厦门大学许文彬高级微观济学全套的讲义

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1、高级微观经济理论Advanced Microeconomic TheoryGeoffrey A. JehlePhilip J. Reny课案简介n底本编写者：夏纪军nEmail：n网页：http:/ 财大主页公共信息教师主页n修订者：许文彬nEmail：2课程简介n教材：uG. A. Jehle & P. Reny Advanced Microeconomic Theoryn参考书：uH. R. Varian Microeconomic AnalysisuA. Mas-Colell, M. D. Whinston & J. R. GreenMicroeconomic Theory 3Ch 0.

2、 导论主流经济学的分析框架n四个分析层次u经济环境u个体行为分析最优化原则u个体互动结果均衡分析u福利分析5微观经济学的演变n古典经济学n边际革命（1870年代，门格尔，瓦尔拉斯，杰文斯）6微观经济学的演变n古典经济学的核心是初创于李嘉图，综合于穆勒的生产成本价值论。在很大的意义上，马克思的劳动价值论和剩余价值论同样归属于这一体系。n边际革命的意义在于力图把经济理论建立在主观意义之上，纳入主观心理的范畴。n边际主义者认为，经济学应该是研究享乐并使其最大化的科学；消费是实现和追求享乐的直接领域，因此消费才是经济学研究的基础和出发点。而消费又是通过个人的行为得以实现的，个人是消费的主体，于是，个人

3、的消费行为被视为研究的重点。n分析个人消费心理成为经济分析的根本出发点和理论支点。7微观经济学的演变n边际主义者宣称，效用是人对物品满足自己欲望的一种估价，它纯粹是一种主观现象，决不存在于人的意识之外。n物品的一大特性是其稀缺性，任何物品的供应存在确定上限。n效用和稀缺性结合，就产生了价值现象。所谓价值，就是人对物品主观效用的评价，它显然也是纯粹的主观现象。8微观经济学的演变n门格尔在经济学的研究方法上，强调以抽象演绎法为主，辅以经验归纳法。这一主张是以承认经济规律的存在和能够被认识为前提的。n杰文斯和瓦尔拉斯主张并实际进行了将数学方法引入经济学的尝试，成为数理经济学的先驱。n二者对此后经济学

4、方法论的发展起到了极其深远的影响。9微观经济学的演变n边际革命的扩展： n（1）对边际效用价值论的深化和通俗化n（2）从基数效用论转向序数效用论n（3）边际生产力论的完成n（4）对包括边际效用论和边际生产力论在内的整个边际主义的不同形式的综合阐述。n对边际革命不同方向的扩展形成了不同的学派，瑞典洛桑学派、奥地利学派，以及所谓新古典经济学派，都是对边际革命的不同方向的扩展结果。10微观经济学的演变n边际主义学说与原本它要反对的英国古典学派传统的融合，最终形成了新古典经济学。这使边际主义从异端走向正宗，新古典经济学也成为近现代西方经济学的主流学派。n这一学派的创始者是马歇尔（1890，经济学原理）

5、。n马歇尔的理论将价值论和供求论统一起来，提出“供求均衡价值论”，从而使原本针锋相对的古典经济学和边际主义理论相互融合，并以此为轴线建立起自己的学说体系。n马歇尔的理论体系直到1930年代受到来自于凯恩斯的挑战，二战后，凯恩斯主义部分取代了马歇尔理论中关于宏观的方面，从而使得新古典经济学在当代条件下采取了微观经济学的形式。11微观经济学的演变n萨缪尔森基本上全盘继承了马歇尔的理论体系，并吸收了凯恩斯关于有效需求的论述，从而建立起现代微观经济学的理论体系。n如果说边际主义革命是现代主流经济学的肇始的话，那么，博弈论的兴起和迅猛发展，就是微观经济学“二次革命”的契机。n博弈论的兴起，“正在改写着微

6、观经济学”。12微观经济学的演变n一个粗略的学术谱系：门格尔庞巴维克维塞尔杰文斯维斯蒂德瓦尔拉斯帕累托奥地利学派洛桑学派古典经济学马歇尔萨缪尔森新古典经济学边际革命13数学与经济学n提高经济学争论的效率 ，加速理论的创新。n形成统一的知识体系，便于交流、传承，以及知识的积累。14数学基础（一）n集合 u实数集un 维欧氏空间 iff xiyi,i=1,2,n15数学基础（一）nConvex sets in Rnu is a convex set if for all we have 如果一个集合包含了该集合中每对点的所有凸组合，它才是凸的。当且仅当我们可把集合内的两点用一条直线连接，该连接线又

7、完全处在集合内的情况下，这一集合才是凸的。16数学基础（一）n :binary relation between S and TuAny collection of ordered pairsus与t存在特定关系或17数学基础（一）nCompleteness（完备性）uA relation on S is complete if, for all elements x,y in S,nTransitivity（传递性）u A relation on S is transitive if , for any three elements x,y,z in S, implies 。18数学基础（一

8、）n度量与度量空间n欧氏空间u欧氏度量：19数学基础（一）n开邻域n闭邻域20数学基础（一）n例1：在R1上的邻域 21数学基础（一）n 上的邻域： 22数学基础（一）n开集u如果 ，都 使 ，那么 是 上的开集。23数学基础（一）n闭集 Su如果 S 的补集 Sc 是开集，那么 S 是闭集。24数学基础（一）nBounded Sets （有界集）uA set S in Rn is called bounded if it is entirely contained within someuThat is, 26数学基础（一）nupper and lower bound of S in Ruu

9、pper bound: u最小上界：上确界（l.u.b.）ulower bound: l最大下界：下确界（g.l.b.）27数学基础（一）n定理1.5：实数子集的上界与下界u1、有界开集不包含上、下确界；u2、有界闭集包含上、下确界。28数学基础（一）nCompact set （紧集）u有界闭集29Ch1 消费者理论1. 消费者理论n消费集n偏好关系与效用函数n消费者问题n间接效用函数与支出函数n需求函数性质 311.1 消费集n商品 i 及其数量u种类有限性u数量无限可分n 消费组合（束）321.1 消费集n商品定义u时点: 今天的面包 VS 昨天的面包u地点: 上海的面包与北京的面包u状态

10、:生产期为1天的面包与生产期为2天的面包331.1 消费集n例：跨期消费决策u两种商品： 第一期消费 第二期消费341.1 消费集n消费集：u消费者可以想象自己可能消费的各种消费组合的集合。反映自然的约束以及消费者关于商品的信息 351.1 消费集休闲时间24面包自然约束(physical constraint)：总量约束(i)361.1 消费集132汽车汽油(ii)自然约束(physical constraint)：单位约束371.1 消费集n更具一般性的消费集381.1 消费集n消费集基本假设uNonempty：u is closedu凸性 (convex)u 391.1 消费集n可行集

11、Bu在给定环境约束下，所有消费者实际上可以选择的消费束。反映制度、技术、个人能力等因素401.2 偏好与效用n如何描述消费者的偏好？uBetham：效用可度量、可比较uJevons等：边际效用递减法则 需求规律u基数效用论411.2 偏好与效用n序数效用论uPareto(1896)、Slutsky（1915）uHicks（1939）: Value and CapitaluDebru（1959）: Theory of Value 公理化方法421.2 偏好与效用n理性假设uthe consumer can choose能够判断自己喜欢什么uand choices are consistent自己

12、的偏好具有一致性431.2.1 偏好关系n二元关系(binary relation):u如果 ，有 , 那么 至少与 一样好。u读作： 偏好于 。441.2.1 偏好关系n偏好公理1：完备性u n 偏好公理2：传递性u 451.2.1 偏好关系n定义1.1：u如果在消费集 上的二元关系 满足公理1和2，那么我们称它为偏好关系。461.2.1 偏好关系n定义1.2：strict preference relation而且u 读作： 严格偏好于n 定义1.3：indifference relation而且u 读作： 与 无差异471.2.1 偏好关系n消费集的分划u弱偏好集：u严格偏好集：u无差异

13、集：481.2.1 偏好关系n 消费集的分划491.2.1 偏好关系n公理3：连续性u ,如果 都有 而且有 和 ，那么就有和 是闭 集。连续定理：定理：501.2.1 偏好关系511.2.1 偏好关系n例1：字典序偏好u设 ， 如果 或 ，并且u如：奥运会金牌榜521.2.1 偏好关系n证明：字典序偏好不连续(反证法)连续性假设：该偏好关系具有连续性假设不成立（1）与结论(1)矛盾531.2.1 偏好关系n公理 :局部非饱和性u , , 使得 。总存在改进福利的可能性541.2.1 偏好关系X1不满足公理55局部非饱和性无差异集合是一条曲线， 不存在无差异区域。1.2.1 偏好关系56X3（

14、好的）商品越多越好！X2571.2.1 偏好关系n公理4：严格单调性u ，如果有 那么有 ，如果有 ，那么有u严格单调性局部非饱和性58X2X3X11.2.1 偏好关系无差异曲线斜率为负严格单调性591.2.1 偏好关系n公理 ：凸性u如果 ，那么60X2X1Xt1.2.1 偏好关系611.2.1 偏好关系n公理5 ：严格凸性u如果 和 ，那么621.2.1 偏好关系X1Xt严格单调、凸性偏好 凸向原点的无差异曲线63 X1Xt严格单调、严格凸性偏好严格凸向原点的无差异曲线1.2.1 偏好关系641.2.1 偏好关系n边际替代率u无差异曲线的斜率u凸偏好边际替代率非递增u严格凸偏好边际替代率递

15、减65Ch 1.2.2 效用函数数学基础：函数n连续性n如果定义域的一个“微小运动”并不导致值域的“大跳跃”，那么，函数基本上可以判断是连续的。n严格定义：PP427nR到R的函数的连续性概念可以推广到两个度量空间之间的函数中。u函数67数学基础：函数n连续性（Cauchy）u 在此定义中，函数的定义域不再在R中取值，而只是在R的一个子集中取值。68数学基础：函数n象与原象（inverse image）u n连续性与原象（定理A1-6）69数学基础：函数n定理A1.7：连续函数在紧集上的象（image) 是紧集70数学基础：函数n极值存在性定理（Weierstrass）n证明：u根据 定理A1

16、-7，f（x）在 R上是一个紧集，所以f（x）是闭且有界的，令a为其上确界，则a是f（x）的极限点；又因为f（x）是闭的，所以a属于f（x），即在S中存在某点xd，使得f（xd）=a。71数学基础：多变量函数的微分梯度(gradient)：一阶微分：二阶微分：（海赛矩阵）72数学基础：矩阵n定义：u NN矩阵M，如果 都有u半负定矩阵的特点是其每个特征值都是0或负数；负定矩阵的特点是其每个特征值都是负数。那么，称M是半负定矩阵；如果不等号严格成立，那么称M为负定矩阵。73数学基础：拟凹函数定义域是凸集的函数，若其任一上等值集（Superior set, 定义域中使函数值不小于某值的子集）是凸集

17、，则该函数是拟凹的。74数学基础：拟凹函数证明：充分性定理定理 f(x)是拟凹函数75数学基础：拟凹函数必要性：S(y)是凸集76数学基础：拟凹函数77数学基础：拟凹函数n定理：连续可微函数 f ,以下三个命题等价：n1、f是凹的，n2、对于D中所有x，H（x）是负半定的，n3、对于一切x0属于D，781.2.2 效用函数n定义1.5：u实值函数 u: RR是表示偏好关系 的效用函数，如果u存在性u唯一性791.2.2.1 效用函数存在性n n定理1.1 (P14)：代表偏好关系的实值函数的存在性u定义在 的偏好关系满足连续性和严格单调性，那么就存在一个连续的实值函数 表示 . 。801.2.

18、2.1 效用函数存在性n定理1.1证明思路u先构造一个实值函数u然后证明它满足效用函数的条件81I、效用函数的构造0连续性 是非空闭集(上一讲公理3)82I、效用函数的构造严格单调性那么都有如果那么都有如果完备性（A是有下界闭集）（B是有界闭集）83I、效用函数的构造而且 是唯一的。因为：假设（严格单调性）（传递性）存在唯一的 使得84I、效用函数的构造0u(x)ex85n至此我们证明出，对于每个x属于R，正好存在一个函数u（x），使得u(x)ex。n到此为止,我们构造了一个效用函数,它给X中的每一消费束分配一个数字。以下我们将说明这一效用函数代表偏好关系。86II、 是效用函数由式得到（传递

19、性）（严格单调性）u(x)是表示偏好关系 效用函数87III、 是连续函数效用函数u(x)在开区间(a,b)上的逆映射(原象)（定义）（单调性）（传递性）是开集（因为的补集是闭集）88III、 是连续函数定理A1.6：（P429）连续是开集，在任意开集的逆映射 在是开集连续891.2.2.2 效用函数的唯一性n正单调变化其中在 的取值范围上是严格递增函数。901.2.2.2 效用函数的唯一性n定理1.2：效用函数对正单调变化的不变性u实值函数u(x)能够表示偏好关系 ，那么，当且仅当v(x)是u(x)的正单调变换,v(x)也能够表示该偏好关系。911.2.2.2 效用函数的唯一性n设 表示的是

20、偏好关系 的结构。u u u 92n上等值集(Superior Set)【严格上等值集】1.2.2.3 效用函数的性质941.2.2.3 效用函数的性质n 严格递增严格单调951.2.2.3 效用函数的性质n 拟凹具有凸性严格拟凹具有严格凸性n 961.2.2.3 效用函数的性质n 处处具有可导性u无差异曲线光滑（smooth）u无差异关系是XX上的光滑流形。n边际效用（偏好单调性）（偏好严格单调性）【几乎处处成立】971.2.2.3 效用函数的性质是凹函数n 拟凹 边际效用递减981.2.2.3 效用函数性质n海塞矩阵 满足n本章PPT，P13凹991.2.2.4 效用函数实例2X1X12X

21、0X0位似偏好(homothetic preference)1001.2.2.4 效用函数实例n位似偏好效用函数u如果 是位似偏好，那么就可以用一个一次齐次效用函数来表示。位似偏好：证明：1011.2.2.4 效用函数实例n位似偏好效用函数u如果 是位似偏好，那么就可以用一个一次齐次函数的正单调变换来表示。1021.2.2.4 效用函数实例n拟线性偏好(quasilinear preference)u偏好关系 是相对于商品1的拟线性偏好，如果u u 其中1031.2.2 效用函数实例n拟线性偏好效用函数1041.2.2 效用函数实例nCES（constant elasticity of sub

22、stitution）效用函数105作业2：n1.12、1.13、1.14、1.15106Ch 1.3 消费者问题Ch 1.3 消费者选择问题n最优解的性质n最优解的充分必要条件108数学基础n约束最优化求解：拉格朗日方法n 受约束于n可构造拉格朗日函数，用无拘束三变量函数替代两变量函数：n 109拉格朗日定理（定理A2-16）n设f（x）与 是一些定义域在 上的连续可微的实值函数。设x*是D的一个内点并且x*是f的一个最优值点（最大值或最小值）；f受到 的约束，如果梯度向量 是线性独立的，那么总会存在m个不同的数 使得110定理A2-19n受非负性条件约束的实值函数最优化的必要条件：n设f(x

23、)是连续可微的1.如果在 的约束下,x*最大化了f(x),那么x*满足: 111定理A2-19,续2.如果在 的约束下,x*最小化了f(x),那么x*满足: 112Kuhn-Tucker条件（定理A2-20）n受不等式条件约束的实值函数最优化的（ Kuhn-Tucker ）必要条件n设f（x）与 是一些定义域在 上的连续可微的实值函数。设x*是D的一个内点并且x*受到条件 约束的f的最优解（最大值或最小值解）。如果与所有束紧约束相关的梯度向量 是线性独立的，那么必存在唯一的向量 使得（x*， ）满足Kuhn-Tucker 条件：113Ch 1.3 消费者选择问题n分析框架u偏好关系：u消费集：

24、可行集：u 最优化选择：114Ch 1.3 消费者选择问题n假设1.2u消费者偏好具有完备性、可传递性、连续性和严格单调性。u消费者的效用可以由一连续、严格递增的拟凹实值函数 表示。形式理性115Ch 1.3 消费者选择问题n可行集u预算u行动规则制度、政府规制等交易规则：完全竞争性市场可行集：116Ch 1.3 消费者选择问题例：跨期消费选择117Ch 1.3 消费者选择问题借不到钱融资约束贷款利率rc存款利率rs 0是MP的唯一解，而且对a可微。 为该问题的拉格朗日函数， 是满足kuhn-Tucker条件的解。那么有u （等式右边表示拉格朗日函数关于参数aj的偏导数，它在点（x(a)，(a

25、)）处取值 ）145包络定理的含义n定理说明了如下情况：n当参数发生变化时（并且假设因此变化而使整个最优化问题被重新赋值），它对目标函数最优化值产生的总效应可用如下方式来推导：给拉格朗日函数求参数的偏导数，并接着可在原问题的一阶库恩-塔克条件的解处给该导数取值。n证明：略1461.4.1 间接效用函数1471.4.1 间接效用函数u定义在消费集上的效用函数n直接效用函数 u(x)u定义在(p,y)上的函数n间接效用函数 v(p,y)当价格、收入变化时，消费者福利会发生怎样的变化？1481.4.1 间接效用函数n性质1：在 上连续最大化定理约束函数是p, y的连续函数n性质2：是(p,y)的0次

26、齐次函数1491.4.1 间接效用函数n性质3、4：是y的严格递增函数，p 的递减函数。n证明：构建拉格朗日函数n令 为最大化问题的解，则根据拉格朗日定理得出存在一个 使得下式成立： 易得 0150性质3、4n根据包络定理,n因此v(p,y)关于y是递增的.n同样根据包络定理有:n因此v(p,y)关于p是递减的.1511.4.1 间接效用函数n性质5：是 (p,y) 的拟凸函数拟凸令1521.4.1 间接效用函数n假设不成立，那么即与矛盾153性质6: Roy恒等式：n消费者对物品i的马歇尔需求只是间接效用函数关于pi的偏导数与其关于y的偏导数的比率的负数。n根据包络定理，n根据性质3，有15

27、41.4.1 间接效用函数n例1551.4.2 支出函数n在给定价格(p1,p2)下，实现效用水平u，至少需要多少预算（支出）？ux1x2u(x1,x2)=u等支出线1561.4.2 支出函数n支出最小化问题 (EMP)希克斯需求函数1571.4.2 支出函数n希克斯需求函数 xh(p,u)u在价格p下，实现效用水平u，支出最小的消费束。158x1x2xh补偿需求曲线159Hicksian demand functionn对于不同的无差异曲线，对于不同的效用水平，有不同的希克斯需求曲线，它们中的每一个的形状与位置将总是由潜在的偏好所决定。n在同一条希克斯需求曲线上的每一点，其给消费者带来的效用

28、都相等。n显然，在给定价格体系p和效用水平U(x)之后，相应的希克斯需求不见得存在，即使存在，也不见得唯一，要使其具有存在性和唯一性，还须运用相应的假设。1601.4.2 支出函数n支出最小化问题解的存在性、唯一性n支出函数的性质161存在性定理n设消费集合X是向下有界的非空闭集，是连续的偏好，则对任何价格向量 及任何 ，都有 （即希克斯需求集合非空）。因此理性消费者的希克斯需求是存在的。162唯一性定理n设消费集X是凸集, 是连续的严格凸偏好,则对于符合条件e(p,x)e*(p)的任何价格体系p和消费向量 ,希克斯需求集合 中最多只有一种消费方案.因此,理性消费者的希克斯需求是唯一的.163

