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1、第四章 平面力系的平衡条件本章学习目标：本章学习目标： 掌握力在坐标轴上的投影及合力投影定掌握力在坐标轴上的投影及合力投影定掌握力在坐标轴上的投影及合力投影定掌握力在坐标轴上的投影及合力投影定理；掌握平面汇交力系、力偶系、平面一理；掌握平面汇交力系、力偶系、平面一理；掌握平面汇交力系、力偶系、平面一理；掌握平面汇交力系、力偶系、平面一般力系的平衡条件；掌握力矩的概念及合般力系的平衡条件；掌握力矩的概念及合般力系的平衡条件；掌握力矩的概念及合般力系的平衡条件；掌握力矩的概念及合力矩定理；掌握力偶的性质；掌握物体系力矩定理；掌握力偶的性质；掌握物体系力矩定理；掌握力偶的性质；掌握物体系力矩定理；掌
2、握力偶的性质；掌握物体系统的平衡条件。统的平衡条件。统的平衡条件。统的平衡条件。第四章 平面力系的平衡条件4.1 4.1 平面汇交力系的合成与平衡条件平面汇交力系的合成与平衡条件4.2 4.2 力矩与合力矩定理力矩与合力矩定理4.3 4.3 力偶的性质及平面力偶系平衡条件力偶的性质及平面力偶系平衡条件4.4 4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件4.5 4.5 物体系统的平衡条件物体系统的平衡条件力力系系平平面面力力系系空空间间力力系系各力的作用各力的作用线都在同一线都在同一平面内的力平面内的力系称为平面系称为平面力系。力系。平面汇交力系平面汇交力系平面平行力系平面平
3、行力系平面力偶系平面力偶系平面一般力系平面一般力系各力的作用线各力的作用线不都在同一平不都在同一平面内的力系称面内的力系称为空间力系。为空间力系。空间汇交力系空间汇交力系空间平行力系空间平行力系空间力偶系空间力偶系空间一般力系空间一般力系作用线汇交作用线汇交于一点于一点第四章 平面力系的平衡条件作用线完全作用线完全平行平行作用线既不作用线既不完全汇交于完全汇交于一点也不完一点也不完全平行全平行AF2F1(a)F34.1 平面汇交力系的合成与平衡条件4.1 4.1 平面汇交力系合成与平衡条件平面汇交力系合成与平衡条件4.1.1 4.1.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几
4、何法 4.1.1.14.1.1.14.1.1.14.1.1.1平面汇交力系合成的几何法平面汇交力系合成的几何法平面汇交力系合成的几何法平面汇交力系合成的几何法1. 1. 两个汇交力的合成两个汇交力的合成 obcobc称为力的三角形。这种合成方法称为力三角形法则。称为力的三角形。这种合成方法称为力三角形法则。FRF1AF2bco4.1 平面汇交力系的合成与平衡条件2. 2. 任意个汇交力的合成任意个汇交力的合成F3F4F1F2FRAaF1bF2cF3dF4e平面汇交力系的合力为力的多边形的逆封边平面汇交力系的合力为力的多边形的逆封边4.1 平面汇交力系的合成与平衡条件 平面汇交力系合成的结果是一
5、个合力，合力平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，合力作用线通过原力系各力的汇交点。作用线通过原力系各力的汇交点。 4.1 平面汇交力系的合成与平衡条件 例例4.1同一平面的三根钢索边连结在一固定环上，如图示，同一平面的三根钢索边连结在一固定环上，如图示，已知三钢索的拉力分别为：已知三钢索的拉力分别为：F1500N，F21000N，F32000N。试用几何作图法求三根钢索在环上作用的合力。试用几何作图法求三根钢索在环上作用的合力。 解解（1）选定力的比例尺如图。）选定力的比例尺如图。（2）作作力力多多边边形形，（先
6、先将将各各分分力力乘乘以以比比例例尺得到各力的长度，然后作出力多边形图）。尺得到各力的长度，然后作出力多边形图）。（3）量量得得代代表表合合力力矢矢的的长长度度，则则FR的的实实际值为际值为FR2700N FR的方向可由力的多边形图直接量出，的方向可由力的多边形图直接量出，FR 与与F1的夹角为的夹角为7131。4.1 平面汇交力系的合成与平衡条件4.1.1.24.1.1.2平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件平平面面汇汇交交力力系系的的平平衡衡的的必必要要与与充充分分的的几几何何条条件件是是：力力的的多多边边形形自自行行封封
7、闭闭，或或各各力力矢矢的的矢矢量和等于零。量和等于零。用矢量表示为用矢量表示为FR=F=04.1 平面汇交力系的合成与平衡条件平面汇交力系的平衡条件：力的多边形的自行封闭平面汇交力系的平衡条件：力的多边形的自行封闭F 5F RF 3F 4F 1F 2AaF 1bF 2cF 3dF 4eF 54.1 平面汇交力系的合成与平衡条件 4.1.2 4.1.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法4.1.2.1 4.1.2.1 4.1.2.1 4.1.2.1 平面汇交力系的解析法平面汇交力系的解析法平面汇交力系的解析法平面汇交力系的解析法式式中中分分别别为为F F与与x轴轴正正向
