的高度，现建立时刻容器中水的高度，现建立h(t)满足的微分满足的微分方程。方程。 设水从小孔流出的速度为设水从小孔流出的速度为v(t)，由力学定律，在不计水，由力学定律，在不计水的内部磨擦力和表面张力的假定下，有：的内部磨擦力和表面张力的假定下，有：因体积守衡，又可得：因体积守衡，又可得： 易见：易见： 故有：故有： 即：即： 这是可分离变量的一阶微分方程，得这是可分离变量

5、的一阶微分方程，得 RxySO图图4-3hr宜悬联堆倾傀伶沙茫纶纹玛征伶卓矣牙裕卷碘迁肘快纹弊善锚邓祝币嗜母四章微分方程建模四章微分方程建模 为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。 本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自型的复合来研究，大家若有

6、兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。行建立相应的模型。 美丽的大自然 种群的数量本应取离散值，但由于种群数种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。由此引起的误差将是十分微小的。 离散化为连续，方离散化为连续，方便研究便研究4.24.2 MalthusMalthus模型与模型与LogisticLogistic模型模型扬旦奄羞予贬灵慨钉糖掏辩柑绷馅鞍其以兽粕嘻腻菜按甚拒酞琶掀用仆踊四章微分方程建模四章微分

7、方程建模模型模型1 1 马尔萨斯（马尔萨斯（MalthusMalthus）模型）模型 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率人口净增长率r r基本上是一常数，（基本上是一常数，（r r= =b b- -d d, ,b b为出生率，为出生率，d d为死亡率），为死亡率）， 既：既： 或或 （4.5） （4.6） （4.1）的解为的解为：其中其中N0=N(t0)为初始时刻为初始时刻t0时的种群数。时的种群数。 马尔萨斯模型的一个显著特点马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需种群数量翻一番所需的时间是固定的的时间是固定的。令种

8、群数量翻一番所需的时间为令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：，则有： 故故万翠责醚潞淑志绥溜腆号绿废胃未踊捕撞浇缄里渡岭劳汰珍微甭肋湃撤秃四章微分方程建模四章微分方程建模模型检验模型检验 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人年世界人口数为口数为30.6 （即（即3.06109），人口增长率约为），人口增长率约为2%，人口数大，人口数大约每约每35年增加一倍。检查年增加一倍。检查1700年至年至1961的的260年人口实际数年人口实际数量，

9、发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。年增加一倍，两者也几乎相同。 模型预测模型预测 假如人口数真能保持每假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达年，人口达21014个，个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，平方英尺的活动范围，而到而到2670年，人口达年，人口达361015个，只好一个人站在另一人的肩个，只好一个人站在另一人

10、的肩上排成二层了。上排成二层了。 故故马尔萨斯模型是不完善的。马尔萨斯模型是不完善的。几何级数的增长MalthusMalthus模型模型实际上只有在群体总数实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现等原因，就可能发生生存竞争等现象。象。所以所以MalthusMalthus模型假设的人口模型假设的人口净净增长率不可能始终保持常数，增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。它应当与人口数量有关。磕隋轿拉霹氯

11、福芭郴跑喊纽杠线昔吮初抱脆刀天讽炮蹬十巾双椎役赔绥巨四章微分方程建模四章微分方程建模模型模型2 2 Logistic Logistic模型模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即：人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N) 从而有从而有：（3.7）r( (N N) )是未知函数，但根是未知函数，但根据实际背景，它无法用据实际背景，它无法用拟合方法来求拟合方法来求 。为了得出一个有实际意义的为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。是采用尽

12、可能简单的方法。 r(N)最简单的形式是常数，此最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）进就是引进一次项（竞争项） 对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(N)=r-aN 此时得到微分方程：此时得到微分方程： 或或（3.8） （4.8）被称为被称为LogisticLogistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（物学家弗赫斯特（VerhulstVerhulst）首先提出

13、的。一次项系数是负的，因为当种群数）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。（4.84.8）可改写成：可改写成： （3.9） (4.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率

14、却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为的种群数量的上界为K（近似地将（近似地将K看成常数），看成常数），N表示当前的种群数量，表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（恰为环境还能供养的种群数量，（4.9）指出，种群增长率与两者的乘）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（4.9）也被称为统计筹算律的原因。也被称为统计筹算律的原因。 杭骄佐磺稻酝奏呢们佰膨谬皂肝邓披烈鸥豁楞银四芬弓殆芳湾雌辛腊屉亨四章微分方程建模四章微分方程建模图图4-5对对（4.94.9）分离变量：分离变量：

15、两边积分并整理得：两边积分并整理得： 令令N(0)=N0，求得：，求得： 故故（4.94.9）的满足初始条件的满足初始条件N(0)=N0的解为：的解为： （4.10）易见：易见： N(0)=N0 ，N(t)的图形请看图的图形请看图4.5 消碧陡坚敖污藩吓迁敬悍镐蜡柳婪拽省嵌瞄烛妊簧治搞疲禽捆涝途雹心鸿四章微分方程建模四章微分方程建模模型检验模型检验 用用LogisticLogistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？模型来描述种群增长的规律效果如何呢？19451945年克朗皮克（年克朗皮克（CrombicCrombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数学生

16、物学家高斯（学生物学家高斯（E EF FGaussGauss）也做了一个原生物草履虫实）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和验，实验结果都和LogisticLogistic曲线十分吻合。曲线十分吻合。 大量实验资料表明用大量实验资料表明用LogisticLogistic模型来描述种群的增长，效模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯果还是相当不错的。例如，高斯把把5只草履虫放进一个盛有只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量的速率增长，此后

17、增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的的LogisticLogistic曲线：曲线： 几乎完全吻合，见图几乎完全吻合，见图3.6。 图图4-6坚直闹禹葱晴蛛往真磕柿哨扦帽旺卜挂椿膜俘甸坯逻曲篇厂磅待甭俏充嘲四章微分方程建模四章微分方程建模MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型的总结模型的总结 MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型模型均为对微分方程（均为对微分方程（4.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率所作的模拟近似方程。

18、前一模型假设了种群增长率r为一常为一常数，（数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。因，对模型进行修改。 Malthus Malt

