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1、定理定理1.组成三角级数组成三角级数(jsh)的函数系的函数系证:同理可证 :正交 ,上的积分(jfn)等于 0 .即其中任意两个不同(b tn)的函数之积在第1页/共36页第一页，共37页。上的积分(jfn)不等于 0 .且有 但是在三角函数(snjihnsh)系中两个相同的函数的乘积在 第2页/共36页第二页，共37页。二、函数展开二、函数展开(zhnki)成成傅里叶级数傅里叶级数定理(dngl) 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且右端级数(j sh)可逐项积分, 则有证: 由定理条件,对在逐项积分, 得第3页/共36页第三页，共37页。(利用(lyng)正交性)类似
2、地, 用 sin k x 乘 式两边(lingbin), 再逐项积分可得第4页/共36页第四页，共37页。叶系数为系数的三角(snjio)级数 称为的傅里叶系数(xsh) ;由公式(gngsh) 确定的以的傅里的傅里叶级数 .称为函数 简介 第5页/共36页第五页，共37页。定理定理3(收敛收敛(shulin)定理定理,展开定理展开定理)设 f (x) 是周期(zhuq)为2 的周期函数(zhu q hn sh),并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为
3、间断点其中( 证明略 )为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介 第6页/共36页第六页，共37页。例例1.设设f(x)是周期是周期(zhuq)为为2 的周期的周期(zhuq)函数函数,它在 上的表达式为解: 先求傅里叶系数(xsh)将 f (x) 展成(zhn chn)傅里叶级数. 第7页/共36页第七页，共37页。第8页/共36页第八页，共37页。1) 根据收敛定理(dngl)可知,时,级数(j sh)收敛于2) 傅氏级数的部分(b fen)和逼近说明说明:f (x) 的情况见右图.第9页/共36页第九页，共37页。例例2
4、.设设f(x)是周期是周期(zhuq)为为2 的周期的周期(zhuq)函数函数,上的表达式为将 f (x) 展成(zhn chn)傅里叶级数.解解: 它在 第10页/共36页第十页，共37页。说明(shumng): 当时, 级数(j sh)收敛于第11页/共36页第十一页，共37页。周期(zhuq)延拓傅里叶展开(zhn ki)上的傅里叶级数(j sh)定义在定义在 , 上的函数上的函数f(x)的傅氏级数展开的傅氏级数展开法法其它第12页/共36页第十二页，共37页。例例3.将函数将函数(hnsh)则解: 将 f (x)延拓成以 展成(zhn chn)傅里叶级数.2为周期(zhuq)的函数 F
5、(x) , 第13页/共36页第十三页，共37页。当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得说明说明: : 利用利用(lyng)(lyng)此展式可求出几个特殊的此展式可求出几个特殊的级数的和级数的和. .第14页/共36页第十四页，共37页。设已知又第15页/共36页第十五页，共37页。三、正弦三、正弦(zhngxin)级级数和余弦级数数和余弦级数1. 周期(zhuq)为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理(dngl)4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为第16页/
6、共36页第十六页，共37页。例例4.设设的表达式为 f (x) x ,将 f (x) 展成(zhn chn)傅里叶级数. f (x) 是周期(zhuq)为2 的周期(zhuq)函数,它在解: 若不计周期(zhuq)为 2 的奇函数, 因此第17页/共36页第十七页，共37页。n1根据(gnj)收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:级数(j sh)的部分和 逼近(bjn) f (x) 的情况见右图. n2n3n4n5第18页/共36页第十八页，共37页。例例5.将周期函数将周期函数(zhuqhnsh)展成(zhn chn)傅里叶级数, 其中E 为正常(zhngchng)数 .解:是周期为2 的周
7、期偶函数 , 因此 为便于计算, 将周期取为2 第19页/共36页第十九页，共37页。第20页/共36页第二十页，共37页。2.定义定义(dngy)在在0, 上的函数展成正弦级数与上的函数展成正弦级数与余弦级数余弦级数周期(zhuq)延拓 F (x) f (x) 在 0, 上展成周期(zhuq)延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数 f (x) 在 0, 上展成第21页/共36页第二十一页，共37页。例例6.将函数将函数(hnsh)分别(fnbi)展成正弦级数与余弦(yxin)级数 . 解: 先求正弦级数.去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,第22页/共36页第二十二页，共37页。
8、注意(zh y):在端点(dun din) x = 0, , 级数的和为0 ,与给定(i dn)函数因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 第23页/共36页第二十三页，共37页。再求余弦再求余弦(yxin)级数级数.将则有作偶周期(zhuq)延拓 ,第24页/共36页第二十四页，共37页。说明(shumng): 令 x = 0 可得即第25页/共36页第二十五页，共37页。内容内容(nirng)小结小结1. 周期(zhuq)为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中(qzhng)注意: 若为间断点,则级数收敛于第26页/共36页第二十六页，共37页。2. 周期(zhuq)为 2 的
9、奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数正弦(zhngxin)级数 偶函数余弦(yxin)级数3. 在 0, 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 ,展开为正弦级数 作偶周期延拓 ,展开为余弦级数1. 在 0 , 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .思考与练习思考与练习第27页/共36页第二十七页，共37页。 ,处收敛(shulin)于2.则它的傅里叶级数(j sh)在在处收敛(shulin)于 .提示:设周期函数在一个周期内的表达式为第28页/共36页第二十八页，共37页。3.设设又设求当的表达式 .解: 由题设可知(k zh)应对作奇延拓:由周期性:为周期的正弦
10、级数(j sh)展开式的和函数, 在 f (x)的定义域 内时第29页/共36页第二十九页，共37页。4.写出函数写出函数(hnsh)傅氏级数(j sh)的和函数 .答案(d n):定理3 第30页/共36页第三十页，共37页。P313 1(1) , (3) ; 2 (1) , (2) ; 5 ; 6 ; 7 (2)第八节 作业作业(zuy)第31页/共36页第三十一页，共37页。备用备用(biyng)题题1.叶级数(j sh)展式为则其中(qzhng)系数提示:利用“偶倍奇零”(1993 考研)的傅里 函数第32页/共36页第三十二页，共37页。2.设设是以 2 为周期(zhuq)的函数 ,
11、其傅氏系数(xsh)为则的傅氏系数(xsh)提示:令类似可得利用周期函数性质第33页/共36页第三十三页，共37页。感谢您的欣赏(xnshng)！第36页/共36页第三十六页，共37页。内容(nirng)总结定理 1. 组成三角级数的函数(hnsh)系。第1页/共36页。上的积分不等于 0 .。第2页/共36页。并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:。2) 傅氏级数的部分和逼近。f (x) 的情况见右图.。2为周期的函数(hnsh) F(x) ,。三、正弦级数和余弦级数。周期为 2 的奇函数(hnsh),。2. 定义在0,上的函数(hnsh)展成正弦级数与余弦级数。为周期的正弦级数展开式的和函数(hnsh),。第35页/共36页。感谢您的欣赏。第36页/共36页第三十七页，共37页。