29、支出函数e(p,u)的性质n如果u(.)是连续且严格递增的,那么由最小值函数定义的e(p,u)则是:n性质1：当效用水平取最低值时，支出函数值为0。偏好（严格）递增n性质2：在 是连续函数(最大化定理)1671.4.2.2 支出函数性质n性质3:对 ,是u的严格递增函数，而且无上界。n证明:假设非严格递增，令u10根据包络定理：n性质4：支出函数是价格的递增函数。1701.4.2.2 支出函数性质n性质5：价格的一次齐次函数1711.4.2.2 支出函数性质n性质6：是价格的凹函数证明：1721.4.2.2 支出函数性质n性质7:Shephard lemman证明见性质4.1731.4.2.2

30、 支出函数性质n例:求与 对应的支出函数 n解: 求拉格朗日函数的一阶条件并消去 ,得到 ,于是可得支出函数1741.4.3 间接效用与支出函数的关系定义定义（1.17）（1.16）1、2、1751.4.3 间接效用与支出函数的关系n支出最小化要达到效用u，最小的支出是e(p,u)n效用最大化支出为y时效用最大取值为u 支出为y时总能实现效用u y 最小支出e(p,u)n效用最大化在支出为y的条件下能达到的最大效用是un支出最小化实现效用u的最小开支取值为e(p,u) 当开支取值为e时总能实现u 开支取值为e(p,u)时带来的效用v(p,y) u1761.4.3 间接效用与支出函数的关系n定理

31、1.8：假设 连续且严格递增，如果 和 分别是消费者的间接效用函数和支出函数，那么，对 有：u u 1771.4.3 间接效用与支出函数的关系n 假设e()连续性 (1.17) 这是不可能的证明：v()是y的严格递增函数1781.4.3 间接效用与支出函数的关系n （1.17）:假设证明：v()连续这是不可能的1791.4.3 间接效用与支出函数的关系n定理1.9：马歇尔需求与希克斯需求的对偶性u在假设1.2下，对于所有u有:u 1801.4.3 间接效用与支出函数的关系n 证明：定理1.8181对偶性的内涵n 从表面上看,效用最大化的马歇尔需求没有考虑支出最小化的问题,支出最小化的希克斯需求

32、没有考虑效用最大化的问题,但事实并非如此.n马歇尔需求与希克斯需求是互相一致的,或者说,效用最大化蕴涵着支出最小化,支出最小化也蕴涵着效用最大化.n因此,消费最优选择不仅可以看做一个选择与预算线相切的最高无差异曲线的问题,也可以看做是一个选择与既定的无差异曲线相切的最低预算线的问题.1821.5 需求函数性质Relative prices and real income.nrelative price prices the good by some other good, not money.nreal income is the maximum number of units the con

33、sumer can consume if he spends all his money income.1841.5 需求函数的性质n定理1.10 :0次齐次和预算平衡u在假设1.2下 x(p,y)是(p,y)的0次齐次函数nx(tp,ty) x(p,y) for all t0满足预算平衡：p x(p,y) =y1851.5 需求函数的性质n相对价格形式令ux(p,y) =x(tp,ty)相对价格：实际收入：对n种商品中每一种商品的需求只依存于n-1个相对价格与消费者的实际收入。1861.5.2 收入效应与替代效应n希克斯分解u替代效应(SE)：在保持消费者最大化效用不变前提下，相对价格变化所

34、引起的需求量的变化。u收入效应(IE)：总效应(TE)与替代效应的差。TE=SE+IE187x1x2xhTEIESE1.5.2 收入效应与替代效应1881.5.2 收入效应与替代效应n Slutsky 方程收入效应替代效应189Slutsky 方程对偶性记：对偶性Shepard 引理190Slutsky 方程1911.5.2 收入效应与替代效应 是 p 的凹函数(支出函数性质6)n定理1-12：负的自替代效应Shepard 引理1921.5.2 收入效应与替代效应nNormal goodsninferior goodsnGiffen Goods1931.5.2 收入效应与替代效应nNormal

35、 goodsninferior goodsnGiffen Goods194需求规律n定理1-13:正常商品自身价格的下降将导致需求的增加。如果自身价格下降导致需求减少，那么该商品必定是劣质商品。195Income and Substitution effects: Normal GoodFood (units per month)OClothing(units permonth)RF1SC1AU1The income effect, EF2, ( from D to B) keeps relativeprices constant but increases purchasing power.

36、Income EffectC2F2TU2BWhen the price of food falls, consumption increases by F1F2 as the consumer moves from A to B.ETotal EffectSubstitutionEffectDThe substitution effect,F1E, (from point A to D), changes the relative prices but keeps real income(satisfaction) constant.196Food (units per month)ORClo

37、thing(units permonth)F1SF2TAU1ESubstitutionEffectDTotal EffectSince food is an inferior good, theincome effect is negative. However,the substitution effectis larger than the income effect.BIncome EffectU2Income and Substitution effects: Inferior Good1971.5.2 收入效应与替代效应n定理1-14:对称性替代项e(p,u)二次连续可微Shepar

38、d 引理1981.5.2 收入效应与替代效应n定理1.15：负半定替代矩阵1991.5.2 收入效应与替代效应是 p 的凹函数 负半定2001.5.2 收入效应与替代效应n定理1.16：负半定对称斯勒茨基矩阵201Applicationn定理1-10和1-16可用于对理论或实证模型进行检验.n消费者需求满足齐次性和预算平衡性的要求,以及斯勒茨基矩阵必须是对称的和负半定的要求,为实际估算马歇尔需求方程组中参数的设定规定了一系列严格的限制(当然,在这种情况下,消费者必须是理性的价格接受者).2021.5.3 弹性分析n收入弹性n价格弹性n收入份额203消费者需求的加总n定理1-17:设x(p,y)

39、是消费者的马歇尔需求,则如下关系必须在收入份额,需求的价格弹性与收入弹性间成立:n1.Engel aggregation:它表明收入份额加权的收入弹性之和为1.n2.Cournot aggregation:它表明加权的自身需求价格弹性与交叉需求价格弹性总可以某种特殊方式加总.204恩格尔加总205古诺加总206To sum upn定理1.10-1.17共同给出了一个有关效用最大化行为的逻辑含义的说明:齐次性告诉我们需求必将对等比例的价格与收入的同时变动做出反应,预算平衡性则要求需求耗尽消费者的收入.斯勒茨基方程告诉我们,针对一般性的价格变化,需求的变化数量和方向将怎样(它还考察了那些不可观测到

40、的需求变化是如何具体影响需求总量,从而使需求量表现为我们最终观测到的实际变化).最后,加总关系提供了有关需求量如何在整个需求函数方程组中被“放到一起”的技巧.207作业n29、38、45、46、50、54、60、62、63208Ch 2 消费者理论专题数学基础n超平面（hyperplane）a hyperplane is any codimension-1 vector subspace of a vector space.Equivalently, a hyperplane V in a vector space W is any subspace such that W/V is one-

41、dimensional. 210欧拉定理n当且仅当如下式子成立时，f(x)是k次齐次性的:211Ch 2n对偶性n可积性n显示偏好n不确定性2122.1 对偶性深入分析偏好EMPUMP2132.1.1 支出与偏好n u它可能是、也可能不是一个支出函数。u满足什么条件时是支出函数？u从消费者的支出行为能否还原其偏好关系？u在前面一章，我们的支出函数构造思路是： 效用函数EMP支出函数u而在本章我们的思路正相反： 支出函数效用函数214定理1.7：支出函数的性质1. 在 连续2. 对 ,是u 的严格递增函数，而且无上界。3. 是价格的递增函数。4. 是价格的凹函数5. 是价格的一次齐次函数215命

42、题1：（本节所要说明的问题）n如果E(p,u)满足定理1.7：1-5性质，那么它就是某一偏好的支出函数。换言之，与此支出函数相对应的效用函数必然存在。u等价提法：能够构造一个效用函数u() ，使得E(p,u)正好是该效用函数下的支出函数。u思路：构造一个函数证明它是效用函数 2162.1.1 支出与偏好偏好EMPUMP根据支出行为，能够恢复其偏好关系217 XE(p,u0)u0Xu(x)A(u0) 表示的是这样的消费组合集合，它在任何价格水平下都能满足pxE(p,u0)218XE(p,u0)u0Xu(x)A(u0)A(u1)u1A(u2)u2u*219n先构造：A(u):E(p,u)的上等值集

43、n然后在A(u) 基础上构造u()220效用函数的构造给定令超平面：221效用函数的构造p0x是x的连续函数A(p0,u0)是闭集p0x是x的线性函数所有在价格 p0下能够达到u0的消费束都在A(p0,u0)内，据此我们有：A(p0,u0)是凸集A(u0)A(p0,u0)222效用函数的构造存在一条未知的无差异曲线 (u0)，在价格p0下，刚好与该预算线相切.问题：如何通过A(p0,u0) 找出无差异曲线 u0？223效用函数的构造我们可以把在不同价格水平下的所有与该无差异曲线相切的预算线划出来当p=p1时A(u0)A(p1,u0)224效用函数的构造n无差异集既在A(p0,u0)又在A(p1

44、,u0)，即在它们的交集中。所有能够至少产生效用水平u0的消费组合记为式2-1A(p,u0)是闭集 A(u0)是闭集225效用函数的构造E(p,u)是u的递增函数A(u)的递增性226效用函数的构造n给定消费组合x，其效用水平？如果那么x至少能够达到那么x不可能达到记：227定理2.1n如果E(p,u) 具有定理1.7的支出函数的性质，A(u)是根据2.1式定义，那么函数是与E(p,u)相对应的效用函数,它是一个递增、无上界的拟凹函数。228n证明：第二步u最大值存在 B(x)是有上界非空闭集u递增、无上界、拟凹 具有效用函数的性质229是u的连续函数最大值存在性是闭集1.1、B(x)是闭集证

45、明：230E(p,u)无上界，是u的递增函数B(x)有上界最大值存在性使得B(x)非空存在上确界1.2、B(x)是存在上界证明231最大值存在性存在上确界闭集具有良好定义232 递增性233无上界假设存在上界，则一定有上确界都有即我们需要证明证明234给定是P的一次齐次可微函数欧拉定理是P的凹函数,根据定理A2.4无上界证明235设即无上界236拟凹给定记证明237定理2.2n如果 E(p,u) 具有定理1.7的支出函数的性质， u(x) 是根据定理2.1构造的效用函数，那么238定理2.2：证明给定设 满足定义给定239定理2.2：证明是P的一次齐次可微函数欧拉定理是P的凹函数(根据定理A2

46、-4)240定理2.2：证明设241结论n定理2-1和2-2告诉我们,在任何时刻,我们可写出满足定理1-7性质的关于价格与效用的函数,对于满足一般公理的偏好而言,该函数将是一个合理的支出函数.n我们可由一个直接效用函数出发,通过求解适宜的最优化问题以求出希克斯需求或马歇尔需求函数; 也可由一个支出函数出发,经由相反的路线及简单积分的方法来获得消费者需求方程. 而后者在真实世界里实用性更强.2422.1.2 凸性与单调性n凸性、单调性假设 是对个人偏好很强的假设，如果需求理论需要依赖很强的假设，那么无疑会限制该理论的应用。是经济学的一块心病2432.1.2 凸性与单调性n只是技术性假设，理论的预

47、测并不会因为引入这两个假设而改变。u即：非凸、非单调性偏好下的最优选择一定也是单调、凸偏好下的最优选择。244构造 的凸化和单调化偏好连续具有良好定义,而且连续递增、拟凹（定理2.1的证明）根据构造函数:245与关系n 246（ 拟凹）:凸集u 与关系n 247I、如果是递增的拟凹函数是闭凸集无差异曲线上的任意消费束，都存在一个正的价格向量，使其成为成本最小化选择248I、如果是递增的拟凹函数支撑超平面定理（分离超平面定理）是闭凸集使得都有：249I、如果递增的拟凹函数是u的递增函数任何大于u的值都不属于B(x0)250I、 如果递增的拟凹函数251II、如果不是递增、也不是拟凹函数无差异曲线

48、上，x0 x1,以及x2 x3,上的消费束都存在严格为正的价格，使其成为成本最小化的最优选择。x3x0x2x1而且对于x1, x2252II、如果不是递增、也不是拟凹函数不是拟凹函数即有(e(p,u)递增性)因为253x2x1II、如果不是递增、也不是拟凹函数xtx0x3254x2x1II、如果不是递增、也不是拟凹函数xtx0非递增性x3255II、如果不是递增、也不是拟凹函数2.1.2 凸性与单调性2562.1.3 间接效用与偏好偏好EMPUMP从间接效用函数能够恢复其偏好关系257直接效用函数的构造如果有258定理2.3 n 在 上拟凹而且可微，一阶偏导严格为正，那么间接效用函数 在 上取

49、得最小值，并且有：（T1）259定理2.3:证明令给定 2602.1.3 间接效用与偏好n如果函数 满足定理1.6中的性质，那么该函数就是一个间接效用函数，而且根据（T1）所构造的函数就是产生该间接效用函数的直接效用函数。2612.1.3 间接效用与偏好0次齐次其中262例263反需求函数n定理2.4 设 u(x) 是消费者的效用函数，那么商品i 的反需求函数为 264证明包络定理：265例：求反需求函数266Ch 2 消费者理论专题Lecture 2 可积性与显示偏好2.2 可积性n如何从可观察的需求行为恢复产生该需求的效用函数？2682.2 可积性偏好EMPUMP2692.2 可积性n需求

50、函数应该满足那些条件？-零次齐次性、预算平衡性、对称性与负半定性，以及相伴随的古诺加总和恩格尔加总。-根据定理1-17，加总结论直接来自预算平衡性。-零次齐次性可由预算平衡性与对称性所蕴涵。270定理2-5n定理2-5：如果x(p,y)满足预算平衡性并且其斯勒斯基矩阵是对称的,那么它对p与y就是零次齐次的。n证明：略271总结n如果x(p,y)是需求函数的一个效用最大化的方程组,那么,我们可以对已发现的可观察行为含义做如下总结:n预算平衡性: px(p,y)=yn负半定性: 相关的斯勒斯基矩阵s(p,y)是负半定的.n对称性: s(p,y)是对称的.272定理2.6 可积性定理n定理2.6:

51、一个连续可微的函数 当其满足预算平衡性、对称性和负半定性时，它就是由一些递增、拟凹的效用函数产生的需求函数。该结论并且只在效用是连续的、严格递增的且严格拟凹的条件下成立。n证明：略n一个有用的引理: 对偶性+Shepard lemma273例题2-3n存在三种物品并设消费者的需求行为由如下函数表达，求其支出函数。274n首先，检查x(p,y)满足预算平衡性、对称性与负半定性,依据定理2-6，x(p,y)必是由效用函数生成的.n根据定理2-6的引理（P.1）我们的任务在于寻找出 ,它求解出以下偏微分方程组:275n注意到上式可被改写为:n于是有:276n进一步,n于是,n由于必须确保e(p,y)

52、关于u是严格递增的,只要我们能保证c(u)严格递增,所得函数就是我们要求的支出函数,可以方便地设c(u)=u. 我们的最终解就是2772.3 显示偏好n分析的思路u对偏好进行公理化假设最大化行为消费者行为观察和预测(前面各章节的思路)u可观察的选择出发分析消费行为Samuelson（1947）消费者选择消费束A而非B,说明消费者更偏好于A, 消费者的实际选择行为传递着关于消费者偏好的信息.278直接显示偏好n设 是消费者在收入为m的条件下根据价格 所能购买的任意商品束, 是其实际购买的商品束,如果该消费者满足预算平衡性,显然有: n于是有n如果 与 是不同的消费束, 此时我们说 是 的直接显示

53、偏好.279显示偏好原理n设 是价格在 时被选择的商品束, 是使得 成立的另一个商品束. 在这种情况下,如消费者总是在他能够购买的商品束中选择他最偏好的商品束,则我们有 280间接显示偏好与显示偏好n如需求束 本身恰好又是另一商品束 的显示偏好,即 根据传递性假设,我们有 ,在这种情况下,我们称 是 的间接显示偏好.n如果一个商品束既是另一个商品束的直接显示偏好,又是它的间接显示偏好,那么我们就说第一个商品束是第二个商品束的显示偏好.281Amount of Exercise (hours) An exampleOtherRecreationalActivities($)02550752040

54、6080100l1Cl2U2BThe rate changes to $1/hr + $30/wkNew budget line I2 & combination BReveal preference of B to AU1AScenarioRobertas recreation budget = $100/wkPrice of exercise = $4/hr/weekExercises 10 hrs/wk at A given U1 & I1282恢复偏好n通过观察消费者所作的选择,我们可以获知他的偏好, 当我们观察的选择越多时,我们就能对消费者的偏好作出越加准确的估计.n充分利用显示偏好

55、的概念及关于偏好的若干前提假设, 则我们能准确地画出无差异曲线.283DRevealed Preferences-Two Budget Linesl1l2BAI1: Chose A over B A is revealed preferred to Bl2: Choose B over D B is revealed preferred to DFood (units per month)Clothing(units permonth)284A is preferred toall market baskets in the green areaRevealed Preferences-Two

56、 Budget Linesl2Bl1DAAll market basketsin the pinkshaded area are preferred to A.Food (units per month)Clothing(units permonth)285All market baskets in the pink area preferred to AFood (units per month)Revealed Preferences-four Budget LinesClothing(units permonth)l1l2l3l4A: preferred to allmarket bas

57、kets in the green areaEBAGI3: E revealed preferred to A I4: G revealed preferred to A286显示偏好的弱公理（WARP）n如果对于每一对不同的消费束 与 ，消费者在价格为 时选择 ，在价格为 时选择 ，那么，这个消费者的选择行为会满足显示偏好弱公理：n换言之，当 是 的显示偏好，且 从来不是 的显示偏好，那么，WARP成立。287一种更容易理解的表述nWARP：如果 是 的直接显示偏好，且 和 不同，那么， 就不可能是 的直接显示偏好。n还原到现实世界就是：如果在购买商品束X时有能力购买商品束Y，那么在购买商品

58、束Y时，商品束X就肯定是无力购买的商品束。288显示偏好弱公理x1x1x0x0289选择函数n选择函数（choice function）假设1：称 x1 直接显示偏好于x2，如果有记为：2900次齐次设（预算平衡）（WARP）if291斯勒茨基补偿n当价格变化后，调整收入，使其刚好买得起原来的消费束。（WARP） （2-5） 292n如果 那么等式成立。如果 ，那么，在 可被支付时 被选择，WARP意味着每当 被选择时 都是支付不起的，因此上式不等号是严格的。n根据预算平衡有： n （2-6）n（2-6）-（2-5）得（2-7）： n 293令294斯勒茨基补偿需求295斯勒茨基补偿需求296

