《概率论-数理统计假设检验第1讲课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论-数理统计假设检验第1讲课件（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.1 8.1 假设检验的概念假设检验的概念 当总体分布函数完全未知或只知其形式、当总体分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况，为推断总体的性质，提但不知其参数的情况，为推断总体的性质，提出某些关于总体的假设。出某些关于总体的假设。 为判断所作的假设是否正确为判断所作的假设是否正确, , 从总体中抽从总体中抽取样本取样本, , 根据样本的取值根据样本的取值, , 按一定的原则进按一定的原则进行检验行检验, , 然后然后, , 作出接受或拒绝所作假设的作出接受或拒绝所作假设的决定决定. .何为何为假设检验假设检验? ? 其理论背景为实际推断原理，即其理论背景为实际推断原理，即“小概率原
2、小概率原理理”, ,其想法和前面的最大似然类似：如果实际其想法和前面的最大似然类似：如果实际观测到的数据在某假设下不太可能出现观测到的数据在某假设下不太可能出现, 则认为则认为该假设错误。该假设错误。我们主要讨论的假设检验的内容有我们主要讨论的假设检验的内容有参数检验参数检验非参数检验非参数检验: 总体均值、均值差的检验总体均值、均值差的检验总体方差、方差比的检验总体方差、方差比的检验分布拟合检验分布拟合检验假设检验的理论依据假设检验的理论依据例例 1: 某产品的出厂检验规定某产品的出厂检验规定: 次品率次品率 p 不超过不超过4%才能出厂才能出厂. 现从一万件产品中任意抽查现从一万件产品中任
3、意抽查12件件发现发现3件次品件次品, 问该批产品能否出厂？若抽查结问该批产品能否出厂？若抽查结果发现果发现1件次品件次品, 问能否出厂？问能否出厂？解解: 先作一个假设。先作一个假设。在在H0成立时成立时我们称我们称H0是原假设或零假设是原假设或零假设.再作一个备择假设再作一个备择假设这不是这不是 小概率事件小概率事件, 没理由拒绝原假设没理由拒绝原假设。在不。在不准备继续抽样的情况下，作出接受原假设的决准备继续抽样的情况下，作出接受原假设的决定定, 即该批产品可以出厂即该批产品可以出厂.这是这是 小概率事件小概率事件, 一般在一次试验中是不会发一般在一次试验中是不会发生的生的, 现一次试验
4、竟然发生现一次试验竟然发生, 故可认为原假设不故可认为原假设不成立成立, 即该批产品次品率即该批产品次品率p0.04 , 则该批产品不则该批产品不能出厂能出厂.若抽查结果发现若抽查结果发现1件次品件次品, 则则在在H0成立时成立时例例2:2: 一条新建的南北交通干线全长一条新建的南北交通干线全长1010公里公里. .公路公路穿过一个隧道穿过一个隧道( (长度忽略不计长度忽略不计),),隧道南面隧道南面3.53.5公里公里, , 北面北面6.56.5公里公里. . 在刚刚通车的一个月中在刚刚通车的一个月中, , 隧道南隧道南发生了发生了3 3起交通事故起交通事故, , 而隧道北没有发生交通事而隧
5、道北没有发生交通事故故, ,能否认为隧道南的路面更容易发生交通事故能否认为隧道南的路面更容易发生交通事故? ?分析分析: : 用用p表示一起交通事故发生在隧道南的概表示一起交通事故发生在隧道南的概率率. .则则p=0.35表示隧道南北的路面发生交通事故表示隧道南北的路面发生交通事故的可能性相同的可能性相同. .p0.35表示隧道南的路面发生交表示隧道南的路面发生交通事故的概率比隧道北的路面发生交通事故的通事故的概率比隧道北的路面发生交通事故的概率大概率大. . -为了作出正确的判断为了作出正确的判断, , 先作一个假设先作一个假设 H0: p=0.35. 我们称我们称H0是原假设或零假设是原假