19、hus模型与模型与LogisticLogistic模型虽然都是为了研究种群数量的模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两个较为有趣的实例。个较为有趣的实例。 铝纳颂丽破刽绣调劣熔引沽垃贡菱尤寺颅栋邯吮馁纱督膏痹此惶窗爸垢埋四章微分方程建模四章微分方程建模例例5 5 新产品的推广新产品的推广 经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速度问题。怎

20、样建立一个数学模型来描述它，并由此析度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析出一些有用的结果以指导生产呢？以下是第二次世界出一些有用的结果以指导生产呢？以下是第二次世界大战后日本家电业界建立的电饭包销售模型。大战后日本家电业界建立的电饭包销售模型。 设需求量有一个上界，并记此上界为设需求量有一个上界，并记此上界为K，记，记t时刻已销售出的时刻已销售出的电饭包数量为电饭包数量为x(t)，则尚未使用的人数大致为，则尚未使用的人数大致为Kx(t)，于是由统，于是由统计筹算律：计筹算律： 记比例系数为记比例系数为k k，则则x(t)满足：满足： 此方程即此方程即LogisticLogistic模

21、型，解为：模型，解为： 还有两个奇解还有两个奇解: x=0和和x=K 对对x(t)求一阶、两阶导数：求一阶、两阶导数： 念匪骸位盒这螺舜著珠衫挤猖剥碘邮剔愁般钡蚤毁馁资蚂燃烩赴柠亢族底四章微分方程建模四章微分方程建模容易看出，容易看出，x(t)0，即，即x(t)单调增加。单调增加。由由x(t0)=0，可以得出，可以得出 =1，此时，此时， 。当当t0，x(t)单调增加，而当单调增加，而当tt0时，时，x(t) k k（药物未吸收完前，输入速率通常总大于分解与排泄（药物未吸收完前，输入速率通常总大于分解与排泄速率），但也有例外的可能（与药物性质及机体对该药物的吸收、分解能力速率），但也有例外的可

22、能（与药物性质及机体对该药物的吸收、分解能力有关）。当有关）。当k k1 1 k k时，体内药物量均很小，这种情况在医学上被称为触发翻转时，体内药物量均很小，这种情况在医学上被称为触发翻转（flip-flopflip-flop）。当）。当k k1 1= =k k时时，对固定的，对固定的t t，令，令k kk k1 1取极限（应用罗比达法则），取极限（应用罗比达法则），可得出在这种情况下的血药浓度为：可得出在这种情况下的血药浓度为： 所以所以画扬闪禹洛蔑域苞演掀慈某拯诬羽嚼钞率寅竟粟尖怜讫胀菱曰津绒舆枪咱四章微分方程建模四章微分方程建模 图图4-94-9给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线

23、。给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽相同，（注：为达到治疗目的，血药浓度应达到某时间也不尽相同，（注：为达到治疗目的，血药浓度应达到某一有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）。一有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）。图4-9 我们已求得三种常见给药方式下

24、的血药浓度我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度C C( (t t) )，当然也，当然也容易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根容易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。 刊玩恐初挥滔搭侮狸巳垒漓匈写便适提蓟里敲恳滥丘戊荧喉葡哥往侦腕易四章微分方程建模四章微分方程建模 新药品、新疫苗在临床应用前必须经过较长时间的基础研究、小新药品、新疫苗在临床应用前必须经过较长时间的基础研究、小量试制、中间试验、专业机构评审及临床研究。当一种新药品、新疫量试制、中间试验、专业机构评审及临床研究。当一种新药品、

25、新疫苗研制出来后，研究人员必须用大量实验搞清它是否真的有用，如何苗研制出来后，研究人员必须用大量实验搞清它是否真的有用，如何使用才能发挥最大效用，提供给医生治病时参考。在实验中研究人员使用才能发挥最大效用，提供给医生治病时参考。在实验中研究人员要测定模型中的各种参数，搞清血药浓度的变化规律，根据疾病的特要测定模型中的各种参数，搞清血药浓度的变化规律，根据疾病的特点找出最佳治疗方案（包括给药方式、最佳剂量、给药间隔时间及给点找出最佳治疗方案（包括给药方式、最佳剂量、给药间隔时间及给药次数等），这些研究与试验据估计最少也需要数年时间。在药次数等），这些研究与试验据估计最少也需要数年时间。在2003

26、2003年年春夏之交的春夏之交的SARSSARS（非典）流行期内，有些人希望医药部门能赶快拿出（非典）流行期内，有些人希望医药部门能赶快拿出一种能治疗一种能治疗SARSSARS的良药或预防的良药或预防SARSSARS的有效疫苗来，但这只能是一种空的有效疫苗来，但这只能是一种空想。想。SARSSARS的突如其来，形成了的突如其来，形成了“外行不懂、内行陌生外行不懂、内行陌生”的情况。国内的情况。国内权威机构一度曾认为这是权威机构一度曾认为这是“衣原体衣原体”引起的肺炎，可以用抗生素控制引起的肺炎，可以用抗生素控制和治疗。但事实上，抗生素类药物对和治疗。但事实上，抗生素类药物对SARSSARS的控

27、制与治疗丝毫不起作用。的控制与治疗丝毫不起作用。以钟南山院士为首的广东省专家并不迷信权威，坚持认为以钟南山院士为首的广东省专家并不迷信权威，坚持认为SARSSARS是病毒是病毒感染引起的肺炎，两个月后（感染引起的肺炎，两个月后（4 4月月1616日），世界卫生组织正式确认日），世界卫生组织正式确认SARSSARS是冠状病毒的一个变种引起的非典型性肺炎（注：这种确认并非是冠状病毒的一个变种引起的非典型性肺炎（注：这种确认并非是由权威机构定义的，而是经对猩猩的多次实验证实的）。发现病原是由权威机构定义的，而是经对猩猩的多次实验证实的）。发现病原体尚且如此不易，要攻克难关，找到治疗、预防的办法当然就

28、更困难体尚且如此不易，要攻克难关，找到治疗、预防的办法当然就更困难了，企图几个月解决问题注定只能是一种不切实际的幻想。了，企图几个月解决问题注定只能是一种不切实际的幻想。 液锨奈咀防濒攻果眩进硫掖谜磐雨刃孙慕甭黄歪榷吕尼厅咒器怠控整挣巳四章微分方程建模四章微分方程建模 上述研究是将机体看成一个均匀分布的同质单元，故上述研究是将机体看成一个均匀分布的同质单元，故被称单房室模型，但机体事实上并不是这样。药物进入血被称单房室模型，但机体事实上并不是这样。药物进入血液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交换进入各个器官。因此，要建立更接近实际