59、斯勒茨基补偿需求都成立负半定297总结n至此我们已证明，一旦选择函数满足WARP和预算平衡性，那么它必定满足由效用最大化所蕴涵的两个特性，即零次齐次性与斯勒斯基矩阵的负半定性。n如果我们能进一步证明选择函数的斯勒司基矩阵是对称的，那么，依据可积分性结论，选择函数实际上就是需求函数，由此即可构建产生该需求函数的效用函数。298两物品情况n我们已证，满足WARP和预算平衡的选择函数具有：u0次齐次u负半定替代矩阵n两物品的条件下，0次齐次和负半定性就意味着对称性，因此，此时选择函数必定是由效用最大化产生的。299两物品情况n反过来看，从效用最大化得到的需求函数一定满足WARP。n设效用最大化的消费

60、者具备了严格单调且严格凸的偏好，那么，在每一个价格集上将存在唯一的需求束，该需求束正好用尽消费者的收入。n在价格为 时令 最大化其效用，价格为 时 最大化其效用，并设 。n由于 是可支付但没被选择的消费束，因此必定有 。因此，当 在价格为 时被选择，此时 必定是不可获得的：n因此， ，WARP于是得到满足。300两物品以上情况n超过两物品的情况，由于WARP与预算平衡性不意味着斯勒斯基矩阵的对称性，因此，对于两种物品以上的情形，WARP与预算平衡并不等价于效用最大化假说。301可见n从效用最大化得到的需求函数一定满足WARPn但满足WARP的选择不一定是效用最大化的选择n这导致这样一个问题：如

61、何强化WARP，才能使它等价于效用最大化理论。n由于斯勒斯基矩阵的对称性与消费者偏好的可传递性之间存在密切关系（定理1-14的证明），我们只要确定消费者偏好是可传递的，则对称性就能得到满足，进而，效用最大化假说也就能够实现。这就是我们要寻找的WARP的附加条件。302显示偏好的强公理（SARP）SARP：如果对于每个不同消费束的序列 ， 是 的显示偏好， 是 的显示偏好， 是 的显示偏好，同时不存在 是 的显示偏好，那么我们说SARP被满足。SARP（一种更简单的表达）：如果 是 的显示偏好（直接或间接），且 与 不同，则 不可能是 的直接或间接显示偏好303SARPn如果消费者选择行为满足S

62、ARP，那么其行为等价于效用最大化行为。或可以从满足SARP的选择行为恢复消费者的偏好关系。n简单地说，建立在SARP上的需求理论，基本上等价于建立在效用最大化基础上的需求理论。SARP是使我们观察到的选择同消费者选择的经济模型相容的充分必要条件。n但不能据此声言构成的偏好实际上产生了观察到的选择。如一切科学判断一样，我们只能证明观察到的行为同判断并非不相容。只在我们穷极一切可能使观察到的行为达到无限多的时候，上述观点才能成立。n因此，我们不能证明经济模型是否正确，而只能决定模型的内涵，并判定观察到的选择是否同这些内涵相容。304显示偏好的一般公理（GARP）n如上所述，由于真实世界不存在无限

63、多的可观察行为，因此更切实的工作是当可观察事物为有限时出现的问题。nGARPAfriat (1976)：当且仅当只存在一个局部非饱和的、连续的、递增的与凹的效用函数，那么，可观察的价格与数量资料的有限集合将满足GARP。nGARP为在有限数据基础上恢复偏好关系提供了方法。其缺陷是非唯一性。305Ch 2 消费者理论专题Lecture 3 不确定性prologuen以上各章节的内容都是假设决策者在一个绝对确定的世界里行动的，他了解所有物品的价格，并知道任何可行的消费束可确定地获得。n然而，在真实世界里经济个体并不总是会有这样的好运气，许多经济决策包含着或多或少的不确定性因素。n在这种情况下，即使

64、决策者可以知道不同结果的概率，决策的最终结果直至其发生前仍是不能了解的。n因此，不确定性因素的引入是经济模型对真实世界的一大修正。307内容n偏好n期望效用函数n风险厌恶3082.4.1 偏好n选择集u选择对象：赌局（gamble、lottery）其结果不确定u可描述性：结果集概率分布3092.4.1 偏好n选择集u简单赌局：每一个状态下都是确定的结果u简单赌局集3102.4.1 偏好n选择集u复合赌局若干状态下的结果仍然是一个赌局3112.4.1 偏好n赌局集n偏好u定义在赌局空间上的消费者偏好312不确定下的选择公理n公理1：完备性n公理2：传递性313不确定下的选择公理nG1G2结果集内

65、所有结果可以根据偏好序进行完整的排序：n公理3：连续性314不确定下的选择公理n公理4:单调性含义：以较高概率获得最好结果的赌局将更受偏好。反例：死亡的刺激性微小的生命危险反而比绝对安全好，尽管百分之百死亡是绝对厌恶的。316不确定下的选择公理n公理5：替代性n含义：如果决策者对两个赌局中任何给出的结果无差异，并且每个赌局的结果会以同样的概率出现，则这两个赌局无差异。如果那么就有317复合赌局的有效概率n例：设A=a1,a2，n复合赌局形式：u（1）以概率获得结果a1；u（2）以概率（1- ）获得彩票券，彩票券以概率获得结果a1，以概率（1- ）获得结果a2。n实际上结果为a1的有效概率是多少

66、？na1将以两种互相排斥的方式形成：作为复合赌局的直接结果出现或作为一张彩票券出现。因此结果为a1的有效概率为+(1- ) ；a2的有效概率为(1- ) (1- )。n人们在考虑所进行的赌局时只考虑有效概率，因此对复合赌局和由该复合赌局引致的简单赌局无差异。318不确定下的选择公理n简单赌局与复合赌局复合赌局g的简化赌局形式319不确定下的选择公理n公理6：如果是g的简化赌局，那么一定有3202.4.2 冯纽依曼摩根斯坦恩效用n效用函数u如果偏好关系满足G1、G2、G3，那么存在效用函数： 表示该偏好关系。3212.4.2 期望效用定理n期望效用性质u称效用函数 具有期望效用性质，如果都有其中

67、是g的简化赌局3222.4.2 期望效用定理n冯纽依曼摩根斯坦恩效用函数u如果效用函数具有期望效用性质，那么称其为VNM效用函数323定理2.7 VNM效用函数存在性n在 上的偏好关系，如果满足公理G1G6，那么就存在具有期望效用性质的效用函数表示该偏好。324证明连续性使得单调性唯一假设不唯一，设存在 都满足 （1）式，所以有任意 ，一定有 ，令单调性(2)与(2)式矛盾假设不成立(1)326证明n定义：u需要证明是能够表示偏好关系 的效用函数具有期望效用性质其中 满足327证明：n1、是表示偏好关系 的效用函数n因此，当且仅当 ，u代表G上的偏好关系时，有如果有那么传递性公理单调性公理32

68、8证明：n2、具有期望效用性质 我们要证的是：效用函数定义存在唯一的u(ai)使得替代性公理令329证明：简化公理定义：330定理2-7的说明n如果个人赌局偏好满足公理1-6，那么可给赌局A中的每一个结果（子赌局）分配一个效用数值，使得当且仅当一个子赌局的预期效用大于另一个子赌局时个人才更偏好于前面那个子赌局。n定理2-7的证明还给我们提供了一个实际上如何构建具有预期效用函数特性的效用函数的流程。要决定任何确定性结果 的效用，我们只须求得个人最好结果（使她在优劣赌局（ ）和确定性结果 之间无差异）的概率。采取相同的步骤，我们于是可以计算由赌局A产生的任何结果的预期效用。并且，如果该个人的偏好满

69、足公理1-6，我们还能保证所获得的效用函数代表了她的偏好。331Allais 悖论n反例：Allais 悖论（1953） 三种可能的结果： 2,500,000元、500,000元、 0元332Allais 悖论在实际选择中，有相当比例的决策者在情形1中选择了L1，在情形II中选择L4。333Allais 悖论两边都加上（0.89）u0-(0.89) u5 得到v这一选择情形不满足期望效用定理（不满足替代性公理）。与实际选择相矛盾3342.4.2 期望效用定理0.60.4v例：335例：续n进一步比较：n我们有：n于是336例：续n分别计算上面两个赌局的期望值：n而上面我们得出：n由此可以推断，

70、该赌局参与者的偏好体现出比较明显的风险回避特征。337VNM效用函数的不变性338定理2.8 VNM效用函数的唯一性n假设VNM效用函数 表示偏好 ，那么， 表示相同的偏好关系， 当且仅当VNM效用函数在正仿射变换意义下是唯一的使得：339证明n充分性u如果v(g)是u(g)的仿射变换，那么v(g)也是表示偏好关系的VNM效用函数。n必要性u如果v(g)和u(g)都是表示某一偏好关系的VNM效用函数，那么v(g)一定是u(g)的仿射变换。340充分性n 是表示偏好关系的VNM效用函数 ，设 ，于是有n根据假设条件，有n因此n于是，n所以，n 也是表示偏好关系的VNM效用函数。341必要性给定由

71、连续性和单调性得到u()具有期望效用性质v()具有期望效用性质342必要性343必要性3442.4.3 风险回避n以概率 提供 的简单赌局g的期望值由下列关系给出:n假设行为者面临同样期望的两种选择,一种是接受赌局g,另一种是确定性地接受g的期望值,又设u()是行为者的VNM效用函数,于是我们可以给出如下形式的选择取值:n前式表示的是赌局的VNM效用,后式表示的是赌局的期望值的VNM效用.n当行为者更偏爱确定性地获得期望收益时,我们说她是风险回避的;当她认为上面两种选择无差异时她是风险中性的;当她更偏好于以赌局而非确定性方式获得同样期望值时,她是风险偏好的.3452.4.3 风险回避n风险态度

72、u风险回避：u风险中性：u风险偏爱：346风险态度风险态度基本由u()函数特征决定了。347风险态度1-2410ABC.6.5.4348风险态度严格凹函数线性函数严格凸函数349风险态度1-2410.7.5.23502.4.3 风险厌恶n风险态度的度量u风险厌恶：u()严格凹u风险中性： u()线性u风险偏爱： u()严格凸3512.4.3 风险厌恶1-2410.5u()w2.5AB3522.4.3 风险厌恶n确定性等价(CE，Certainty Equivalent) 财富值CE被确定性地提供,使得3532.4.3 风险厌恶n确定性定价与风险厌恶度量u如果对赌局g，那么就称A比B更厌恶风险3

73、552.4.3 风险厌恶n风险溢价(risk premium)u为了使对方接受风险，而至少需要支付风险补偿。3562.4.3 风险厌恶n工资合同u固定工资：u激励工资：ph：高业绩出现的概率pl：低业绩出现的概率357绝对风险规避系数 nArrow-Pratt:u风险厌恶：u风险中性：u 风险偏爱：358绝对风险规避系数n对正仿射变换的不变性359风险态度的比较n u1()比u2()更厌恶风险u u 两种度量系数是等价的。360证明 给定则存在转换函数h()，使得u(w)=h(v(w)。分别是消费者1和2的期望效用函数我们需要证明h是一个递增的凹函数递增函数361证明凹函数362证明令363风

74、险态度的比较n u1()比u2()更厌恶风险u u(w)是v(w)的凹转换,即存在一个递增凹函数 h() ，使得：3642.4.3 风险厌恶n财富水平与风险态度n例3652.4.3 风险厌恶n相对风险规避系数u相对风险规避系数不变效用366例1：资产组合问题的比较静态分析n资产市场u无风险资产a0：固定回报率r00u风险资产a1 ：回报率分布为(p1r1, piri)n最优资产组合问题u财富总量为：wu最优风险资产投资量：367例1：资产组合问题的比较静态分析n消费者u如果购买 单位风险资产，状态i下的财富水平为：相当于持有一张彩票：u最优化问题：368例1：资产组合问题的比较静态分析n问题：

75、u购买风险性资产的充要条件u购买量与财富水平的关系369例1.1：购买风险性资产的充要条件(严格风险厌恶)f.o.c:s.o.c:370购买风险性资产的充要条件n于是我们得出购买风险资产的充要条件:n又,n所以,n等价提法就是: 当且仅当资产具有非正的预期报酬时一个风险厌恶的投资者将完全放弃风险资产371例1.2：购买量与财富水平的关系372例1.2：购买量与财富水平的关系n命题：证明：定义373例1.2：购买量与财富水平的关系374购买量与财富水平的关系n当投资者行为表现为DARA(递减的绝对风险规避)时,随着财富的增加,更多财富将被投入到风险资产中.375例2：保险需求n风险性资产u财富水

76、平为wu风险：损失L的概率为n风险出售单价：每单位保单保费376例2：保险需求n消费者u如果购买x单位保单377例2：保险需求n消费者最优保险量？378例2：保险需求n保险公司n实际公平保费（actuarially fair premium）379例2：保险需求n消费者的最优保险量完全保险380Ch 4 局部均衡分析分析框架nI. 经济环境的描述nII. 个体最优决策uCh 1-2:消费者选择uCh 3:生产者选择nIII. 个体之间的互动u互动（博弈）的规则（机制）市场交易规则其他机制u不同规则下的互动结果nIV、.福利（绩效）评价nV. 机制设计382Ch 4.1 完全竞争n市场特征与交易

77、规则u自由进入没有进入与退出成本。u 众多的消费者u众多的生产者提供同质的产品单个参与者没有控制市场价格的能力u自愿交易u完全信息关于商品以及交易价格不存在不完全信息383How to model this game?n模型技巧：“价格接受者假设”u参与者总是有能力改变自己的报价u含义1：相对于“价格控制者”而言，没有市场价格的控制能力 不能将价格长期维持在边际成本之上。试图跳过价格发现过程来找到均衡384Ch 4.1 完全竞争n分析性假设（模型技巧）p0S(p)D(p)p1S(p)=D(p1)S(p1)D(p1)p2S(p1)=D(p2)S(p2)D(p2)试图跳过价格发现过程来找到均衡38

78、5完全竞争模型n参与者的行动集u消费者u生产者n支付函数（收益）u消费者u生产者n解（p*）：均衡市场出清条件386Ch 4.1 完全竞争n消费者i的最优反应函数：需求函数n市场需求u个人需求的加总市场需求的大小依赖于总收入以及财富的分配387模型处理n代表性消费者u假设所有消费者具有相同的偏好与财富水平388模型处理nGorman型偏好389Ch 4.1 完全竞争n短期市场供给u企业数量固定：u至少有一种投入品数量固定390Ch 4.1 完全竞争n短期市场均衡u消费者最优选择u生产者最优选择u市场出清391Ch 4.1 完全竞争n短期市场均衡392Ch 4.1 完全竞争n长期市场供给u所有要

79、素可以自由调整u自由进入与退出393Ch 4.1 完全竞争n长期市场均衡u消费者、生产者最优选择u市场出清：u没有激励进入或退出394Ch 4.1 完全竞争n例4.2u已知：反需求函数：利润函数：u求：长期均衡价格与企业数量395Ch 4.2 不完全竞争n完全垄断n寡头市场u古诺寡头竞争uBertrand 寡头竞争n垄断竞争396Ch 4.2 不完全竞争n垄断者利润最大化问题397Ch 4.2 不完全竞争n垄断单一定价与勒纳指数u成本加成原则u勒纳指数398Ch 4.2.1 寡头市场n市场特征u存在少数几家企业生产同质产品u没有进入威胁399Ch 4.2.1 寡头市场n企业选择的战略性影响u通

80、过影响他人的行为来改变自己的收益400Ch 4.2.1 寡头市场n合谋的激励与可执行性n不合作竞争的囚徒困境401Ch 4.2.1 寡头市场nJ 家企业的合谋解总利润最大化一阶条件：402Ch 4.2.1 寡头市场n合谋困难（合谋方案是否可执行）u背离激励u利润的分配如何让对方相信自己会合作？同时相信别人会合作，而且认为对方相信自己会合作403Ch 4.2.1寡头市场nJ 家企业的非合作解u纳什均衡没有单方偏离的激励4044.2.1 古诺寡头竞争nA. Cournot (1838) 存在J家企业的市场如何决定价格与产量？nJ家企业古诺产量竞争（博弈）u参与者：J家具有相同技术的企业u线形价格函

81、数: u战略：qju行动顺序：同时行动u利润函数(反应函数)：4054.2.1 古诺寡头n模型解：古诺-纳什均衡u反应函数的一阶条件u对称性4064.2.1 古诺寡头n古诺-纳什均衡结果004074.2.2 Bertrand 寡头nJ. Bertrand (1883)u价格竞争 VS. 产量竞争n伯特兰德价格竞争u参与者：2家具有相同技术的企业u市场需求: u战略：4084.2.2 Bertrand 寡头n利润函数n反应函数4094.2.2 Bertrand 寡头nBertrand 均衡u价格战制约因素长期关系产品差异产能约束4104.2.3 垄断竞争n市场特征u产品差异每个企业都具有一定的垄

82、断力u自由进入0利润4114.2.3 垄断竞争n企业 j 的需求函数n利润函数4124.2.3 垄断竞争n企业数量越多，需求越小4134.2.3 垄断竞争n短期均衡u企业数量固定 then4144.2.3 垄断竞争短期盈利4154.2.3 垄断竞争短期亏损4164.2.3 垄断竞争n长期均衡u 4174.2.3 垄断竞争长期亏损：退出市场418Ch 4.3 均衡与福利n评估与选择u公共政策u组织、制度的设计u419Ch 4.3 均衡与福利n价格与个体福利n效率与竞争性结果n效率与总剩余最大化4204.3.1 价格与个人福利n问题u产品 q 价格变化对消费者福利的影响n分析方法：局部分析u假设：

83、其他产品价格不变u复合商品：UMP(q,x)4214.3.1 价格与个人福利n例：污水处理工程u政策结果：水价下降：p0 p1u成本：TCu筹资方式：一次性税收 tu问题：居民愿意为这一工程最多支付多少？4224.3.1 价格与个人福利n补偿变差u进行收入补偿后，价格变化不影响消费者的福利（效用水平）。(对偶性)4234.3.1 价格与个人福利nShephard lemma4244.3.1 价格与个人福利n补偿变差(compensating variation)4254.3.1 价格与个人福利n消费者剩余CV的近似估计4264.3.1 价格与个人福利n补偿变差与消费者剩余CS4274.3.1

84、价格与个人福利n等价变差：EVu等价于价格变化的收入调整 价格变化所引起的福利改变价格不变，但收入调整所带来的福利变化。4284.3.1 价格与个人福利nShephard lemma4294.3.1 价格与个人福利n等价变差：EVEV4304.3.2 竞争性结果的效率性nPareto improvementu在不损害其他人的条件下改进部分人的福利。nPareto efficiencyu不存在帕雷托改进机会4314.3.2 竞争性结果的效率性n垄断的帕雷托无效性ABCD净福利的增加量：BC单一价格下垄断者的利润变化CA4324.3.2 竞争性结果的效率性n价格歧视的监管困境u是种帕雷托改进（相对

85、于单一垄断定价）u不同消费者之间形成“同质不同价”ABCD4334.3.3 效率与总剩余最大化n交易中的帕雷托改进u消费者：u生产者：n 帕雷托有效条件：n完全竞争市场均衡结果满足帕雷托有效条件。4344.3.3 效率与总剩余最大化n证明:u总剩余最大化4354.3.3 效率与总剩余最大化n总剩余436CHPT5 General EquilibriumLECTURE1 Equilibrium in Exchange概述nAdam Smith(1776): The invisible hand guides the market system to an equilibrium.nQuestio

86、n: is the general equilibrium (GE) composed of many self-interested individuals buying and selling on impersonal markets existent, unique, and robust?nWe will address the first, i.e. the existence of GE.nTo make the issue more understandable, we give the following notion: the existence of prices at