8、向所夹的锐角。所夹的锐角。 yFFyxba ab1.1.在坐标轴上的投影在坐标轴上的投影 Fx力力的的投投影影由由始始到到末末端端与与坐坐标标轴轴正正向向一一致致其其投投影影取取正正号号，反之取负号。反之取负号。 4.1 平面汇交力系的合成与平衡条件 两种特殊情形：两种特殊情形：当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零。当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零。当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对值等于该力的大小。值等于该力的大小。4.1 平面汇交力系的合成与平衡条件力的投影力的投影力的投影力的投影和和力的分量力的分量力的分量力的分量是两个不同的
9、概念。是两个不同的概念。投影是代数量投影是代数量而分力是矢量而分力是矢量投影无所谓作用点投影无所谓作用点分力作用点必须作用在分力作用点必须作用在原力的作用点上原力的作用点上 另外：仅在另外：仅在直角坐标系中直角坐标系中在坐标上的投影的绝对值和力沿该在坐标上的投影的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。轴的分量的大小相等。 例例4.2已知已知F1=F2=F3=F4=100kN，各力方向如图示，试分别计算在，各力方向如图示，试分别计算在x轴和轴和y轴上的投影。轴上的投影。yOxF26045F130F3F4F1的投影的投影F1x=F1cos450=(1000.707)kN=70.7kN F1y=F1si
10、n450=(1000.707)kN=70.7kN F2的投影的投影F2x=F2cos600=(1000.5)kN=50kN F2y=F2sin600=(1000.866)kN=86.6kN4.1 平面汇交力系的合成与平衡条件F3的投影的投影F3x=F3cos300=(1000.866)kN=86.6kNF3y=F3sin300=(1000.5)kN=50kNF4的投影的投影F4x=F4cos900=0 F4y=F4sin900=(1001)kN=100kN 平面汇交力系平面汇交力系合力在任一轴上的投影，等于各分力在同合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。一
11、轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。2.2.合力投影定理合力投影定理AF2F1(a)F3F1F2FRF3xABCD(b) 证明证明：以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力：以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F F1 1、F F2 2、F F3 3 如图。如图。4.1 平面汇交力系的合成与平衡条件合力合力FR在在x 轴上投影：轴上投影：F1F2FRF3xABCD(b)abcd各力在各力在x 轴上投影：轴上投影： 推广到任意多个力推广到任意多个力F1、F2、 Fn 组成的平面共点力系，组成的平面共点力系，可得：可得：FRx =F1x+F2x+Fnx=Fx4.1 平面汇交力系的合成与平
12、衡条件3 3用解析法求平面汇交力系的合力用解析法求平面汇交力系的合力式中式中为合力为合力FR与与x轴所夹的锐角。轴所夹的锐角。合力合力FR的大小和方向可由下式确定的大小和方向可由下式确定：AF2F1F3FRxy 4.1 平面汇交力系的合成与平衡条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。合力等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。4.1.2.24.1.2.2平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的必要和充分的解
13、析条件是：力系中所平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。4.1 平面汇交力系的合成与平衡条件求平面汇交力系平衡问题的步骤：求平面汇交力系平衡问题的步骤：1)1)选取研究对象；选取研究对象；2)2)作作研研究究对对象象的的受受力力图图。当当约约束束反反力力的的指指向向未未定定时时，可先假设其指向。可先假设其指向。3)3)选选取取适适当当坐坐标标系系。为为简简化化计计算算，尽尽量量使使未未知知力力作作用用线与坐标轴垂直；线与坐标轴垂直；4)4)建立平衡方程，求解未知力。建立平衡方程，求解未知力。列方
