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1、第18讲等腰三角形与直角三角形考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三考点一考点一 等腰三角形等腰三角形1 1概念及分类概念及分类有有 的三角形叫等腰三角形；有的三角形叫等腰三角形；有 的三角形叫做等边的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为 的等腰三角形和的等腰三角形和 _的等腰三角形的等腰三角形2 2等腰三角形的性质等腰三角形的性质(1)(1)等腰三角形两腰相等；等腰三角形的两个底角等腰三角形两腰相等；等腰三角形的两个底角 ；(2)(2)等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和高互相等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和高互相 ，简，简称称
2、“三线合一三线合一”；三边相等三边相等腰和底不相等腰和底不相等腰和底相等腰和底相等相等相等重合重合两边相等两边相等(3)(3)等腰等腰( (非等边非等边) )三角形是轴对称图形，它有一条对称轴三角形是轴对称图形，它有一条对称轴(4)(4)等腰三角形边长须满足两腰之和大于底；等腰三角形的底角满足等腰三角形边长须满足两腰之和大于底；等腰三角形的底角满足009090；顶角满足；顶角满足00180.180.3 3等腰三角形的判定等腰三角形的判定(1)(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)(2)有有 相等的三角形是等腰三角形相等的三角形是等腰三角形温馨提示：温馨
3、提示：应用性质应用性质“三线合一三线合一”时，一定要注意是顶角的平分线、底边上的中时，一定要注意是顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，利用它可以证明线段相等、角相等及直线垂直线、底边上的高互相重合，利用它可以证明线段相等、角相等及直线垂直. .两角两角考点二考点二 等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定1 1性质：性质：(1)(1)等边三角形的内角都相等，且等于等边三角形的内角都相等，且等于6060；(2)(2)等边三角等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一三线合一”，它们
4、所在的直线都是等边三角形的对称轴，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴2 2判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是6060的等的等腰三角形是等边三角形腰三角形是等边三角形温馨提示：温馨提示：（1 1）顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形）顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形. .（2 2）等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一）等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一. .考点三考点三 线段的中垂线线段的中垂线1 1概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫
5、中垂线也叫中垂线2 2性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等3 3判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合考点四考点四 直角三角形的性质、判定直角三角形的性质、判定1 1性质性质(1)(1)直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角 ；(2)(2)勾股定理：勾股定理：a a2 2b b2 2c c2 2( (在在RtRtABCABC中，中，C C90)90)；(3)(3)在直角
6、三角形中，如果有一个锐角等于在直角三角形中，如果有一个锐角等于3030，那么它所对的直角，那么它所对的直角边等于斜边的边等于斜边的 ；(4)(4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为角边所对的锐角为 ；(5)(5)直角三角形直角三角形 上的中线等于斜边的一半上的中线等于斜边的一半互余互余一半一半3030斜边斜边2 2判定判定(1)(1)有一个角是有一个角是 的三角形是直角三角形；的三角形是直角三角形；(2)(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a a、b b、c
7、c满足满足a a2 2b b2 2c c2 2，那么这个三角形是直角三角形；，那么这个三角形是直角三角形；(3)(3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为为 三角形；三角形；(4)(4)在一个三角形中在一个三角形中, ,如果有两个角互余如果有两个角互余, ,那么这个三角形是那么这个三角形是 三三角形角形直角直角直角直角直角直角温馨提示：温馨提示：（1 1）勾股定理的逆定理是判定三角形为直角三角形的重要方法）勾股定理的逆定理是判定三角形为直角三角形的重要方法. .（2 2）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾
