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1、电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒第五章第五章 重点重点（1）推迟势；（2）电偶极辐射及其特点；（3）辐射电阻、辐射能流、辐射功率；1电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒 在前面，我们研究了电磁场的传播，在这一章，我们将研究不仅能产生电磁场而且能有效地产生辐射场的电系统。 由麦克斯韦方程组，我们知道，为了产生电磁场，我们需要时变电荷或时变电流这样的源。这些有限大小的源在无界空间产生了向外传播的波时，则它们总称为辐射系统。辐射系统的末端设备称为辐射天线。而天线
2、用于接收辐射能量时，则称天线为接收天线。 有限大小的天线产生的电磁波是球面波，这意味着我们将采用球坐标系来讨论问题。 2电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒1.用势描述电磁场用势描述电磁场 1 电磁场矢势和标势电磁场矢势和标势 麦克斯韦方程组微分形式为 ： 我们讨论真空中的情况，D = 0E、B = 0H。 3电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒 我们看出由于时变源的存在，求解时变电磁场的问题是相当困难的。为简化求解过程，我们引入标量势和矢量势。 令B A ，
3、则： 将上式整理为：因标量函数的梯度的旋度恒等于零，因此引入标量函数，并令式中A和均为位置和时间的函数。引入的两个辅助函数A和分别称为电磁场的矢量势和标量势。 4电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒2.规范变换和规范不变性规范变换和规范不变性 如果 是一任意的位置和时间的标量函数，我们可用所谓的规范变换构造出另一等价的势：A和，由此给出： 此意味着对于给定的电磁场，用于描述电磁场的矢量势和标量势并不是唯一的。因此，我们可以选择便于求解时变电磁场的矢量势和标量势。在电磁场理论中，我们通常选择满足洛伦兹规范的势。 5电动力学电动力
4、学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒 洛伦兹规范为：另一种规范为库仑规范： 经规范变换后，所有物理量和物理规律都保持不变，这种不变性称为规范不变性。6电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒3.达朗贝尔方程达朗贝尔方程 下面我们导出真空中势函数波动方程。将B = A带入麦克斯韦方程组第二式有： 即：重新整理为：7电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒由麦克斯韦方程组第三式：选择洛伦兹规范得：以上方程为典型的波动方
5、程形式，称为势函数的非齐次亥姆霍兹方程。 8电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒例例5-1-1 求平面电磁波的势。解：解：在无源空间，波动方程的平面波解（见上一章）为：由得：因此只要给出了A0，就可得到平面波解。 9电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒2 推迟势推迟势 电磁场的势实际上是四个相似的标量方程组。因此，只要求解其中一个方程，其它方程的解也即可得到。我们首先求标势方程的解。标势方程的解可用下面的方法求得。见5-2附页10电动力学电动力学第五章第五章
6、电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒1.计算辐射场的一般公式计算辐射场的一般公式3 电偶极辐射电偶极辐射 假定源以角频率作时谐变化，则有： 式中上式即为计算辐射场的一般公式。11电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒2.矢势的展开式矢势的展开式 对于时变源产生的场，相对于源分布，我们分为三个区域考虑。（1）拟稳区：远小于波长的区域。产生的场除了多一个时间因子e-it外，和静场无差别。（2）感应区：波长数量级区域。（3）辐射区：远大于波长的区域。此区域的的场称为辐射场。此区域远大于源分布区域，
7、因此又称为远区。 下面我们主要讨论辐射场。12电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒因为： 因此，对原点展开，有：13电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒而：（参照上式） 因此，14电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒3.电偶极辐射电偶极辐射 展开式的第一项：令对于给定时变源，它是一个与t无关的常矢量。15电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院
8、 张福恒张福恒由第一章习题5：则有：16电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒因此，令：t = t R/c，则上式成为：17电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒而，主这样，我们得到电偶极辐射场计算式：18电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒例例5-3-1求一个沿轴作简谐振动的带电粒子的辐射场（设粒子振速远小于光速）。 例例5-3-2 求一个z轴上的电流元I l的辐射场（I = I0e-it）。
9、例例5-3-3 求赫兹振子的辐射场。 解：解：见5-3例19电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒我们得到赫兹振子的辐射场为： 20电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒电偶极射场有以下特性：1）辐射场是沿径向方向传播的电磁波，EH的方向为电磁波传播方向；电场和磁场在空间各点同相位，且电场与磁场相互垂直；在R为半径的球面上各点，电场相位相等，磁场相位也同样相等，因此辐射场是球面TEM波。 2）辐射场强度与频率平方成正比，即在其它条件不变条件下，频率越高，辐射场强越
