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1、第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二 、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 第九章 定义定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:一、一、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法同样可定义对 y 的偏导数若函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数偏导数 , 记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 ,例如例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点
2、 (x , y , z) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为(请自己写出)注：求时，z (x, y)中的y 看作是常量，对x求导，则所有求导公式都可用于求偏导数例例1. 设证证:例例2. 求的偏导数 . 解解:求证机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求解法解法1:解法解法2:在点(1 , 2) 处的偏导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：注：求函数求函数 f (x, y)在点在点P0(x0 , y0)关于关于x的偏导数时，的偏导数时，可先将可先将 y = y0代入代入f (x, y)，得，得f (x, y0)，
3、再求一元函，再求一元函数数f (x, y0)在在 x0 处的导数即可。处的导数即可。例例4. 求在(0, 0)点的偏导数。注：注：求分段函数在分段点的偏导数必须用定义求分段函数在分段点的偏导数必须用定义偏导数记号是一个例例5. 已知理想气体的状态方程求证:证证:说明说明:(R 为常数) , 不能看作分子与分母的商 !此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号,函数偏导数存在函数偏导数存在例如例如, ,注意：注意：函数函数连续连续上节例 目录 上页 下页 返回 结束 在在(0 , 0)点偏导数存在，但在点偏导数存在，但在(0 , 0)并不连续并不连续!又如又如, ,在在(0 , 0)
4、点连续，但在点连续，但在(0 , 0)点偏导数不存在点偏导数不存在二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为z = f (x
5、, y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为例例6. 求函数解解 :注意注意: :此处但这一结论并不总成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 例如例如,二者不等机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.【研研】 设设 f (u)在在 二阶可导，二阶可导，满足则注：注：z = f (x2y) 或或 z = f (xy) 等中的等中的 f 是一元函数，是一元函数，而而 z 是是 x、y 的二元函数的二元函数例如，绝不可写为绝不可写为例例8.【研研】 设设则证明 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理:例如例如, 对
6、三元函数 u = f (x , y , z) ,说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等(证明略) 内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1 设设即 xy0 时,解：解：备用题备用题2 设方程确定 u 是 x , y 的函数 ,连续, 且求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束