29、情况的数学模换进入各个器官。因此，要建立更接近实际情况的数学模型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间的关联关系，型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间的关联关系，这就需要多房室系统模型。这就需要多房室系统模型。IIIk12k21两房室系统图4-10 图图4-104-10表示的是一种常见的两房室模型，表示的是一种常见的两房室模型，其间的其间的k k1212表示由室表示由室I I渗透到室渗透到室IIII的变化率前的的变化率前的系数，而系数，而k k2121则表示由室则表示由室IIII返回室返回室I I的变化率前的变化率前的系数，它们刻划了两室间的内在联系，其的系数，它们刻划了两室间的内在联系，

30、其值应当用实验测定，使之尽可能地接近实际值应当用实验测定，使之尽可能地接近实际情况。情况。 当差异较大的部分较多当差异较大的部分较多时，可以类似建立多房时，可以类似建立多房室系统室系统，即，即N N房室系统房室系统桃概坯蕴网疯狠萎瘪硒絮骤绦蕴辆吗俺镍船峨残棕湍顽殃渊电软扑耍疤比四章微分方程建模四章微分方程建模4.44.4 传染病模型传染病模型 传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。

31、律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的流行，并建立起相应的多房室模型。流行，并建立起相应的多房室模型。 医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。相差太大。如何

32、解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。 问题的提出：问题的提出：铝桅搭蚌帖咏岳笨委容棵坦倾距连县抡蹬柔散微堪揖臃烂厚哑豹上萌侣米四章微分方程建模四章微分方程建模 设某地区共有设某地区共有n+1人，最初时刻共有人，最初时刻共有i人得病，人得病，t时刻已时刻已感染（感染（infective）的病人数为）的病人数为i(t)，假定每一已感染者在单，假定每一已感染者在单位时间内将疾病传播给位时间内将疾病传播给k个人（个人（k称为该疾病的传染强度），称为该疾病的传染强度），且设此疾病既不导致死亡也不会康复且设此疾病既不导致死亡也不会康复模型模型1 此模型即此模型即MalthusMalthus模型，它大体

33、上反映了传染病流行初期模型，它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况。推移，将越来越偏离实际情况。 已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则不加任何区分，来建立两房室系统。则不加任何区分，来建立两房室系统。 则可导出：则可导出：故可得：故可得： (4.15)坊衙份抬内幽籽亢鞋骇银围磨维复魄烹渍糜碴什蕉妮川炒

34、攘慈谈拈循幼揖四章微分方程建模四章微分方程建模模型模型2 记记t时刻的病人数与易感染人数时刻的病人数与易感染人数（susceptible）分别为分别为i(t)与与s(t)，初始时刻的病人数为，初始时刻的病人数为 i。根据病人不死也不会康复。根据病人不死也不会康复的假设及（竞争项）统计筹算律，的假设及（竞争项）统计筹算律， 其中：其中：解得：解得：（4.17）可得：可得：（3.16） 统计结果显示，统计结果显示，( (4.174.17) )预报结果比预报结果比( (4.154.15) )更接近实际情况。医学上称曲线更接近实际情况。医学上称曲线 为传染病为传染病曲线，并称曲线，并称 最大值时刻最大

35、值时刻t1为此传染病的流行为此传染病的流行高峰。高峰。令：令：得：得：此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式。 模型模型2 2仍有不足之处，它仍有不足之处，它无法解释医生们发现的现无法解释医生们发现的现象，且当时间趋与无穷时，象，且当时间趋与无穷时，模型预测最终所有人都得模型预测最终所有人都得病，与实际情况不符。病，与实际情况不符。 为了使模型更精为了使模型更精确，有必要再将确，有必要再将人群细分，建立人群细分，建立多房室系统多房室系统餐页祈虾蔡肋扔朋锗炳谴极叉层索渊饥鼎霄募懒卉哎升果烦企甜舵殿桐钱四章微分方程建模四章微分方程建模infectiverecoveredsusce

36、ptiblekl （4.18） l 称为传染病恢复系数 求解过程如下：求解过程如下： 对（对（3）式求导，由（）式求导，由（1）、（）、（2）得：）得： 解得：解得：记：记： 则：则： 将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染者和已恢复者（者和已恢复者（recovered）。分别记）。分别记t时刻的三类人数时刻的三类人数为为s(t)、i(t)和和r(t)，则可建立下面的三房室模型：，则可建立下面的三房室模型： 模型模型3瓶截鞠常舵歉锗尝厂缅蹄潘豢鹰镶爬苇册苔涉影表煌晕色袜瑞礼硝护牵禾四章微分方程建模四章微分方程建模infectiverecover

37、edsusceptiblekl 由由(1)(1)式可得：式可得： 从而解得：从而解得：积分得：积分得：（3.19） 不难验证，当t+时，r(t)趋向于一个常数，从而可以解释医生们发现的现象。 为揭示产生上述现象的原因（为揭示产生上述现象的原因（3.183.18）中）中的第（的第（1 1）式改写成：）式改写成： 其中其中 通常是一个与疾病种类有关的通常是一个与疾病种类有关的较大的常数。较大的常数。下面对下面对 进行讨论，请参见右图进行讨论，请参见右图如果如果 ，则有则有 ，此疾病在该地区根本流行不起，此疾病在该地区根本流行不起来。来。如果如果 ，则开始时，则开始时 ，i(t)单增。但在单增。但在

38、i(t)增加的同时，增加的同时，伴随地有伴随地有s(t)单减。当单减。当s(t)减少到小于等于减少到小于等于 时，时， i(t)开始减开始减小，直至此疾病在该地区消失。小，直至此疾病在该地区消失。鉴于在本模型中的作用，鉴于在本模型中的作用， 被被医生们称为此疾病在该地区医生们称为此疾病在该地区的阀值。的阀值。 的引入解释了为什的引入解释了为什么此疾病没有波及到该地区么此疾病没有波及到该地区的所有人。的所有人。图4-14 犯码惹迹伶颜输俄狼肋烛眺痰禹呜雕灾去艾臃箱跪榜法臀炔茸目脑撑男厚四章微分方程建模四章微分方程建模综上所述，模型综上所述，模型3 3指出了传染病的以下特征：指出了传染病的以下特征