14、程时注意各力的列方程时注意各力的投影的正负号。求出的未知力带负号时，表示该力的实际投影的正负号。求出的未知力带负号时，表示该力的实际指向与假设指向相反。指向与假设指向相反。4.1 平面汇交力系的合成与平衡条件 例例4.3一圆球重一圆球重15kN，用绳索将球挂于光滑墙上，绳与，用绳索将球挂于光滑墙上，绳与墙之间的夹角墙之间的夹角=300,如图如图2-13a所示，求墙对球的约束反力所示，求墙对球的约束反力及绳索对圆球的拉力及绳索对圆球的拉力FT。WoBAFNBFTAOW 解解 取圆球为研究对象，取圆球为研究对象，设直角设直角坐标系如图，列平衡方程坐标系如图，列平衡方程。Fx=0FN- FTcos6
15、00=0 FN=FTcos600=(17.320.5)kN=8.66kNFy=0FTsin600-W =04.1 平面汇交力系的合成与平衡条件选取适当研究对象选取适当研究对象选取适当坐标系，坐标轴尽量与未知力垂直选取适当坐标系，坐标轴尽量与未知力垂直画出研究对象受力图，正确应用二力杆性质画出研究对象受力图，正确应用二力杆性质列平衡方程，解方程求未知力列平衡方程，解方程求未知力 例例4.4 4.4 已知已知Q Q=10kN=10kN，求，求N NA、N NB。解：以解：以o o点为研究对象点为研究对象X=0， NB-NAcos60=0Y=0，NAsin60-Q=0NA =11.55(kN),NB
16、=5.77(kN)4.1 平面汇交力系的合成与平衡条件思考题思考题 1 1同一个力在两个互相平行的轴上的投影有何关系？同一个力在两个互相平行的轴上的投影有何关系？如果两个力在同一轴上的投影相等，问这两个力的大小是否如果两个力在同一轴上的投影相等，问这两个力的大小是否一定相等？一定相等？ 2 2平面汇交力系在任意两根轴上的投影的代数和分别平面汇交力系在任意两根轴上的投影的代数和分别等于零，则力系必平衡，对吗？为什么？等于零，则力系必平衡，对吗？为什么？ 4.1 平面汇交力系的合成与平衡条件4.2力矩力矩合力矩定理合力矩定理 4.2.1 4.2.1 力矩力矩 反映力对物体转动效应反映力对物体转动效
17、应 的物理量的物理量. . 力使物体绕转动的效果，与力力使物体绕转动的效果，与力P P 的大小成正比，与的大小成正比，与转动中心到力的作用线的垂直距离转动中心到力的作用线的垂直距离d d 也成正比。也成正比。力臂力臂力臂力臂：d d 矩心矩心矩心矩心：转动中心：转动中心力矩力矩力矩力矩：mo(P)=Pd 单位：单位：N.m或或kN.m符号规定：符号规定：使物体逆时针转动时力矩为正，反之为负使物体逆时针转动时力矩为正，反之为负4.2 力矩*合力矩定理注意：注意：1 1）力矩是代数量。）力矩是代数量。2 2）力）力F F对点对点O O的矩的大小也可用三角形的矩的大小也可用三角形AOBAOB面积的面
18、积的两倍来表示。两倍来表示。 MO(F)=+2AOB=Fd 1)1)相同的力矩使物体的转动效应相同，力臂越长越省力；相同的力矩使物体的转动效应相同，力臂越长越省力； 2)2)力沿其作用线移动，力矩不变力沿其作用线移动，力矩不变; ; 3) 3)力的作用线通过矩心时，力矩等于零；力的作用线通过矩心时，力矩等于零； 4)4)互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零. .力矩的性质：力矩的性质：4.2 力矩*合力矩定理4.2.24.2.2合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力矩定理mo(P1)=Ob1OA=Y1OAmo(P2)=Ob2OA=Y2OAmo(R)=Ob
19、OA=RyOARy=Y1+Y2两边同乘两边同乘OA：Ry OA =Y1 OA +Y2 OAmo(R)=mo(P1)+mo(P2)平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于力系各分力对平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于力系各分力对同一点力矩的同一点力矩的代数和代数和。mo(R)=mo(P1)+mo(P2)+mo(Pn)= mo(P)4.2 力矩*合力矩定理 解解根据合力矩定理得到根据合力矩定理得到合力对合力对O点的矩。点的矩。例例4.5已知已知F1=4kN，F2=3kN，F3=2kN，试求下图中，试求下图中三力的合力对三力的合力对O点的力矩。点的力矩。4.2 力矩*合力矩定理4.3 4.
