《现代控制理论：第二章控制系统的状态空间描述》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现代控制理论：第二章控制系统的状态空间描述（150页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述第二章第二章 控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述2.1 2.1 基本概基本概念念2 2.2 .2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立2.3 2.3 传递函数传递函数( (矩阵矩阵) ) 2.4 2.4 组合系统组合系统 2.5 (2.5 (非奇异非奇异) )线性变换线性变换2.2.6 6 离散时间系统状态空间表达式离散时间系统状态空间表达式2.72.7用用MATLABMATLAB分析状态空间模型分析状态空间模型2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述引言n一个复杂系统可能有多个输入多个输入和多个输出多个输出多个输出多个
2、输出，并且以某种方式相互关联或耦合相互关联或耦合相互关联或耦合相互关联或耦合。为了分析这样的系统，必须简化简化简化简化其数学表达式数学表达式数学表达式数学表达式，转而借助于借助于借助于借助于计算机来计算机来计算机来计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。 2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述n经典控制理论是建立在系统的输入输入输入输入- - - -输出输出输出输出关系关系关系关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理论以n n个个个个一阶一阶一阶一阶微分方程微分方程微分方程微分方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶一阶一阶一阶
3、向量向量向量向量- - - -矩阵矩阵矩阵矩阵微分方程微分方程微分方程微分方程。应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。n状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述控制系统的数学描述控制系统的数学描述系统的方框图表示系统的方框图表示系统的方框图表示系统的方框图表示输入变量输入变量输入变量输入变量 :u u1 1, , u u2 2, , , , u up p 输出变量输出变量输出变量输出变量 : y1, y2, , ye内部变量
4、内部变量内部变量内部变量: x x1 1, , x x2 2, , , , x xn n2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述两种控制理论的区别两种控制理论的区别 条目经典控制理论经典控制理论经典控制理论经典控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论研究的系统 SISOSISO线性定常系统 SISOSISOSISOSISO、MIMOMIMOMIMOMIMO、时变、时变、时变、时变、定常、定常、线性线性或非线性非线性非线性非线性系统模型模型模型模型传递函数传递函数（输入-输出之间的关系）（外部模型外部模型）状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式（输入变
5、量、状态变量和输出变量间关系）（内部模型内部模型）主要分析和综合方法频率域时域数学基础数学基础数学基础数学基础拉普拉斯变换拉普拉斯变换线性代数线性代数2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述系统的数学描述系统的数学描述外部外部（输入输入-输出输出）描述）描述内部内部描述描述2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述 这种描述是把系统视为一个“黑箱黑箱”，不去表征不去表征不去表征不去表征系统的内部结构和内部变量内部结构和内部变量，只是反映外部变量组间的因果外部变量组间的因果关系即指输出和输入间的因果关系。1、外部、外部（输入输入-输出输出）描述）描述系统的输入输出描述框图系统的
6、输入输出描述框图系统的输入输出描述框图系统的输入输出描述框图2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述在经典控制理论中所学的传递函数传递函数传递函数传递函数就是一种外部描述外部描述外部描述外部描述。黑箱黑箱黑箱黑箱1）SISO系统系统2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2 2）MIMOMIMO系统系统系统系统传递函数矩阵传递函数矩阵2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2 2、系统内部描述（、系统内部描述（状态空间描述）状态空间描述） （ state space description） 动力动力学部件学部件 输出部件输出部件用微分（差分）方程组来描述用微分（