6、设或零假设. . 再作一个备择假设再作一个备择假设 H1: : p 0.35. .在本问题中在本问题中, ,如果判定如果判定H0不对不对, ,就应当承认就应当承认H1. .检验检验: 三起交通事故的发生是相互独立的三起交通事故的发生是相互独立的, 他他们之间没有联系们之间没有联系. 如果如果H0为真为真, 则每一起事故发生在隧道南的则每一起事故发生在隧道南的概率都是概率都是0.35, 于是这三起交通事故都发生在隧于是这三起交通事故都发生在隧道南的概率是道南的概率是 P= 0.353 0.043.这是一个很小的概率这是一个很小的概率, 一般不容易发生一般不容易发生. 所以我们否定所以我们否定H0
7、, 认为隧道南的路面发生认为隧道南的路面发生交通事故的概率比隧道北大交通事故的概率比隧道北大. 做出以上结论也有可能犯错误。做出以上结论也有可能犯错误。这是因为这是因为当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同, 而而3起交通事故又都出现在隧道南时起交通事故又都出现在隧道南时, 我们才犯我们才犯错误。错误。这一概率正是这一概率正是P=0.043. 于是于是, 我们我们判断正确的概率是判断正确的概率是1-0.043=95.7% 假设检验中的基本概念和检验思想假设检验中的基本概念和检验思想(1) 根据问题的背景根据问题的背景, 提出原假设提出原假设(2) H0:
8、p=0.35, 及其备择假设及其备择假设 H1: p0.35.(2) 在在H0 成立的假设下成立的假设下, 计算观测数据出现的计算观测数据出现的概率概率P. 如果如果P很小很小(一般用一般用0.05衡量衡量), 就应当否定就应当否定H0, 承认承认 H1; (3) 为了简便为了简便, 我们把以上的原假设和备择假我们把以上的原假设和备择假设记作设记作 H0: p=0.35 vs H1: p0.35. 其中的其中的vs是是versus的缩写的缩写. 如果如果P不是很小不是很小, 也不必急于承认也不必急于承认H0, 这是因这是因为证据往往还不够充分为证据往往还不够充分. 如果继续得到的观测数据还不能
9、使得如果继续得到的观测数据还不能使得P降低下降低下来来, 再承认再承认H0不迟不迟. 例例 3. 某厂生产的螺钉某厂生产的螺钉, ,按标准强度为按标准强度为6868克克/mm/mm2 2, , 而实际生产的螺钉强度而实际生产的螺钉强度 X 服从服从 N ( ,3.6 2 ). 若若 E ( X ) = = 68, , 则认为这批螺钉符合要求则认为这批螺钉符合要求, ,否则否则认为不符合要求认为不符合要求. .为此提出如下为此提出如下原假设原假设H0 : = 68 和和备择假设备择假设问原假设是否正确问原假设是否正确? ?H1 : 68 现从该厂生产的螺钉中抽取容量为现从该厂生产的螺钉中抽取容量
10、为 36 36 的样本的样本, , 其样本均值为其样本均值为解：解：构造构造检验统计量检验统计量又因为又因为 是是 的无偏估计。则它偏离的无偏估计。则它偏离68不应该太远不应该太远, 偏离较远是小概率事件。偏离较远是小概率事件。故故 取较大值也是小概率事件。取较大值也是小概率事件。若原假设若原假设H0 0正确正确, , 则则由于由于如如 = 0.05= 0.05。确定一个常数确定一个常数 c , 使得使得则则规定规定 为小概率事件的概率大小为小概率事件的概率大小, ,也是显著水平。也是显著水平。通常取通常取 = 0.05, 0.01,= 0.05, 0.01,由由于是检验的于是检验的拒绝域拒绝