20、3 力偶及平面力偶系的平衡条件力偶及平面力偶系的平衡条件4.3.1 4.3.1 4.3.1 4.3.1 力偶和力偶矩力偶和力偶矩力偶和力偶矩力偶和力偶矩 力偶：力偶：大小相等、方向相反、不共大小相等、方向相反、不共线的两个平行力。线的两个平行力。 力偶臂：力偶臂：两个相反力之间垂直距离两个相反力之间垂直距离d d1.1.力偶力偶4.3 力 偶及平面力偶系的平衡条件力偶与单个力一样，是构成力的基本元素。力偶与单个力一样，是构成力的基本元素。 力偶面：力偶面：两个力的作用平面两个力的作用平面 力偶矩：力偶矩：力与力偶臂的乘积并冠以适当正负号力与力偶臂的乘积并冠以适当正负号 m m= =FdFd(1
21、)(1)(1)(1)力偶特点力偶特点力偶特点力偶特点： 1 1力偶中的二力不满足二力平衡公理，故不是平衡力系。力偶中的二力不满足二力平衡公理，故不是平衡力系。 2 2力偶不会引起物体的移动效应，只能使物体发生转动效应力偶不会引起物体的移动效应，只能使物体发生转动效应（纯转动）。（纯转动）。 3 3力偶在任何坐标轴上的投影都等于零。力偶在任何坐标轴上的投影都等于零。 (2)(2)力偶矩力偶矩方向：方向：逆正，顺负。逆正，顺负。单位：单位：KN.m或或N.m注意：注意： 力偶对物体的转动效应取决于力偶矩的大小、力偶的转向及力偶力偶对物体的转动效应取决于力偶矩的大小、力偶的转向及力偶的作用面，此即的
22、作用面，此即力偶的三要素力偶的三要素。4.3 力 偶及平面力偶系的平衡条件4.3.2 4.3.2 4.3.2 4.3.2 力偶的性质力偶的性质力偶的性质力偶的性质1 1）力偶不能合成为一个合力，所以不能用一个力来）力偶不能合成为一个合力，所以不能用一个力来代替。代替。2 2）力偶对其作用平面内任一点矩都等于力偶矩，与）力偶对其作用平面内任一点矩都等于力偶矩，与矩心位置无关。矩心位置无关。3 3）在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大）在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶是等效的。小相等，转向相同，则这两个力偶是等效的。4.3 力 偶及平面力偶系的平衡条件
23、推论推论1 1 力偶可以在其作用平面内任意移动或转动，而力偶可以在其作用平面内任意移动或转动，而不改变它对物体的转动效应。即物体对物体的转动效应与不改变它对物体的转动效应。即物体对物体的转动效应与它在作用平面内的位置无关。它在作用平面内的位置无关。推论推论2 2 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可同时相应地改变组成力偶的力的大小和力偶臂的长度，可同时相应地改变组成力偶的力的大小和力偶臂的长度，而不改变它对物体的转动效应。而不改变它对物体的转动效应。 4.3 力 偶及平面力偶系的平衡条件M=20kNmM=20kNm4.3 力 偶及平面力偶系的平衡条件
24、同时作用在物体上的两个或两个以上的力偶，称为同时作用在物体上的两个或两个以上的力偶，称为力偶系。力偶系。 作用在同一平面内的力偶系称为作用在同一平面内的力偶系称为平面力偶系平面力偶系。4.3.3 4.3.3 平面力偶系的合成与平衡条件平面力偶系的合成与平衡条件 dd设有两个力偶设有两个力偶4.3 力 偶及平面力偶系的平衡条件1 1、平面力偶系的合成、平面力偶系的合成、平面力偶系的合成、平面力偶系的合成式中式中MR表示合力偶矩表示合力偶矩,表示原力表示原力偶系中各力偶的力偶矩。偶系中各力偶的力偶矩。2 2 2 2、平面力偶系的平衡条件、平面力偶系的平衡条件、平面力偶系的平衡条件、平面力偶系的平衡
25、条件 平面力偶系平衡的充要条件是平面力偶系平衡的充要条件是: :所有各力偶矩的代数和等于零。所有各力偶矩的代数和等于零。 对于平面力偶系的平衡问题，利用平衡式可以对于平面力偶系的平衡问题，利用平衡式可以求解一个未知量求解一个未知量。4.3 力 偶及平面力偶系的平衡条件例例4.6如图示的梁如图示的梁AB，受一力偶的作用，已知力偶，受一力偶的作用，已知力偶，M=20kNm，梁长，梁长l=4m,梁自重不计，求梁自重不计，求A、B支座处反力。支座处反力。 解解取梁取梁AB为研究对象。为研究对象。梁在力偶和梁在力偶和A、B两处支座反力作用下平衡。两处支座反力作用下平衡。M4mFAyMFBy 4.3 力