7、差分）方程组来描述代数方程组来描述代数方程组来描述动态系统结构示意图动态系统结构示意图表达输入引起表达输入引起表达输入引起表达输入引起状态变化的状态变化的状态变化的状态变化的运运运运动动动动表达状态引起表达状态引起表达状态引起表达状态引起输出变化的输出变化的输出变化的输出变化的变变变变换换换换过程过程过程过程2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述输入变量输入变量 状态方程状态方程状态方程状态方程（一阶微分方（一阶微分方（一阶微分方（一阶微分方程组）程组）程组）程组）输出方输出方输出方输出方（代数方程）（代数方程）（代数方程）（代数方程）输出变量输出变量状态状态变量变量状态空间描述状
8、态空间描述2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.1 基本概念n2.1.1 几个定义几个定义n2.1.2 状态空间表达式的一般形式状态空间表达式的一般形式n2.1.3 状态空间表达式的系统方框图状态空间表达式的系统方框图n2.1.4 状态空间表达式的状态变量图状态空间表达式的状态变量图2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.1.1几个定义（几个定义（重点掌握的基本概念重点掌握的基本概念）设有一个质量为设有一个质量为m m的的质点质点vxF(t)mxm: 质量质量;a(t) : t时刻质点的时刻质点的加速度加速度; ; F(t) : 时间时间 t0,t上加在质点上的上
9、加在质点上的外力（外力（输入输入）;v(t) : t时刻质点的时刻质点的速度速度;x(t): t时刻质点的时刻质点的加速度加速度.2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述n其运动方程由其运动方程由据据牛顿第二定律牛顿第二定律描述为描述为: :x(t0)和和 v(t0) 分别为分别为位移位移和和速度速度的的初始值初始值.输入输入输入输入 输入输入输入输入2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述(1)(1)状态状态：系统系统过去过去、现在现在和和将来将来的的状况状况x(t0)和和 v(t0) 可以表示质点的可以表示质点的过去的初始状过去的初始状况况；x(t)和和 v(t) 可以
10、表示质点的可以表示质点的t 时刻的当前状时刻的当前状况况；几个定义几个定义2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述(2)(2)状态变量状态变量： 能够完全表征系统能够完全表征系统运动状态运动状态的的最小最小最小最小一组变量一组变量一组变量一组变量：表示系统表示系统 时刻的状态时刻的状态 当当时时的的输输入入给给定，且上述定，且上述时时的的行行行行为为为为 状态确定时，状态确定时，状态变量状态变量状态变量状态变量能完全能完全能完全能完全确定确定确定确定系统系统初始初始在在2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述哪组哪组最小的变量最小的变量能完整地完整地描述系统的状态状态状态状
11、态？vxF(t)mxx(t)能够能够完全完全表征系统表征系统运动状态运动状态吗？吗？ v(t)呢呢？ 2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述取取 x(t) 和和 v(t)为两状态变量，则为两状态变量，则 和F F( (t t) ) (t t t t0 0)确定确定x(t) 和和 v(t)能为能为能能完整地完整地描述系统的描述系统的动力学动力学行行为的为的最小最小一组一组变量（变量（状态变量状态变量）. 结论结论结论结论2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述作为分量的作为分量的向量向量，即，即(3) (3) 状态向量状态向量：以系统的：以系统的 个个独立状态变量独立状态变
12、量为质量系统的为质量系统的状态向量状态向量状态向量状态向量。例如：例如：令2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述则有：则有：表达系统任意表达系统任意t时刻的状态时刻的状态。表示系统的系统的表示系统的系统的初始状态初始状态初始状态初始状态 。2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述0xvExample:两维状态空间两维状态空间 (4) (4) 状态空间状态空间: : 以状态变量以状态变量 维维空空间间。标轴构成的标轴构成的为坐为坐例如：例如：考虑到状态向量的每个分量只能取实数值，因此状态空间是建立在实数域上实数域上实数域上实数域上的向量空间，其维数为n，记为R n。状态空间
13、中的每一点每一点每一点每一点都代表了状态变量状态变量唯唯一的、特定的一的、特定的一组值一组值，而状态随时间的变化过程状态随时间的变化过程状态随时间的变化过程状态随时间的变化过程，则构成了状态空间中的一条轨迹轨迹轨迹轨迹，称为状态轨线状态轨线状态轨线状态轨线。2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述(5)(5)状态方程状态方程：描述系统状态与输入之间关系：描述系统状态与输入之间关系的的一阶一阶微分（微分（差分差分）方程（）方程（组组）：状态方程有何特点？状态方程有何特点？你如何建立状态方程你如何建立状态方程？思考：思考：系统阵系统阵系统阵系统阵控制阵控制阵向量-矩阵形式：状态向量：输入