87、which demand and supply are brought into balance in the market for every good and service simultaneously.438理论流变n1874年，瓦尔拉斯（Walras）第一个提出，在各种经济产品和要素市场上，消费者和生产者的最大化行为，在某些条件下能够导致需求和供给之间的数量均衡,即GE存在。n直到1950年代，GE的存在性一直没有得到严格的证明，尽管它被越来越多的经济学家运用。n1954年阿罗/德布鲁（Arrow/Debreu）在如下假设条件下证出了GE的存在性：生产和消费集都是凸集，并且具有连续性

88、；经济个体对市场价格（免费）具有完全信息。这就是所谓的Arrow/Debreu Model，它被称为新古典经济学的奠基石。439理论的批判n阿罗本人（1971）确定了今天信息现象对新古典范式构成挑战的三大领域： u（1）非价格信号的经济相关性（即未被价格捕获的信息），u（2）信息的昂贵代价和经济价值，u（3）个人对信息的不同占有。n斯蒂格利茨： （新古典范式）是一个精巧地建立起来的结构，当中心构件之一（完善信息设想）被拿走后，这个结构就崩溃。n在这个意义上我们说，信息理论的兴起和发展将从根本上重构经济学。n牛顿主义经济学和达尔文主义经济学。440题外n信息理论的更广阔拓展空间（信息理论的更广阔

89、拓展空间（my focus now）在很大程度上，我们可以说，一切经济现象、乃至一切社会现象，都可以在信息的层面上加以讨论和理解。现有的信息经济学只是博弈论的一个狭窄分支（非合作、非对称信息博弈的应用），而较成体系的博弈理论也只涉及到非合作博弈的范畴；进而博弈论也远不能完全概括信息理论。信息理论拥有非常广阔的发展潜力和发掘空间。或许它能成为绾合一切社会科学理论的“统一场”式的理论基石。 信息经济学 非合作博弈理论信息理论 博弈论 441题外nA few pioneers directions1.超级模数博弈（超级模数博弈（Oligopoly Games；Topkins, 1978,1979;

90、Vives, 1985,1990; Milgrom & Roberts, 1990） 即使在没有共同理性的前提下，对局人通过次优策略的迭代舍弃（重复剔除）也可能实现一个最优可解的均衡 。与一般非合作博弈的区别：对策略空间和得益的限制产生了正反馈效应：当其他对局人选择更高水平的策略时，余下的对局人也会如此；于是将产生有序排列的策略集合以及单调的最佳反应（历时变迁函数）。2. 协调博弈（协调博弈（ Coordination Games；Cooper & John,1988）协调博弈是Oligopoly Games的一个特例，是具备以下两个特点的Oligopoly Games：能够对对局人的策略空间

91、中的要素进行排列；策略的互补性意味着向上倾斜的反应曲线。侧重于连续多次博弈 ，是超越了对局人冲突而更多强调信心和预期因素的博弈过程。研究的是如何协调博弈双方（以至多方）的策略，使之具有策略互补性（Strategic Complementarity），从而形成“正溢出”（Positive Spillovers）。442题外3. 合作进化（合作进化（ the evolution of cooperation; Axelrod, 1984 ）与制度）与制度博弈博弈(Institutional Games; Schotter,1981; Brunner, 1989; Binmore, 1994 )Ax

92、elrod(1984）通过计算机模拟和实验模拟的方式证实了“合作进化”（Evolution of Cooperation）的可能性，并探讨了使一个合作策略获得初始成活性、鲁棒性和稳定性的条件. 长期博弈序列中合作得以建立的根源及集体稳定的条件：“只有集体稳定的策略才能在长期的均衡中保持自己作为大家都采用的策略”；“在条件具备时，没有友谊和预见，合作也可以产生” 。 将此结论运用于社会结构考察，Axelrod论证了标记、信誉、管理和领地（当然还有其他）四个社会结构的“附加形式”对于维系一个社会机体的稳定的重要性。Brunner（1989）：制度博弈将“有望成为新个人主义社会科学的基础” 。Bin

93、more（1994）：）：博弈论向社会科学的扩展，既是制度博弈的集大成之作，也是拓展信息理论和制度理论的重要标志。443题外4. 信息空间理论（信息空间理论（Information Space Theory; Boisot, 1995）与博弈论者不同，Boisot(1995）抛弃了个体主义基本立场，转而寻求在整体层面上把握信息的不同特征及其对组织、制度和文化的影响，从而为信息范畴向宏观经济层面（包括组织演化和制度变迁）的引入提供了一个可行的思路：“经常性发生的信息流导致交易模式的产生，这在某种条件下结晶为组织和制度，其特点反映了它们在信息空间中的特定位置。在发生这种情况的地方，由此而形成的结构

94、反过来会对流动产生影响，并帮助规范流动” ，于是“它就提供了吉登斯（A. Giddens）所指的结构化过程的基础” .以信息编码（Codification） 、抽象（Abstraction）和扩散构成的空间结构-信息空间（Information Space）。根据不同交易方式在I空间的不同位置（对信息的编码和扩散采取不同侧重的投资）区分了四种交易类型：市场(Capitalism)、官僚制度（Bureaucratism）、宗法（Clans）与采邑（Fiefs）。Boisot至少在三个方面触及了新古典经济学的盲点：（1）通过编码、抽象和扩散的三维空间转化，将新古典经济学视而不见的信息因素内在化。

95、（2）通过信息特点和由此决定的交易特点的分析，对不同的组织结构的信息含义和发展根源进行了令人信服的论证 。（3）通过不同方式的对信息空间位置的投资和形成的正反馈的分析，揭示了认同不同价值的制度之间相互竞争的机理 。444题外n. My concerns就信息层面上看：个体信息映射-群体信息映射-信息真实世界（自然意义上的信息世界）混沌世界个体信息映射的差异成为决定个体交易全过程的因素，信息的相对不对称微观-微观个体信息映射与群体信息映射之间的关系，绝对边界内的（不同程度的）扭曲，信息的绝对不对称微观-宏观不同群体之间信息映射的差异宏观-宏观信息之外世界的存在性的意义：信息世界本身就是一个反熵增

96、的过程，根据热力学第二定律（孤立系统绝对熵增原理），一切反熵增过程必然有其内在驱动力。扩而言之，地球的出现本身就是一个反熵增现象，更不用说人类及人类的社会关系变迁了，所以上帝的第一推动力不可或缺。445物物交换均衡n假设：u不存在生产，但存在商品，假设每个消费者被自然赋予了一定数量的商品。u每个消费者对其消费束的偏好存在；u消费者可消费自身的商品禀赋，也可将之与他人进行自愿交换。u私有制，利己天性是隐含假设。在此前提下，商品禀赋的调整只能通过交换。n在此假设条件下经济体系最终趋向的状态被称为物物交换均衡（Barter equilibria）446两消费者交换均衡n消费者1的商品禀赋：n消费者2

97、的商品禀赋：n商品总量向量：n可以用ingenious Edgeworth Box来描绘这一经济景象。课本PP182，图5-1n盒中每个点表示总商品在消费者之间进行分配的所有方式，并且消费者间的每种分配方式都可由盒中的一个点来表示。ningenious Edgeworth Box为所有可行的分配方式提供了完全的描绘。447两消费者交换均衡n在每个消费者都具有凸性无差异曲线的假设下，我们可以画出图5-2（PP183）的契约曲线CC，这是所有两条无差异曲线相切切点的连接线，在这一曲线外的任何一点，两条无差异曲线均相交。n在此图形中我们可以找到物物交换均衡点的取值范围：u经过e点并处于消费者1的无差

98、异曲线左边的一切配置将被消费者1阻止；u经过e点并处于消费者2的无差异曲线右边的一切配置将被消费者2阻止；u于是只剩下图中描画的经过e点并由两消费者的无差异曲线共同圈成的菱形区域的边缘或内部。448两消费者交换均衡n在菱形边缘上的每一点代表着这样的再分配方式：它使其中一个消费者得到改善（满足度提高），而另一个的福利（满足度）则并不比在e点处更差。n在菱形内部的每一点代表这样的再分配方式：它使两个消费者的福利都得到严格提升。为此，消费者1必须放弃一些x1以换取消费者2的x2，消费者2则正相反。简言之，通过交换，将使两消费者福利得到严格提升。449两消费者交换均衡n显然菱形边缘或内部并非所有点均能

99、实现物物交换均衡。n如B点，此点处于契约曲线之外，在此点两无差异曲线相交，从而圈成另一完全不同的菱形区域。在B点，消费者只要再进行一次或几次交易，使得落点落在这一菱形区域严格内部的任一点，两人的福利（满足度）即可获得进一步的改善。n由此可见，不在契约曲线上的点将不可能成为物物交换均衡点。450两消费者交换均衡n再考察处于契约曲线上的点。n从e向cc曲线上任何一点的移动显然都将使两消费者的福利得到增进。n并且，一旦来到D点，将不复存在能使双方福利都得到增进的再分配方式存在。n因此，一旦D点被获得，将不会再有进一步的交易发生，此时我们获得一个物物交换均衡点D。n更普遍地，cc上的每一点均为物物交换

100、均衡点。n每个交换均衡点均实现了帕累托有效。451多消费者交换均衡n进一步考虑存在众多的消费者和商品，设：u消费者集：L=1,2,.,Iu商品集：u禀赋向量：u一个配置：u每一消费者有一偏好关系 ，并被赋予一个拥有n种商品的非负向量u集合 定义了一个交换经济452交换均衡条件1n物物交换均衡的特征要求该种配置方式用尽所有商品，因此均衡的第一个条件要求为 其中n物物交换均衡必须是帕累托有效配置。n定义5-1 帕累托有效配置：一个可行的配置 是帕累托有效配置，如果不存在其他可行配置 使得 ，其中对至少一个消费者偏好关系为严格偏好 。除非损害他人福利，否则无法使其中一人福利严格提高，这样的配置就是帕

101、累托有效配置。n在两交易者的情况下，契约曲线即为帕累托有效配置线。453交换均衡条件2n在两消费者的情况下，只有那些处于契约曲线上，并且位于由经过初始禀赋点的两条无差异曲线共同圈成的菱形区域内的配置才是均衡配置；其他配置将使其中至少一个消费者的福利比简单地消费掉其禀赋更低，因此这类配置将受到该消费者的抵制。n在两个以上消费者的情况下，根据同样逻辑，均衡配置应不会使任何消费者福利比简单消费其禀赋更低。n由此我们得出交换均衡的第二个条件。454交换均衡条件2n定义5-2 抵制联盟：u设 表示一个消费者联盟，当存在配置y时，我们称S抵制 其中y满足：1、2、 for all , with at le

102、ast one preference strict.uS中的消费者一定会在其内部进行再分配，以使得在没有人因该分配方案下受损失的前提下至少有一个人获得了改善，原配置方案（或禀赋）于是被抵制。n交换均衡要求没有受到联盟抵制。455交换经济之核n通过定义5-1和5-2获得的在自愿交易过程中产生的均衡配置集被称为交换经济之核。n定义5-3 交换经济之核：u禀赋为e的交换经济之核C(e)为未被抵制的可行配置集.nQuestion: uDoes every exchange economy possesses at least one allocation in the core? uTo reach

103、a point of the core, do we need some conditions?456Chapter 5 General EquilibriumLecture 2 Equilibrium in Competitive Market Systems数学基础n布劳威不动点定理:u设 是一个非空的紧且凸的集合;设 是一个连续映射.那么,在S中至少存在一个f的固定点.换言之,至少存在一个x*,使得x*=f(x*)n定理A1-8:有界数列有一个收敛的子数列.458Perfect competitive marketnAll transactions between individuals

104、 are guided by impersonal markets.nEach individual is insignificant on every market, with no power to affect prevailing prices.nEquilibrium on each market;nEquilibrium in the market system: equilibrium achieved in every single market simultaneously.459Decentralizationn分散化特质是竞争性市场系统的主要特征：u消费者不用考虑其他消费

105、者的消费需求，并充分相信生产者能充分供给自己所需要的消费品。u生产者不用考虑其他生产者的生产规模，并充分相信消费者能充分消费自己所生产出的商品。n市场个体唯一需要了解的信息就是市场现行价格（对比上一节，一个消费者必须充分了解其他消费者的偏好和禀赋集）n简言之，该模型要求在一个价格向量下所有市场同时出清。于是该价格向量是否存在就是均衡是否存在的关键。460均衡价格向量存在的困难：市场的相互依存性n单个市场的局部均衡如一一实现，加总起来是否就是一般均衡呢？n考虑到一般均衡还要求同时性，局部均衡简单加总就不会是一般均衡。n看一个简单的三商品市场体系的例子：u商品A，B，C，其中A市场达到均衡，B市场

106、存在超额需求，C市场存在超额供给；u一般看来价格机制将自发调节，使B商品价格提高，C商品价格下跌，从而使这两个市场各自达到均衡的市场出清价格。u但如A市场和B市场存在相关性，譬如它们是可替代商品，则B价格的上升将增加A商品需求，从而使A市场出现超额需求，原来的A均衡被打破。u总括起来：促使B、C市场达到均衡的价格向量调整将破坏原先均衡的A市场，从而引起新的调整。n市场相互依存性的存在是一般均衡存在性的一大难题。4615.2.1 均衡的存在性462假设5-1 消费者效用n在消费集 上，每个消费者的偏好可由满足以下条件的效用函数 表示：u连续u严格递增u严格拟凹n消费者效用最大化问题（5-2）：4

107、63定理5-1 需求的基本性质n如果 满足假设5-1，则对于任意p0，消费者的问题(5-2)将有唯一的解 它在 上关于p是连续的。n证明:略464Market systemnthe system of markets can be described as: uthe market demand is the sum of every individual consumers demand. umarket supply is the sum of every consumers supply. uwith n goods, there will be n markets and they a

108、re interdependent.nThe earliest analysis was traced to Walras (1874).465超额需求n为使表述更显方便,每个分离市场由单一的超额需求函数描述;市场系统于是可描述为一个单一的n维超额需求向量,其中的一个分量就表示1个市场的超额需求函数.n定义5-4 超额需求u第K种商品的加总超额需求函数是实值函数:u加总超额需求函数是向量值函数:u当 对商品k的总需求超过其总禀赋,存在对商品k的超额需求;反之,当 存在对商品k的超额供给.466定理5-2 加总超额需求的性质n如果对于每个消费者i, 满足假设5-1, 那么,对于任意p0有:u连续

109、性: z(.)关于p是连续的;u齐次性:对于任意 ,u瓦尔拉法则:n证明:u将式(5-2)的约束条件取等号有u加总个人总超额需求有u求和先后可置换,于是u根据定义5-4知括号内为商品k的总超额需求,因此有467瓦尔拉法则的含义n瓦尔拉法则:n两商品经济:根据瓦尔拉法则,必须有 u于是,如果市场1存在超额需求, ,就必须有市场2存在超额供给, u如果市场1均衡, ,就必须有市场2也均衡, n一般化情况:u市场体系中任何(子市场)超额需求将正好同既定价格下体系内其他(子市场)上等值的超额供给相匹配.u如果在既定价格集下(n-1)个市场处于均衡,那么第n个市场也必然均衡.468瓦尔拉均衡n在现行价格

110、下当商品k的需求量正好等于其供给量，即 时，在单个市场k上存在局部均衡。n而如在一定价格下有每个市场上需求等于供给，即 ，则市场体系处于一般均衡。使每个市场需求等于供给的价格称为瓦尔拉价格。n定义5-5 如果 ，称向量 为瓦尔拉均衡。469瓦尔拉均衡存在性的讨论n瓦尔拉将问题简化为是否市场需求与供给方程组拥有一个解。按瓦尔拉的论断，方程数量与未知数的数量相等时方程组肯定有解。这显然不一定成立。n瓦尔德（Wald,1936）首次在数学上证明了瓦尔拉均衡的存在。n阿罗和德布鲁首次提供了一般意义上的存在性证明。n将市场结清价格的探求视为对一个不动点的寻找；利用不动点定理，以获得结论。470瓦尔拉均衡

111、存在性的证明n定理5-3 总超额需求与瓦尔拉均衡：n如z(p)满足以下三个条件：uZ(.)在实数域 内连续;u对任意p0,pz(p)=0u如果 是 上的价格向量序列,并收敛于 ,并且对某些商品k, ;那么对满足 的某种商品k,其超额市场需求的相关序列 没有上界.n那么,存在一个价格向量p*0,使得 .471瓦尔拉均衡存在性的证明n证明:u设对于每个商品k,任意p0, ;并设 ,于是 的上界为1.对于任意p0有 (P.1) u固定 ,并且设u对p*的寻找于是在 内进行.472瓦尔拉均衡存在性的证明n集合 是紧的、凸的与非空的，对于每种商品k与每个 ，定义 如下n设n对每个m， ，因此有n又 ，n

112、因此473瓦尔拉均衡存在性的证明n根据条件1， 的分子分母在 上连续，因此 也在 上连续。又分母被限定不为0，因此它总会取到至少为1的值。n因此，f是一个非空的、紧的和凸的集合 映射进自身的连续函数。n根据布劳威不动点定理得出以下结论：存在 ，使得 ，或等价于对于每个n重新整理 的表达，有 n至此我们证明了，对于任意 ，总存在一个属于 的价格向量满足（P2）474瓦尔拉均衡存在性的证明n进一步，允许 考察满足条件P2的价格向量序列u由于价格序列是有界的， 意味着在每个市场上的价格总是处于0与1之间，因此，根据定理A1-8, 的一些子序列是收敛的.u为简化起见设人们聪明到足以在一开始就选定这一收

113、敛子序列,从而使 本身收敛于p*.u根据 的定义, ,又通过反证法(略)得u即当 ,又 承袭了 在 上的连续性,我们可将P2式在 时取极限:475瓦尔拉均衡存在性的证明n对所有k=1,2,n,两边同乘以 并加总得n根据P1, ,方程左边是非正的,因此右边也必须是非正的.因此有以下结论:对于任何k,nHencen综合上述,我们有n又根据条件2,n因此, 476因此nAs long as on aggregate excess demand is continuous, satisfies Walras law, and is unbounded above as some, but not al

114、l, prices approach zero, a Walrasian equilibrium (with the price of every good strictly positive) is guaranteed to exist.477定理5-4 效用与加总超额需求n如果每个消费者的效用函数满足假设5-1,并且如果每种商品的总禀赋是严格正,那么,加总超额需求满足定理5-3中的条件1-3.n证明:条件1,2由定理5-2推出,因此只须证明条件3.n证明:略478定理5-5 瓦尔拉均衡的存在性n将定理5-3和定理5-4结合即得到定理5-5:n如果每个消费者的效用函数满足假设5-1,并且

115、,那么,至少存在一个价格向量p*0,使得z(p*)=0n值得注意的是,由于超额需求向量0次齐次性的存在,一旦我们找到一个瓦尔拉均衡价格向量,那么将这个向量中的每个元素同乘以一个正值获得的新的价格向量同样能够出清市场,换言之,它也是一个瓦尔拉均衡.479例题5-1n设每种商品只有一个单位,每个消费者只拥有一种商品.消费者1和2有相同的CES效用函数,求解其瓦尔拉均衡.u消费者i对商品j的需求为u只有相对价格是重要的,因此可设u于是问题转化为寻求均衡价格 ,即求解u最终求得4805.2.2 效率481埃奇沃思盒内的瓦尔拉均衡nPP198，图5-4u其他条件同上一节；u相对价格 u此时两消费者的预算

116、线为同一条通过e点的直线BB。u此时消费者1拥有的收入为其禀赋的市场价值 ,他更偏好消费束 ；同理，消费者2此时的收入为 ,需求束是 u于是商品1市场的均衡要求 ,这就等价于 ,即消费者2对商品1的净需求等于消费者1对商品1的净供给.同理有商品2市场的均衡条件.482盒中瓦尔拉均衡的几个特点n1.消费者的供给和需求只依存于商品的相对价格,将两种商品价格同时扩大或缩小相等的倍数,并不改变消费者的预算集,也不改变消费者效用最大化的市场行为(齐次性)n2.上图还使我们加深对此事实的理解:彼此之间相互独立,分散且追求效用最大化的消费者其决策行为的同时兼容性即等同于市场均衡.n3.竞争性市场均衡还具有分

117、配方面的意义:由某个初始分配点出发,追求自身利益最大化的消费者将在一个非人格化市场里实现再分配,以使最终分配方案既在由各自无差异曲线圈成的菱形内,又在契约曲线上,或简单地说,找到由禀赋e决定的经济之核中的一个配置.由此我们看到,消费者不须了解其他消费者的偏好和禀赋,由瓦尔拉均衡价格导致的配置方案将总处于核内.483定义5-6 瓦尔拉均衡配置(WEAs)n对初始禀赋为e的经济而言,如果p*是一个瓦尔拉均衡,且有u其中分量i给出价格为p*的条件下消费者i需求并获得的n维商品向量. n那么,x(p*)被称为一个瓦尔拉均衡配置,WEA.484WEA的基本特征n1. 任何WEA都是可行的配置方式.n2.