39、： （1 1）当当人人群群中中有有人人得得了了某某种种传传染染病病时时，此此疾疾病病并并不不一一定定流流传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。 （2 2）疾疾病病并并非非因因缺缺少少易易感感染染者者而而停停止止传传播播，相相反反，是是因因为为缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。 （3 3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。）种群不可能因为某种传染病而绝灭。 模型检验：模型检验： 医疗机构一般依据医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数来统计疾病的波及人数 ，从广义上，

40、从广义上理解，理解，r(t)为为t时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模型并无影响。模型并无影响。及：及：注意到：注意到：可得可得：（4.20） 渠瑟椽屑疟臃神振鳖不助箍布潘毕碳旅骸俯踪世适毯诉鹊锯笼虞慰膘坡海四章微分方程建模四章微分方程建模 通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会太大，故太大，故 一般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：一般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有： 代入（代入（4.204.20）得近似方程：）得近似方程：积分得：积分得：其中：其中：这里双曲正切函数这里双曲

41、正切函数 ：而：而：对对r(t)求导求导 ：（4.21）仑匣趋声焉溶浑汝闰杨担彝论呼卑簿耻撰闷炽魄选竟军坦枫娜由途宣疏脏四章微分方程建模四章微分方程建模曲线曲线 在医学上被称为疾病传染曲线。在医学上被称为疾病传染曲线。图图4-14（a）给出了（）给出了（4.21）式曲线的图形，可用医疗单位式曲线的图形，可用医疗单位每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。 图4-14（a）图图4-14（b）记录了）记录了1905年下半年至年下半年至1906年上半年印度孟买瘟年上半年印度孟买瘟疫大流行期间每周死亡人数，不难看出两者有较好的一致性。疫大流行期间每周死亡人数，不难看

42、出两者有较好的一致性。 炯妻舷坏犀哄佛创夯逢桌限椭堪谦表谋扫题洞贮掌栋刽纲棠片刷悯远喘舌四章微分方程建模四章微分方程建模4.54.5 捕食系统的捕食系统的VolterraVolterra方程方程 问题背景：问题背景： 意大利生物学家意大利生物学家DAncona曾致力于鱼类种群相互制约曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，在研究过程中他无意中发现了一些第一次世关系的研究，在研究过程中他无意中发现了一些第一次世界大战期间地中海沿岸港口捕获的几种鱼类占捕获总量百界大战期间地中海沿岸港口捕获的几种鱼类占捕获总量百分比的资料，从这些资料中他发现各种软骨掠肉鱼，如鲨分比的资料，从这些资料中他发现各种软骨掠肉

43、鱼，如鲨鱼、鳐鱼等我们称之为捕食者（或食肉鱼）的一些不是很鱼、鳐鱼等我们称之为捕食者（或食肉鱼）的一些不是很理想的鱼类占总渔获量的百分比。在理想的鱼类占总渔获量的百分比。在 19141923年期间，意年期间，意大利阜姆港收购的鱼中食肉鱼所占的比例有明显的增加：大利阜姆港收购的鱼中食肉鱼所占的比例有明显的增加：年代年代1914191419151915191619161917191719181918百分比百分比11.911.921.421.422.122.121.221.236.436.4年代年代1919191919201920192119211922192219231923百分比百分比27.32

44、7.316.016.015.915.914.814.810.710.7 他知道，捕获的各种鱼的比例近似地反映了地中海里各他知道，捕获的各种鱼的比例近似地反映了地中海里各种鱼类的比例。战争期间捕鱼量大幅下降，但捕获量的下降种鱼类的比例。战争期间捕鱼量大幅下降，但捕获量的下降为什么会导致鲨鱼、鳐鱼等食肉鱼比例的上升，即对捕食者为什么会导致鲨鱼、鳐鱼等食肉鱼比例的上升，即对捕食者有利而不是对食饵有利呢？他百思不得其解，无法解释这一有利而不是对食饵有利呢？他百思不得其解，无法解释这一现象，就去求教当时著名的意大利数学家现象，就去求教当时著名的意大利数学家V.VolterraV.Volterra，希望，

45、希望他能建立一个数学模型研究这一问题。他能建立一个数学模型研究这一问题。 乘浮涪弥待玄榔米嘉铸肋古泌琼嚣筹靖笺崭顺喘鹤尖签靠咱份喝革刨玲习四章微分方程建模四章微分方程建模 Volterra将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量记为记为x1(t)，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为x2(t)，并，并建立双房室系统模型。建立双房室系统模型。1、模型建立、模型建立 大海中有食用鱼生存的足够资源，可假设食用鱼独立生大海中有食用鱼生存的足够资源，可假设食用鱼独立生存将按增长率为存将按增长率为r1的指数律增长（的指数律增长（

46、Malthus模型），既设：模型），既设： 由于捕食者的存在，食用鱼数量因而减少，设减少的速由于捕食者的存在，食用鱼数量因而减少，设减少的速率与两者数量的乘积成正比（竞争项的统计筹算律），即：率与两者数量的乘积成正比（竞争项的统计筹算律），即：对于食饵对于食饵（PreyPrey）系统）系统 ：1 1反映了捕食者掠取食饵的能力反映了捕食者掠取食饵的能力狱杀酬骚需雍窟碴跋浪碧抒尊墨泰稳惊死鄙摆孙腥锡霸午区嚎凳践凡灰句四章微分方程建模四章微分方程建模对于捕食者对于捕食者（PredatorPredator）系统）系统 ：捕食者设其离开食饵独立存在时的死亡率为捕食者设其离开食饵独立存在时的死亡率为r2，

47、即：，即：综合以上分析，建立综合以上分析，建立P-P模型（模型（Volterra方程）的方程组：方程）的方程组：（4.31）方程组（方程组（4.31）反映了在没有）反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的相互制约关与捕食者之间的相互制约关系。下面我们来分析该方程系。下面我们来分析该方程组。组。但食饵提供了食物，使生命得以延续。这一结果也要通过竞争来实但食饵提供了食物，使生命得以延续。这一结果也要通过竞争来实现，再次利用统计筹算律，得到：现，再次利用统计筹算律，得到：咨约租拓渺纬煞政欲军娘叮址蔼鬼桨锚辆蹭脾褒镣气熄安伎杜腐货芥疼洁四章微分方程建模四章微分方程建模