14、向量：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述例如质量系统的例如质量系统的状态方程状态方程为：为：一阶微分一阶微分一阶微分一阶微分方程组方程组方程组方程组2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述(6)输出方程输出方程输出方程输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关：描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式：系的数学表达式：向量-矩阵形式：输出阵输出阵直接传递直接传递(转移转移)矩阵矩阵输出向量：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述例如：对于质量系统：例如：对于质量系统：若若测量测量速度速度：向量-矩阵形式：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述
15、(7)(7)状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式：对于质量系统：对于质量系统：输入变量输入变量u u状态方程状态方程状态方程状态方程输出方程输出方程输出方程输出方程状态变量状态变量x输出变量输出变量y y返回返回返回返回2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.1.2 2.1.2 状态空间表达式的一般形式：状态空间表达式的一般形式：状态方程状态方程 输出方程输出方程动态系统结构示意图动态系统结构示意图1、状态空间的描述、状态空间的描述2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述连续时间系统连续时间系统连续时间系统连续时间系统(1)(1)非线性系统非线性系统
16、表示为向量方程形式：表示为向量方程形式：表示为向量方程形式：表示为向量方程形式：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述(2)(2)线性系统线性系统系统系统( (状态矩阵状态矩阵) )控制矩阵控制矩阵直接传递直接传递( (转移转移) )矩阵矩阵输出矩阵输出矩阵2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述（3）线性）线性时变时变系统系统线性系统是实际非线性对象的非线性对象的线性化近似线性化近似；线性系统的处理方法可以为为非线性非线性系统问题的解决系统问题的解决提供思路。提供思路。2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述主要研究以下状态方程描述的线性时不变线性时不变（LT
17、I）系统系统的分析和综合问题分析和综合问题：惯性系统：惯性系统：（4）线性时不变（）线性时不变（LTI）系统（）系统（重点重点）2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述（5）离散系统的状态空间描述）离散系统的状态空间描述非线性系统非线性系统非线性系统非线性系统线性系统线性系统线性系统线性系统2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2、系统状态空间描述列写举例、系统状态空间描述列写举例例例2.1.1 2.1.1 系统如图所示系统如图所示解：根据电路原理，得解：根据电路原理，得2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述(1)令令得其得其状态空间表达式状态空间表达式状态变
18、量具有明确的物理意义状态变量具有明确的物理意义2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述根据电路原理，得根据电路原理，得另一另一状态空间表达式状态空间表达式(1)令令该状态变量没有直观的物理意义2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述其向量矩阵向量矩阵形式2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述非奇异变换阵非奇异变换阵2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述状态变量的特点状态变量的特点状态变量的特点状态变量的特点（重点，难点重点，难点重点，难点重点，难点）(1)(1)独立性独立性：状态变量之间：状态变量之间线性独立线性独立. .(3(3) )等价性等价性：
19、两个：两个状态向量之间状态向量之间只差一个只差一个非奇异非奇异变换变换. .(4)(4)现实性现实性：状态变量通常取为：状态变量通常取为涵义明确的物理量涵义明确的物理量. .(5(5) )抽象性抽象性：状态变量可以：状态变量可以没有没有直观的物理意义直观的物理意义. .(2)多样性多样性：状态变量的选取：状态变量的选取非唯一性非唯一性，状态方状态方程程的的多样性多样性，但，但状态变量的状态变量的个数不变个数不变.2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述列写状态方程的步骤（列写状态方程的步骤（p12）n1、确定输入输出变量输入输出变量；n2、将系统划分为若干子系统，列写各子系统子系统的
20、微分方程的微分方程；n3、根据各子系统微分方程的阶次微分方程的阶次，选择状态选择状态变量变量写成写成向量微分方程向量微分方程的形式（状态方程）:n4、按照输出变量是状态变量的线性组合输出变量是状态变量的线性组合，写成向量代数方程向量代数方程的形式（输出方程输出方程）返回返回返回返回2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.1.3状态空间表达式的系统方框图状态空间表达式的系统方框图线性系统的方框图线性系统的方框图返回返回返回返回2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.1.4 2.1.4 状态空间表达式的状态变量图（状态空间表达式的状态变量图（重点重点）1x2x21xx+