118、 在一个WEA中,每个消费者所获得的消费束是其在瓦尔拉均衡价格上消费者预算集中最受偏爱的消费束.由此看来,其他可行且受部分消费者偏好的消费束对这部分消费者而言将过于昂贵而无法获得.换言之,WEA是建立在相对价格的约束条件之下的.n于是我们可以获得以下两条引理.485引理5-1,5-2n引理5-1 设p*是初始禀赋为e的一些经济的一个瓦尔拉均衡,x(p*)是相关的WEA,则n引理5-2 设 在 上严格递增,消费者i的需求在p0时界定良好并等于 ,并且 u(1)如果 ,那么 u(2)如果 ,那么n证明:略486定义5-7 WEAs集n没有证据表明当WEA存在时它是唯一的,即便在两人经济的埃齐沃思盒

119、子里同样可以找到多个WEAs.于是我们定义瓦尔拉均衡配置集.n对于初始禀赋为e的任何经济,设W(e)表示瓦尔拉均衡配置集.487定理5-6 核与竞争性经济的均衡n考虑一个交换经济 .如果每个消费者的效用函数 在 上严格递增,则每种瓦尔拉均衡的配置均处于核内.即n证明:反证法n结合定理5-5和5-6,我们可获得核的非空性,它至少包含了一个WEA.488定理5-7 第一福利定理n在定理5-6的条件下,每个瓦尔拉配置是帕累托有效的.u因为一切WEAs都在核内,而一切核配置都是帕累托有效的.u该定理验证了亚当斯密的观点:一个经济体系中个人自利的行为将会被非人格化的市场所协调,从而在一个分散化的市场机制

120、中实现最优配置.u无论最初配置如何,在市场均衡中实现的这个配置将总是帕累托有效的.u值得注意的是,帕累托有效的配置并不必然意味着WEAs是社会最优的,如果我们将平等和公正等因素纳入考虑范围之内的话.489社会最优与帕累托有效nPP203,图5-6u在图中,设社会最优的配置为 ,初始禀赋为eu由定理5-6得知,均衡配置将是x,它与 显然截然不同.u因此,竞争性市场体系可以改进一个初始分配使之实现帕累托有效,但这决不意味着该体系能自发实现社会最优配置.n但如能通过一定的方式实现初始禀赋的调整,使之处于e*,则 将是拥有该禀赋且价格为p*的竞争性经济趋向的均衡配置点.490定理5-8 第二福利定理n

121、一般说来,在一定条件下任何帕累托有效配置都应由竞争性市场及一些初始禀赋共同推得.n定理:考虑这样一个交换经济 ,它拥有总的禀赋 ,且每个效用函数 满足假设5-1; 是该交换经济的一个帕累托有效配置. 设禀赋被重新配置,新的禀赋向量为 ,则 是新产生的交换经济 的竞争性均衡配置.491证明n因为 是帕累托有效的,因此它是可行的,n根据定理5-5,任何交换经济存在至少一个瓦尔拉均衡,因此新产生的交换经济 存在一个瓦尔拉均衡 ,我们只须证明n由于在瓦尔拉均衡中每个消费者的需求都在预算约束下的实现了效用最大化,对消费者I而言,他的禀赋是 ,需求是 ,应有 (P1)n 是一个均衡配置,因此它对经济 必然

122、是可行的,同理 对经济 是可行的,所以 对经济 同样是可行的,有n根据(P1), 不会使消费者比在帕累托有效配置 更受损,但也将不会代来帕累托改善(否则 就不是帕累托有效的),因此(P1)式只能取等号.492第二福利定理的含义n可将第二福利定理视为下面问题的肯定回答:是否一个分散的,由大量消费者自利决策来维持的体系能够实现社会资源的最优配置.n在既定的假设条件下,第二福利定理认为只要社会最优配置要求帕累托效率,则该配置是能够被实现并维持的.n我们在图5-6的讨论中开始第二福利定理的讨论,回到图5-6,第二福利定理表明,只要配置处于e*或任何经过 的价格线,我们总能获得社会最优配置 ,于是我们得

123、到定理的另一种表述方法.493推论1: 第二福利定理的另一种表述n在上述定理的假设条件下,如 是帕累托有效的,那么,在将初始禀赋进行再配置获得 ,使得 对所有 都成立后, 就是在某一瓦尔拉均衡 下的瓦尔拉均衡配置(WEA).494Chapter 5 General EquilibriumLecture 3 Equilibrium in Production概述n将竞争性市场体系获得的重要结论推广到既包括消费者也包括生产者的条件仍旧成立。n值得说明的是关于投入和产出的区分，这一区分对单个厂商是清楚的，但对所有厂商而言将无法分辨，因此我们将不再区分投入产出，而将所有商品视为一个类别，并且是数目有限

124、且固定为n。n在竞争性市场中，我们仍假设消费者的行为模式是在既定预算约束下追求效用最大化，厂商则是在既定成本约束下追求利润最大化，并且所有厂商都是价格接受者。4965.3.1 生产者497假设5-2n假设存在数目固定的J个厂商:n假设 是某厂商的生产计划,如商品k是该计划的投入,可将之写为 ,如是该计划的产出,则 n假设每个厂商拥有一个生产可行集 ,它将满足如下假设:u1.u2. u3. 是闭且有界的.u4. 是强凸的,对于一切不同的 与一切 存在 ,使得 498假设条件的说明n上述假设5-2中第一个保证厂商生产可行集非空.n第三个条件中的闭性隐含了连续性,意即可行生产计划的限制本身即为可行生

125、产计划.n第四个条件排除了生产中的不变与递增的规模报酬,并确保厂商利润最大化的生产计划是唯一的.n隐含假设还有“没有免费的生产”.499最大化问题n每个厂商面临固定价格 并选择一个生产计划以使利润最大化: (5-3)n由于目标函数是连续的,且约束集闭而有界,因此厂商的利润最大化点将存在,对一切 设u根据最大化定理, 在 上是连续的.u强凸性则保证了利润最大化的生产计划 是唯一的u再次根据最大化定理有 在 上是连续的u 事实上是厂商的供给与投入需求函数,在此我们简单地称之为厂商j的供给函数.500定理5-9 供给与利润的基本性质n如果 满足假设5-2,则对每种价格p0，厂商的最大化问题(5-3)

126、的解是唯一的,以 表示, 在 上是连续的,并且, 在 上是界定良好且连续的.n厂商的最大化利润 关于商品价格是一次齐次的，每种产出供给和投入需求函数 关于价格则是0次齐次的。501定理5-10 Y的性质n假设厂商之间不存在生产的外部性，则加总的生产可能性集将为n定理：如果每个 满足假设5-2，则总的生产可能性集Y也满足假设5-2。n证明：略。502定理5-11 总利润最大化n对于任何价格 ，我们有 当且仅当对于一些 ， ，我们可以写出 ，并且 该定理说明，当且仅当 被分解成单个厂商利润最大化的生产计划时， 最大化了总利润。5035.3.2 消费者504对前一节的几点修正n消费者是一种商品的供给

127、者或需求者取决于其需求量小于或大于其对该商品的禀赋。n消费者同时也是厂商利润的分配者，在私有经济条件下，消费者i拥有的厂商j的一部分利润，所有消费者加总的利润总份额为1：n在这种情况下消费者的收入有两个来源：出售自身禀赋获得、企业分红所得。于是消费者的预算约束为：n其最大化问题就是下式(5-5)：505定理5-12 利润享有条件下的需求的基本性质n如果每个 满足假设5-2，并且 满足假设5-1，那么对于任意p0,消费者问题(5-5)有且仅有一个解,以 表示.n我们还能进一步得出 在 关于p连续,并且m(p)在 上连续.n以上两小节我们完成了对包含了消费者和生产者的经济的描述,可将该经济简单地表

128、示为以下集合:5065.3.3 均衡507定义总超额需求n在同时考虑生产和消费的条件下我们同样可以定义加总超额需求向量值函数。n对商品k的总超额需求是：n加总超额需求向量为：508定理5-13 存在生产时的瓦尔拉均衡的存在性n一个瓦尔拉均衡价格向量同时结清所有市场，也就是使z(p*)=0n定理: 考虑经济 .如果每个 满足假设5-1,每个 满足假设5-2,并且对于一些总生产向量 存在 ,那么至少存在一个价格向量p*0,使得z(p*)=0.n与定理5-5的区别:当不存在生产时,我们要求总的禀赋向量严格为正,以确保均衡的存在性; 当存在生产时,该条件弱化为对于这个经济,要求存在一个可行的生产向量,

129、其与禀赋的净结果是每种物品有严格为正的量.n证明:略509例:在鲁滨逊经济中求解瓦尔拉均衡n假设:鲁滨逊经济u消费者鲁滨逊出售劳动时间h给生产者鲁滨逊,生产者鲁滨逊将其产品椰果y出售给消费者鲁滨逊;从生产和销售中获得的所有利润都分配给消费者鲁滨逊.u此时厂商鲁滨逊的生产可能集为u其中b0,u集合Y以图5-7(a)(pp213)表示,易证它满足假设5-2.u鲁滨逊的效用函数为u设鲁滨逊的初始禀赋为e=(T,0)u设p0代表椰果价格,w0代表鲁滨逊的时间价格(工资)u则鲁滨逊的初始预算集由图5-7(b)表示,获得利润 后的预算集由图5-7(c)表示.510续1n寻找这个经济的瓦尔拉均衡,思路如下:

130、先找出厂商供给函数,再找出消费者需求函数,二者结合获得市场出清价格.n对厂商鲁滨逊而言,其利润函数为 ,利润最大化要求 ,又 ,于是我们可以得出厂商的供给函数 ,厂商利润则为n对消费者鲁滨逊而言,其收入由禀赋和利润分配共同构成,因此其预算约束是 ,他选择(h,y)最大化其效用,根据科布-道格拉斯效用函数的消费者需求函数有:511续2n将上面三式放在一起寻找两个市场的出清价格向量(w,p).n因为总超额需求是0次齐次的,并且根据定理5-13,存在严格为正的瓦尔拉均衡,可设均衡价格p*=1,此时只须寻找w*使得h市场结清,则根据瓦尔拉法则,y市场也必同时结清.n使 ,又p*=1,有n求得512续3

131、n图5-8(pp215)n(a)表明厂商利润最大化的解,由 代表的是等利润线,线上每个(h,y)其利润不变都等于n(b)表明给定预算约束 时消费者效用最大化解,预算约束斜率-w/p与厂商等利润线斜率相同.n(c)叠加了(a)(b),点A表示瓦尔拉均衡.n观察容易发现,存在生产的这个瓦尔拉均衡是帕累托有效的.513进一步的讨论n有界性假定.u在我们假设厂商实现利润最大化追求过程中事实上隐含了总投入约束,并且技术成为决定总投入约束的重要因素.u在不存在有界性假定的条件下均衡一样可以证明存在,方法是先人为设定边界,再将边界无限扩大.在适当条件下我们将能够证明在无边界生产集的经济中照样可以获得至少一个

132、瓦尔拉均衡.n厂商生产可行集强凸性与偏好的严格凸性假设u在偏好与生产可行集均为凸性时存在性仍可被证明.5145.3.4 福利515定义5-8 生产经济中的WEAsn设经济 的一个瓦尔拉均衡是p*0,则(x(p*),y(p*)是一个瓦尔拉均衡配置(WEA),其中x(p*)代表向量 ,其中第i个分量是消费者i在价格为p*,收入为 时效用最大化的消费束,y(p*)是价格为p*时厂商利润最大化的生产向量 .n由于p*是瓦尔拉均衡,所以有516定义5-9 存在生产时的帕累托有效配置n如果没有其他可行配置 ,使得对于所有 ,并且该式至少有一个严格不等式成立,则配置(x,y)是帕累托有效的.517定理5-1

133、4 生产经济中的第一福利定理n如果每个 在 上是严格递增的,则每个瓦尔拉均衡配置将是帕累托有效的.518定理5-15 生产经济下的第二福利定理n假设:u每个 满足假设5-1,u每个 满足假设5-2,u对某一总生产向量有u配置 是帕累托有效的n那么存在这样的收入转移向量T,满足 ,及一个价格向量 ,使得u 最大化 ,s.t.u 最大化519Chapter 5 General EquilibriumLecture4 Core and Equilibria计划与市场n根据定理5-6,WEA是核配置.而另一方面,在edgeworth box里可以构造出非WEA的核配置.nEdgeworth(1881)

134、提出当经济足够”大”,以至于瓦尔拉假设的消费者是价格接受者能够成立时,核配置和WEA的区别将消失.Debreu & Scarf(1963)扩展了Edgeworth的框架并证明其成立.简单地说,他们证明了当经济变得很”大”,其”核”将萎缩至只包含WEA.n市场经济的意义由是得到彰显: 在一个”大”经济里,如果计划的目标是确认并进行商品配置以便最终能实现核配置,而核配置集内又是除可通过市场竞争实现的配置外再无其他,则政府或任何计划组织又何必费劲去设定计划?n个体自利行为可能成为计划经济中信息隐瞒的源头,却是市场经济中实现核配置的动力.521计划与市场(续)n当然,并非经济中的一切都是以效率来衡量的

135、.尽管可以说市场在实现效率方面比计划更优,但没有任何证据表明它在实现公平方面同样更优(在任意初始禀赋下都能实现核配置,但显然并非每个核配置都满足公正性要求).因此,计划仍有可能成为调整改善初始配置的一种手段.n本节要讨论的问题如下:u在什么样的条件下一个经济才是”大”的,或是比其他经济”更大”的;u“大经济”的维度与”小经济”是否有别;u如果有别，则称核”萎缩”是否适当.522复制经济n消费者之间因偏好和禀赋差异而区别.n复制经济是这样的经济: 它有有限的消费者”类型”, 每类型中有同等数量的消费者,相同类型内的所有消费者都是相同的(他们拥有相同的偏好和相同的禀赋).nR重复制经济: 在基本交

136、换经济中有I类消费者,以指标集L=1,2,I表示. 定义一个r重经济 ,表示在该经济中每类消费者数目为I,总消费者则为rI. 对任意 所有的r个消费者在 上有相同的偏好 ,及相同的禀赋 .进一步假设对任意 其偏好 可以一个满足假设5-1的效用函数代表. n于是我们可以比较两个经济哪个更”大”: 较大的经济每个类别里有较多的消费者. 523 r重复制经济的核n假设条件满足定理5-5,因此存在WEA,它在核内,因此 的核是非空的.n以i=1,2,I表示类型,q=1,2,r表示每类中的消费者,则 的一种配置方式可表示为n该配置是可行的,如下式成立:n定理5-16 核内的平等待遇u如果x是 核内的一个

137、配置,则第i类中的每个消费者应据x有相同的消费束,即对每个i=1,I, 都有 对每个q成立,其中524定理5-16的证明n设I=2,则 (有两类消费者,每类中各有两个消费者)的消费总量为4.n 是 的一个核内配置.n由于x在核内,则它必是可行的,且同类的两消费者有相同的禀赋,因此有n设x未将相同的商品束分配给同类里的两个消费者,如11和12, 则 和 将是不同的,而他们有相同的偏好n因为偏好 是完备的,它将能评价两商品束的优劣.n于是偏好要么是严格的,要么被评为无差异,如图5-9,PP224. 无论是哪种情况,我们都将证明因 和 不同,则x不可能是 的核,为此可证x受到抵制.525定理5-16

138、的证明n考虑类型2的两个消费者,其据x确定的商品束为 和 ,两人具有相同的偏好 ,设n于是,类型1的消费2劣于消费者1,类型2的消费者2劣于消费者1.这两位居劣的消费者如能结成同盟,则将抵制配置x.n定义 为类型1两消费者的平均商品束, 为类型2中两消费者的平均商品束(图5-9)n假设给消费者12分配 是可能的,这与 相比较孰优孰劣?526定理5-16的证明n根据(P2),消费者12是类型1中居劣的消费者, 与 不同,因此对消费者12而言,有n同理对消费者22有 ,这里偏好不必是严格的,也可以有n于是,商品束 将在至少不损害消费者22的情况下令消费者12严格改善.如该消费束可由消费者12和22

139、一起(在不需包括11和21的条件下)获得,则他们显然将组成抵制联盟抵制配置x,则证明完成.n这说明 是可行的,于是消费者12和22将组成抵制联盟,而这与x处于核内的事实相矛盾.527核的”萎缩”n首先,当我们复制基本经济时,我们增加了经济中消费者的数目,因此增加了一个配置中商品束的数目.当我们集中考察核配置时,定理5-16允许我们以与基本经济 相似的方式来完全性地描述经济 中的任何核配置.n设x是 的一个核配置,则根据平等待遇定理有n于是, 中的核配置就是 配置 的r 倍复制.528引理5.3n定义n引理5.3 集序列 是递减的,即n证明:在 中任何抵制x的r-1重复制的抵制联盟必然在 中抵制

140、x的r重复制.n于是,通过考察基本经济中的配置集(该配置集的r重复制在基本经济r重复制经济 的核内),引理5-3表明该配置集不会因r的增加而增大.529Edgeworth盒中的两类消费者n根据平等待遇准则,两类消费者都取一代表放于edgeworth盒中,则 的核是这两个消费者各自经过其禀赋点e的无差异曲线勾成的菱形中的契约线(图5-10,PP226)n 的核中包含了一些WEA,一些非WEA, 不是WEA(因为通过 和e的价格线并不与消费者的无差异曲线相切于 ).n注意到 在消费者11的通过其禀赋的无差异曲线上,如果我们将该经济复制1倍,该配置 的1倍复制是否能在复制后较大的4消费者经济的核中呢

