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1、2.2.1 综合法和分析法综合法和分析法演绎推理演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程思维过程. .数学结论、证明思路的发现数学结论、证明思路的发现, ,主要靠合情推理主要靠合情推理. .复习推推 理理合情推理合情推理（或然性推理）（或然性推理）演绎推理演绎推理（必然性推理）（必然性推理）归纳归纳(特殊到一般）特殊到一般）类比类比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段论三段论（一般到特殊）（一般到特殊）直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。常用的直接证明方法有:综合法与分析法。引例引例：四边形：四边形AB
2、CDABCD是平行四边形，是平行四边形，求证：求证：AB=CDAB=CD，BC=DABC=DAA AB BC CD D1 13 34 42 2证明证明 连结连结ACAC，因为四边形，因为四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形所以所以AB/CDAB/CD，BC/DABC/DA又又AC=CAAC=CA故故 AB=CDAB=CD，BC=DABC=DA本题条件本题条件已知定义已知定义已知定理已知定理已知公理已知公理本题结论本题结论从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据为依据, ,逐步下推，直到推出要证明的结论为逐步下推，直到推出要证明的结论为止，
3、这种证明方法叫做止，这种证明方法叫做综合法综合法(顺推证法)从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据为依据, ,逐步下推，直到推出要证明的结论为逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做止，这种证明方法叫做综合法综合法(顺推证法)用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、表示已知条件、已有的定义、公理、定理等定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论. .则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为: :特点:“由因导果”例例1:1:已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a
4、+a2 2)4abc)4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc.4abc.证明证明: :利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和与利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和与这两个数的积的不等关系？这两个数的积的不等关系？基本不等式基本不等式符号语言符号语言图形语言图形语言文字语言文字语言
5、学会语言转换学会语言转换找出隐含条件找出隐含条件例例2 2：在：在中，三个内角、对应中，三个内角、对应的边分别为的边分别为a a、b b、c c，且、成等差数，且、成等差数列，列，a a、b b、c c成等比数列，求证成等比数列，求证为等边为等边三角形三角形例：在中，三个内角、对应的边分别为a、b、c，且、成等差数列，a、b、c成等比数列，求证为等边三角形证明：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言。还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来分析分析基本不等式：基本不等式：证明证明: :要证要证只需证只需证只需证只需证只需证只需证因为
6、因为 成立成立所以所以 成立成立(a0,b0)(a0,b0)的证明的证明. . 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做做分析法分析法又叫又叫“逆推证法逆推证法”或或“执果索执果索因法因法” 特点：特点：执果索因执果索因. .用框图表示分析法的思考过程、特点用框图表示分析法
7、的思考过程、特点. .得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论【分析法分析法】 从结论出发，寻找结论成立的充分条件从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。个明显成立的条件。要证：要证：只要证：只要证：只需证：只需证：显然成立显然成立上述各步均可逆上述各步均可逆所以所以 结论成立结论成立要证：要证：所以所以 结论成立结论成立格格 式式解解:要证要证只需证只需证展开展开,只需证只需证只需证只需证 2125因为因为 210,b0)(a0,b0)的证明的证明. .证明证明: :因为因为; ; 所以所以所以所以所以所
8、以 成立成立证明证明: :要证要证; ;只需证只需证; ;只需证只需证; ;只需证只需证; ;因为因为; ; 成立成立所以所以 成立成立还原成还原成综合法综合法：例例2. .如图如图,SA,SA平面平面ABC,ABBC,ABC,ABBC,过过A A作作SBSB的垂线的垂线, ,垂足为垂足为E,E,过过E E作作SCSC的垂线的垂线, ,垂垂足为足为F,F,求证求证 AFSCAFSCF FE ES SC CB BA A证明证明: :要证要证AFAFSCSC只需证只需证:SC:SC平面平面AEFAEF只需证只需证:AE:AESCSC只需证只需证:AE:AE平面平面SBCSBC只需证只需证:AE:A
9、EBCBC只需证只需证:BC:BC平面平面SABSAB只需证只需证:BC:BCSASA只需证只需证:SA:SA平面平面ABCABC因为因为:SA:SA平面平面ABCABC成立成立所以所以. AF. AFSCSC成立成立例例3: :设设a,b,ca,b,c为一个三角形的三边为一个三角形的三边, ,且且s2=2ab, , 试证：试证： s 2a解解:欲证欲证s2a,只需证只需证即证即证bs,也即证也即证即证即证ba+c因为因为a,b,c为一个三角形的三边为一个三角形的三边,所以所以ba+c成立成立.故故s b a + c b 所以所以 cosBcosB0 0 因此因此证证:用用P表示已知条件表示已
10、知条件,定义定义,定理定理,公理等公理等,用用Q表表示要证的结论示要证的结论,则上述过程可用框图表示为则上述过程可用框图表示为:直接证明（数学理论）上述两种证法有什么异同？都是直接证明都是直接证明证法证法1 1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止为止 综合法综合法相同不同不同 证法证法2 2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止吻合为止
11、 分析法分析法小结小结 1.1.在数学证明中，综合法和分析法是在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法用分析法. . 2.2.综合法的每步推理都是寻找必要条综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性和逻辑性. . 3.3.综合法和分析法是两种互逆的思维综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点连结点. .