21、加法器加法器积分器积分器)(tx&)(tx )(tx&)(txkkxxkkxx放大器放大器2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述例例2.1.1 2.1.1 设一阶系统状态方程为设一阶系统状态方程为则其状态图为则其状态图为bax&+ux绘制步骤绘制步骤：（：（1 1） 绘制绘制积分器积分器 （2 2） 画出画出加法器加法器和和放大器放大器 （3 3） 用用线线连接连接各元件各元件，并用，并用箭头箭头 示出示出信号传递的方向信号传递的方向。2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述例例2.1.2 2.1.2 设三阶系统状态空间表达式为设三阶系统状态空间表达式为状态变量图状态变量
22、图状态变量图状态变量图的绘绘绘绘制思路制思路制思路制思路是什么？2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述则其则其状态图状态图为为质量系统的状态变量图质量系统的状态变量图如何绘制？如何绘制？返回返回返回返回2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.22.2传递函数与传递函数阵传递函数与传递函数阵n2.2.1 SISO2.2.1 SISO系统系统n2.2.2 MIMO2.2.2 MIMO系统系统2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.2.1 SISO2.2.1 SISO系统系统取取L氏变换得：氏变换得：A A的的特征值特征值特征值特征值即为即为系统的极点系统的极
23、点系统的极点系统的极点。2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.2.2 MIMO2.2.2 MIMO系统系统其中：其中：返回返回返回返回2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2 2.3 .3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立（重点重点）n2.3.1.2.3.1.由物理机理直接建立状态空间表由物理机理直接建立状态空间表达式达式n2.2.3.2 3.2 根据高阶微分方程求状态空间表根据高阶微分方程求状态空间表达式达式 2.3.3. 2.3.3. 根据传递函数求状态空间表达式：根据传递函数求状态空间表达式：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述n 建立状
24、态空间表达式，首要问题是选取状选取状态变量态变量。在保证状态变量的独立性状态变量的独立性的前提下，通常选取状态变量采取以下三种途径三种途径：n（1）物理变量：物理变量：选择系统中贮能元件贮能元件的输出输出物理量物理量作为状态变量。n（2）相变量：相变量：选择系统的输出输出及其各阶导数及其各阶导数作为状态变量。n（3）标准型变量：标准型变量：选择能使状态方程成为某某种标准形式种标准形式的变量变量作为状态变量。2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.3.1.2.3.1.由物理机理直接建立状态空间表达式由物理机理直接建立状态空间表达式：对于实际的物理系统，一般情况下，储能元件对于实际的
25、物理系统，一般情况下，储能元件的的个数决定个数决定系统的阶次即系统的阶次即（状态变量的个数状态变量的个数）。）。由物理机理建立状态空间表达式时，以由物理机理建立状态空间表达式时，以取物理取物理取物理取物理变量变量变量变量为状态变量时，一般取为状态变量时，一般取储能元件的输出变储能元件的输出变储能元件的输出变储能元件的输出变量量量量为为状态变量。状态变量。状态变量。状态变量。状态变量的状态变量的现实性现实性2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述表表2-1 :2-1 :常见的主要贮能元件及其能量方程常见的主要贮能元件及其能量方程贮能元件质量 (m)转动惯量 (J)电容 ( C )电感
26、( )弹簧 ( k )能量方程储能元件储能元件的输出量的输出量速度 (v)位移 (x)角速度角速度：角度角度：电压：u电流：i位移：x能量形式动能 动能电能磁能势能2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述例例2.3.1 2.3.1 系统如图所示系统如图所示解：选择状态变量：解：选择状态变量：根据基尔霍夫电流电压定律得：整理得：整理得：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述状态方程状态方程：输出方程输出方程：由得2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述 写成矩阵形式写成矩阵形式还可以取别的还可以取别的状态变量吗？状态变量吗？2024年7月26日第二章 控制系统的状
27、态空间描述uLcu2R1RLiCi不可以选择状态变量不可以选择状态变量体现了状态变体现了状态变量的量的多样性多样性和和状态变量状态变量个数个数的的不变性不变性状态变量的状态变量的独立性独立性还可以选状态变量为：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述例例2.3.2 2.3.2 系统如图系统如图输入输入输出输出转动惯量，转动惯量，转动惯量，转动惯量， 粘性摩擦常数，粘性摩擦常数，粘性摩擦常数，粘性摩擦常数， 电磁转矩常数，电磁转矩常数，电磁转矩常数，电磁转矩常数， 电势常数电势常数电势常数电势常数2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述取取状态变量状态变量: :由电压定理：由