11、域为为 现根据样本观测值，现根据样本观测值，现现未落入未落入拒绝域拒绝域, , 则接受原假设则接受原假设H0: = 68参数检验的一般提法参数检验的一般提法 一般来讲一般来讲, 设设X1, X2,Xn是来自总体是来自总体X的样的样本本, 是总体是总体X的未知参数的未知参数, 但是已知但是已知 0 1, 它们它们是互不相交的参数集合是互不相交的参数集合. 对于假设对于假设 H0: 0 vs H1: 1, 根据样本，构造一个根据样本，构造一个检验统计量检验统计量T 和和检验法则：检验法则： 若与若与T的取值有关的一个的取值有关的一个小概率事件小概率事件W发生，则发生，则否定否定H0，否则接受，否则
12、接受H0，而且要求，而且要求此时称此时称W为为拒绝域拒绝域， 为为检验水平检验水平。 -否定否定H0 解决假设检验的问题时解决假设检验的问题时, 无论作出否定还无论作出否定还是接受原假设是接受原假设H0的决定的决定, 都有可能犯错误都有可能犯错误. 我我们称否定们称否定H0时犯的错误为第一类错误时犯的错误为第一类错误, 接受接受H0时犯的错误为第二类错误时犯的错误为第二类错误. 具体如下具体如下,(1) H0为真为真, 统计推断的结果统计推断的结果否定否定H0, 犯犯第一类第一类 错误错误, 犯该错误的概率不超过犯该错误的概率不超过 。(2) H0为假为假, 统计推断的结果统计推断的结果接受接
13、受H0, 犯犯第二类第二类 错误错误，我们记犯该错误的概率为，我们记犯该错误的概率为 。H0 为真为真H0 为假为假真实情况真实情况所作判断所作判断接受接受 H0拒绝拒绝 H0正确正确正确正确第一类错误第一类错误 ( (弃真弃真) )第二类错误第二类错误 ( (取伪取伪) )假设检验的两类错误假设检验的两类错误犯第一类错误的概率通常记为犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为犯第二类错误的概率通常记为 如在如在例例1中中, 如果第一起交通事故发生后如果第一起交通事故发生后, 就断定隧道南更容易发生交通事故就断定隧道南更容易发生交通事故, 犯第一类犯第一类错误的概率是错误的概率是0
14、.35. 当第二起交通事故发生后当第二起交通事故发生后, 断定隧道南更容易发生交通事故断定隧道南更容易发生交通事故, 犯第一类错犯第一类错误的概率是误的概率是0.352=0.1225. 如果第四起交通事故如果第四起交通事故又发生在隧道南又发生在隧道南, 否定否定p=0.35时犯第一类错误时犯第一类错误的概率是的概率是0.354=0.015.P( (拒绝拒绝H0|H0为真为真) )在在例例3 中中 希望所用的检验方法尽量少犯错误希望所用的检验方法尽量少犯错误, ,但不但不能完全排除犯错误的可能性能完全排除犯错误的可能性. .理想的检验方法理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小应使犯两类错误的概
15、率都很小, ,但在样本的容但在样本的容量给定的情形下量给定的情形下, , 不可能使两者都很小不可能使两者都很小, ,降低降低一个一个, , 往往使另一个增大往往使另一个增大. . 假设检验的指导思想假设检验的指导思想是是控制犯第一类错误控制犯第一类错误的概率不超过的概率不超过 , ,然后然后, ,若有必要若有必要, ,通过增大样通过增大样本容量的方法来减少本容量的方法来减少 . . 一般一般, ,作假设检验时作假设检验时, ,先控制犯第一类先控制犯第一类错误的概率错误的概率 , , 在保证在保证 的条件下使的条件下使 尽量地小尽量地小. .要降低要降低 一般要增大样本容量一般要增大样本容量.
