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1、高阶线性微分方程一、高阶线性微分方程解的结构一、高阶线性微分方程解的结构二、高阶常系数线性微分方程的求解二、高阶常系数线性微分方程的求解三、高阶变系数线性微分方程的求解三、高阶变系数线性微分方程的求解2013年6月1南京航空航天大学 理学院 数学系1、换元法、换元法Euler方程方程2、 n阶阶齐次齐次线性微分方程的线性微分方程的降阶法降阶法4、幂级数解法、幂级数解法三、高阶变系数线性微分方程的求解三、高阶变系数线性微分方程的求解3、 n阶阶非齐次非齐次线性微分方程的线性微分方程的常数变易公式常数变易公式21、Euler微分方程微分方程解法解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变欧拉方程是特殊
2、的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程量代换可化为常系数微分方程.的方程的方程(其中其中形如形如叫叫欧拉方程欧拉方程.为常数为常数)特点特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同变量的方次数相同Euler方程方程常系数的线常系数的线性微分方程性微分方程变量代换变量代换3作变量代换作变量代换将自变量换为将自变量换为4用用表示对自变量表示对自变量求导的运算求导的运算上述结果可以写为上述结果可以写为一般地，一般地，5求出这个方程的解后，求出这个方程的解后，把把 换为换为 ，即得到原方程的解即得到原方程的解.将上式代入欧拉方程，则化为以将上式代入
3、欧拉方程，则化为以 为自变量为自变量的常系数的常系数线性微分方程线性微分方程.一般地，一般地，6例例1解解78例例2.2.解解: : 由题设得定解问题由题设得定解问题(1)则则(1)化化为为特征根特征根: : 设设特解特解: : (2) (3)代入代入(3)得得 A1 得通解为得通解为9得通解为得通解为利用初始条件利用初始条件故所求特解为故所求特解为(2) 得得10例例3求欧拉方程求欧拉方程的通解的通解解解作变量变换作变量变换原方程化为原方程化为即即或或(1)11方程方程(1)所对应的齐次方程为所对应的齐次方程为其特征方程其特征方程特征方程的根为特征方程的根为所以齐次方程的通解为所以齐次方程的
4、通解为12设特解为设特解为代入原方程，得代入原方程，得所给欧拉方程的通解为所给欧拉方程的通解为13小结小结欧拉方程解法思路欧拉方程解法思路变系数的线变系数的线性微分方程性微分方程常系数的线常系数的线性微分方程性微分方程变量代换变量代换欧拉方程的形式欧拉方程的形式注142、可降阶的一些方程类型、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程的一般形式阶微分方程的一般形式: (1) 不显含未知函数不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)k-1(k1)阶导数的方程是阶导数的方程是若能求得若能求得(1)的通解的通解对上式经过对上式经过k次积分次积分,即可得即可得
5、(1)的通解的通解即即15 解题步骤解题步骤:第一步第一步:第二步第二步:求以上方程的通解求以上方程的通解即即第三步第三步: 对上式求对上式求k次积分次积分,即得原方程的通解即得原方程的通解16解解令令则方程化为则方程化为这是一阶方程这是一阶方程,其通解为其通解为即有即有对上式积分对上式积分4次次, 得原方程的通解为得原方程的通解为例例117(2 )不显含自变量不显含自变量t的方程的方程, 一般形式一般形式:因为因为18用数学归纳法易得用数学归纳法易得:将这些表达式代入将这些表达式代入(2)可得可得:即有新方程即有新方程它比原方程降低一阶它比原方程降低一阶19 解题步骤解题步骤:第一步第一步:
6、第二步第二步:求以上方程的通解求以上方程的通解第三步第三步:解方程解方程即得原方程的通解即得原方程的通解20解解令令则方程化为则方程化为从而可得从而可得及及这两方程的全部解是这两方程的全部解是例例2再代回原来变量得到再代回原来变量得到所以得原方程的通解为所以得原方程的通解为21 3 已知齐线性方程的非零特解已知齐线性方程的非零特解,进行降阶进行降阶的非零解的非零解令令则则代入代入(3)得得即即22引引入新的未知函数入新的未知函数方程变为方程变为是一阶齐次线性方程是一阶齐次线性方程, 解之得解之得因而因而23因此因此 (3)的的通解通解为为刘维尔公式刘维尔公式24 解题思路解题思路:降阶法降阶法
7、刘维尔公式刘维尔公式 (3)的通解的通解:注注一般求一般求(3)的解直接用公式的解直接用公式(*)25解解这里这里由由刘维尔公式刘维尔公式得得例例326代入代入(4)得得27降成降成n-1次方程的求解！次方程的求解！283、 n阶非齐次线性微分方程的常数变易公式阶非齐次线性微分方程的常数变易公式(1)(2)n阶线性阶线性微分方程微分方程与一阶线与一阶线性微分方性微分方程组的关程组的关系系29从而其基解矩阵为从而其基解矩阵为则则(2)对应齐次方程的基本解组为对应齐次方程的基本解组为(2)3031行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵称为矩阵称
8、为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 复习：复习：3233推论推论的基本解组的基本解组,那么非齐线性方程那么非齐线性方程的满足初始条件的满足初始条件特解为特解为34公式公式(3)称为称为(1)的的常数变易公式常数变易公式.n阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程(1)的通解的通解可表为可表为35其中其中36而通解是而通解是(6)37例例4 4 试求方程试求方程的一个解的一个解.解解: : 易知对应齐线性方程的基本解组为易知对应齐线性方程的基本解组为由由(5)求方程的一个解求方程的一个解,这时这时故故38所以所以也是原方程的一个解也是原方程的一个解.故故3
9、9解解对应齐方一特解为对应齐方一特解为由刘维尔公式由刘维尔公式对应齐方通解为对应齐方通解为例例540原方程的通解为原方程的通解为414、二阶线性方程的幂级数解法、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程对二阶变系数齐线性方程其求解问题其求解问题,归结为寻求它的一个非零解归结为寻求它的一个非零解.下面考虑该方程及初始条件下面考虑该方程及初始条件用级数表示解用级数表示解?42定理定理143定理定理244例例1解解设级数设级数为方程的解为方程的解,由初始条件得由初始条件得:因而因而将它代入方程将它代入方程,合并同类项合并同类项,并令各项系数等于零并令各项系数等于零,得得45即即因而因而也即也即46故方程的解为故方程的解为47小结小结4、补充内容、补充内容可观察出可观察出一个特解一个特解1、Euler方程方程2、 n阶齐次线性微分方程的阶齐次线性微分方程的降阶法降阶法3、 n阶非齐次线性微分方程的阶非齐次线性微分方程的常数变易公式常数变易公式55练练 习习 题题 5657方程的通解方程的通解 解解58解解59练习题答案练习题答案60解解6162当当i=1时，时，63类似地，可计算出类似地，可计算出（*）式右边其它各项）式右边其它各项综合：综合：64解解6566676869