28、电压定理：由电压定理：由电压定理：由转矩平衡定律：由转矩平衡定律：由转矩平衡定律：由转矩平衡定律：如何选择状如何选择状态变量？态变量？有哪些储能元件？其输出有哪些储能元件？其输出变量分别是什么？变量分别是什么？2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述输出方程：输出方程：状态方程：状态方程：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述写成写成矩阵形式矩阵形式的的状态空间表达式状态空间表达式为：为：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述例例2.3.32.3.3：倒立摆装置：倒立摆装置用小车的位移位移和速度速度及摆杆偏离垂线的角度角度和角速度角速度来描述系统的动态特性小球
29、中心位置中心位置:水平方向水平方向:垂直方向垂直方向:g：重力加速度小车的水平位移水平位移：y2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述考虑在垂直位置附近垂直位置附近的线性化线性化模型2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述线性模型只线性模型只在在局部有效局部有效2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述n以上三例是结构和参数结构和参数已知已知的系统建立状态空间表达式空间模型的方法，对结结构和参数未知构和参数未知的系统，通常通过辨识的辨识的途径确定其数学模型途径确定其数学模型，可参考系统辨识系统辨识及其及其MATLAB仿真仿真或相关相关系统辨识与参系统辨识与参数估计数
30、估计的书籍。2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述的情形（的情形（不含输入的导数项不含输入的导数项）：）： 化为化为能控标准型能控标准型能控标准型能控标准型取取状态变量状态变量(相变量相变量)：a). 2.2.3.2 3.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式根据高阶微分方程求状态空间表达式2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述则有：则有：即即2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述写成矩阵形式：写成矩阵形式：其中：其中：称为称为友矩阵友矩阵。能控标准型能控标准型能控标准型能控标准型2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述取状态变量：取状态变量：化为化
31、为能观测标准型能观测标准型能观测标准型能观测标准型2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述整理得：整理得：能观标准型能观标准型2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述的情形：的情形：计算：计算：算法算法2（算法（算法1 1见见2.2.32.2.3传递函数转换成状态方程）传递函数转换成状态方程）2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述定义状态变量定义状态变量: :2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述写成矩阵形式的状态空间表达式写成矩阵形式的状态空间表达式2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.3.3. 2.3.3. 根据传递函数求状态空间
32、表达式根据传递函数求状态空间表达式(1) (1) 直接分解法直接分解法单输入单输出单输入单输出线性定常系统线性定常系统传递函数传递函数：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述分子分母同时除以2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述对于令则有2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述对于对于令：令：分别表示分别表示2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述状态空间表达式为：状态空间表达式为：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述例例2.2.3 2.2.3 考虑系统考虑系统试写出其试写出其能控标准型
33、能控标准型状态空间表达式状态空间表达式。则状态空间表达式为：则状态空间表达式为：选择选择状态变量状态变量状态变量状态变量：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述(2) (2) (2) (2) 串联分解法串联分解法串联分解法串联分解法2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述思路思路：将每个串联环节写成积分积分环节的表达式，每个积分环节环节的表达式，每个积分环节的输出为一的输出为一状态变量。状态变量。2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述(3) (3) (3) (3) 并联分解法并联分解法并联分解法并联分解法极点两两相异时极点两两相异时极点两两相异时极点两两相异时