16、.当当H H0 0不真时不真时, ,参数值越接近真值参数值越接近真值, , 越大越大. .备择假设可以是单侧备择假设可以是单侧, ,也可以是双侧的也可以是双侧的. .原假设原假设 H0 : = 68； 备择假设备择假设 H1 : 68注注 1 1 注注 2 2 例例3 3中的备择假设是双侧的中的备择假设是双侧的. .如果根据以往如果根据以往的生产情况的生产情况, , 0 0=68.=68.现采用了新工艺现采用了新工艺, ,关心的关心的是新工艺能否提高螺钉强度是新工艺能否提高螺钉强度, , 越大越好越大越好. .此此时时, , 可作如下的假设检验可作如下的假设检验: :当当原假设原假设H0 :
17、= 0 = 68 为真时为真时, ,取较大值的概率较小取较大值的概率较小当当备择假设备择假设H1: 68 为真时为真时, ,取较大值的概率较大取较大值的概率较大给定显著性水平给定显著性水平 , , 根据根据可确定可确定拒绝域拒绝域称这种检验为称这种检验为单边检验单边检验. .原假设原假设 H0: 68备择假设备择假设 H1: 68另外另外, ,可设可设若原假设正确若原假设正确, , 要求要求但但现不知现不知 的真值，只知的真值，只知 0 0 = 68= 68。由于。由于且且 所以，只要取所以，只要取C = z ，可得，可得于是于是为为小概率事件。小概率事件。故取拒绝域为故取拒绝域为此时，犯第一
18、类错误的概率此时，犯第一类错误的概率 。关于零假设与备择假设的选取关于零假设与备择假设的选取H0与与H1地位应平等地位应平等, ,但在控制犯第一类错误但在控制犯第一类错误的概率的概率 的原则下的原则下, ,使得采取拒绝使得采取拒绝H H0 0 的决的决策变得较慎重策变得较慎重, ,即即H0 得到特别的保护得到特别的保护. .因而因而, ,通常把有把握的、有经验的结论作为通常把有把握的、有经验的结论作为原假设原假设, ,或者尽可能使后果严重的错误成为或者尽可能使后果严重的错误成为第一类错误第一类错误. .注注 3 3 假设检验步骤假设检验步骤( (三部曲三部曲) ) q 根据实际问题所关心的内容
19、根据实际问题所关心的内容, ,建立建立H0与与H1。q 在在H0为真时为真时,选择合适的统计量选择合适的统计量T, 并并确定确定 拒绝域拒绝域。q 根据样本值计算根据样本值计算, ,并作出相应的判断并作出相应的判断. .8.2 8.2 正态均值的假设检验正态均值的假设检验A. A. 已知已知 时，时， 的的正态正态检验检验法法例例 4: 一台方差是一台方差是0.8克的自动包装机在流水线克的自动包装机在流水线上包装净重上包装净重500克的袋装白糖克的袋装白糖. 现随机抽取了现随机抽取了9袋白糖袋白糖, 测得净重如下测得净重如下(单位单位:克克)： 499.12 499.48 499.25 499
20、.53 500.82 499.11 498.52 500.01 498.87. 能否认为包装机在正常工作能否认为包装机在正常工作? 分析分析: 9袋白糖中有袋白糖中有7袋净重少于袋净重少于500克克, 似乎净重似乎净重0=500不对不对. 但是但是, 方差是方差是0.8克克, 也可能是由于包装机的随也可能是由于包装机的随机误差导致了以上的数据机误差导致了以上的数据.解：解： 将包装机包装的袋装白糖的净重视为总体将包装机包装的袋装白糖的净重视为总体X, 则则X N ( 2)， 其中其中 2 =0.8已知，已知， 未知未知. 在在H0下下, 用用Xj表示第表示第 j 袋白糖的净重袋白糖的净重, 则
21、则X1,X2,X9是来自总体是来自总体X的的n=9个样本个样本. 提出假设提出假设 H0: = 0 vs H1: 0. 若要求若要求对于标准正态分布，对于标准正态分布，c应为其上应为其上/2分位数分位数z/2，于是于是拒绝域拒绝域为为本例中，如果取本例中，如果取 =0.05, 则则 根据抽样数据，得根据抽样数据，得|z| = 1.97时时, 不该发生的小不该发生的小概率事件发生了概率事件发生了, 于是否定原假设于是否定原假设H0. 在例在例4中，中，称为检验的显著性水平称为检验的显著性水平, 简称为简称为显著显著性水平性水平, 检验水平检验水平, 或水平或水平(level); Z称为称为检验统