48、2、模型分析、模型分析 方程组（方程组（4.31）是非线性的，不易直接求解。容易看）是非线性的，不易直接求解。容易看出，该方程组共有两个平衡点，即：出，该方程组共有两个平衡点，即：Po(0,0)是平凡平衡点且明显是不稳定，没必要研究：和和沦逃雄寨坷忠酷陇龙处摹砖踊鞍款计设做腹号汞疹玲污良婚募锻勤梢乳沃四章微分方程建模四章微分方程建模解释解释DAncona发现的现象发现的现象 引入捕捞能力系数引入捕捞能力系数，（，（01），），表示单位时间表示单位时间内捕捞起来的鱼占总量的百分比。故内捕捞起来的鱼占总量的百分比。故Volterra方程应为：方程应为：平衡点平衡点P的位置移动到了：的位置移动到了：

49、由于捕捞能力系数由于捕捞能力系数的引入，的引入，食用鱼的平均量有了增加，食用鱼的平均量有了增加，而食肉鱼的平均量却有所下而食肉鱼的平均量却有所下降，降，越大，平衡点的移动也越大，平衡点的移动也越大。越大。食用鱼的数量反而食用鱼的数量反而因捕捞它而增加，因捕捞它而增加，真的是这样？！真的是这样？！闭榆诵胁虽新脖蚀钠酮庞伊且沮孺衔柯象鞋狰毛踌庙可帐按边毙擞悲荡迄四章微分方程建模四章微分方程建模 P-P模型导出的结果虽非绝对直理，但在一定程度上是附模型导出的结果虽非绝对直理，但在一定程度上是附合客观实际的，有着广泛的应用前景。例如，当农作物发生病合客观实际的，有着广泛的应用前景。例如，当农作物发生病

50、虫害时，不要随随便便地使用杀虫剂，因为杀虫剂在杀死害虫虫害时，不要随随便便地使用杀虫剂，因为杀虫剂在杀死害虫的同时也可能杀死这些害虫的天敌，（害虫与其天敌构成一个的同时也可能杀死这些害虫的天敌，（害虫与其天敌构成一个双种群捕食系统），这样一来，使用杀虫剂的结果会适得其反，双种群捕食系统），这样一来，使用杀虫剂的结果会适得其反，害虫更加猖獗了。害虫更加猖獗了。 （3）捕鱼对食用鱼有利而对食肉鱼不利，多捕鱼）捕鱼对食用鱼有利而对食肉鱼不利，多捕鱼（当然要在一定限度内，如（当然要在一定限度内，如0，b10，共栖系统。，共栖系统。（ii）a20（ 或或a20，b10 ），捕食系统。），捕食系统。（ii

51、i）a20，b10，竞争系统。，竞争系统。 （i）（iii）构成了生态学中三个最基本的类型，种群）构成了生态学中三个最基本的类型，种群间较为复杂的关系可以由这三种基本关系复合而成。间较为复杂的关系可以由这三种基本关系复合而成。采宛崎牡痔浙稳辛女彬皱萧歧咐称溯伎邑甭井耙谊痊壬犊嚏按帕绅侯挪嫡四章微分方程建模四章微分方程建模对于一般的生态对于一般的生态系统，如果通过系统，如果通过求解的微分方程求解的微分方程来讨论常常会遇来讨论常常会遇到困难。到困难。怎样来讨论一般的生态系统怎样来讨论一般的生态系统如果困难的话可如果困难的话可以研究种群的变以研究种群的变化率，搞清轨线化率，搞清轨线的走向来了解各的走

52、向来了解各种群数量的最终种群数量的最终趋势。趋势。霞可诺疾萧胰摇皇惦剁锁色嫌植吃软拷熬捅愈耙赚粳幂祁绥澳羽驶散含扯四章微分方程建模四章微分方程建模 在研究实际课题时，数值解方法也许会用得更多。当在研究实际课题时，数值解方法也许会用得更多。当解析解无法求得时，计算机作为强大的辅助工具发挥了它解析解无法求得时，计算机作为强大的辅助工具发挥了它应起的作用。研究应起的作用。研究19991999年美国大学生数学建模竞赛题年美国大学生数学建模竞赛题A A（小行星撞击地球）时就遇到了一个棘手的问题：如何描（小行星撞击地球）时就遇到了一个棘手的问题：如何描述南极地区的生态系统，如何定量化地研究小行星撞击地述南

53、极地区的生态系统，如何定量化地研究小行星撞击地球对南级生态环境的影响？在上网查阅了南极附近的海洋球对南级生态环境的影响？在上网查阅了南极附近的海洋生态状况后，可将南极附近的生物划分成三个部分：海藻、生态状况后，可将南极附近的生物划分成三个部分：海藻、鳞虾和其他海洋生物。鳞虾吃海藻，其他海洋动物吃鳞虾，鳞虾和其他海洋生物。鳞虾吃海藻，其他海洋动物吃鳞虾，运用基本建模技巧建立了一个三房室系统模型。小行星的运用基本建模技巧建立了一个三房室系统模型。小行星的撞击会影响大气层的能见度，从而影响到海藻的生长（光撞击会影响大气层的能见度，从而影响到海藻的生长（光合作用），进而影响到生物链中的其他生物。由于无

54、法得合作用），进而影响到生物链中的其他生物。由于无法得到模型中的参数值（事实上，小行星撞击南极的事件并未到模型中的参数值（事实上，小行星撞击南极的事件并未发生过），就取了一系列不同的参数值，对不同参数值下发生过），就取了一系列不同的参数值，对不同参数值下模型的数值解进行了分析对比，研究了解对各参数变化的模型的数值解进行了分析对比，研究了解对各参数变化的灵敏度，即可取得了十分有意义的结果。灵敏度，即可取得了十分有意义的结果。护霸作帖远童中芜簿晒茵校涟侍朋唆羚丫厨韶翠央射盈狞助蔑旧埂达几沥四章微分方程建模四章微分方程建模4.74.7 分布参数法建模分布参数法建模 前面建立的模型都用了考察对象在系统

55、中的均匀分布假前面建立的模型都用了考察对象在系统中的均匀分布假设。这种方法建模被称为集中参数法。设。这种方法建模被称为集中参数法。 考虑个体差异（或分布差异）的建模方法被称为分布参考虑个体差异（或分布差异）的建模方法被称为分布参数法。分布参数法用于连续变量的问题时，得到的通常都是数法。分布参数法用于连续变量的问题时，得到的通常都是偏微分方程，无论建模还是求解都比较困难。仅举两个简单偏微分方程，无论建模还是求解都比较困难。仅举两个简单例子，来说明这种方法的应用。例子，来说明这种方法的应用。硼偷适片胜诞啊裤盒赵藻控壳畅许惑豁弘纵莽里惶说炼惹旗俭错庐迅就捡四章微分方程建模四章微分方程建模例例8 人口