26、偶及平面力偶系的平衡条件4.4 4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件1 1 1 1、力的平移定理力的平移定理力的平移定理力的平移定理作用于物体上某点的力可以平移到此物体上的任一点，作用于物体上某点的力可以平移到此物体上的任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。但必须附加一个力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。odAFFFoAFMFF4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件oAF4.4.1平面一般力系向作用面内任一点简化平面一般力系向作用面内任一点简化 力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力
27、力 力力+ +力偶力偶 。说明：说明：说明：说明： 力力平移的条件是附加一个力偶平移的条件是附加一个力偶M，且，且M与与d有关，有关，M=Fd 力的平移定理是力系简化的理论基础。力的平移定理是力系简化的理论基础。4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件2）力的平移定理说明作用于物体上某点的一个力可以和作用于另外）力的平移定理说明作用于物体上某点的一个力可以和作用于另外一点的一个力和一个力偶等效，反过来也可将同平面内的一个力和一个一点的一个力和一个力偶等效，反过来也可将同平面内的一个力和一个力偶化为一个合力，这个力力偶化为一个合力，这个力F与与F大小相等、方向相同、作用线
28、平行，作大小相等、方向相同、作用线平行，作用线间的垂直距离为用线间的垂直距离为 应用力的平移定理时，应用力的平移定理时，须注意：须注意：1）平移力）平移力F的大小与作用点位置的大小与作用点位置无关无关，但附加力偶矩但附加力偶矩M=Fd的大的大小和转向与作用点的位置小和转向与作用点的位置有关有关。2 2 2 2、平面任意力系向作用面内任意一点简化、平面任意力系向作用面内任意一点简化、平面任意力系向作用面内任意一点简化、平面任意力系向作用面内任意一点简化 设刚体受到平面任意力系设刚体受到平面任意力系F1、F2、Fn的作用。取的作用。取O点为点为简化中心简化中心(F1、F2、F3、Fn)(F1 、F
29、2 、F3 、Fn )(M1、M2、M3、Mn)( (F FR R, ,Mo) )F1A1A2F2AnFnooxyF2FnF1M2Mnoxy4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件M1FRF1+ F2+FnF1 +F2 +FnF主矢主矢主矢主矢 FR称为该力系的称为该力系的主矢主矢，它等于原力系各力的矢量和，与简化中心的位，它等于原力系各力的矢量和，与简化中心的位置无关。置无关。式中式中为合力为合力FR与与x轴所夹的锐角。轴所夹的锐角。主矩主矩主矩主矩MOM1+M2+ MnMo(F1)+Mo (F2) +Mo(Fn)MOMO (F)原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为
30、原力系对简化中心的原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩主矩。 可见在选取不同的简化中心时，每个附加力偶的力偶臂一般都要发可见在选取不同的简化中心时，每个附加力偶的力偶臂一般都要发生变化，所以主矩一般都与简化中心的位置有关。生变化，所以主矩一般都与简化中心的位置有关。 4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件结论：结论：结论：结论： 平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一力和一平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一力和一个力偶。这个力的作用线过简化中心，其力矢等于原力系个力偶。这个力的作用线过简化中心，其力矢等于原力系的主矢；这个力偶的矩等于原
31、力系对简化中心的主矩。的主矢；这个力偶的矩等于原力系对简化中心的主矩。思考：思考：平面任意力系向不同点（平面任意力系向不同点（O点和点和A点）简化时：点）简化时：1.得到的力是否相同？得到的力是否相同？2.得到的力偶是否相同？得到的力偶是否相同？4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件平面任意力系向平面任意力系向O点简化点简化，一般得一个力和一个力偶。，一般得一个力和一个力偶。 可能出现的情况有四种：可能出现的情况有四种：3 3 3 3、简化结果分析简化结果分析简化结果分析简化结果分析 说明原力系可以合成为一个合力偶，主矩与简化中心的选择无关。说明原力系可以合成为一个合