34、其中：其中：令：令：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述则有：则有：则有：则有：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述系统的矩阵式表达：系统的矩阵式表达：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述传递函数有重根时传递函数有重根时传递函数有重根时传递函数有重根时2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述对上面方程的L氏变换后得到2024年7月26日第二章 控
35、制系统的状态空间描述2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述例解2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.4 组合系统n2.4.1 2.4.1 并联并联n2.4.2 2.4.2 反馈反馈2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.4.1 2.4.1 并联并联系统如图，二子系统并联连接系统如图，二子系统并联连接特点：特点：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.4.2 2.4.2 反馈反馈特点特点特点特点：(1)(1)(1)(1) 动态反馈动态反馈动态
36、反馈动态反馈2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述传递矩阵：传递矩阵：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述(2) (2) (2) (2) 静态（静态（静态（静态（常数常数常数常数）反馈）反馈）反馈）反馈闭环闭环系统系统状态空间描述状态空间描述为：为：闭环闭环系统系统传递矩阵传递矩阵为：为：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.5 线性变换n2.5.1系统状态的线性变换n2.5.2把状态方程变换为对角标准型n2.5.3若当标准型n2.5.4系统经状态变换后特征值及传递函数矩阵的不变性2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.5.1 2.5.1
37、 状态向量的线性变换状态向量的线性变换考虑系统：考虑系统：取线性取线性非奇异非奇异非奇异非奇异变换变换变换变换：, ,矩阵矩阵P P P P非奇异非奇异2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述整理得：整理得：其中：其中：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述例例2.5.1 2.5.1 考虑系统考虑系统取变换：取变换：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述状态空间表达式变为：状态空间表达式变为：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.5.2 2.5.2 把把状态方程状态方程状态方程状态方程变换为变换为对角标准型对角标准型（ diagonal can
38、onical formdiagonal canonical form ）给定系统状态方程2）特征向量：1）特征值：， 为矩阵A的特征值。则定义2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述对角标准型：对角标准型：1）特征值两两互异）特征值两两互异2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2）存在重特征值）存在重特征值n n 阶系统矩阵阶系统矩阵 存在存在m互异互异的特征值的特征值 和和n-mn-m相同的特征值相同的特征值相同的特征值相同的特征值对应的对应的特征向量特征向量线性无关线性无关，则存在，则存在非奇异非奇异变换阵变换阵P P
39、使使A A对角化对角化对角化对角化。2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2）A阵为友矩阵阵为友矩阵n n 阶系统矩阵阶系统矩阵 若若A阵为阵为友矩阵友矩阵友矩阵友矩阵即即 且且特征值两两互异特征值两两互异，则此时化状态方程为，则此时化状态方程为对角标准形对角标准形的的变换阵变换阵变换阵变换阵可选为可选为范德蒙德（范德蒙德（范德蒙德（范德蒙德（VandermondeVandermonde）矩阵）矩阵）矩阵）矩阵：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述充要条件充要条件：n n 阶系统矩阵阶系统矩阵 A A 有有n n 个线