22、检验统计量计量; |Z| z/2称为检验的称为检验的拒绝域拒绝域或否定域或否定域; -由于这种检验方法是基于正态分布的方由于这种检验方法是基于正态分布的方法法, 所以又称为所以又称为正态检验法或正态检验法或Z检验法检验法.- 拒绝域是一个事件拒绝域是一个事件, 它的发生与否由它的发生与否由|Z|, 从而由观测样本从而由观测样本X1,X2,.,Xn决定决定.- 如果事件如果事件|Z| z /2发生了发生了, 就称检验是显就称检验是显著的著的. 这时否定这时否定H0, 犯第一类错误的概率不超过犯第一类错误的概率不超过。 在例在例4中中, 如果取检验水平如果取检验水平 =0.04, 则临界则临界值值
23、z /2 =2.054 . 这时这时|z|=1.972.054, 不能否定不能否定H0. 这说明在不同的检验水平下可以得到不同这说明在不同的检验水平下可以得到不同的检验结果的检验结果. 降低犯第一类错误的概率降低犯第一类错误的概率, 就会使得拒绝域就会使得拒绝域减小，从而拒绝减小，从而拒绝H0的机会变小，接受的机会变小，接受H0的机会的机会变大。变大。 0 0 0 0 0Z 检验法检验法 ( 2 2 已知已知) )原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量及其检验统计量及其H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域 在例在例4中中, 从实际数据计算得到从实际数据计算得到 |z|=1.97
24、. 如果拒绝域取成如果拒绝域取成 |Z| 1.97, 则刚刚能够拒则刚刚能够拒 绝绝H0. 这时犯第一类错误的概率是这时犯第一类错误的概率是 P=P(|Z|1.97)=0.0488. 我们称我们称P=0.0488是检验的是检验的P值值(P-value). B. B. P 值检验法值检验法 P值越小值越小, 数据提供的否定数据提供的否定H0的证据越充分的证据越充分.如如果检验的显著性水平果检验的显著性水平是事先给定的是事先给定的, 当当P值小值小于等于于等于, 就要否定就要否定H0.C.C.未知未知时，均值时，均值 的的t 检验检验法法例例 5: 在例在例4中如果中如果9个袋装白糖的样品是从超级
25、个袋装白糖的样品是从超级市场仓库中随机抽样得到的市场仓库中随机抽样得到的, 能否认为这批能否认为这批500克袋装白糖的平均重量是克袋装白糖的平均重量是500克克? 标准差标准差 未知未知, 可用样本标准差可用样本标准差S代替代替 .解解: 对对 0=500克克, 仍作假设仍作假设 H0: = 0 vs H1: 0.在在H0下下, 从从 7.3节的定理节的定理3.6知道知道检验统计量检验统计量 说明在说明在H0下下, T在在0附近取值是正常的附近取值是正常的, 如果如果|T|取值较大就应当拒绝取值较大就应当拒绝H0. 根据分位数根据分位数t /2(n-1)的性质的性质, 有有 P(|T| t /
26、2(n-1)= .于是于是H0的显著性水平为的显著性水平为 的的拒绝域拒绝域是是 |T| t /2(n-1) 取取 =0.05, 查表得到查表得到t0.05/2(8)=2.306. 经过经过计算得到计算得到 S=0.676, |T|= 2.609 2.306, 所以应当所以应当否定否定H0, 认为认为500. 作出以上判断也有可能犯错误作出以上判断也有可能犯错误, 但是犯错但是犯错误的概率不超过误的概率不超过 0.05.D.D.未知未知时，均值时，均值 的的单边单边检验检验法法例例6：在例在例5中中, 抽查的抽查的9袋白糖的平均重量袋白糖的平均重量为为499.412克克可以引起我们的怀疑可以引
27、起我们的怀疑. 这批袋装白糖这批袋装白糖的平均重量是否不足呢的平均重量是否不足呢? 解：解：为了解决这个问题为了解决这个问题, 我们提出假设我们提出假设 H0: 500 vs H1: 500 如果否定了如果否定了H0, 就认定这批袋装白糖的份量不足就认定这批袋装白糖的份量不足. 由于由于在在H0下下, 不知道不知道 的具体值的具体值, 所以所以T的分的分布是未知的布是未知的. 但是这时有但是这时有H0: 500 vs H1: 500因为因为 P(T -t (n-1) P( T0 -t (n-1)= , 所以可以构造所以可以构造拒绝域拒绝域为为 T -t (n-1)当当T -t (n-1), 应
