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1、第二讲 证明不等式的基本方法一 比较法比较法比较法ababa=ba=bababababa0,0,所以所以P PQ.Q.答案：答案：P PQ Q1.1.作差比较法的适用范围作差比较法的适用范围当被证明的不等式是分式、整式时，一般用作差比较法当被证明的不等式是分式、整式时，一般用作差比较法. .2.2.作商比较法中的符号问题作商比较法中的符号问题在作商比较法中，在作商比较法中， 是不正确的，这与是不正确的，这与b b的符号有关，的符号有关，就是说在作商比较中，要对分母的符号作出判断，否则，结就是说在作商比较中，要对分母的符号作出判断，否则，结论将是错误的，若不等式两边的式子均为负值时，可先同乘论将
2、是错误的，若不等式两边的式子均为负值时，可先同乘以以(-1)(-1)转化不等式两边的式子均为正值后再进行证明转化不等式两边的式子均为正值后再进行证明. . 类型类型 一一 作差比较法作差比较法 【典型例题【典型例题】1.1.设设x x0,y0,y0 0，则，则 与与 的大小关系是的大小关系是_._.2.2.已知正数已知正数a,b,ca,b,c成等比数列成等比数列求证：求证： a a2 2b b2 2+c+c2 2(a(ab+c)b+c)2 2. .【解题探究【解题探究】1.1.真分数的分子与分母同加上一个正数真分数的分子与分母同加上一个正数, ,真分数真分数的值会变大吗的值会变大吗? ?2.2
3、.正数正数a,b,ca,b,c成等比数列能得出什么结论成等比数列能得出什么结论? ?探究提示：探究提示：1.1.根据真分数的性质可知根据真分数的性质可知, , 真分数的分子与分母同加上一个真分数的分子与分母同加上一个正数正数, ,真分数的值会变大真分数的值会变大. .2.2.若正数若正数a,b,ca,b,c成等比数列成等比数列, ,则则b b2 2=ac, .=ac, .【解析【解析】1. 1. = = =答案：答案：2.2.因为正数因为正数a,b,ca,b,c成等比数列成等比数列, , 所以所以b b2 2=ac, =ac, (a(a2 2b b2 2+c+c2 2) )(a(ab+c)b+
4、c)2 2=a=a2 2b b2 2+c+c2 2a a2 2b b2 2c c2 2+2ab+2ab2ac+2bc2ac+2bc=2ab=2ab4b4b2 2+2bc=2b(a+2bc=2b(a2b+c)2b+c)= =所以所以a a2 2b b2 2+c+c2 2(a(ab+c)b+c)2 2. .【拓展提升【拓展提升】作差比较法证明不等式的技巧作差比较法证明不等式的技巧 (1)(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少. .(2)(2
5、)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法. .(3)(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号. . 【变式训练【变式训练】若若c ca ab b0 0，比较大小：，比较大小： ( (填填“”“
6、”“= =”或或“”).).【解析【解析】因为因为= =又因为又因为c-ac-a0,c-b0,c-b0,a-b0,a-b0,c0,c0,0,所以所以 即即答案：答案：类型类型 二二 商比较法商比较法 【典型例题【典型例题】1.1.已知已知a a2,2,则则logloga a(a(a1)_log1)_log(a+1)(a+1)a(a(填填“” “= =”或或 “”).).2.2.设设a a0,b0,b0,0,求证：求证：【解题探究【解题探究】1.1.两对数若底数不同两对数若底数不同, ,如何化成同底如何化成同底? ?2.2.由指数函数的性质可知由指数函数的性质可知a,ba,b满足什么条件时满足什
7、么条件时a ab b1?1?探究提示：探究提示：1.1.可以通过换底公式把两对数换成同底的可以通过换底公式把两对数换成同底的. .2.2.若若0 0a a1,1,则则b b0 0时时, a, ab b1;1;若若a a1,1,则则b b0 0时时, a, ab b1.1.【解析【解析】1.1.因为因为a a2,2,所以所以a a1 11 1，所以所以因为因为因为因为a a2,2,所以所以所以所以即即所以所以答案：答案：2.2.因为因为所以所以所以当所以当a=ba=b时时, ,显然有显然有当当a ab b0 0时时, , 当当b ba a0 0时时, ,由指数函数的单调性由指数函数的单调性, ,
