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1、2010.12第二章第二章 层次分析法层次分析法 层次分析法基本原理 案例选讲 本章小结 2p 背景： 面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、 最后作出决策。评价中主观因素占有相当的比重， 各种因素的影响很难量化，从而给用数学方法解 决问题带来不便。 第一节第一节 层次分析法基本原理层次分析法基本原理3p 层次分析法（AHP)AHP) 层次分析方法是一种多准则思维方法，它运用多因 素分级处理来确定因素权重，把人们思维过程层次 化和数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据 的情况下应用极为方便。 p 基本思路 评价者将复杂问题分解为若干层次和若干要素。在 层次分析方法图解同一层次的各要素间
2、进行比较、 判断和计算，得出不同方案的重要度，为选择最优 方案提供决策依据。4例1：购买钢笔质量、颜色、价格、外形、实用钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4决策过程： 将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、 实用等属性进行排序经综合分析来决定 买哪支钢笔。目标准则方案5p 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤 建立层次结构模型建立层次结构模型（1）一般将决策问题分为三层，最上面为目标层目标层，最下面 为方案层方案层，中间是准则层或指标层准则层或指标层；（2）通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案 对于每一准则的权重；（3）将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进 行综合，最终确定方案
3、层对目标层的权重。6选择旅游地景色费用居住苏杭、北戴河、桂林饮食旅途例2 选择旅游地的层次结构选择旅游地的层次结构 准则层A 方案层B目标层Z决策的当因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的，如果只是定性的结果，则常常不被别人接受。Saaty 等人的做法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比；二是对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。7设某层有个因素， 构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上层某一目标的影响程度排序）用 表示第个因素相对于第个因素的
4、比较结果，则上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1919尺度尺度。反对称矩阵Q: 反对称矩阵具有什么属性？8尺度 第 个因素与第 个因素的影响相同第 个因素比第 个因素的影响稍强 第 个因素比第 个因素的影响强 第 个因素比第 个因素的影响明显强第 个因素比第 个因素的影响绝对地强 含义比较尺度：（1919尺度尺度的含义）2,4,6,8表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，根据。9例如：例2 某人给出准则层A A的各因素对于 目标层Z Z的影响两两比较结果：ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711
5、/21/31/31/52111/31/5311分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途10由上表，可得成对比较矩阵 表示景色 与费用 之比为1:2， 表示景色 与居住条件 之比为4:1，可以看出，此人在选择旅游地时，费用因素最重要，景色次之，居住条件再次。旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）?。Q:下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果？11既然 与 之比为1：2， 与 之比为4：1，那么应该有：，而不是7：1，才能说明成对比较是一致的。但是，n个因素要作n(n-1)/2次成对比较，全部一致的要求是太苛刻了！因此，Saaty 等人给出了在成对比较不一致的情况下计算各因素 对因素
6、z的权重的方法，并且确定了这种不一致的容许范围，为了说明这一点，先看成对比较完全一致的情况。12 层次单排序及一致性检验层次单排序及一致性检验层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如 一块石头重量记为1，打碎分成 各小块，各块的重量分别记为：则可得成对比较矩阵由右面矩阵可以看出，13即，例2的成对比较矩阵中，在正互反矩阵在正互反矩阵 中，若中，若 , ,则称则称 为为一致矩阵一致矩阵。一致矩阵的性质：5. 的任一列(行)都是对应于特征根 的特征向量。14一致矩阵判断定理
7、一致矩阵判断定理定理定理： 阶互反阵 的最大特征根 ，当且仅 当 时， 为一致阵。15 当一致矩阵时，则取对应于最大特征根 的归一化特征向 量， （ ） 表示下层第 个因素对上层某因素影响程度的权值。 当非一致阵，但在不一致的容许范围内，SaatySaaty等人 建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向 量 ，则 这样确定权向量的方法称为特征根法特征根法. .满意一致性16由于 依赖于 ，则 比 大的越多， 的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 数值的大小来衡量 的不一致程度。定义：一致性