8、股数）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. .（3 3）若）若a a、b b、c c为一直角三角形的三边长，则以为一直角三角形的三边长，则以mama、mbmb、mc(mmc(m0)0)为为三边的三角形也是直角三角形三边的三角形也是直角三角形. . (1)(2011 (1)(2011呼和浩特呼和浩特) )如果等腰三角形两边长是如果等腰三角形两边长是6 cm6 cm和和3 cm3 cm，那，那么它的周长是么它的周长是( () ) A A9 cm9 cmB B12 cm12 cm C C15 cm15 cm或或12 cm D12 cm D15 cm15 cm(2)(2010(2)(2
9、010东阳东阳) )已知等腰三角形的一个内角为已知等腰三角形的一个内角为4040，则这个等腰三，则这个等腰三角形的顶角为角形的顶角为( () ) A A4040B B100100C C4040或或100100D D7070或或5050(3)(2010(3)(2010长沙长沙) )下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是长，不能构成直角三角形的是( () )(4)(2011(4)(2011南充南充) )如图，如图，ABCABC和和CDECDE均为等腰直角均为等腰直角三角形，点三角形，点B B，C C，D D【点拨点拨】本组
10、题主要考查等腰三角形本组题主要考查等腰三角形, ,直角三角形的有关性质和判定直角三角形的有关性质和判定. .【解答解答】(1)D(1)D3 33 36 6，等腰三角形的底边长和腰长分别为等腰三角形的底边长和腰长分别为3 3 cmcm和和6 cm6 cm，它的周长是它的周长是62623 315(cm)15(cm)(2)C(2)C当当4040为底角时，顶角为为底角时，顶角为100100；4040也可以为顶角故选也可以为顶角故选C.C.方法总结：方法总结：（1 1）等腰三角形与直角三角形是常见的图形，其性质在研究平行四）等腰三角形与直角三角形是常见的图形，其性质在研究平行四边形、等腰梯形、圆、三角函
11、数等时应用非常广泛，因此应熟练、准确掌边形、等腰梯形、圆、三角函数等时应用非常广泛，因此应熟练、准确掌握其性质并灵活应用握其性质并灵活应用. .（2 2）“等边对等角等边对等角”或或“等角对等边等角对等边”仅限于在一个三角形中仅限于在一个三角形中. .在两在两个三角形中，如果两边相等，这两条边所对的角不一定相等个三角形中，如果两边相等，这两条边所对的角不一定相等. . 2011 2011芜湖芜湖 如图，在梯形如图，在梯形ABCDABCD中，中，DCABDCAB，ADADBCBC，BDBD平分平分ABCABC，A A6060，过点，过点D D作作DEABDEAB，过点过点C C作作CFBDCFB
12、D，垂足分别为，垂足分别为E E，F F，连接，连接EFEF，求证：，求证：DEFDEF为等边三角为等边三角形形【点拨点拨】先证先证F F为为BDBD的中点，从而得到的中点，从而得到DFDFEFEFBF.BF.再由再由BDEBDE6060，可得，可得DEFDEF为等边三角形为等边三角形DCABDCAB，BDCBDCABDABD3030，CBDCBDCDBCDB，CBCBCD.CD.CFBDCFBD，F F为为BDBD的中点的中点又又DEABDEAB，DFDFBFBFEF.EF.由由ABDABD3030，得，得BDEBDE6060，DEFDEF为等边三角形为等边三角形1 1已知等腰三角形的两条边
13、长分别是已知等腰三角形的两条边长分别是7 7和和3,3,则第三条边的长是则第三条边的长是( () )A A8 8B B7 7C C4 4D D3 3答案：答案：B B2 2如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABCABC中，中，ABABACAC，A A20.20.线段线段ABAB的垂直平的垂直平分线交分线交ABAB于于D D，交，交ACAC于于E E，连接，连接BEBE，则，则CBECBE等于等于( () )A A8080B B70 C70 C60 D60 D5050答案：答案：C C3.3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30,30,则顶角度数为则顶角
14、度数为( () )A A60 B60 B120 C120 C6060或或150 D150 D6060或或120120答案：答案：D D4 4下面给出的几种三角形：下面给出的几种三角形：(1)(1)有两个角为有两个角为6060的三角形；的三角形；(2)(2)三个三个外角都相等的三角形；外角都相等的三角形；(3)(3)一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；(4)(4)有一个角为有一个角为6060的等腰三角形其中一定是等边三角形的有的等腰三角形其中一定是等边三角形的有( () )A A4 4个个B B3 3个个C C2 2个个D D1 1个个答案：答案：B
15、B5 5如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，1 13030，2 25050，则，则3 3的度数等于的度数等于( () )A A50 B50 B30 C30 C20 D20 D1515答案：答案：C C6 6如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC，BACBAC4040，分，分别以别以ABAB、ACAC为边作两个等腰直角为边作两个等腰直角ABDABD和和ACEACE，使，使BADBADCAECAE90.90.(1)(1)求求DBCDBC的度数；的度数；(2)(2)求证：求证：BDBDCE.CE.答案：答案：(1)DBC(1)DBC115