56、问题的偏微分方程模型人口问题的偏微分方程模型 人有年龄、性别等区别，本例中考虑到这些因素，用人有年龄、性别等区别，本例中考虑到这些因素，用分布参数法来建立人口问题的数学模型。分布参数法来建立人口问题的数学模型。令令p(t,x)为为t时刻年龄为时刻年龄为x的人口密度，则的人口密度，则t时人口总数为：时人口总数为：其中其中A为人的最大寿命。为人的最大寿命。设设t时刻年龄为时刻年龄为x的人的死亡率为的人的死亡率为d(t,x)，则有：，则有：dx=dt，由上式可导出：，由上式可导出：（3.38） 初始条件初始条件: P(0,x)=P0(x) （3.39）边界条件边界条件:（4.40）k k( (t t

57、, ,x x) )女性性别比女性性别比b b( (t t, ,x x) )女性生育率女性生育率 x x1 1, ,x x2 2 妇女生育期妇女生育期秃也呜藤膀胆柳影逐闷刮魄耸金逊跳娜躺靖拢他仙亭狙惯灰左裙怂镁跪侮四章微分方程建模四章微分方程建模 对（对（4.38）式关于）式关于x从从0到到A积分，得：积分，得：令：令：B(t)、D(t)分别为分别为t时刻的生育率和死亡率。则有：时刻的生育率和死亡率。则有：若若B(t)、D(t)与与t无关，则可得无关，则可得:此即此即MalthusMalthus模型模型兜疲杆绣舅袒汰诉愁缺直召兴王委享浮貉美茧以对咐普巷股鹤玄畸歌迢值四章微分方程建模四章微分方程建

58、模例例9 交通流问题交通流问题 问题的两个角度：问题的两个角度：司机或旅客司机或旅客安全、快速地到达目的地安全、快速地到达目的地交通管理部门交通管理部门尽可能多的人安全地通过尽可能多的人安全地通过集中参数法：集中参数法：假设车流量是均匀分布假设车流量是均匀分布 目标使车流密度保持在安全的范围之内，让司机尽目标使车流密度保持在安全的范围之内，让司机尽可能开得快些即可，必要时司机自己会刹车。可能开得快些即可，必要时司机自己会刹车。现实生活中可能吗？现实生活中可能吗？属测野锋捻记澳客员跌月袍坊寡从产蛆涌厚粟尚蕴呵瞩晴以悉季绞呢锗牲四章微分方程建模四章微分方程建模车流密度和车速不可能是常数车流密度和车

59、速不可能是常数分布参数法：分布参数法：x轴表示公路，轴表示公路，x轴正向表示车流方向。轴正向表示车流方向。 如果采用连续模型，设如果采用连续模型，设u(t,x)为时刻为时刻t时车辆按时车辆按x方向分布方向分布的密度，再设的密度，再设q(t,x)为车辆通过为车辆通过x点的流通率。点的流通率。车辆数守恒，有：车辆数守恒，有：假设函数连续可微，有：假设函数连续可微，有：（3.41） 由于安全上的原因，由于安全上的原因，q是是u的函数，该函数关系称为基本的函数，该函数关系称为基本方程或结构方程。方程或结构方程。吐些莽弗眯磺俩娟祭彰搜酚芍猪将它峪眺求姥彭埠熙夜冲毁凸坏坊馒称嗣四章微分方程建模四章微分方程

60、建模 利用经验公式导出基本方程。利用经验公式导出基本方程。q0uumuj图4-28 图图4-28是根据美国公路上的车辆情况而统计出来的曲线是根据美国公路上的车辆情况而统计出来的曲线,其中其中u的单位是车辆数的单位是车辆数/每英里，每英里，q的单位为车辆数的单位为车辆数/每小时。每小时。图中可以看出：图中可以看出： （2）u增大到一定程度（达到增大到一定程度（达到um）时，）时，q达到最大；达到最大；u继续继续增大时，车辆流增大时，车辆流q将减小，这表示车辆密度太大反而会影响车将减小，这表示车辆密度太大反而会影响车辆率，使之下降，（出现堵塞）。辆率，使之下降，（出现堵塞）。 （1）当）当u的值较

61、小时，公路利用率较低，的值较小时，公路利用率较低，q较小（较小（u=0时公时公路是空置的，车辆率路是空置的，车辆率q为零）；随着为零）；随着u的增大，公路利用率逐渐的增大，公路利用率逐渐提高，提高，q逐渐增大。逐渐增大。根据美国公路实际统计：根据美国公路实际统计：当当u75辆辆/每英里可达到最大车辆流每英里可达到最大车辆流当当u225辆辆/英里时，英里时，q0，即堵塞。，即堵塞。芯叛臼飞涨疡瘤襄算腾雪观上徒劳拉淬了韭愚硼世朗喂娩鼓栓佩出芋唆疤四章微分方程建模四章微分方程建模根据图根据图4-28中曲线的特征，可用多种函数来拟合中曲线的特征，可用多种函数来拟合q=q(u)。uf为自由速度，为自由速

62、度，uj为出现完全堵塞时的车流密度为出现完全堵塞时的车流密度 。Greenshields用二次函数来拟合。用二次函数来拟合。他令：他令：0uujum=uj/2，qm=ufum/2有：有：将将GreenshieldsGreenshields的基本方程代入（的基本方程代入（3.41），利用复合函数求导），利用复合函数求导法则并注意到法则并注意到uf、uj均为常数，可得：均为常数，可得：令令 ，方程可简化为：，方程可简化为：初值条件：初值条件：走玩吕纠效除栗烦掏锈攻陇朵舅芒州汛戒耍习觉期罢疾提兜辰郭广歧嘱异四章微分方程建模四章微分方程建模历史背景历史背景: :学生课外阅读学生课外阅读 赝品的鉴定赝品