40、性无关的个线性无关的特征向量。特征向量。化对角标准型的步骤：化对角标准型的步骤：求取系统矩阵求取系统矩阵的的 个个特征根特征根特征根特征根和对应的和对应的特征向量特征向量特征向量特征向量令令 2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述例例2.5.2 2.5.2 将下系统化为对角标准型将下系统化为对角标准型2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述解：解：1)1) 求系统特征根求系统特征根2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2)2)求特征向量求特征向量对对由由得得2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述对对由由得得2024年7月26日第二章 控制系统的状态
41、空间描述对对由由得得2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述3) 3) 新的状态方程为：新的状态方程为：构成状态转移矩阵构成状态转移矩阵 2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述21/s251/s21/s-1UY2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述 讨论（对角标准形的优越性）讨论（对角标准形的优越性）1)1)1)1)状态解耦状态解耦状态解耦状态解耦2)2)2)2)容易求矩阵指数容易求矩阵指数容易求矩阵指数容易求矩阵指数3)3)3)3)容易判断系统的可控性和可观测性容易判断系统的可控性和可观测性容易判断系统的可控性和可观测性容易判断系统的可控性和可观测性4)4)
42、4)4) 容易进行结构分解容易进行结构分解容易进行结构分解容易进行结构分解 5)5)5)5)容易求传递函数容易求传递函数容易求传递函数容易求传递函数6 6 6 6）容易判断系统的稳定性容易判断系统的稳定性容易判断系统的稳定性容易判断系统的稳定性7 7 7 7）当特征值中包含复数特征值时）当特征值中包含复数特征值时）当特征值中包含复数特征值时）当特征值中包含复数特征值时 都将为复都将为复都将为复都将为复数矩阵。数矩阵。数矩阵。数矩阵。 结论：便于系统分析和设计结论：便于系统分析和设计结论：便于系统分析和设计结论：便于系统分析和设计2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.5.3 2.
43、5.3 若当标准型（若当标准型（ Jordan canonical form ）上若当块下若当块2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2 2）矩阵）矩阵）矩阵）矩阵A A若若若若不能化为不能化为不能化为不能化为对角标准形对角标准形对角标准形对角标准形，则一定能化为则一定能化为则一定能化为则一定能化为若当若当若当若当标准形。标准形。标准形。标准形。1）对角标准形对角标准形是若当规范形若当规范形若当规范形若当规范形的特殊形式2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述重特征根重特征根设矩阵设矩阵具有具有变换化为约当标准型。变换化为约当标准型。可通过可通过则则称为广义特征向量。矩阵
44、称为广义特征向量。矩阵线性线性满足满足是是所对应的特征向量。若所对应的特征向量。若2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述求求约当标准型约当标准型约当标准型约当标准型的的步骤步骤步骤步骤：求解求解 令令 2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.5.42.5.4系统经状态变换后特征值及传递函数矩系统经状态变换后特征值及传递函数矩阵的不变性阵的不变性1、特征值的不变性、特征值的不变性2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述1、传递函数的不变性、传递函数的不变性2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.6 离散时间系统状态空间表达式离散时间系统差分方程表
45、示：离散时间系统差分方程表示：其对应脉冲传函为：其对应脉冲传函为：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述1 1、差分方程中不包含输入函数的差分、差分方程中不包含输入函数的差分、差分方程中不包含输入函数的差分、差分方程中不包含输入函数的差分1)1)选择状态变量选择状态变量选择状态变量选择状态变量2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2)2)把高阶差分方程化为一阶差分方程把高阶差分方程化为一阶差分方程把高阶差分方程化为一阶差分方程把高阶差分方程化为一阶差分方程2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述3)3)向量方程向量方程向量方程向量方程控制矩阵控制矩阵系统矩阵系
46、统矩阵输出矩阵输出矩阵2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2 2、差分方程中包含输入函数的差分、差分方程中包含输入函数的差分、差分方程中包含输入函数的差分、差分方程中包含输入函数的差分其对应脉冲传函为：其对应脉冲传函为：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述定义：定义：取：取：对其进行对其进行Z 反变换得：反变换得： 2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述写成矩阵形式：写成矩阵形式：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述化简得：化简得：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述例例2.6