141、?530Edgeworth盒中的两类消费者n回答是否定的.n首先注意到点e和 的连接线上的任何点都比e和 更受类型1两位消费者的偏好(因为其偏好是严格凸的).特别地,中点 也具有这一特点.n进一步考察三消费者联盟S=11,12,21 (21或22任取一个),令两类型1消费者有对应于 的商品束,而单独的类型2消费者有对应 的商品束. 两类型1消费者都严格偏好这一商品束于在 的商品束,而类型2消费者则前后无差异,即531Edgeworth盒中的两类消费者n又对于S商品束 是可行的:n而 在 的核内,因此有n于是有n即对于两类型1消费者和一类型2消费者组成的联盟S而言,配置 是可行的.于是我们发现了

142、一个抵制 的联盟及该联盟可实现的一个更优配置.因此,在四人经济中配置 将被排斥在 的核外.532引理5.4n继续复制该经济,使更多消费者形成更多联盟,则显然核将进一步”萎缩”.n进一步,我们将显示随着r的上升, 的核配置集将和其WEA集重合.n根据平等待遇定理,我们可以描述 的核配置为基本经济配置的r重复制, 采取同样的方法处理 的WEA.n引理5.4 x是 的一个WEA,当且仅当它满足 并且配置 是 的WEA.n证明: 略533定理5-17n有引理5-3和5-4,现在我们可以通过比较 (其元素是 的配置)和 的WEA集来比较 的核配置集和其WEA集n因为 ,核是萎缩的.进而 n复制经济并考察

143、 (它只受到一个限制,即只有对每个r=1,2,满足 的配置被保留).于是,称核萎缩至竞争性均衡集就等价于如下提法:如对任意r, ,则x是 的WEA.n定理5-17(Edgeworth-Debreu-Scarf)核的限制定理: 对每个r=1,2,如果 ,那么x是 的一个WEA.534重回edgeworth boxn图5-11,设非WEA的 处于 中,则 应在菱形及契约线上,并且在点 上两无差异曲线相切.n考察e和 的连接线,该线是两消费者的预算线,也是两种商品的一条价格线.n在该点上 ,因此要么 要么 ,否则该点就是WEA了. 图5-11描绘了前一种情况.n如图所示,e和 的连线将交类型1消费者

144、的无差异曲线于点A,而根据严格凸性,该点和 的部分完全处于无差异曲线的上方.因此,在A到 的部分存在一些点如 ,能使类型1消费者严格偏好于 .n 处于e和 之间,可将之写为二者的一个凸组合,写为535重回edgeworth boxn据图易知n根据我们的假设 ,则 的r重复制处于 的核内,而如我们能找到一个抵制联盟和使其更优的配置,则假设不成立.n重复第12-13页的思路,我们可以找到这样的抵制联盟和更优配置.因此初始假设 为非WEA的核配置不成立.即定理5-17得证.536一般化论证n在两个附加条件下可以进行一般化的论证:u如 则x0u对每个 ,代表偏好关系 的效用函数 在 上可微,并有一个严

145、格为正的一阶梯度.n证明:略537总结1n本节证明了,对一个足够大的经济,只有WEA在核内.这一结论给出了一个大经济体的若干独特的特点,并成为亚当斯密对市场效率直觉的终极证明.n然而这一结论仍遭受若干质疑:u它由相当严格的条件(每种类型的消费者数目相同的复制经济)下推得;u我们也不能忽视这一事实:核概念本身是在饱受争议的公平性质下的一个非常弱的解概念.n从社会角度看,一个”好”的配置方式多少总应包含公平考量,即便对这一结论的最宽泛的解释也并不为彻底的自由放任提供论据. 而显然,任何”公平”的核配置或WEA是取决于最初配置的.538总结2n对此的第一方面质疑带来进一步的研究成果.uAumann(

146、1964),Hildenbrand(1974)放弃了复制经济的严格假设,转而考察更具弹性的”连续经济”;u其他研究者则证明了没有每类型消费者数目相同这一假设甚至能得出更强的结论.n第二方面的质疑则告诉我们:u第二福利定理证明,”好”的社会可籍市场体系实现.所需要做的全部只是找到我们需要的核在哪里,然后只须据此对禀赋或收入进行再配置,并运用市场去”支持”该配置.u问题在于,我们又是如何来决定我们要的核是什么?社会又是如何来决定哪个配置更受它的”偏好”的?539Chpt 6 社会选择与福利 6.1 问题的性质n经济问题背后隐含的伦理标尺.u命题: 垄断带来效率损失,因此对社会而言,垄断均衡劣于完全

147、竞争均衡.u命题: PX项目给厦门经济和社会的和谐发展带来威胁.n社会状态的一致性排序: 社会选择的基础n社会选择:u根据社会利益做出的选择, 这就是一般经济问题的伦理标准. u问题是: 社会利益如何衡量? 5416.2 社会选择与阿罗定理n设定:u相互排斥的社会状态非空集X, 其元素包括了纯世俗范畴,也包括了纯精神范畴.u社会由N个个体组成,u每个个体i拥有其在X上的偏好关系 ,即相关的严格偏好关系 和无差异关系 ,并且每个 是完备的且可传递的. 由于X定义的广泛性, 还能被用于反映人们的利他主义,善意,甚至宗教价值观念.u个人偏好在X上显然是可排序的.u社会偏好542社会偏好关系n社会偏好

148、关系:u一个社会偏好关系R在社会状态集X上是一个完备且可传递性的二元关系. 对于X中的x和y, 我们将xRy读作”从社会意义上x至少同y一样好”.又令P和I分别代表严格社会偏好和社会无差异关系.u社会偏好关系R取决于每个个体的排序,尽管这些排序彼此可能相互分歧.但要从个体偏好上提取单一且一致性的社会偏好,将出现孔多塞悖论.543孔多塞悖论nN=3, X=x, y, z, 个人对X的严格偏好如下:u甲 : x y z u乙 : y z xu丙 : z x yu甲乙都认为yPz, 因此社会认为yPz; u乙丙都认为zPx, 因此社会认为zPx;u根据传递性, 应该有社会认为yPx; 但甲丙都认为x

149、Py.这就产生了矛盾,传递性被破坏.u多数人投票规则的潜在问题.544社会福利函数n问题: u如何才能从一致性的个体观点中总结出也具有一致性的社会观点,并且该社会观点正好与社会公众原先进行的社会选择在价值观方面(伦理方面)保持一致.n社会福利函数f :545社会福利函数的阿罗条件n社会福利函数f应具备的最低性质(假设6-1):uU. 无约束的定义域. f的定义域应包括个人在X上偏好关系的一切可能组合.uWP. 弱帕累托原理. 对于X中的每对备择项组合x和y, 如果对于一切i有 ,则有xPy.uIIA. 不相关备择项的独立性. 令 , 并设x与y是X中任意两个备择项. 如果每个个人i在 下与在

150、下对x与y排序相同, 那么,在 与 条件下,x与y的社会排序相同.uD. 非独裁性. 不存在这样一个个体i, 使得对于X中的一切x与y, 意味着xPy, 而不管其他一切个体( )的偏好如何.546阿罗条件的说明n条件U说明不管个人偏好如何,f总能够生成一个社会偏好排序.它阐述了这样的原则:社会选择的形成机制不因任何社会成员的特定观点而改变. 该条件与R的传递性要求将多数原则排除在恰当的机制之外,因为当备选项达到三个以上,可能出现孔多塞悖论.n条件WP说明,如果社会中每个成员都偏好x甚于y,则社会也偏好x甚于y. 这是个弱帕累托要求,因为它并未特别要求当除一人之外所有人严格偏好x甚于y,那一个人

151、对x和y无差异时,社会严格偏好x.547阿罗条件的说明(cont.)n条件IIA说明对x和y的社会排序只取决于个体对x和y的排序, 个体偏好 和 在对x和y之外的其他备选项的排序中可以完全不同.u例: 早上社会偏好 ,下午社会偏好 ,个体偏好和社会偏好对除x和y之外的排序都发生了变化,但只要对x和y的偏好次序没变,则在x和y的二选一选择里,社会还是会选择x.n条件D说明不存在一个在任何社会选择中都无视他人存在而总是自行其是的人,因此该条件排除的仅仅是最极端和最绝对的独裁形式.548阿罗不可能定理n定理: 如果在X中至少存在三种社会状态,那么,没有一个社会福利函数f同时满足U,WP,IIA与D四

152、个条件.n证明:u思路: 证明条件U,WP和IIA隐含着一个独裁者的存在.549证明:n步骤1:考虑任何社会状态c. 设每个个体把状态c排在其排序的末端. 依据WP,社会排序也将c排在末端.550步骤2n设想将c排在个体1排序的顶端,而其他状态的排序保持不变. 其次,个体2做同样的改变,也将c移至其排序顶端. 其他个体依次各进行一次类似改变. 最终c将被排在每个个体的排序顶端. 依据WP,它此时也处于社会排序顶端.n在这个c的社会排序提前的过程中,必定存在c排序前移的”第一次”. 令个体n为导致这一结果的个体(即当个体n将c的排序移至自身排序顶端时,c的社会排序开始前移).n如图6-3所示,当

153、n将c移至其排序顶端时,不仅导致了c社会排序的前移,而且是移到了社会排序顶端.(反证法)551步骤2(cont.)n反证: 假设c社会排序前移,但并非移至顶端, 即对社会状态 ,有n由于c要么在个人排序的顶端,要么在底端,我们可改变每个个体i的偏好, 在不改变c位置的情况下实现 .这就产生了我们需要的矛盾: u一方面, 每个个体 意味着根据WP应有在社会排序里 严格优于 ,即 u而另一方面,在任何个体的排序里,c和 的相对排序及c和 的相对排序并未改变, IIA意味着在社会排序里c和 的相对排序及c和 的相对排序也不会改变. 即初始设定的 根据传递性有 ,这与 矛盾. 因此反设不成立,c一旦社

154、会排序前移,必然移到顶端,如图6-3.552图6-3553步骤3n考察任何两个不同的社会状态a和b,它们都与c不同. 在图6-3中,改变偏好如下: 改变个体n的排序,使得 , 并在保证c在其排序中地位不变的前提下任意改变其他个体a和b的排序 . n在这新的排序剖面中, 每个个体的a和c的排序与步骤2(将c提到个体n排序的顶端)之之前前是完全一样的.因此,根据IIA, a与c的社会排序必定同先前一样,即aPc.n同理,在新的偏好结构里, 对每个个体而言, c与b之间的排序同它在步骤2 (将c提到个体n排序的顶端)之后之后一样, 根据IIA, c与b的社会排序也必定与那时一样,即cPb.n综合上两

155、个结论aPc, cPb, 根据传递性有aPb. 554步骤3(cont.)n注意到不管其他个体对a和b如何排序,社会的排序总是和个体n的排序相同. 根据IIA, 且a和b是任意的, 我们可以得出结论: 对于所有不同于c的社会状态a和b, 就意味着 n也就是说,个体n是除c之外所有社会状态的独裁者.555步骤4n令a区别于c.重复上述步骤,只不过由a来替换c的角色,同样可得出结论某个个体是除a之外所有社会状态的独裁者.n而在图6-3中,个体n对c的排序(底端或顶端)决定了社会对c的排序(底端或顶端). 因此, 个体n就是除a之外所有社会状态的独裁者.n又因为a是区别于c的任意社会状态, 综合上述

156、所有结论, n是独裁者.556一个说明n尽管在此我们论证了阿罗定理是一个”不可能”定理,但从上述论证也可看出它也能成为一个”可能性”定理. 我们已表明任何满足U, WP和IIA三个条件的社会福利函数必定会获得一个社会偏好关系,而该社会偏好关系又正好与某个个体的个人偏好关系相同, 因此该社会福利函数成为”独裁社会福利函数”, 这也成为唯一的可能性.557一个图解性证明n保留阿罗对 的所有要求,并进行若干加强:u将连续性赋予个人偏好 与社会偏好 . 在有限的或闭凸集X中完全传递性和连续的二元关系可由连续的实值(效用)函数来表示. 因此可设每个可行的个人偏好关系 可由一个连续的效用函数 表示. 现在

157、我们要寻找一个社会福利函数f,使得对每个连续的个人效用函数向量它都能给出社会福利函数 ,它满足假设6-1的条件.u在这一假设下,条件U意味着连续效用函数的每种可能向量对假设6-1是可行.条件IIA意义与上相同,但值得注意的是它蕴涵着 与 的大小比较只取决于向量 与 ,而并不依赖于由向量 取的其他值; 条件WP与D意义同上.558f的附加条件nP1. 帕累托无差异原理. 如对所有 则u这意味着如依据假设6-1,由f归纳的社会效用函数V(.)在x上连续,并且f满足社会福利主义,即满足U,IIA和PI,则必定存在一个连续函数 ,使得对所有备择项x和y有: 也就是说,社会偏好关系可由W总结,该函数只是

158、简单地依照对应的备选项排列了个人效用函数向量的序.于是,我们可将注意力集中在这一简单得多的社会福利函数的等价函数上.559问题的转化n在上述两个条件的加强后,问题就转化为在 上寻找连续的实值函数 ,使得满足假设6-1的社会福利函数f可通过如下关系推导: 我们甚至可称 本身为一个社会福利函数.n鉴于W的形式,我们只将注意力集中在反映W如何处理由效用 所传递的效用信息的那些条件上. 如习题6.5, 如f满足假设6-1的条件WP与IIA,则W必定是严格递增的.560OS/NC假设n阿罗对 的假设要求它们可以依照从最好到最差的顺序将X中所有备选项排列,即 蕴涵的效用只在序数大小(OS,or ordin

159、al scale)上可以度量; 并且效用在人际之间不可比较(NC, or noncomparable). 因此如处理普通消费者偏好那样,如果 代表 ,则其任意严格递增的转换 也代表 ;又由于人际之间不可比较,因此对任何个体而言, 单调转换 可任意选择.n根据OS/NC假设有加总效用函数W正单调转换不变性: 如果根据社会福利函数W有x优于y, 即 则对任意N个函数 ,只要 (根据OS),而不管其是否相同(根据NC),都有561不可能定理的图解式证明n设N=2以便可以在平面上画图.于是,对连续的社会福利函数W的寻找就可简化为在二维平面 上寻找其水平集,或可称为社会无差异曲线.寻找策略与上相同.在此

160、我们将运用对效用的信息约束,连续性,排序性和单调性去寻找那个”独裁者”,从而论证同时满足假设6-1的社会福利函数的不存在.n考虑图6-4中的任意一点 ,并想象经过它的社会无差异曲线. 以 为界可将平面分为四个区域(不包括虚线).562证明(cont.)n考虑区域II中任意一点 , 显然如下条件必有一个成立,n不妨设 ,则在OS/NC效用下,当我们将任何正单调转换应用于个人效用时,相同排序会得以保持.设定两个严格递增函数n将这些函数应用于 的坐标点,因为 处于区域II,因此 . 由于 是严格递增的,当它作用于 时有n方程(6.6),(6.7)共同说明点 也处于区域II的某个位置.563证明(co

161、nt.)n在OS/NC条件下我们可以任意选择 的映射,因此可选择将 映射到区域II中的任一点.n又由于对当下备选项的社会排序应不随个体效用形式的转换而转换,因此区域II内的每一点对 的优劣排序应都相同.如我们假设的, ,则区域内每个点都应比 更受社会偏好.n从 可得n其中 明显不可能,否则区域II内所有点彼此无差异,这与W的严格递增假设矛盾.因此要么 要么 .n同理有要么 要么564证明(cont.)n假设 ,特别的, ,考虑一对严格严格递增的函数 和 .将这两个函数应用于 和 ,将之分别映射到点 和 .n由于W应与这些转换无关,因此这些像的排序顺序应与其原像相同,因此有n但这意味着就社会而言

162、 严格偏好于区域IV内的点 ,因此较之区域IV内的任一点, 被社会严格偏好. n综合以上结论: 如果 ,则 ,更具体地565证明(cont.)n如果相邻的两个区域相对 的排序相同,则这两区域之间的虚线相对 的排序也应相同.例如, 如区域I和II排序在 之前,根据WP虚线上在 上的任一点都应比区域II的严格内点排序更前,传递性则说明虚线上的点也比 排序更前.n相应的,如 成立,则因为区域I排序在 之前, 区域III排序在 之后, 社会排序应如图6-5(a)所描述的. 其中+(-)表示效用向量 且W(u)大于(小于)nW的连续性表明,通过 的无差异曲线是一条水平直线.n另一方面,如 成立,则通过

163、的无差异曲线是一条垂直线566证明(cont.)n由于 具有任意性,因此我们可以得出结论: 通过每个效用向量的无差异曲线或者是水平线,或者是垂直线. 然而,由于无差异曲线彼此不相交, 这就意味着要么所有无差异曲线是水平线，在此情形下个人2是独裁者；要么所有无差异曲线是垂直线，在此情形下个人1是独裁者。无论哪种情况，独裁者总是存在。5676.3 可度量性,可比较性与若干可能性n有多种方式可将社会福利分析从阿罗定理的困境中解救出来,其中之一就是放松社会偏好R的假设条件.u例如,用一个较弱的”非循环性”限制来代替R的传递性要求; 并以”在子集中找到一个最佳备选项”替代R的将所有备选项从最好到最坏一一

164、排序的要求. 这些放松开启了若干可满足阿罗的其他假设的选择机制.u同理,如保留传递性,而将条件U替换为个体偏好的”单峰”假设, Black(1948)展示了一旦总个体数为奇数,多数原则将满足阿罗的其他假设.n另一种思路u是不去理会阿罗对社会偏好关系的假设, 或其对可行选择剖面的要求,而将注意力集中在个体偏好可能传递的信息上. u在阿罗的框架里, 效用被设定为在个体间是唯一排序度量且完全的, 如放松这一设定, 效用可以某种方式衡量且个体间在一定程度上可比, 就可能产生某些有趣的社会福利形式, 特别是当各种对平等的要求被放置在社会关系上之后.568另一种思路n在效用的OS假设下,”个体i在社会状态

165、x下比在y下得到改善”可作为对个体福利的陈述. 而将之如阿罗框架下与NC假设相结合后,个体i和j之间的福利比较就成为不可能. n我们可以放松阿罗关于人际可比性的要求,假设我们拥有的所有关于个体的有意义的效用信息在个体间是完全可比(FC, or fully comparable)的. 在OS和FC下,人际福利比较如”个体i在社会状态x下比j在y下得到改善”就是可行的.n在OS/FC下, 不管是个体还是人际考量, 都不考虑效用水平,而将注意力集中在效用增量上. 也即, 设定个体效用在基数规模(CS)上可衡量, 以使效用增量有意义并且人际可比(IC). 在个体效用的CS假设下, 就可以做出如 “个体

166、i效用在从x到y的转变中得到的提高高于从w到z” 的陈述. 并且, 如果IC再与CS结合, 效用增进就是人际可比的, 陈述”个体i在从x到y的转变中获得的效用增进大于j”就是可行的.n还有其他很多种方法来重新规定可衡量性和人际可比性, 在此我们集中探讨OS/FC和CS/IC.569OS/FC和CS/ICn在福利主义原则下, OS/FC和CS/IC都给社会福利函数设置了若干不变的要求.u在阿罗OS/NC假设框架下, 社会状态的排序应对个体效用的正单调转换不变. 引入OS/FC后,人际比较就是可行的.uOS-等价于要求效用函数对任意正单调转换具有唯一性; 附加上FC, 意味着社会排序只在所有个体的