63、的鉴定 在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于同谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于19451945年年5 5月月2929日以通敌罪逮捕了三流画家范日以通敌罪逮捕了三流画家范梅格伦（梅格伦（H HA AVanmeegrenVanmeegren），此），此人曾将人曾将1717世纪荷兰名画家扬世纪荷兰名画家扬弗米尔（弗米尔（Jan VeermeerJan Veermeer）的油画）的油画“捉奸捉奸”等卖等卖给纳粹德国戈林的中间人

64、。可是，范给纳粹德国戈林的中间人。可是，范梅格伦在同年梅格伦在同年7 7月月1212日在牢里宣称：日在牢里宣称：他从未把他从未把“捉奸捉奸”卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知的油画卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知的油画“在在埃牟斯的门徒埃牟斯的门徒”以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（1717世纪荷兰世纪荷兰画家）的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界，为了证明画家）的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画自己是一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画

65、“耶稣在门徒们中间耶稣在门徒们中间”，当这项工作接近完成时，范，当这项工作接近完成时，范梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪，梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪，因此他拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证。因此他拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证。 为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用学家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X X射线检验画布上是否曾经射线检验画布上是否曾经有过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有有过别的画。此外，他们分析了油彩中

66、的拌料（色粉），检验油画中有没有历经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕历经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹，还在几幅画中检验出了迹，还在几幅画中检验出了2020世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证据，范据，范梅格伦于梅格伦于19471947年年1010月月1212日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于19471947年年1212月月3030日死去。日死去。 然而，事情到此并未

67、结束，许多人还是不肯相信著名的然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门在埃牟斯的门徒徒”是范是范梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，并以为真迹，并以1717万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的回答是：由于范回答是：由于范梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制绘制“在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后，来证明他高于三流画家

68、。当创造出这样的杰作后，他的志气消退了。而且，当他看到这幅他的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以多么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了 。这种解释不能使怀疑者感到。这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学地、确定地证明满意，他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒”的确是一个伪的确是一个伪造品。这一问题一直拖了造品。这一问题一直拖了2020年，直到年，直到19671967年，才被卡内基年，才被卡内基梅伦梅伦（Carnegie-MellonCarnegie-Mellon）大学的

69、科学家们）大学的科学家们 基本上解决。基本上解决。 词荡仆免塑嚼灭壁辣碗益朴啄摸楼甘辩恼廓煞诽潘拄缕墅诫锭彰淤汞孜管四章微分方程建模四章微分方程建模原理与模型原理与模型 测定油画和其他岩石类材料的年龄的关键是本世纪初发现的测定油画和其他岩石类材料的年龄的关键是本世纪初发现的放射性现象。放射性现象。 放射性现象放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发现，某些：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发现，某些“放放射性射性”元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，且物质的放射一定比例的原子自然蜕变而形成新元素

70、的原子，且物质的放射性与所存在的物质的原子数成正比。性与所存在的物质的原子数成正比。 用用N(t)表示时间表示时间t时存在的原子数时存在的原子数,则：则： 常数常数是正的，称为该是正的，称为该物质的衰变常数物质的衰变常数 用用来计算半衰期来计算半衰期T:与负增长的与负增长的MalthusMalthus模型模型完全一样完全一样 其解为其解为: : 令令则有则有: :许多物质的半衰期已被测许多物质的半衰期已被测定，如碳定，如碳14，其，其T=5568；轴轴238，其，其T=45亿年。亿年。 刘绘酵肪判瞧斧签炸枷糖畸协隧彝贯铬唉卿背危罐掠堕碍各锋眨壤沾夏哩四章微分方程建模四章微分方程建模与本问题相关

71、的其他知识与本问题相关的其他知识: : (1)艺术家们应用白铅作为颜料之一，已达两千年以上。白艺术家们应用白铅作为颜料之一，已达两千年以上。白铅中含有微量的放射铅铅中含有微量的放射铅210，白铅是从铅矿中提炼出来的，而，白铅是从铅矿中提炼出来的，而铅又属于铀系，其演变简图如下（删去了许多中间环节）铅又属于铀系，其演变简图如下（删去了许多中间环节） (2)地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀。一方面，铀地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀。一方面，铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，而另一方面，铀又不断系中的各种放射性物质均在不断衰减，而另一方面，铀又不断地衰减，补充着其后继元素。从而，各种放射

72、性物质（除铀以地衰减，补充着其后继元素。从而，各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于放射性平衡中。根据世界各地抽样测量的资外）在岩石中处于放射性平衡中。根据世界各地抽样测量的资料，地壳中的铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之料，地壳中的铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之2.7（一（一般含量极微）。各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未般含量极微）。各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含量高于发现含量高于23%的。的。 (3)从铅矿中提炼铅时，铅从铅矿中提炼铅时，铅210与铅与铅206一起被作为铅留下，一起被作为铅留下，而其余物质则有而其余物质则有9095%被留在矿渣里，因而打破了原

73、有的放被留在矿渣里，因而打破了原有的放射性平衡。（注：这些有关物理、地质方面的知识在建模时可射性平衡。（注：这些有关物理、地质方面的知识在建模时可向相应的专家请教。）向相应的专家请教。） 瑚方逞牡爆袜钝煤遵湘壕梦筑凉巷琅前空抉诵绳应案选堰刽倾喧棱姜撤脸四章微分方程建模四章微分方程建模简化假定简化假定：本问题建模是为了鉴定几幅不超过本问题建模是为了鉴定几幅不超过300年的古画，为了使模型年的古画，为了使模型尽可能简单，可作如下假设：尽可能简单，可作如下假设： (1)由于镭的半衰期为由于镭的半衰期为1600年，经过年，经过300年左右，应用微分年左右，应用微分方程方法不难计算出白铅中的镭至少还有原

74、量的方程方法不难计算出白铅中的镭至少还有原量的90%，故可以，故可以假定，每克白铅中的镭在每分钟里的分解数是一个常数。假定，每克白铅中的镭在每分钟里的分解数是一个常数。 (2)铅铅210210的衰变为：的衰变为： 铅铅210T=22年年钋钋210铅铅206T=138天天若画为真品，颜料应有若画为真品，颜料应有300年左右或年左右或300年以上的历史，容易证年以上的历史，容易证明：每克白铅中钋明：每克白铅中钋210的分解数等于铅的分解数等于铅210的分解数（相差极微，的分解数（相差极微，已无法区别）。可用前者代替后者，因钋的半衰期较短，易于已无法区别）。可用前者代替后者，因钋的半衰期较短，易于测

