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1、目录 上页 下页 返回 结束 *三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积 数量积 向量积 *混合积 第八章 :目录 上页 下页 返回 结束 一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积) .引例引例. 设一物体在常力设一物体在常力 F 作用下作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为:目录 上页 下页 返回 结束 记作故2. 性质性质为两个非零向量, 则有 :目录 上页 下页 返回 结束 3. 运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律(3) 分配律:目
2、录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明三角形余弦定理证明三角形余弦定理证证: 如图如图 . 那么设:目录 上页 下页 返回 结束 4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设那么当为非零向量时, 由于两向量的夹角公式 , 得:目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 已知三点已知三点 AMB . 解解:那么求故:目录 上页 下页 返回 结束 为 ) .求单位时间内流过该平面域的流体的质量m (流体密度例例3. 设均匀流速为设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域 ,与该平面域的单位垂直向量解解:单位时间内流过的体积:的夹角为且为单位向量:目录 上页 下页 返回 结束 二、两向量的向量积二、
3、两向量的向量积引例引例. 设设O 为杠杆为杠杆L 的支点的支点 , 有一个与杠杆夹角为由力学知识：其方向按右手规则矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力:目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,称引例中的力矩考虑考虑: 右图三角形面积右图三角形面积S:目录 上页 下页 返回 结束 2. 性质性质为非零向量, 那么3. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律:目录 上页 下页 返回 结束 4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设那么:目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法向
4、量积的行列式计算法( 行列式计算见上册 P355P358 ) :目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知三点已知三点角形 ABC 的面积 . 解解: 如下图如下图,求三:目录 上页 下页 返回 结束 *三、向量的混合积1. 定义定义 已知三向量称数量混合积混合积 .记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其:目录 上页 下页 返回 结束 2. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示设:目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出):目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:叉积:目录 上页 下页 返回 结束 混合积:2. 向量关系:目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:目录 上页 下页 返回 结束 证证: 由三角形面积公式由三角形面积公式所以因:目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题1. 已知向量已知向量的夹角且解：解：:目录 上页 下页 返回 结束 在顶点为三角形中, 求 AC 边上的高 BD .解：解：三角形 ABC 的面积为 2.而故有:
