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1、三、解析函数的定积分公式 证明：如图，解析函数f(z)由点 经 到 ，再经 到 的积分等于从 经 到 的积分，即则：由于解析函数的积分与路径无关，可取 为直线，设 为直线上任意一点，考虑到解析函数必连续，所以任给 ，必存在 ，使当 ，有 则有这表明：当 时， 的极限为f(z)，即定理得证。四、小圆弧引理与大圆弧引理1.小圆弧引理:若 在 的无心邻域内连续，在小圆弧 上一致成立，则证明：由(1)式及极限的定义可得，任给 ，存在使当 时，有又则因为 可任意地小，而 为常量，即 所以即 2. 大圆弧引理:若 在无穷远点的无心邻域内连续，在大圆弧 上一致成立，则证明略。 2.3 柯西公式和高阶导数公式
2、一、单通区域的柯西公式柯西定理推出的公式设f(z)在单通区域 内解析，a为 的内点，则注意：a为内一点，z在L上取值 柯西公式说明：解析函数f(z)在其解析区域内任一点的值可由沿边界线的积分确定。(解析函数的重要性质之一)L： 的边界线此结果与r无关，故令0由小圆弧引理：举一反三：令 ，它在闭圆 解析其它方法：留数定理(见第4章)因此，被积函数有四个奇点:试计算积分 ，积分回路l为解: (1) 积分回路的形状。方程 经配方以后可化为 它是圆心在(1,0)，半径为1的圆，见图2.14 (2)被积函数的奇点。方程 有四个根：但仅有 与 位于积分回路之内。(3)按复通区域的柯西定理及柯西公式计算。以
3、小圆周 和 分别包围奇点 和 ，则被积函数在外边界线l与内边界线 所围的复通区域解析。按复通区域的柯西定理，沿l的积分等于沿 与 积分之和，后两个积分可按柯西公式算出，即上式已将 的值代入。二、复通区域的柯西公式设 f(z)在闭复通区域 中解析，a为 的内点,则证明: 的边界线L:外边界线 ，内边界线L2，L3， L4.Ln作割线后：(1) 闭复通区域变为闭单通区域； (2) 沿割线的积分互相抵消。于是： (积分沿边界线L的正方向)(积分沿的边界线L的正方向)三、高阶导数公式定理：解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶导数为其中：z为 的内点，z为 的边界点证明：设z为D内任意一点，先证
4、n=1的情形，即根据导数定义：由柯西积分公式得：从而有：设后一个积分为I，则因为f(z)在L上是解析的，所以在L上连续 f(z)有界即 （M：正数）设d为：z到曲线L上各点的最小距离，则当 足够小时，例如 时，有则所以如果 ，则 ，从而上式右边的积分存在(因为：f(z)解析 连续. 又L连续 积分存在，即 f(z)存在。)从导数的表达式看出：(1)在积分号下将柯西积分公式对z求导是合法的；(2)(2) f (z)是解析的。 即重复以上过程可得：依此类推，由数学归纳法可以证明：说明：1.解析函数在其解析区域可以求导任意多次； 解析函数的又一特点 2.高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导，而在于通 过求导来求积分 (求导运算比积分运算要简单得多)； 3.对于复连通区域，高阶导数公式仍适用。 (积分沿内、外边界的正方向)与实变函数相似两个二元实变函数的有序组合重点点点可导 积分区域(有无奇点)(不解析的点)