75、量测量 。汤尝郭袁够垂辽落瞪镰妊恤缴缔淖琅漆洁讹昔潍式钦宁冠洲薪谴糯熟懈绒四章微分方程建模四章微分方程建模建模：建模： (1)记提炼白铅的时刻为记提炼白铅的时刻为t=0，当时每克白铅中铅，当时每克白铅中铅210的分子的分子数为数为y0，由于提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故铀，由于提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故铀与铅的单位时间分解数相同。由此容易推算出每克白铅中铅与铅的单位时间分解数相同。由此容易推算出每克白铅中铅210每分钟分解数不能大于每分钟分解数不能大于30000个，否则铀的含量将超过个，否则铀的含量将超过4%，而这是不可能的。因为：，而这是不可能的。因为：若若则则（个）

76、这些铀约重这些铀约重 （克）即每克白铅约含即每克白铅约含0.040.04克铀，含量为克铀，含量为4% 4% 以上确定了每克白铅中铅分解数以上确定了每克白铅中铅分解数的上界，若画上的铅分解数大于的上界，若画上的铅分解数大于该值，说明画是赝品；但若是小该值，说明画是赝品；但若是小于不能断定画一定是真品。于不能断定画一定是真品。义绥畴沤视鞠倚魂原丽乳坪抄蝶饵承摹硫议允厕坠摘饯贼余砚暴等竖首滇四章微分方程建模四章微分方程建模 (2)设设t时刻时刻1克白铅中铅克白铅中铅210含量为含量为y(t)，而镭的单位时间分，而镭的单位时间分解数为解数为r（常数），则（常数），则y(t)满足微分方程：满足微分方程：

77、 由此解得由此解得：故：故： 若此画是真品，若此画是真品，t-t0300（年）。画中每克白铅所含铅（年）。画中每克白铅所含铅210目前的分解数目前的分解数y(t)及目前镭的分解数及目前镭的分解数r均可用仪器测出，从而可均可用仪器测出，从而可求出求出y0的近似值，并利用（的近似值，并利用（1）判断这样的分解数是否合理。）判断这样的分解数是否合理。若判断结果为不合理，则可以确定此画必是赝品，但反之不一若判断结果为不合理，则可以确定此画必是赝品，但反之不一定说明画是真品（因为估计仍是十分保守的且只能证明画的定说明画是真品（因为估计仍是十分保守的且只能证明画的“年龄年龄”）。）。 买醉踩原过漾谓浸溪埠

78、称隧至趟殆贤木笑次窒卒琉穴拣侈对篷圈繁愉烫凹四章微分方程建模四章微分方程建模Carnegie-MellonCarnegie-Mellon大学的科学家们利用上述模型对部分有疑问大学的科学家们利用上述模型对部分有疑问的油画作了鉴定，测得数据如下（见表的油画作了鉴定，测得数据如下（见表4-14-1）。）。 油画名称油画名称210210分解数（个分解数（个/ /分）分）镭镭226226分解数（个分解数（个/ /分）分）1 1、在埃牟斯的门徒、在埃牟斯的门徒 8.5 8.50.80.82 2、濯足、濯足12.612.60.260.263 3、看乐谱的女人、看乐谱的女人10.310.30.30.34 4、

79、演演奏奏曼曼陀陀琳琳的的女女人人8.28.20.170.175 5、花边织工、花边织工1.51.51.41.46 6、笑女、笑女5.25.26.06.0计算计算y0 （个（个/ /分）分）98050980501571301571301273401273401022501022501274.81274.8-10181-10181表表4-1 4-1 对对“在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒”，y y0 09805098050（个（个/ /每克每分钟），它必定是一每克每分钟），它必定是一幅伪造品。类似可以判定（幅伪造品。类似可以判定（2 2），（），（3 3），（），（4 4）也是赝品。而（）也是赝品。而

80、（5 5）和（）和（6 6）都不会是几十年内伪制品，因为放射性物质已处于接近平衡的状态，这样的都不会是几十年内伪制品，因为放射性物质已处于接近平衡的状态，这样的平衡不可能发生在十九世纪和二十世纪的任何作品中。平衡不可能发生在十九世纪和二十世纪的任何作品中。 判定判定结果：结果：访撂没咏嫡豢诛瞩膀咎戏者嚏淫雀弦彤饰神倦务傈坪趁庚孙吃涅篱玩砾腆四章微分方程建模四章微分方程建模 利用放射原理，还可以对其他文物的年代进行测定。利用放射原理，还可以对其他文物的年代进行测定。例如对有机物（动、植物）遗体，考古学上目前流行的测例如对有机物（动、植物）遗体，考古学上目前流行的测定方法是放射性碳定方法是放射性碳

81、1414测定法，这种方法具有较高的精确度，测定法，这种方法具有较高的精确度，其基本原理是：由于大气层受到宇宙线的连续照射，空气其基本原理是：由于大气层受到宇宙线的连续照射，空气中含有微量的中微子，它们和空气中的氮结合，形成放射中含有微量的中微子，它们和空气中的氮结合，形成放射性碳性碳1414（C C1414）。有机物存活时，它们通过新陈代谢与外界）。有机物存活时，它们通过新陈代谢与外界进行物质交换，使体内的进行物质交换，使体内的C C1414处于放射性平衡中。一旦有机处于放射性平衡中。一旦有机物死亡，新陈代谢终止，放射性平衡即被破坏。因而，通物死亡，新陈代谢终止，放射性平衡即被破坏。因而，通过

82、对比测定，可以估计出它们生存的年代。例如，过对比测定，可以估计出它们生存的年代。例如，19501950年年在巴比伦发现一根刻有在巴比伦发现一根刻有HammurabiHammurabi王朝字样的木炭，经测定，王朝字样的木炭，经测定，其其C C1414衰减数为衰减数为4.094.09个个/ /每克每分钟，而新砍伐烧成的木炭中每克每分钟，而新砍伐烧成的木炭中C C1414衰减数为衰减数为6.686.68个个/ /每克每分钟，每克每分钟，C C1414的半衰期为的半衰期为55685568年，年，由此可以推算出该王朝约存在于由此可以推算出该王朝约存在于3900-40003900-4000年前。年前。 祥穷断拱闹锁悬成氏哇弃敛摄搀篡绢对缝撕枫陀佳易词示厨辅碱脚诽聊掺四章微分方程建模四章微分方程建模