28、当否定应当否定H0 在本例中在本例中, 查表得到查表得到-t0.05(8)=-1.86, T=-2.609-1.86, 所以应当否定所以应当否定H0. 认定这批袋装白认定这批袋装白糖的分量不足。这时，糖的分量不足。这时， 犯错误的概率不超过犯错误的概率不超过0.05. 由于这种检验方法是基于由于这种检验方法是基于t分布的方法分布的方法, 所以所以又称为又称为t 检验法检验法. 0 0 0 0 0T 检验法检验法 ( 2 2 未知未知) )原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量及其检验统计量及其H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域例例7: 某厂生产小型马达某厂生产小型马达, 其说
29、明书上写着其说明书上写着: 这这种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会超种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会超过过0.8 安培安培. 现现随随机机抽抽取取16台台马马达达试试验验, 求求得得平平均均消消耗耗电电流流为为0.92安安培培, 消消耗耗电电流流的的标标准准差差为为0.32安安培培. 假假设设马马达达所所消消耗耗的的电电流流服服从从正正态态分分布布, 取取显显著著性性水水平平为为 = 0.05, 问问根根据据这这个个样样本本, 能能否否否定厂方的断言否定厂方的断言?解解 根据题意待检假设可设为根据题意待检假设可设为 H0 : 0.8 vs H1 : 0.8 未知未知, 故故选选检验统
30、计量检验统计量:拒绝域拒绝域为为故接受原假设故接受原假设, 即即不能否定不能否定厂方断言厂方断言. H0 : 0.8 vs H1 : 0.8, 查表得查表得 t0.05(15) = 1.753, 计算得计算得解二解二 H0 : 0.8 ； H1 : 0.8 检验统计量检验统计量:拒绝域拒绝域为为T-t (n-1).查表得查表得 t0.05(15) = 1.753, 计算得计算得故接受原假设故接受原假设, 即即否定否定厂方断言厂方断言. 由例由例7 7可见可见: : 对问题的提法不同对问题的提法不同( (把哪个把哪个假设作为原假设假设作为原假设),),统计检验的结果也会不同统计检验的结果也会不同
31、. . 由于假设检验是控制犯第一类错误的概率由于假设检验是控制犯第一类错误的概率, , 使得拒绝原假设使得拒绝原假设 H0 0 的决策变得比较慎重的决策变得比较慎重, , 也也就是就是H0 0 得到特别的保护得到特别的保护. . 因而因而, ,通常把有把握通常把有把握的的, ,经验的结论作为原假设经验的结论作为原假设, ,或者尽量使后果严或者尽量使后果严重的错误成为第一类错误重的错误成为第一类错误. . 上述两种解法的立场不同，因此得到不同上述两种解法的立场不同，因此得到不同的结论的结论. .第一种假设第一种假设是是不轻易否定厂方不轻易否定厂方的结论；的结论；第二种假设第二种假设是是不轻易相信
32、厂方不轻易相信厂方的结论的结论. .例例8:8:设概率统计考试考生的成绩设概率统计考试考生的成绩 XN ( 2) , , 从中随机地抽取从中随机地抽取3636位考生的成绩，算得平位考生的成绩，算得平均成绩为均成绩为66.566.5分，标准差为分，标准差为1515分分. .问在显著性水问在显著性水平平0.050.05下下, ,是否可以认为这次考试的平均成绩为是否可以认为这次考试的平均成绩为7070分？并给出检验过程分？并给出检验过程 . .解解: 根据题意待检假设可设为根据题意待检假设可设为拒绝域拒绝域为为故接受故接受H0,0,即认为这次考试的平均成绩为即认为这次考试的平均成绩为7070分分. .经计算经计算作业作业: 8.3; 8.6:(1): 8.3; 8.6:(1)，(2);(2); 8.19 8.19