8、指标一致性指标CI=0时， 为一致阵；CI越大A 的不一致程度越严重 。注意到 的 个特征根之和恰好为 ，所以CI相当于除 外其余的特征根的平均值。17定义：随机一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI 的数值：n1 234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51仿真实验所得18一致性检验一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.1及随机一致性指标的数值表，对 进行检验的过程。 定义：一致性比率一致性比率 一般认为 时， 的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对 加以调整。19 层次
9、总排序及其一致性检验层次总排序及其一致性检验 确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程， 称为层次总排序层次总排序对总目标Z排序为的层次单排序为 从最高层到最低层逐层进行。设： 20即 层第 个因素对总目标的权值为：层的层次总排序为：B层的层次总排序AB21层次总排序的一致性检验层次总排序的一致性检验设 层 对上层( 层)中因素 的层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指为 ，则层次总排序的一致性比率为：当 时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。22（1 1）建立层次结构模型）建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析
10、法的基本步骤基本步骤小结（3）计算单排序权向量并做一致性检验）计算单排序权向量并做一致性检验（2）构建成对比较矩阵）构建成对比较矩阵从第二层开始用成对比较矩阵和19尺度。 对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。23计算最下层对最上层总排序的权向量。利用总排序一致性比率进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 较大的成对比较矩阵。（4 4）计算总排序权向量并做一致性检验）计算总排序权向量
11、并做一致性检验24 层次分析法案例层次分析法案例旅游问题剖析旅游问题剖析(1) 建模景色、费用、居住、饮食、旅途。苏杭、北戴河、桂林。 去那里？25（2）构造成对比较矩阵26(3) 计算层次单排序的权向量和一致性检验成对比较矩阵 的最大特征值结论： 通过了一致性验证。故则该特征值对应的归一化特征向量27 对成对比较矩阵 可以求层次 总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下： 0.0052 0.0017 0 0.0086 028对总目标的权值为：（4）计算层次总排序权值和一致性检验又决策层对总目标的权向量为：同理得， 对总目标的权值故，层次总排序通过一致性检验。29（5）决策分析可作为最后的决策
12、依据。故，最后的决策应为去桂林桂林。又 分别表示苏杭、北戴河、桂林，即，可得各方案的权重排序为：作业：用MATLAB完成上述案例的分析。30 层次分析法的优点和局限性层次分析法的优点和局限性p 系统性 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策 ，是系统分析的重要工具。 p 实用性层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。31p 简洁性层次分析法的基本原理容易掌握，该法的基本步骤简单，计算也非常简便，并且所
13、得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握，在实践中易于推广。层次分析法的局限性主要表现在：第一、第一、只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好 的新方案。32第二、第二、 该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙 的，不适用于精度较高的问题。第三第三 、从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观 因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让 所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法 是克服这个缺点的一种途径。思考：专家群体评价的综合决策方法？33*值得反思的问题值得反思的问题* 正互反阵最大特征值和特征向量简便算法正互反阵最大特征值和特征向量简便算法 ？ 当判断矩阵不一致性发生
14、不满足精度要求时，当判断矩阵不一致性发生不满足精度要求时， 一致性修正的一致性修正的 方法？方法？ 特征值和特征向量计算的软件开发？特征值和特征向量计算的软件开发？34附录附录 正互反阵最大特征值和特征向量实用算法正互反阵最大特征值和特征向量实用算法定理定理对于正矩阵 A （A的所有元素为正）1） A 的最大特征根为正单根 ；2） 对应正特征向量 w（w的所有分量为正）；3）其中是对应 的归一化特征向量。35 幂幂 法法 步骤如下 a) 任取 n 维归一化初始向量b) 计算c) 归一化，即：36d) 对于预先给定的精度 ，当下式成立时即为所求的特征向量；否则返回b；e) 计算最大特征值37和和 法法 步骤如下a) 将A的每一列向量归一化得b) 对c) 归一化按行求和得d) 计算38 根根 法法步骤与和法基本相同，只是将步骤 b 改为对按行求积并开n次方，即三方法中，和法最为简便。看下列和法计算例子e) 计算，最大特征值的近似值。39列向量归一化按行求和归一化精确计算结果：a) b) c) 计算d) 计算e)