8、有有综上可知综上可知, ,对任意对任意a0,b0,a0,b0,都有都有【互动探究【互动探究】题题2 2中条件不变中条件不变, ,求证：求证：【证明【证明】因为因为所以所以所以当所以当a=ba=b时时, ,显然有显然有当当a ab b0 0时时, , 当当b ba a0 0时时, ,由指数函数的单调性由指数函数的单调性, ,有有综上可知综上可知, ,对任意对任意a0,b0,a0,b0,都有都有【拓展提升【拓展提升】作商比较法证明不等式的一般步骤作商比较法证明不等式的一般步骤(1)(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商作商：将不等式左右两边的式子进行作商. .(2)(2)变形：化简商式到最简形
9、式变形：化简商式到最简形式. .(3)(3)判断：判断商与判断：判断商与1 1的大小关系的大小关系, ,也就是判断商大于也就是判断商大于1 1或小于或小于1 1或等于或等于1.1.(4)(4)得出结论得出结论. .【变式训练【变式训练】比较大小：比较大小： ( (填填“” “= =” 或或“”).).【解题指南【解题指南】利用作商法比较利用作商法比较. .【解析【解析】因为因为所以所以 又又所以所以答案：答案：【规范解答【规范解答】比较法证明不等式比较法证明不等式 【典例【典例】 (12(12分分) )【规范解答【规范解答】 2 2分分【条件分析【条件分析】当当a a0,b0,b0 0时，时，
10、所以所以所以所以6 6分分当当a,ba,b有一个负数时，不妨设有一个负数时，不妨设a a0,b0,b0 0，且，且a+ba+b0,0,所以所以a a|b|b|，又，又n n为偶数，为偶数，所以所以所以所以所以所以 1010分分综上所述，综上所述， . .1212分分【失分警示【失分警示】【防范措施【防范措施】1.1.正确应用作差比较法证明不等式正确应用作差比较法证明不等式利用作差法证明不等式关键在于变形，变形的目的在于判断利用作差法证明不等式关键在于变形，变形的目的在于判断差的符号，变形的方法可以利用配方法、因式分解等一切有差的符号，变形的方法可以利用配方法、因式分解等一切有效的恒等变形的方法
11、，如本例，若变形不正确或是不彻底，效的恒等变形的方法，如本例，若变形不正确或是不彻底，则后面的证明是相当困难的则后面的证明是相当困难的. .2.2.注意分类讨论思想的应用注意分类讨论思想的应用对于含有字母且字母取值不确定的要考虑分类讨论，分类时对于含有字母且字母取值不确定的要考虑分类讨论，分类时要恰当选择分类标准，如本例对要恰当选择分类标准，如本例对a,ba,b的取值进行分类讨论的取值进行分类讨论. . 【类题试解【类题试解】若若a ab bc c，求证：，求证：bcbc2 2+ca+ca2 2+ab+ab2 2b b2 2c+cc+c2 2a+aa+a2 2b.b.【证明【证明】bcbc2
12、2+ca+ca2 2+ab+ab2 2-(b-(b2 2c+cc+c2 2a+aa+a2 2b)b)=(bc=(bc2 2-c-c2 2a)+(caa)+(ca2 2-b-b2 2c)+(abc)+(ab2 2-a-a2 2b)b)=c=c2 2(b-a)+c(a-b)(a+b)+ab(b-a)(b-a)+c(a-b)(a+b)+ab(b-a)=(b-a)(c=(b-a)(c2 2-ac-bc+ab)=(b-a)(c-a)(c-b-ac-bc+ab)=(b-a)(c-a)(c-b),),因为因为a ab bc c，所以，所以b-ab-a0,c-a0,c-a0,c-b0,c-b0,0,所以所以(
13、b-a)(c-a)(c-b(b-a)(c-a)(c-b) )0,0,所以所以bcbc2 2+ca+ca2 2+ab+ab2 2b b2 2c+cc+c2 2a+aa+a2 2b.b.1.1.已知已知 若若x=mx=m4 4m m3 3n, y=mnn, y=mn3 3n n4 4, ,则则x,yx,y的大小关系为的大小关系为 ( )( )A.xA.xy B.xy B.x=y=yC.xC.xy D.y D.与与m,nm,n的取值有关的取值有关【解析【解析】选选A.xA.xy=(my=(m4 4m m3 3n)n)(mn(mn3 3n n4 4) )=m=m3 3(m(mn)n)n n3 3(m(mn)=(mn)=(mn)(mn)(m3 3n n3 3) )=(m=(mn)n)2 2(m(m2 2+mn+n+mn+n2 2) )因为因为 所以所以x xy y0,0,即即x xy.y.2.2.设设0ba1,0ba0,0,故故 即即答案：答案：5.5.已知已知a a2,b2,b2 2，则，则ab_a+bab_a+b( (填填“” “= =”或或 “”).).【解析【解析】因为因为abab0 0，所以，所以ababa+ba+b. .答案：答案：6.6.已知已知a2,a2,求证：求证：【证明【证明】 ( (因为因为a2)a2)，即即 故故