10、大。3）辐射场振幅与R成反比，即辐射场随着R的增加而衰减。这个衰减并不是介质损耗引起的，而是球面波波阵面的扩张所致。4）辐射场不仅与距离有关，还随sin变化。在 =00或 = 1800方向上，辐射场为零；在 = 900方向上，辐射场有最大值。即天线辐射具有方向性。21电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒辐射场平均能流密度：辐射场平均能流密度：辐射功率：辐射功率：例如赫兹振子：22电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒则辐射场平均能流密度：辐射功率：23电动力学电
11、动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒辐射电阻辐射电阻我们知道电阻消耗的电功率为：由于电流元向外辐射电功率，因此辐射区(远区)可用一电阻来模拟，此电阻称为辐射电阻。因此，辐射电阻消耗的功率为：由此我们得到赫兹振子辐射电阻24电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒 辐射电阻是天线的一个重要特性，它在等效电路中描述了天线作为一个部件的性能。辐射电阻越大，在给定电流情况下，辐射功率越大，作为发射机的天线效率越高。 25电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电
12、子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒*4 磁偶极辐射磁偶极辐射 载有电流I的小导线园环称为磁偶极子，如图所示。我们可得辐射电阻： P(r) erIdlRarrxyz磁偶极子26电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒5 天线辐射天线辐射 1、短偶极子天线辐射、短偶极子天线辐射 （P.166） 下面我们讨论中心馈电短偶极子天线，它是由两根总长为l的直导线构成。长度l与波长相比很短(l /2)，如图所示。 I0Rr P(r)l/2IIz短偶极子天线-l/227电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学
13、院物理与电子工程学院 张福恒张福恒因短天线长度有限长，因此准确计算天线上电流分布并不容易。但因天线两端开路，两端点电流必为零。又因天线长度l /2，我们可合理地认为这种中心馈电的短天线上电流分布在其中心为最大值，逐渐均匀地减至两端为零，如图所示，并设电流在中心处与赫兹偶极子一样，I = I0e-it。根据图，天线上电流分布满足下面方程：因此我们得到：I0Rr P(r)l/2IIz短偶极子天线-l/228电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒因短天线长度有限长，因此准确计算天线上电流分布并不容易。但因天线两端开路，两端点电流必为零
14、。又因天线长度l /2，我们可合理地认为这种中心馈电的短天线上电流分布在其中心为最大值，逐渐均匀地减至两端为零，如图所示，并设电流在中心处与赫兹偶极子一样，I = I0e-it。根据图，天线上电流分布满足下面方程： I0Rr P(r)l/2IIz短偶极子天线-l/229电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒*2、半波偶极子天线辐射、半波偶极子天线辐射 （P.173） 由上面的讨论我们知道，天线的辐射电阻越大，则在给定电流情况下，辐射功率越大。而辐射电阻按l2变化，因此为辐射更大的功率，就要用较长的天线。因此，常采用半波长和全波长
15、偶极子天线，简称半波天线和全波天线。对于这样的偶极子天线，除了天线两端电流为零外，天线上其它点的电流分布也是很难获知的。然而，对于中心馈电的半波和全波天线，因天线以其中心对称，天线两端电流为零，因此可以近似认为天线上电流分布是正弦的。这样的假设可以通过实验证实。对于细天线，这样的假设已得到证实。下面，我们就在这个假设基础上讨论半波天线。 30电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒对于线性半波偶极子天线，假定天线上电流分布为：式中I0是电流的最大值，如图所示。由矢势一般计算式 得：r P(r)/4IIz半波偶极子天线-/4RI03
16、1电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒对于远区的辐射场：及 又因为：我们得到： r P(r)/4IIz半波偶极子天线-/4RI032电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒因此，我们得到辐射场为：相应的平均辐射功率密度为： r P(r)/4IIz半波偶极子天线-/4RI033电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒半波天线辐射的总功率为：对的积分用数值法计算约为1.22。因此，辐射的总功率：半波天线辐
17、射电阻：r P(r)/4IIz半波偶极子天线-/4RI034电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒*3、天线阵、天线阵 （P.175） 我们知道，若空间有几个源，则空间的场是这几个源产生的场的矢量和。我们已知，天线具有方向性。因此，若有几个天线，则辐射方向图是由各个天线辐射场的叠加构成。几个简单天线的排列构成了一个复合天线，这样的复合天线称为天线阵，并常用于获得所需的方向性。改变天线阵中各单元天线数量、各单元天线之间的距离、各单元天线的馈电大小和相位，即可以获得我们所需的方向性。这一节，我们讨论简单的天线阵，以了解天线阵的基本原理。（见天线阵） 35电动力学电动力学第五章第五章 电磁波的辐射电磁波的辐射物理与电子工程学院物理与电子工程学院 张福恒张福恒*7 电磁场动量电磁场动量（P.180） 由洛伦兹力密度公式及动量守恒定律，我们可得电磁场动量密度为：36