32、力偶，主矩与简化中心的选择无关。 说明原力系合成为一个合力，与简化中心有关。说明原力系合成为一个合力，与简化中心有关。 根据力的平移定理的逆过程，可以将简化结果进一步合成为一个作根据力的平移定理的逆过程，可以将简化结果进一步合成为一个作用于另一点用于另一点0的合力的合力FR。4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件合力合力FR的大小和方向与原力系的主矢的大小和方向与原力系的主矢FR相同，而合力作相同，而合力作用线至简化中心的距离用线至简化中心的距离d为为 合力合力FR在在O点的哪一侧，由点的哪一侧，由FR对对O点的矩的转向应与主矩点的矩的转向应与主矩M0的指向相一致来确
33、定。的指向相一致来确定。4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件说明力系平衡说明力系平衡。 综上所述，不平衡的平面一般力系，其简综上所述，不平衡的平面一般力系，其简化的结果只能是一个力，或是一个力偶。化的结果只能是一个力，或是一个力偶。 4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件4.4.2 4.4.2 平面一般力系的平衡方程及其应用平面一般力系的平衡方程及其应用1 1、平面一般力系的平衡条件与平衡方程、平面一般力系的平衡条件与平衡方程、平面一般力系的平衡条件与平衡方程、平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢平面
34、一般力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢FR和力系对和力系对作用面内任一点的主矩作用面内任一点的主矩Mo都等于零，即都等于零，即于是有于是有Fx=0Fy=0M0(F F)=0上式称为平面一般力系平衡方程的基本形式，其中前两式称为投影方程，第三式称上式称为平面一般力系平衡方程的基本形式，其中前两式称为投影方程，第三式称为力矩方程。为力矩方程。当物体在平面一般力系的作用下平衡时，可应用这三个独立的平衡方程当物体在平面一般力系的作用下平衡时，可应用这三个独立的平衡方程求解三个求解三个未知量。未知量。4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件A、B 的连线不和的连线不和x 轴相垂
35、直。轴相垂直。2 2 2 2、平衡方程的其它形式、平衡方程的其它形式、平衡方程的其它形式、平衡方程的其它形式1 1）. . 二力矩形式的平衡方程二力矩形式的平衡方程FRABx2 2）. . 三力矩形式的平衡方程三力矩形式的平衡方程FRABCA A、B B、C C 三点不共线。三点不共线。4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件3 3、平面一般力系的应用、平面一般力系的应用 解题步如下：解题步如下： （1）确定）确定研究对象研究对象。 （2）分析受力并）分析受力并画出受力图画出受力图，在研究对象上画出它受到的所有主动，在研究对象上画出它受到的所有主动力和约束反力，约束反力
36、根据约束类型来画。力和约束反力，约束反力根据约束类型来画。 （3）列平衡方程）列平衡方程求解未知量求解未知量。4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件 例例 4.7 4.7 已知：已知：P P, , a a , , 求：求：A A、B B两点的支座反力？两点的支座反力？解：解：选选ABAB梁研究对象梁研究对象 画受力图画受力图 列平衡方程，求未知量。列平衡方程，求未知量。4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件 平面平行力系平面平行力系平面平行力系平面平行力系：各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。：各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。
37、 图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各力作用线垂直，图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各力作用线垂直，显然有：显然有：4.4.4 4.4.4 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 平面平行力系的平衡条件可平面平行力系的平衡条件可写为：写为：FY=0MO（F）=0F1yoxF2Fn4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件二矩式为二矩式为 注意：注意：A A、B B两点的连线不两点的连线不能与各力的作用线平行。能与各力的作用线平行。 例例4.8塔式起重机如图示。塔式起重机如图示。机架重机架重W1=220kN，作用线通过，作用线通过塔架的中心。最大起重量塔
