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1、第第1313章章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路2. 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率非正弦周期函数的有效值和平均功率l 重点重点3. 3. 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算1. 1. 周期函数分解为付里叶级数周期函数分解为付里叶级数7/26/2024113.1 13.1 非正弦周期信号非正弦周期信号 生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。术等方面，电压和电流往往都是
2、周期性的非正弦波形。l 非正弦周期交流信号的特点非正弦周期交流信号的特点(1) (1) 不是正弦波不是正弦波 (2) (2) 按周期规律变化按周期规律变化7/26/20242例例2 2示波器内的水平扫描电压示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波周期性锯齿波例例1 1半波整流电路的输出信号半波整流电路的输出信号7/26/20243计算机内的脉冲信号计算机内的脉冲信号 Tt例例3 37/26/20244交直流共存电路交直流共存电路 Es +V例例4 47/26/20245基波（和原基波（和原函数同频）函数同频）二次谐波二次谐波（2 2倍频）倍频） 直流分量直流分量高次谐波高次谐波13.2 13.2 周
3、期函数分解为付里叶级数周期函数分解为付里叶级数周期函数展开成付里叶级数：周期函数展开成付里叶级数：Dirichletconditionf (t) 在任一周期内绝对可积在任一周期内绝对可积f (t) 在任一周期内具有有限个极值在任一周期内具有有限个极值f (t)在任一在任一周期内具有有限个不连续点周期内具有有限个不连续点满满足足满满足足7/26/20246也可表示成：也可表示成：系数之间系数之间的关系为的关系为7/26/20247求出求出A0、ak、bk便可得到原函数便可得到原函数f(t)的展开式。的展开式。系数的计算：系数的计算：7/26/20248利用函数的对称性可使系数的确定简化利用函数的
4、对称性可使系数的确定简化（1）偶函数）偶函数 T/2t T/2f(t) T/2t T/2f(t)（2）奇函数）奇函数（3）奇谐波函数）奇谐波函数tf (t)7/26/20249tT/2T周期性方波信号的分解周期性方波信号的分解例例1解解图示矩形波电流在一个周期内图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：的表达式为： 直流分量：直流分量：谐波分量：谐波分量：K为偶数为偶数K为奇数为奇数7/26/202410的展开式为：的展开式为：7/26/202411ttt基波基波直流分量直流分量三次谐波三次谐波五次谐波五次谐波七次谐波七次谐波周期性方波波形分解周期性方波波形分解7/26/202412基波基波直流分
5、量直流分量直流分量直流分量+基波基波三次谐波三次谐波直流分量直流分量+基波基波+三次谐波三次谐波7/26/202413tT/2TIS0IS0等效电源等效电源7/26/20241413.2 13.2 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率1.1. 三角函数的性质三角函数的性质 （1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。k整数整数 （2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为在一个周期内的积分为 。7/26/202415（3 3） 三角函数的正交性三角函数的正交性7/26/2024162. 非正弦周期函数的有效值非正弦周期函数的有效值若若则有效值则有效
6、值:7/26/202417 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。分量有效值平方和的方根。利用三角函数的正交性得：利用三角函数的正交性得：结论结论7/26/2024183. 非正弦周期函数的平均值非正弦周期函数的平均值则其平均值定义为：则其平均值定义为：若若7/26/2024194. 非正弦周期交流电路的平均功率非正弦周期交流电路的平均功率利用三角函数的正交性，得：利用三角函数的正交性，得：7/26/202420平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率 结论结论7/26/202421 13.4 1
