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1、向量的数量积向量的数量积Fs W=|F|s|cos OABba 功：功：从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念的概念。Fs 两个非零向量两个非零向量 和和 ，作作 ， 与与 反向反向OABOA 与与 同向同向OABB则则 叫做向量叫做向量 和和 的夹角的夹角记作记作与与 垂直，垂直，OAB注意注意:在两向量的夹角在两向量的夹角定义中定义中,两向量必须是两向量必须是同起点同起点的的1.向量之间的夹角二、讲二、讲 新新 课课OAaBb abOAaBb ab 练习：如图，等边三角形中，求练习：如图，等边三角形中，求 （1）AB与与AC的夹角；的夹角； （2
2、）AB与与BC的夹角。的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！试一试吧！试一试吧！ 已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量我们把数量| | | |cos叫做叫做 与与 的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作 =| | | | cosararararararbrbrbrbrbrbr注意：向量的注意：向量的数量积是一个数量积是一个数量。数量。规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0. 叫做向量叫做向量 在在 方向上方向上（或向量（或向量 在在 方向上）的方向上）的投投影影. 叫做向量叫做向量 在在 方向上方
3、向上（或向量（或向量 在在 方向上）的方向上）的投投影影2.2.定义定义 a b = | a | b | coscosa b| a | | b |cosa b| a | | b |=这四个量都是数量，知道其中任意三个量可求出第四个量夹角公式数量积数量积 OAB注意注意：v“ ”不能省略不写，也不能写为“”，数学中“ a b”表示两个向量的向量积(或外积)va b表示数量而不表示向量，与实数a b不 同, a+b 、 a-b表示向量； v规定: 0 a=0 数量积数量积: a b =| a | b |cos 3.3.几 何 意 义: :数量积数量积 a b 等于等于a 的长度的长度| a |与与
4、 b 在在 a 的方的方向上的投影向上的投影| b |cos 的乘积的乘积.AOAOB| b |cos = b| b |cos 0| b |cos 0| b |cos b | b |cos 0OAaBbOAaBbOAaBb 数量积数量积: a b =| a | b |cos B1B1B 向量的数量积是一个向量的数量积是一个数量数量，那么它什，那么它什么时候为正，什么时候为负？么时候为正，什么时候为负？ =| | | | cosararbrbr当当 =90时时 为零。为零。arbr当当90 180时时 为负。为负。arbr当当0 90时时 为正；为正；arbr(3)当a与b同向时,a b= |a
5、|b|; 当 a与 b反向时,ab=-|a|b|特别地,a a =a 2= | a |2或 | a |=a a .4.4.性性 质质: : 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角,则 (1) e a a e | a |cos.| a | b |cos =0 a b =0向量a与b共线 | a b |=| a | b |a b =| a | b |cos(2)ab a b =0.(5)| a b | a | b |.=(4)cos=|a| |b|a a b bab= cos=0 25、数量积的运算律：交换律：交换律：对数乘的结合律：对数乘的结合律：分配律：分配律： 注意
6、注意注意注意向量的数量向量的数量积不满足结积不满足结合律合律测一测呀测一测呀！1 1若若 = = ，则对任一向量，则对任一向量 ，有，有 = =05.5.若若 ， = = ，则，则 =6.6.若若 = = , ,则则 , ,当且仅当当且仅当 = = 时成时成立立3 3若若 ， = =0，则，则 = = 4.4.若若 = = ，则，则 中至少有一个为中至少有一个为 2 若若 ，则对任一非零向量，则对任一非零向量 ,有有 08.对任意向量对任意向量 有有 已知|a|=5,|b|=4, a和b的夹角为60,求ab.a b=|a|b|cos 变式练习变式练习：若=120 呢？ =90呢？=54cos6
7、0=10=5454120 =54cos120 =-10=5454a b=|a|b|cos . 设|a|=12,|b|=9, ab=-542 求a和b的夹角.cos =a b|a|b|=- 54 2129-2 =135=2cos 变式练习变式练习： 若若 ab=1082 呢？呢？ 比一比！看谁答的准又快比一比！看谁答的准又快祝你成功，继续努力！*. 已知已知ABC中中, AB=a, AC=b, 当当 ab 0, ab =0时时, ABC各是什么三角形？各是什么三角形？当当a b0时，时， cos 0，为钝角三角为钝角三角形形当当a b=0时，时，为直角三角形为直角三角形（2）例例 3：求证：求证
8、：（1）证明证明:（1）证明证明（2）我们知道，对任意我们知道，对任意恒有恒有对于任意向量对于任意向量 ， 也有下面类似的结论也有下面类似的结论变式：求例例4 4、已知、已知的夹角为的夹角为求求两个两个向量的数量积是否向量的数量积是否为零为零, ,是判断相应的两条是判断相应的两条直线是否垂直的重要方直线是否垂直的重要方法之一法之一. .例例5公公式式变变形形对功对功对功对功W=|W=|F|s|cosF|s|cos 结构分析结构分析结构分析结构分析抽抽抽抽象象象象特特殊殊化化五五条条五五条条重重要要性性质质重重要要性性质质数形数形结合结合几何几何意义意义平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义a a b=| a | | b | b=| a | | b | coscos 解决解决问题问题灵活灵活运用运用作业：p106练习1、2 . P108习题A 1、2、3、6
