《偏微分课程课件12有限元离散方法一维问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《偏微分课程课件12有限元离散方法一维问题（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八章第八章 有限元离散方法有限元离散方法 （一维问题）（一维问题）微分方程解和有限元方法下的数值解微分方程解和有限元方法下的数值解 Poisson方程方程变分问题变分问题离散变分问题离散变分问题Ritz-Galerkin过程过程分部积分分部积分线性代数问题线性代数问题有限维基上表示有限维基上表示方程求解方程求解快速算法快速算法泛函问题泛函问题微分方程微分方程 有限元离散有限元离散代数方程代数方程迭代求解迭代求解5个部分个部分8.1 一维问题的有限元法（线性元）一维问题的有限元法（线性元）1）讨论对象：常微分方程两点边值问题）讨论对象：常微分方程两点边值问题 2）转化为变分问题）转化为变分问题
2、 考虑空间：考虑空间： 任取任取vV, 乘方程两边乘方程两边两边积分两边积分综上推理，有综上推理，有原微分方程转化为变分问题：原微分方程转化为变分问题：即即找一个函数找一个函数 满足满足找一个函数找一个函数u V, 满足满足3）有限元离散）有限元离散 自变量：自变量： 函数函数因变量：因变量： 实数实数泛函泛函函数空间函数空间补充：空间的维数和基补充：空间的维数和基1维，维，基：基：1，2维，维，基：基：n维，维，基：基：子空间子空间 子空间子空间 有限维有限维 基：最大线性无关组基：最大线性无关组 补充：空间的维数和基补充：空间的维数和基a,b所有连续函数所有连续函数基基无穷维线性空间无穷维
3、线性空间基为：基为：n维线性空间维线性空间子空间子空间 n次多项式函数空间次多项式函数空间找一个函数找一个函数u V, 满足满足有限元离散有限元离散无穷维线性空间无穷维线性空间找一个函数找一个函数 Vh, 满足满足的有限维子空间的有限维子空间找子空间的一个途径：找子空间的一个途径：找基函数，从而张成子空间找基函数，从而张成子空间区域剖分区域剖分剖分单元剖分单元ei定义离散区间定义离散区间u在单元上的取值在单元上的取值当当h-0时，插值函数收敛到函数时，插值函数收敛到函数u线性插值线性插值基函数基函数线性无关线性无关定义空间：定义空间：找一个函数找一个函数u V, 满足满足找一个函数找一个函数
4、Vh, 满足满足有限元化有限元化试探函数空间试探函数空间n+1维4）化为代数方程组）化为代数方程组-(4.1)单元分析单元分析(4.2)总体合成总体合成找一个函数找一个函数( 4.1)单元分析单元分析任取一个单元任取一个单元同理：同理：单元刚度矩阵单元刚度矩阵这样，由这样，由单元荷载单元荷载( 4.2)总体分析，边界处理总体分析，边界处理则则令单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元刚度矩阵总刚度矩阵总刚度矩阵同理同理单元荷载矩阵单元荷载矩阵总荷总荷载向量载向量 两点边值问题有限元方法两点边值问题有限元方法总结总结1. 区域剖分区域剖分1）单元编号，节点编号，节点坐标）单元编号，节点编号，节点
5、坐标 3）边界点相关信息）边界点相关信息2）节点的局部和整体编码对应关系）节点的局部和整体编码对应关系准备必要的原始信息准备必要的原始信息2 计算计算“单元刚度矩阵单元刚度矩阵”和和“单元荷载向量单元荷载向量” 3计算计算“总刚度矩阵总刚度矩阵”和和“总荷载向量总荷载向量”, 形成代数方程组形成代数方程组4 边界条件处理边界条件处理根据边界调整根据边界调整K和和F，即掐头去尾，即掐头去尾5 解代数方程组解代数方程组, 相关结果输出相关结果输出例题：例题：1）单元剖分）单元剖分2）计算）计算“单元刚度矩阵单元刚度矩阵”和和“单元荷载向量单元荷载向量”解：解：4等分，即等分，即hi=h=1/4,
6、i=1,2,3,4xi=ih, i=1,2,3,4; x0=03）计算）计算“总刚度矩阵总刚度矩阵”和和“总荷载向量总荷载向量”i=1,2,3,43）计算）计算“总刚度矩阵总刚度矩阵”和和“总荷载向量总荷载向量”4）根据边界调整）根据边界调整K和和F，得，得5）求解代数方程组）求解代数方程组有限元法内容总结有限元法内容总结1 1 明确微分方程明确微分方程2 2 转化为变分形式；转化为变分形式；3 3 有限元离散有限元离散区域单元剖分；确定单元基函数；区域单元剖分；确定单元基函数；4 4 转化为代数方程转化为代数方程单元分析；总体合成；边界条件的处理；单元分析；总体合成；边界条件的处理；5 5 解代数方程。解代数方程。 课堂练习课堂练习1.请描述有限元方法求解问题的步骤。请描述有限元方法求解问题的步骤。2.请采用四个长度相等的单元计算下列一维问题：请采用四个长度相等的单元计算下列一维问题：