7、3.4 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路的计算的计算1. 计算步骤计算步骤（2 2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号 分别应用相量法计算；分别应用相量法计算； （注意（注意: :交流各谐波的交流各谐波的 XL、XC不同，对直流不同，对直流C 相当于相当于 开路、开路、L相于短路。）相于短路。）（1 1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开 成若干种频率的谐波信号；成若干种频率的谐波信号；（3 3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。将以上计算结果转换为瞬时值迭加。7/26/2024222. 计算举例计算举
8、例例例1 1方波信号激励的电路。求方波信号激励的电路。求u, 已知：已知：tT/2TRLC解解（1）已知方波信号的展开式为：）已知方波信号的展开式为：代入已知数据：代入已知数据：7/26/202423直流分量直流分量基波最大值基波最大值五次谐波最大值五次谐波最大值角频率角频率三次谐波最大值三次谐波最大值 电流源电流源各频率的谐波分量为：各频率的谐波分量为：7/26/202424 （2 2） 对对各种频率的谐波分量单独计算：各种频率的谐波分量单独计算：（a) a) 直流分量直流分量 IS0 作用作用RIS0u0电容断路，电感短路电容断路，电感短路: :（b)b)基波作用基波作用RLCXLRRLC
9、7/26/202425(c)(c)三次谐波作用三次谐波作用RLC7/26/202426(d)(d)五次谐波作用五次谐波作用RLC7/26/202427 (3)(3)各各谐波分量计算结果瞬时值迭加：谐波分量计算结果瞬时值迭加：7/26/202428 求图示电路中各表读数求图示电路中各表读数( (有效值有效值) )及电路吸收的功率。及电路吸收的功率。例例2V1L1C1C2L240mH10mHu+_25 F25 F30 abcdA3A2V2V1A17/26/202429L1C1C2L240mH10mHu+_25 F25 F30 abcdiiC1iL2解解(1) u0=30V作用于电路，作用于电路，L
10、1、 L2 短路，短路， C1 、 C2开路。开路。L1C1C2L2u0+_30 abcdi0iC10iL20i0= iL20 = u0/R =30/30=1A, iC10=0, uad0= ucb0 = u0 =30V7/26/202430(2) u1=120cos1000t V作用作用L1、C1 发生并联谐振发生并联谐振。+_30 abcdj40 j40 j40 j10 7/26/202431(3) u2=60cos(2000t+ /4)V作用作用L2、C2 发生并联谐振发生并联谐振。+_30 abcdj80 j20 j20 j20 7/26/202432i=i0+ i1 + i2 =1A
11、 所求的电压、电流的瞬时值为：所求的电压、电流的瞬时值为：iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90 ) AiL2= iL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t 45 ) Auad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t Vucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45 ) V电流表电流表A1的读数：的读数：电流表电流表A2的读数：的读数：电流表电流表A3的读数：的读数：电压表电压表V1的读数：的读数：电压表电压表V2的读数：的读数：7/26/202433 例例3 已知已知u(
12、t)是周期函数，波形如图，是周期函数，波形如图，L=1/2 H，C=125/ F，求理想变压器原边电流求理想变压器原边电流i1(t)及输出电及输出电压压u2的有效值。的有效值。*C+2 : 18 Lu2410.5u/Vt/ms12解解当当u=12V作用时，电容开路、作用时，电容开路、电感短路，有：电感短路，有：7/26/202434*-j4+2 : 18 j +8 j4 -j4 +7/26/202435例例4 求求Uab、i、及功率表的读数。及功率表的读数。+60 j20 +Wab*解解一次谐波作用时：一次谐波作用时：三次谐波作用时：三次谐波作用时：测的是测的是基基波波的功率的功率7/26/2
13、02436例例5C1中只有基波电流，中只有基波电流，C31 F，其中只有三次，其中只有三次谐波电流，谐波电流，L=0.1mH。求求C1、C2和各支路电流。和各支路电流。100 LC3C2C1200 解解C1中只有基波电流，说明中只有基波电流，说明L和和C2对三次谐波发生并联对三次谐波发生并联谐振。即：谐振。即：C3中只有三次谐波电流，说明中只有三次谐波电流，说明L、C1、C2对一次谐波发生串对一次谐波发生串联谐振。即：联谐振。即：7/26/202437100 100 C3200 100 一次谐波作用一次谐波作用直流作用直流作用三次谐波作用三次谐波作用100 LC3C2C1200 7/26/202438