167、效用函数发生相同转换时才不变.u如设定效用满足CS/IC, 效用增量可比, 同样应限定使社会排序不变的转换种类: CS要求效用对正映射转换不变, 附加上IC, 社会排序应对增加单位(斜率)相同的映射转换不变.570定义6-2 可度量性,可比较性与不变性n在OS/FC下,效用水平是有意义的,并在人际之间可比较. 备选项的社会排序不因每个个体的个人效用函数的任意共同正转换 而变. n在CS/IC下, 效用增量是有意义的, 并在人际之间可比较. 备选项的社会排序不因类似 的正映射转换而变, 其中 对是每个效用函数的共同参数.571定义6-3 对社会效用函数的两个伦理假设 nA. 匿名性. 设 是一个

168、N维效用向量, 是 中的元素进行转换后产生的新向量, 则nHE. 哈蒙德平等性. 设 和 是两个不同的N维效用向量, 并设对除i和j之外的所有k有 . 如有 则n说明:uA只是简单说明了人们应被系统性对待: 在A下社会的状态排序不依赖于个体身份, 而只依赖于其福利水平. uHE表述了如下观点: 社会更偏好于减少个体之间的效用差异(注意,在 中有比 更小的效用差异). 572定理6-2 罗尔斯主义社会福利函数n设OS/FC成立, 使W满足定义6-2中的不变性条件1, 当且仅当社会福利函数为罗尔斯主义形式 时, 社会福利函数W也满足WP,A和HE.573证明n首先注意到, 如 ,则定理中的条件被满

169、足. 因此只须进行必要性证明.n在图6-6中, 选择任意点 , 并且注意由于其位于 线的右侧, 个体1好于个体2. n转换 的元素得其关于 线对称的点 . 根据A, 点 应有与 相同的排序, 因此 n依据WP, 东北的每个点比 更受偏好, 同理 东北的每个点比 更受偏好. 根据传递性, 整个东北部深阴影部分区域的每个点都比 更受偏好.n同理, 西南部浅阴影部分的每个点都比 更不受偏好. 于是只留下区域I, II, III, IV及其边界.574证明(cont.): 区域II和IIIn选择处于区域III中的任意点 .由于它在III内, 满足不等式 . 在OS/FC下, 当每个个体效用函数发生任何

170、相同的正单调转换时, 和 的相对排序不变. 选择某种此类转换 使 得以映射到其自身, 则应有 . 这说明 被映射到区域III中的某个位置. 因为 可任意选择, 因此 可被映射到区域III中的任一位置, 因此区域III中的任何一点相对 的排序应都相同.n同理, 区域II中的每个点相对 的排序也应都相同.n而 和 又有相同的排序, 这就意味着区域II和III要么都排在 和 之前, 要么排在它们之后.575证明(cont.): 区域I和IVn再考虑区域I和IV. 同上可得要么 ,要么 n 注意到区域I内的每一点都可由区域IV内的点经过转换后得到, 因此,根据A, I内的点应总是与IV内的点对 的排序

171、相同, 即要么都排在 前, 要么都排在其后.n显然, 经过可允许的转换后, 对区域IV中的点的状况类似于区域III内的点对 的状况. 于是,我们有: 要么 要么 . 这说明III和IV对 的排序应相反.n又已证II和III对 的排序应相同, I和IV对 的排序应相同, 因此我们只剩下如下两种可能性:576证明(cont.): 边界n现考虑边界. u上面讨论过, 任一边界上的点对 的排序应相同.u由于W是连续的, 而边界两侧对 的排序又是相反的, 因此边界上的点应与 无差异. u因此, 如(P.1)成立, 经过 的直角边界a与 在同一条社会无差异曲线上; 如(P.2)成立, 经过 的直角边界b与

172、 在同一条社会无差异曲线上. u两种情况下WP都要求社会偏好沿东北方向递增.u见图6-7图解, PP254, (a)对应最大化最小者形式的社会福利函数 , (b)对应最大化最大者函数577证明(cont.):剩下唯一可能性n最大化最小者原则即罗尔斯主义, 它赋予处境最差的社会成员以福利优先性; 而最大化最大者则赋予处境最好的社会成员以福利优先性.要证得罗尔斯主义, 还应排除最大化最大者的可能性.n使用最后的条件HE, 在图6-7中想象一条连接 与 的线, 根据HE, 这条线上严格处于 线下方且不同于 的所有点应比 更受偏好. 因此, HE排除了(P.2)及其对应的最大化最大者形式, 从而使罗尔

173、斯主义原则成为唯一可能.n证毕.578定理6.3 功利主义社会福利函数n经济学中普遍运用的是功利主义社会福利函数.n在功利主义规则下, 社会状态依据效用的线性加总来排列. 显然, 为能够加总, 效用应是可以共同单位度量的. 另外, 类似”从x到y的移动中个人i获得的比个人j失去的更多”的陈述应是有意义的. 这就意味着效用的增进应对个人是有意义的并且应是人际可比的, 即效用形式应满足CS/IC.n定理: 设CS/IC成立,以使W满足定义6-2的不变性要求, 则当且仅当社会福利函数W采取功利主义形式 时,它也满足WP和A.579证明n显然如 , 定理条件满足,因此仍只须进行必要性证明.n在图6-8

174、中选择 线上的任意点 .定义常数 ,并考虑点集 . 它们是处在一条经过 且斜率为-1的直线上的所有点. 选择 中不同于 任一点 ,点 可由 元素经由转换获得, 因此 也处于 中.n根据条件A, 和 对 的排序相同. 580证明(cont.)n设 . 在CS/IC下, 排序对 形式的转换不变. 令 (注意这两种转换都是可允许的). 因为 在 线上且 和 在 上. 将这些转换运用于 , 得 , 运用于 ,得 ,即这些转换将 映射进 , 将 映射进 .n 于是, 如 , 根据不变性条件有 , 进而有 , 显然它破坏了条件A. 因此 不成立.n同理可证 不成立. 因此有 ,根据条件A有 . 又 是 中

175、任意选择的, 因此581证明(cont.)n又, 传递性和WP可证, 较之 中的点, 东北方的每个点都是严格受偏好的, 而西南方的所有点都严格劣于 ,因此 是一条社会无差异曲线, 并且其图谱是平行线的集合, 每条线的斜率都为-1, 社会偏好沿东北方递增. 当然, 这就意味着社会福利函数可写为n证毕. 582一般化的功利主义社会效用函数n如果取消匿名性条件, 一般化的功利主义的全值域排序就是可行的. 它们由线形社会福利函数表示: n在一般化功利主义标准下, 福利加总是重要课题, 当然, 不同个人的福利在社会评估中应赋予不同权重.583可变形式n一般效用的可度量性和可比性越大, 社会福利函数的应用

176、范围越广.n如设福利在比率规模(RS )上可衡量, 许多可能性将出现. 在RS可衡量条件下, “x到y个人i的效用增加的百分比大于由x到z”的陈述就是有意义的.n当效用在人际间比例可比时, 陈述如 也是有意义的.n由于此种对比只在效用的相同的线形递增转换后保持不变, 因此在RS/PC下的社会福利函数只须对效用的相同线形递增转换保持不变. 它包含了社会效用函数中的一大类, 其中就包括了罗尔斯主义和功利主义.n当一个社会效用函数满足福利主义, WP, 并对效用的相同线形递增转换保持不变, 此时社会无差异曲线应是向下倾斜且放射状平行.584社会无差异曲线的放射形平行n图6-9中, 选择任意点 . 在

177、WP下, 经过 的社会无差异曲线斜率应为负. 选择经过 的射线OA上的任意点, 该点应可以 表示.选择任意的另一点 , 使 . 根据不变性要求, 应有 , 其中 和 在射线OB上. 我们要论证的是社会无差异曲线在 点上的切线的斜率与在 点上的切线斜率相等.n首先, 注意弦CC的斜率近似于在 点上的切线斜率, 弦DD的斜率近似于在 点上切线的斜率. 易得CC斜率与DD斜率相等.n现在想象点 沿通过 的社会无差异曲线越来越接近 .随着 趋近 , 相应的 沿经过 的社会无差异曲线趋近 , 弦CC和DD的斜率保持不变. 在极限上, CC的斜率与 点切线的斜率重合, DD的斜率与 点切线的斜率重合. 因

178、此, 社会无差异曲线在 点上的斜率应与在 点上的斜率相等.n由于 和b都是任意选择的, 因此每条社会无差异曲线的斜率应在给定的射线上处处相等, 当然不同射线斜率可以是不同的.585条件的附加n当且仅当函数是位似的其效用水平曲线是放射性平行的. 因此, RS/PS与WP共同准许任意非递减的位似社会效用函数的存在. n如再附加条件A, 该函数还应是对称的, 因此其社会无差异曲线应是沿 线镜像对称的. n如再附加上凸性条件, 则社会效用函数将是拟凹的, “社会性至少一样好”的集合则是凸的, 这在伦理上意味着福利分配的不平等的社会价值是低的, 相反, 社会对平等有一个强烈的偏向.n由于在正单调转换下每

179、个位似函数都可化为线形齐次函数, 为简化起见我们只考虑齐次性问题. 在WP, A, 凸性外, 最后附加强可分性条件(任意两人间的社会边际替代率不依存于其他所有人的福利), 则社会福利函数将是一种CES函数: 其中 , 是任意两人间的不变社会替代弹性.586可变形式的社会福利函数n这是一种可变形式的社会福利函数, 对 的不同赋值将产生社会无差异曲线的不同曲率, 并形成关于福利分配平等性的不同重视程度.u功利主义(隐含着对福利是否平等分配社会无差异)是上式的一种极限, 即u而罗尔斯主义(社会对平等的偏爱是绝对性的)则是另一种极限, 即u见图6-10587公正性n不同社会效用函数的选择实际上是一系列

180、具有替代性的伦理价值之间的选择. 而一旦选定,则经济政策和制度的社会意义都将依此进行评价.n社会决策的社会福利分析方法:u功利主义传统(修漠, 斯密, 边沁, 穆勒)u契约主义传统(洛克, 卢梭, 肯特)u近期两个传统分别被海萨尼和罗尔斯重新阐述.他们都接受这样的概念, 即社会福利的”公正”标准应是一个理性人在其具备”公平思想”时所必然选择的. 初始状态-在不确定性的条件下依据某准则进行公正选择-居住其间.他们之间的区别主要在于何为恰当的决策准则.588功利主义标准n海萨尼接受不确定性条件下的冯诺依曼-摩根斯坦恩公理, 认为个人的偏好可由某社会状态下的一个VNM效用函数来表示, 该函数具有正映

181、射转换不变性. n根据不充分理性原则, 一个处于初始状态的理性人将对自己与社会其他所有个体的状况一样的情况赋予相等概率. 如社会上共有N个人, 则个体i处于任意其他个人j的环境下的概率为1/N. 个体i于是必须想象在该环境下其偏好 应是如何. n因为个人可能落于这N个可能身份中的任意一个, 在社会状态x下对其预期效用的一个理性评估就可做出: n在对x和y的社会选择中, 上式中有更高预期效用的那一个应更受偏好, 这就意味着当且仅当 , x比y更受社会偏好, 这是纯粹的功利主义标准.589罗尔斯主义标准n罗尔斯反对功利主义标准:u他反对将随机概率分配给个体, 因为在初始状态下没有任何经验基础来进行

182、概率的分配, 无论该分配平等与否. 因此社会选择由预期效用引导的论点被他完全放弃.u他视初始状态下的选择为”完全无知”的选择. 假设人们是风险规避的, 在完全无知的状况下, 一个理性人将根据他成为该社会最差成员的角度形成对社会状态的观点, 并据此来对它们进行排序. 因此, 当以下纯粹的最大化最小者标准成立时他会认为x优于y.590进一步的讨论n罗尔斯的讨论立足于人们是风险厌恶者, 而海萨尼构建的VNM效用函数则能够体现不同程度的风险偏好, 因此风险厌恶者同样可以被包含在海萨尼的框架里. 因此, 放弃预期效用原则并非实现罗尔斯主义标准的基础.591证明n取确定性条件下对社会状态的任意效用函数 ,

183、 此种偏好自然也可由其正单调转换来表示:n设 是i在不确定预期下的VNM效用函数, 显然 隐含的风险厌恶程度随a递增.n进一步假设:u(1)成为任何身份的概率相同u(2)对社会状态的排序取决于对它们的预期效用u(3)社会福利函数如下:592证明(cont.)n上式获得的排序将只具有序数意义, 因此它将不因W的正单调转换而改变:n当 , 就成为(6.13). 而我们论证过, 当 该式就是最大化最小者标准(6.15).n因此, 罗尔斯的最大化最小者标准与海萨尼的功利主义远非互不相容, 相反, 是功利主义的一个特例, 此时个体无限厌恶风险.n这一点直觉上也很直观: 最大化最小者准则只在当你存在若干理

184、性且完全信息的对手,并且他们的利益正好和你完全抵触的时候, 对你来说是最受欢迎的. 而在初始状态下, 除非你超级(或非理性的)悲观, 你不至于把自己的处境想象得如此不堪.593总之n对社会福利函数的选择事实上是对分配价值, 进而对社会伦理体系的选择. 归根到底, 选择权在个人手中.594Ch 7 Game Theory: IntroductionPrisoners Dilemman 坦白 抵赖 坦白 抵赖-8，-80，-10-10，0-1，-1596Fight between Father & Daughter条件：条件：女儿喜欢上一小伙子，但她的父亲坚决不同意，并威胁说：若女儿不与小伙子断绝

185、恋爱关系，他就与女儿断绝父女关系。于是：情况情况1：女儿相信父亲的威胁，则因为恋人可以重新选择，父亲却无法重新选择，因此她会中断与恋人的关系。情况情况2：女儿不相信父亲的威胁，则她将继续同恋人的关系，直至最后结婚，父亲最后只好接受起先很不喜欢的女婿。一般来说父亲的威胁是不可置信的，因为中断父女关系对父亲的损害更大。因此在此种情况下，聪明的女儿都能战胜顽固的父亲，从而为爱情至上主义增加新的案例。此时父女博弈的均衡解是父女关系、恋爱关系都得到顾全，这是一个“精炼纳什均衡”（Perfect Nash Equilibrium）。注意：注意：完全信息要求：必须对父亲的威胁是否可信进行可靠的判断，否则将弄

186、巧成拙。在女儿的效用顺序里：父女关系如常、恋爱关系继续父女关系如常、恋爱关系中断父女关系中断、恋爱关系如常若错误判断父亲威胁的可信度，则很可能导致最差结果的出现。597Proposal Game条件：条件：男生向女生求爱，女生的选择是：若知道男生品德优良，则接受；若知道男生品德恶劣，则拒绝；问题是女生未能确切知道该男生品德状况。这时候女生的决策取决于她在多大程度上相信男生是个品德优良的人。于是有如下收益矩阵： 男生品德优良时 男生品德恶劣时 女生女生 女生女生 接受 拒绝 接受 拒绝 求爱 求爱 男生男生 不求爱 男生男生 不求爱假设女生认为男生品德优良的概率为x，则女生接受男生求爱的期望效用

187、就是100x+(-100)(1-x)；而拒绝男生求爱的期望效用则为0；容易得：当x1/2时，接受求爱是女生的最优选择；否则拒绝是最优选择。从男生的角度看，如他知道女生对他品德是否优秀进行量值为x1/2时，男生求爱，女生接受；当x父女关系如常、恋爱关系中断父女关系中断、恋爱关系如常若错误判断父亲威胁的可信度，则很可能导致最差结果的出现。6533. Proposal Game条件：条件：男生向女生求爱，女生的选择是：若知道男生品德优良，则接受；若知道男生品德恶劣，则拒绝；问题是女生未能确切知道该男生品德状况。这时候女生的决策取决于她在多大程度上相信男生是个品德优良的人。于是有如下收益矩阵： 男生品

188、德优良时 男生品德恶劣时 女生女生 女生女生 接受 拒绝 接受 拒绝 求爱 求爱 男生男生 不求爱 男生男生 不求爱假设女生认为男生品德优良的概率为x，则女生接受男生求爱的期望效用就是100x+(-100)(1-x)；而拒绝男生求爱的期望效用则为0；容易得：当x1/2时，接受求爱是女生的最优选择；否则拒绝是最优选择。从男生的角度看，如他知道女生对他品德是否优秀进行量值为x1/2时，男生求爱，女生接受；当x0,保险费 u保险公司最后行动,他决定接受或拒绝申请人的保险申请.679保险信号显示博弈自然低风险消费者高风险消费者 保险公司 保险公司680保险信号显示博弈n消费者:u低风险者纯策略是提供一

189、份保单申请u高风险者纯策略是提供一份保单申请n保险公司:u纯策略确定接受申请(A)或拒绝(R)u因此保险公司的纯策略是一个反应函数u值得注意的是, 只依存于提交的保单申请,并不依存于申请的消费者是高风险或低风险.这反应了如下事实:保险公司并不知道保单申请人的风险类型.u一旦申请提出,保险公司形成关于消费者事故概率的信念,设概率 表示公司认为申请者是低风险类型的信念.681信号显示博弈纯策略序贯均衡n 是保险信号显示博弈的纯策略序贯均衡,如下面条件得到满足:u给定保险公司的策略 (.),申请保单 最大化了低风险者的预期效用,申请保单 最大化了高风险者的预期效用.u保险公司的信念满足贝叶斯法则:对

190、所有 ,如 则如 则u对每种保单申请 ,保险公司的反应 在给定其信念 的条件下最大化了公司的预期利润.682信号显示博弈纯策略序贯均衡n说明:u条件1,3保证了序贯理性,u条件2保证保险公司的信念满足贝叶斯法则.如果在均衡中不同的风险类型选择了不同的保单申请,则观察申请者的保单将使保险公司得以推断其风险类型;如果两种风险类型在均衡中选择了相同的保单申请,则保险公司观察该类申请后信念不变.u低风险消费者为证明自己的风险类型,将传达这种信号:他比高风险者更乐意对更小的p接受B的减少.即风险类别经由保险收益水平B和保险费p之间的边际替代率来体现.683博弈的进一步分析n定义每种风险类别对一个一般保单

191、(B,p)的期望效用:n易得以下事实:ua) 与 是连续,可微且严格凹的,并且关于B严格递增,关于p严格递减.ub)随着B小于,等于,大于L,会有 大于,等于,小于 ;随着B小于,等于,大于L,会有 大于,等于,小于 .uc)单交性质:对一切(B,p), 684博弈的进一步分析n如右图:u风险类型不同使其边际替代率不同.u低风险者:u高风险者:效用增加的方向685博弈的进一步分析n保险公司:u如消费者是低风险的,它将接受任何满足 的保险申请(B,p),如 ,它将拒绝申请,如 ,接受与拒绝无差异.u如消费者是高风险的,则当 ,它将接受保险申请,如 ,它将拒绝申请.u在唯一的竞争性均衡中,B=L,