38、架的中心。最大起重量W2=50kN，最大悬臂长为，最大悬臂长为12m，轨道轨道AB的间距为的间距为4m。平衡锤重。平衡锤重W3，到机身中心线距离为，到机身中心线距离为6m。试问：（试问：（1）保证起重机在满载）保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，平衡锤重和空载时都不致翻倒，平衡锤重W3的范围；（的范围；（2）如平衡锤重）如平衡锤重W3=20kN时，求满载时轨道时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力。给起重机轮子的反力。4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件 解解取起重机为研究对象。作用在机上的力有：载荷的取起重机为研究对象。作用在机上的力有：载荷的重力重力W2、机架
39、的重力、机架的重力W1、平衡锤重、平衡锤重W3，以及轨道的约束反，以及轨道的约束反力力FAy和和FBy，其受力图如图所示。，其受力图如图所示。 （1）要使起重机不翻倒，应）要使起重机不翻倒，应使作用在起重机上的所有力满足使作用在起重机上的所有力满足平衡条件。平衡条件。当当满载满载时，为使起重机不绕时，为使起重机不绕B点翻倒，这些力必须满足平衡点翻倒，这些力必须满足平衡方程方程MB（F）=0。在临界情况。在临界情况下，下，FAy=0。此时求出的。此时求出的W3值是值是所允许的最小值。所允许的最小值。4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件由由MB(F)=0W3min（6+
40、2）+W12-W2（12-2）=04.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件当当空载空载时，时，W2=0。为使起重机不绕点。为使起重机不绕点A翻倒，翻倒，所受的力必须满足平衡方程所受的力必须满足平衡方程MA（F）=0。在临界。在临界情况下，情况下，FBy=0。这时求出的。这时求出的W3值是所允许的最大值是所允许的最大值。值。由由MA（F）=0，W3max（6-2）-W12=0起重机实际工作时不允许处于将翻起重机实际工作时不允许处于将翻倒的临界状态，要使起重机不翻倒，倒的临界状态，要使起重机不翻倒，平衡锤重平衡锤重W3的范围应是：的范围应是：7.5kNW3110kN（2）当
41、）当W3=20kN且满载时，且满载时，起重机在力起重机在力W1、W2、W3、FAy及及FBy的的作用下平衡。应用平面平行力系的平衡方程作用下平衡。应用平面平行力系的平衡方程求约束反力。求约束反力。4.4 平面一般力系的简化与平衡条件平面一般力系的简化与平衡条件由由MB（F）=0-FAy4-W2（12-2）+W3（6+2）+W12=0由由Fy=0FAy+FBy-W1-W2-W3=0 FBy=220+50+20-25=265kN4.5 4.5 物体系统的平衡问题物体系统的平衡问题 4.5 物体系统的平衡问题物体系统的平衡问题1、基本概念基本概念物体系统（物系）：物体系统（物系）：由若干个物体通过约
42、束所组成的系统叫由若干个物体通过约束所组成的系统叫 。外力：外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。 2 2、物系平衡的特点：、物系平衡的特点： 物系静止物系静止 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3 3个平衡方程，个平衡方程，整个系统可列整个系统可列3 3n n个方程（设物系中有个方程（设物系中有n n个物体）个物体）3 3、解物系问题的一般方法：、解物系问题的一般方法： 由整体由整体 局部局部（非主体结构）， 由局部由局部 整体整体（
43、主体结构）4.5 物体系统的平衡问题物体系统的平衡问题例例 4.9 4.9 组合梁受荷载作用组合梁受荷载作用: :P P1=10kN, 1=10kN, P P2=20kN,2=20kN,梁自重梁自重不计不计, ,求支座求支座A A、C C 反力反力。(a)(a)以整体为研究对象以整体为研究对象 X=0:XA-P2cos60=0(b) (b) 以以BCBC为研究对象为研究对象 X=0:XB-P2cos60=0 MB=0:2RC-P2sin60 1=0 Y=0:RC+YB-P2sin60=0(c) (c) 以整体为研究对象以整体为研究对象 MA=0:5RC-4P2sin60-P1 2+mA=0 Y=0:YA+RC-P1-P2sin60=0谢谢！