47、.1 2.6.1 考虑离散系统考虑离散系统试写出其状态空间表达式。试写出其状态空间表达式。得状态空间表达式为：得状态空间表达式为：解：取解：取Z变换得变换得2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述MIMOMIMO离散时间系统的状态空间表达式：离散时间系统的状态空间表达式：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.72.7用用MATLABMATLAB分析状态空间模型分析状态空间模型n n2.7.12.7.12.7.12.7.1传递函数的输入传递函数的输入传递函数的输入传递函数的输入n n2.7.22.7.22.7.22.7.2状态空间模型的输入状态空间模型的输入状态空间模型
48、的输入状态空间模型的输入n n2.7.32.7.32.7.32.7.3两种模型间的转换两种模型间的转换两种模型间的转换两种模型间的转换2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述考虑线性定常系统线性定常系统： 式中u为输入，y为输出。该式也可写为 2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.7.12.7.1传递函数的输入传递函数的输入2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.7.22.7.2状态空间模型的输入状态空间模型的输入2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2.7.32.7.3两种模型间的转换两种模型间的转换n1、由传递函数变换为状态方程由传递函数
49、变换为状态方程n将闭环传递函数闭环传递函数写为 n当有了这一传递函数表达式后，使用如下MATLAB命令：n n A, B, C, DA, B, C, D = tf2ss ( = tf2ss (num, dennum, den) )。 2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述n任何系统的状态空间表达式都不是唯一的不是唯一的。对于同一系统，可有许多个（无穷多个）状态空间表达式。上述MATLAB命令仅给出了仅给出了仅给出了仅给出了一种可能一种可能一种可能一种可能的的的的状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式。2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述例如：考虑以下
50、传递函数其中的一种可能一种可能一种可能一种可能的状态空间表达式为： 2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述其另外一种可能的另外一种可能的另外一种可能的另外一种可能的状态空间表达式为：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述MATLAB Program 1-1Num=0 0 1 0;Den=11456160;A,B,C,D = tf2ss(num,den)A= -14-56 -160 1 0 0 0 1 0B= 1 0 0C= 0 1 0D= 02024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2、由、由状态空间表达式状态空间表达式到到传递函数传递函数的变换的变换 为了从状
51、态空间方程得到传递函数，采用以下命令：对多输入的系统，必须具体化iu。例如，如果系统有3个输入（u1,u2,u3），则iu必须为1、2或3中的一个，其中1表示u1,2表示u2,3表示u3。 num,den = ss2tf A,B,C,D,iu num,den = ss2tf (A,B,C,D)或num,den = ss2tf (A,B,C,D,1)如果系统只 有一个输入，则可采用：2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述例：试求下列状态方程所定义的系统的传递函数。2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述MTLAB Program 1-2A=0 1 0; 00 1; -5.0
52、08 -25.1026 -5.032471;B=0; 25.04; -121.005;C=1 0 0;D=0;num,den=ss2tf(A,B,C,D)num= 0 -0.0000 25.0400 5.0080den= 1.0000 5.0325 25.1026 5.0080%*The same result can be obtained by entering the following command*num,den=ss2tf(A,B,C,D,1)num= 0 -0.0000 25.0400 5.0080den= 1.0000 5.0325 25.1026 5.00802024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述 本章小节n本章必须掌握的内容:n基本概念基本概念n n状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立( ( ( (重点重点重点重点) ) ) )n微分方程n传递函数n物理系统n状态变量图的绘制状态变量图的绘制( (重点重点) )n线性变换n 对角标准形n 约当标准形n本章难点:n状态变量的选择n 非奇异矩阵的求取2024年7月26日第二章 控制系统的状态空间描述 本章结束