192、对低风险消费者,完全保险的价格为 ,对高风险消费者价格为 .u保险公司将在每个消费者身上获得0利润,每个消费者均购买保险,根据事实b,消费者的无差异曲线与公司的0利润线分别相切.686博弈的进一步分析687期望效用的下界n保险公司在对消费者风险类型形成确定性判断之前,它所能持有的最悲观信念是:它面对的都是高风险消费者.n于是,两类消费者的效用应当由消费者在保险公司相信他们都是高风险消费者时可获得的最大效用水平来规定其下界.688引理8-1n设 是一个序贯博弈,假设不同风险类型的消费者已被自然选择,并设 与 分别代表低风险和高风险消费者的均衡效用,则u1. u2. u其中 u ,表示在完全信息条

193、件下竞争性均衡中高风险消费者的效用.n证明:略689引理8-1690引理8-1n如上图,u保险公司只接受位于高风险0利润线以上的投保申请.u高风险消费者必须获得不低于 的效用,才应购买保单.u低风险消费者必须获得不低于 的效用,才应购买保单.691分离与汇合均衡n分离均衡:u如不同类型的消费者申请不同的保单,则均衡是分离均衡.u在这种情况下,消费者可将自己同其他风险类型的消费者区分开来,并通过选择对应的保单申请而向保险公司显示信号.n汇合均衡:u如两类消费者申请同样的保单,则均衡是汇合均衡.u在此种情况下,消费者风险类别无法由他所申请的保单类型来显示信号.n定义8-2:u如果 ,一个纯策略序贯

194、均衡 是可分离的,否则它是汇合的.692分离均衡n分离均衡:u在此种情况下,由自然选择的两种风险类型的消费者向保险公司提交不同的保单申请;保险公司根据他们所提交的申请来判定消费者类型.u值得注意的是,应先假设没有利益激励驱使某一类型消费者去模仿另一类型消费者行为.693分离均衡n定理8-1:分离均衡的特征:u保单 与 分别由低风险与高风险的消费者所提交,当且仅当下列条件成立时在分离均衡中为保险公司所接受:(1)(2)(3)(4)u证明:略694分离均衡高风险消费者获得保单低风险消费者获得保单695分离均衡n低风险保单集合的主要特点:u都处在低风险0利润线上方,才会诱使保险公司接受该保单申请;

195、u都处在通过均衡保单的高风险消费者无差异曲线的上方,以确保高风险消费者没有激励去假冒低风险消费者.u都处在效用为 的无差异曲线下方,以确保低风险消费者没有激励去假冒高风险消费者.n定理8-1将考察的范围限定在两种保单申请都是可接受的均衡中,再根据引理8-1,这一限定只对低风险消费者的保单申请有效.n我们还可证明,即使 ,上图的阴影部分也不为空,换言之,纯策略分离均衡总是存在.696分离均衡n风险信号与效率u既然分离均衡总会存在,则保单申请作为风险信号将总是有效的,因为它总可以使低风险消费者将自己从高风险消费者中择出来.u然而,此种状况的存在并不必然意味着效率的增进.例如,当 时,存在分离均衡:

196、低风险者接受保单(0,0),高风险者接受保单 .这意味着只有高风险者投保了,并且,不管高风险者出现概率多少,该均衡结果都不变.于是,只要一个“坏苹果”(以很大的概率出事故的消费者)存在不管以多小的概率出现，分离均衡就将和不对称信息条件下的竞争均衡一样,显示信号成为不可能.697分离均衡n风险信号与效率:u尽管存在与无信号显示模型结果一样无效率的均衡, 然而,一旦信号显示出现时,低风险者获得保险的均衡总是存在的.换言之,分离均衡不一定推得出信号显示;但信号显示必定可以推出分离均衡.u对低风险消费者最优,而对保险公司最劣的均衡向低风险消费者提供了如下页显示的保单.u高风险消费者在每个分离均衡中获得

197、同样保单 ,并获得同样的效用.均衡结果 是帕累托有效的,并且它给保险公司带来0利润.u于是,即使当非对称信息下的唯一均衡不能给低风险者提供保险,分离均衡还是可以提供,市场效率在信号显示成为可能的条件下也因此得以增进.698低风险者的最优保单当且仅当 并且 在图中阴影部分时,保单对 是分离均衡的结果.但对低风险消费者而言, 严格优于 ,因为根据事实b, 帕累托占优于 .并且,高风险消费者和保险公司对这两个保单对无差异.因此,在所有分离均衡中,只有那些处于 和 之间的 未被其他分离均衡帕累托占优.699汇合均衡n汇合均衡：u两类消费者提出同样的保单申请。u保险公司无法将两类消费者区分开。u在这种情

198、况下，高风险消费者可能将会假扮成低风险消费者。n保险公司：u在接受两类消费者共同提出的保单申请(B,p)时,其期望利润为u设u则,当 时,保单申请被接受; 时,被拒绝, 时,接受拒绝无差异,可画出汇合0利润线.700汇合0利润线与汇合均衡根据引理8-1:保险公司接受保险申请,应有因此右图阴影部分即为汇合均衡结果701定理8-2n汇合均衡的特征:u当且仅当保单 满足下面不等式时,该保单是汇合均衡的结果.u证明:略702低风险概率与汇合均衡n汇合均衡集的取值与低风险概率 密切相关:u当 下降时,汇合0利润线斜率增加,其他线保持不变,则阴影部分将最终消失.因此,如消费者是高风险者的概率足够高,将不会

199、存在汇合均衡.u当 上升时,汇合0利润线斜率减少,其他线保持不变,阴影部分扩大.当 足够大时,将会存在一些使两类消费者比它们在各自分离均衡中的福利更好的汇合均衡,即使对低风险者而言也是如此.课本图8-10,PP349.703汇合均衡优于分离均衡的情况n对低风险消费者而言, 只要 足够高并且存在汇合均衡,则汇合均衡将会优于分离均衡.因为:u有效的分离要求低风险者选择适当的保单,以便高风险者对它的偏好不超过 .这限制了低风险者的选择,并使他的效用比不存在高风险者时为小.u当 足够大并且均衡是汇合均衡,很有可能高风险者并不存在.此时,低风险者的成本只比其风险类型为保险公司所确知时的成本略大(数量为每

200、单位边际保险收益的略微加大).当 等于1时,这一成本迅即消失.u另一方面, 低风险者将自身与高风险者区分开来的成本肯定不为0. u结合上述两点,对低风险者而言,汇合均衡和一个足够高的 可能使其效用比分离均衡时更高.704一个精炼705如上图n根据定理8-2,保单 的申请将被保险公司拒绝.n但比照保单 :u当申请均衡保单 时,低风险者获得效用 ,高风险者获得效用 ,u并且u因此,无论保险公司接受与否,较之保单 ,高风险者都因申请保单 而导致福利降低.u而对低风险者,如保险公司接受其保单 的申请,则较保单 福利有所提高.u因此,在给定保单 是均衡保单申请的条件下,只有低风险者有申请保单 的激励.n

201、对保险公司而言,在接到保单 的申请时,它应可以相信它面对的是低风险者.706直觉标准(Cho & Kreps)n如果对于每一保单 或 ,下面条件被满足,则使低风险者和高风险者分别获得均衡效用 和 的序贯均衡 会满足直觉标准.u如 且 ,则 给风险类型i分配如下概率:707定理8-3n直觉标准均衡:u存在唯一一个受满足直觉标准的序贯均衡支持的保单对 ,并且,对低风险者这是最优的分离均衡(即 )u图8-7,PP346u证明:略u体现在直觉标准中的对保险公司信念所附加的限制的内在合理性意味着,对低风险者最优的分离均衡将最可能成为信号显示博弈的结果.由于此种结果优胜于不对称信息条件下的竞争性结果,因此

202、我们说信号显示确是改进市场效率的一种方法.708信号显示举例n广告n上市公司的自愿性信息披露n大学教育及更高学位的取得n银行的可兑付性709信号甄别(Screening)710信号甄别n原理:u在上述汽车保险市场，并不是按上面描绘的消费者提交保单申请-保险公司决定是否接受的程序来进行；u相反，是保险公司向消费者提供一份备选的保单目录，由消费者做出选择；保险公司通过对保单目录的整理，可诱使高风险消费者确实地选择某一特殊保单、低风险消费者被引诱接受另一种保单，从而通过他们各自保单的选择来甄别他们所属的风险类型。u扩展博弈如下页，注意：保险公司有行动的连续统，因此博弈是无限的。711保险信号甄别博弈

203、保险公司A保险公司B 高风险消费者低风险消费者自然712保险信号甄别博弈n保险公司：u保险公司j的一个纯策略是提供保单对 ，注意，该保单对的高低风险者适用性只是保险公司保单目录的内容，不涉及具体消费者的具体风险类型，因为保险公司不知道消费者的类型。n消费者：u消费者i的纯策略是一个选择函数 ，它给每个保单对做出规定：要么是某个保险公司和它的保单，要么是0保单。换言之，我们令消费者总有这样的选择：它可以在两家保险公司的保单中选择0保单，即不投保。n同样可以纯策略子博弈精炼均衡的集合分成分离和汇合均衡两类。713分离与汇合的信号甄别均衡n纯策略子博弈精炼均衡 是分离的,如果 ,其中 , ,否则,它

204、是汇合的.714分析博弈n撇脂现象u当一个保险公司通过提供适当的保单,以将,并只将,低风险者从其竞争公司吸引过来,从而使其对其他公司所提供的保单集合策略占优时,我们称撇脂现象出现了.u这种公司只获得最好的消费者(低风险者);并将差的消费者(高风险者)留给其竞争者.u在均衡中,两家公司都应确保对方不会以此种方式撇了自己的脂.u显然,至少必须有两家公司存在撇脂才会发生,因此我们引入第二家保险公司.715引理8-2n在每个纯策略子博弈精炼均衡中,两家公司都获得0预期利润.n证明:略716汇合均衡n定理8-4:汇合均衡的不存在性u在保险信号甄别博弈中,不存在纯策略汇合均衡.u撇脂现象的存在使得如果出现

205、这样的均衡,那么双方都有足够的激励去提供有别与该均衡保单的新保单去吸引低风险者,从而获得严格为正的预期利润.u证明:略.717分离均衡n定理8-5:分离均衡的特征u在一个纯策略分离均衡中,设 与 分别为低风险者和高风险者可选择的保单,那么 ,u在此模型中,唯一可能的分离均衡正好等同于定理8-3显示博弈中对消费者最好的分离均衡(直觉标准均衡).u此定理并没有断言分离均衡必定存在,将之与定理8-4结合,我们得出以下结论:如果一个纯策略子博弈精炼均衡存在,那么它必定是分离均衡,并且可供消费者选择的保单目录是唯一的. 718唯一可能的分离均衡唯一可能的均衡保单目录:( , )719唯一可能的分离均衡n

206、定理8-5的证明由下列论断推进:u论断1:高风险消费者至少应获得效用引理8-2推得.u论断2: 必落在低风险0利润线上.引理8-2与论断1推得.u论断3:论断2和引理8-2推得.u论断4:论断2保证均衡在低风险0利润线上,论断3排除了右侧的部分,撇脂现象的存在排除了 左侧.720均衡不存在的状况n撇脂现象使分离均衡无法实现;n定理8-4否定了汇合均衡的出现.n因此,当 充分接近于1时,汇合0利润线同无差异曲线 相交,此时信号甄别模型不允许纯策略子博弈精炼均衡存在.n具体而言,当信息非对称程度相对小,尤其高风险消费者出现概率非常小时,这种模型中并不存在均衡.721均衡不存在的状况在唯一可能的分离

207、均衡( , )出现时,撇脂使保险公司提供单一保单目录 ,均衡被破坏.722信号甄别举例n考试制度n就业市场中雇主的要求菜单n证婚启事723Lecture 2 Moral Hazard724道德风险与委托代理问题n道德风险：u委托人与代理人所采取的行动有利害关系，但代理人的行动不能为委托人所观察到的情形将存在道德风险。事后非对称模型。n委托代理问题：u委托人设计出一种激励计划使代理人采取某些适宜行动，从而保证代理人不损害或尽量少损害自己的利益。激励兼容。725模型假设n单一保险公司和单一消费者：u损失水平l有(L+1)种：0,1,L,即u导致数量为l损失的事故概率由 给出,e表示成功避免事故发生

208、所付出的努力数量,显然,发生事故的概率 受e影响.u对于每种固定的努力水平,u为简化,再设消费者只存在两种努力水平,e=0代表低努力,e=1代表高努力.u单调似然率: 关于 是严格递增的.描述损失大小与努力程度的关系:较高水平的努力将降低发生严重事故的概率;反之,一旦我们观察到事故损失较大时,我们倾向于相信消费者付出了低努力.726模型假设(con.)n消费者假设:u假设消费者具有一个关于财产的严格递增的,严格凹的VNM效用函数u(.),且初始财富wL.u d(e)代表消费者努力的负效用.u因此,对于一个既定的努力水平e,消费者在 财富上的VNM效用是u(.)-d(e),并且d(1)d(0).

209、n保险公司假设:u假设保险公司能够观察到因事故发生而产生的损失数量l,但并不能观察到消费者为避免事故发生而进行的努力数量e; 因此,保险公司只能将赔偿金与损失量相联系.u令Bl表示事故损失为l时保险公司支付给消费者的赔偿金,p表示报费.则一份保单就是一个向量 并且727要解决的问题n保险公司将为消费者提供怎样的保单?n这些保单的效率特点如何?728信息对称n保险公司与消费者信息对称,公司可观察到消费者的努力水平.n在此种条件下,保险公司将提供这样的保单:只在消费者付出努力而发生事故条件下,公司才支付赔偿金.于是公司能选择消费者的努力水平.n保险公司求解下列问题(8-8)u 表示消费者的保留效用

210、.729信息对称n构建拉格朗日函数并求其一阶条件得:u其中(8.8)式由(8.9)式的所有方程(相加)蕴涵.u 时,(8.10)式以等式成立.730信息对称n(8.9)蕴涵着 ,并且 n因此,对于一切l=0,1,L, 是不变的.n由于 ,因此约束条件相关的一阶条件以等式成立,即n设l=0,则根据(8.11)可求得pn对于一切l=0,1,L, 不变,并且 ,我们有n即对于任何固定努力水平 ,对称信息解在各种损失水平上给消费者提供了完全保险.n保险公司索取的保费使得消费者从保单中获得的效用等于其保留效用.731信息对称n进一步,我们可以最优化努力水平e:u给定 ,对每个l最优保金赔偿利益为 ,运用

211、式(8.11)可得最优价格p(e)的隐性表达式: u保险公司选择 以最大化其利润u由于d(0)d(1),因此式(8.12)隐含了保险公司对低努力水平要求索取较高价格以增加利润;u另一方面,根据单调似然率,较高水平的努力降低事故发生导致的损失的期望,这也增加保险公司的利润,在此种情况下保险公司可以降低价格出售保单.u总之,保险公司可在任何情况下为努力水平给出恰当价格,也可在任何价格水平下确定最优努力水平. 732信息对称n不管何种努力水平对保险公司最优,使保险公司利润最大化的保单总是完全保险的.这意味着最终结果是帕累托有效的.(see slide 22)733信息不对称n信息不对称：u消费者的努

212、力水平选择不能被保险公司观察到；保险公司将继续寻找那些最大化其预期利润的保单。u保险公司应在充分考虑避免事故的努力水平如何这一基础上设计保单。但消费者的努力水平无法观察，因此保险公司应确保保单的特性，使得消费者自愿选择合意努力水平是最优的。u这为保险公司的最优化问题附加了一个条件：保单和努力水平的选择不但应至少给消费者提供保留效用，而且它还应诱导消费者自愿选择合意努力水平。734信息不对称n此时保险公司的问题可表示为：u其中735 e=0的最优保单n如约束(8.15)不存在,则当e=0时最优保单由以下方式给出:选择 使其满足n增加激励约束因素并不能增加保险公司的最大化利润,因此,如式(8.16

213、)满足激励约束,则它将是保险公司合意的最优保单.n又,显然该解满足式(8.15):u给定满足(8.16)的保单,当e=0时激励约束条件化简为 ,这直接由假设条件给出.n因此,诱导消费者尽低水平努力水平的保险公司利润最大化保单同消费者努力可观察时一样.736e=1的最优保单ne=1,e=0.u构建拉格朗日函数将两约束条件引入最优化问题,求其一阶条件:u如 (8.20),(8.21)分别以等式成立.737e=1的最优保单n ,重写(8.19)n 的证明. n 意味着两个约束条件在最优解上是束紧的,因此,此时消费者获得保留效用,他选择高努力水平和低努力水平无差异.n如 ,单调似然率特性隐含了(8.2

214、2)式右边对l严格递增,则 对l严格递减.这又使得 及 对l严格递增,后者与单调似然率共同意味着 这与式(8.21)矛盾.因此738e=1的最优保单n由于 ,单调似然率意味着式(8.22)右边对l严格递减, 对l严格递增,因此,最优保单呈现如下特征: 对l严格递增(8.23).n又 ,因此条件(8.23)意味着高努力水平保单不能提供完全保险,相反,它设定了一个诱导性支付,该支付随损失增加而增加.n为给消费者一个激励使其乐于选择高努力水平,最优保单还应在 对l严格递增的情况下使选择高努力水平的消费者获得一个正效用,即满足739e=1的最优保单n幸运的是此式可由式(8.23)及单调似然率推出.n当

215、然,此时也存在与高努力水平相联系的效用成本,即n最优保单在下面情况下得以实现:高努力水平的效用收益正好等于高努力水平的效用成本.740最优保单与效率n通过上面分析,我们不难看出:u保险公司的最优保单如何设计,依存于它希望诱导消费者去选择较高或较低的努力水平.u最终的最优保单只是这两个保单中带来较大利润预期的一个.n假设在信息对称情况下,保险公司要求的最优努力水平是较低的,则u在非对称信息条件下同样的保单(完全保险)也是最优的.u因为该保单在非对称信息条件下带来的预期利润与对称信息时相等;u而当e=1时非对称信息的最高预期利润不会高于信息对称时的利润预期,因为在非对称信息条件下还存在一个约束条件

216、.u进一步,因为对称信息下的结果是帕累托有效的,因此在非对称信息下结果也是帕累托有效的.741最优保单与效率n假设在信息对称情况下,保险公司要求的最优努力水平是较高的,则u在非对称信息条件下是保险公司的最大利润预期显著降低了,因为它要试图去诱导消费者去进行高水平努力.u因为建立在低水平努力上的利润预期在对称信息和非对称信息条件下相同,因此在非对称信息条件下,对保险公司而言可能一个最优保单选择是提供完全保险以诱导低水平努力.u尽管这对保险公司而言是最优的,但它不是帕累托有效的,因为比起信息对称解,消费者效用保持不变,但保险公司的利润显著降低了.u这一结论再次验证了这一点:非对称信息效应会导致非帕累托有效.742道德风险的应用举例n租用房屋通常不能得到最好的保养n经理人无所作为，甚至掏空公司n医生收取红包n婚后双方原形毕露。743Lecture 3 information & market performancen信息在市场参与者间的分布会对市场均衡产生复杂而巨大的影响.非对称信息导致市场失效,市场结果无法实现帕累托有效,这构成对规范观点的挑战.n潜在的治理方案:u逆向选择-信号显示和信号甄别.u道德风险-激励兼容合约设计 (对代理者的激励使其趋向帕累托有效的合约设计)u然而,任何方案都只能减轻而不能根除非对称信息给市场均衡带来的冲击.744