16、115(2)(2)先证先证DABEACDABEAC，即得，即得BDBDCECE等腰三角形与直角三角形等腰三角形与直角三角形训练时间：训练时间：6060分钟分钟 分值：分值：100100分分一、选择题一、选择题( (每小题每小题4 4分，共分，共4444分分) )1 1(2012(2012中考预测题中考预测题) )等腰三角形的一条边长等于等腰三角形的一条边长等于6 6，另一条边，另一条边长等于长等于3 3，则此等腰三角形的周长是，则此等腰三角形的周长是( () ) A A9 9 B B1212 C C1515 D D1212或或1515【解析解析】当当6 6为腰，为腰，3 3为底时，为底时，6
17、63636，此时周长为，此时周长为1515；当；当6 6为底，为底，3 3为腰时，为腰时，3 33 36 6，不能组成三角形，不能组成三角形【答案答案】C C2 2(2012(2012中考预测题中考预测题) )在在ABCABC中，中，ABABACAC，点，点D D在在ACAC上，且上，且BDBDBCBCADAD，则，则A A等于等于( () )A A30 30 B B4040C C45 45 D D3636【解析解析】ADADBDBD，ABDABDA A. .BDBDBCBC，BCDBCDBDCBDCA AABDABD2 2A A. .ABABACAC，ABCABCC C2 2A A，A AA
18、BCABCC C180180，A A2 2A A2 2A A180180，A A36.36.【答案答案】D D3 3(2011(2011铜仁铜仁) )下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是( () )A A等腰三角形两底角相等等腰三角形两底角相等B B等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C C等腰三角形是中心对称图形等腰三角形是中心对称图形D D等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形【解析解析】等腰三角形只是轴对称图形，不是中心对称图形等腰三角形只是轴对称图形，不是中心对称图形【
19、答案答案】C C4 4(2010(2010中考变式题中考变式题) )下列四组线段中，可以构成直角三角形的下列四组线段中，可以构成直角三角形的是是( () )A A1,2,3 1,2,3 B B2,3,42,3,4C C3,4,5 3,4,5 D D4,5,64,5,6【解析解析】332 24 42 25 52 2，3 3、4 4、5 5构成直角三角形构成直角三角形【答案答案】C C5 5(2012(2012中考预测题中考预测题) )等腰等腰ABCABC的周长为的周长为2121，底边，底边BCBC5 5，ABAB的垂直的垂直平分线平分线DEDE交交ABAB于点于点D D，交，交ACAC于点于点E
20、 E，则，则BECBEC的周长为的周长为( () )A A13 13 B B1414C C15 15 D D1616【解析解析】由等腰由等腰ABCABC的周长为的周长为2121，底边，底边BCBC5 5，可求出，可求出ABABACAC8.8.DEDE垂直平分垂直平分ABAB，AEAEBEBE. .C CBECBECBCBCBEBEECECBCBCAEAEECECBCBCACAC5 58 813.13.【答案答案】A A6 6(2010(2010中考变式题中考变式题) )如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，C C9090，斜边，斜边ABAB的的垂直平分线交垂直平分线交ABAB于点于点D
21、D、交、交BCBC于点于点E E，AEAE平分平分BACBAC，那么下列关系式中，那么下列关系式中不成立的是不成立的是( () )A AB BCAECAE B BDEADEACEACEAC CB BBAEBAE D DACAC2 2ECEC【解析解析】由由DEDE垂直平分垂直平分ABAB得得EAEAEBEB，B BBAEBAE，又，又AEAE平分平分BACBAC，AEAE平分平分BACBAC，EABEABCAECAE，B BBAEBAECAECAE，因，因此此A A、C C都成立都成立AEAE平分平分BACBAC，EABEABCAECAE，又，又EDEDABAB，ECECACAC，DEADEA
22、CEACEA( (等角的余角相等等角的余角相等) )，B B成立成立【答案答案】D D7 7(2010(2010中考变式题中考变式题) )如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A A、B B、C C、D D的边的边长分别是长分别是3 3、5 5、2 2、3 3，则最大正方形，则最大正方形E E的面积是的面积是( () )A A13 13 B B2626C C47 47 D D9494【解析解析】S SE ES SA AS SB BS SC CS SD D3 32
23、 25 52 22 22 23 32 247.47.【答案答案】C C8 8(2010(2010中考变式题中考变式题) )一架长一架长25 dm25 dm的梯子，斜立在竖直角墙上，的梯子，斜立在竖直角墙上，这时梯足距墙底端这时梯足距墙底端7 dm7 dm，如果梯子的顶端沿墙下滑，如果梯子的顶端沿墙下滑4 dm4 dm，那么梯足将，那么梯足将滑出滑出( () )A A9 dm 9 dm B B15 dm15 dmC C5 dm 5 dm D D8 dm8 dm【答案答案】D D9 9(2010(2010中考变式题中考变式题) )已知等边已知等边ABCABC的边长为的边长为a a，则它的面积，则它
24、的面积是是( () )【答案答案】D1010(2010(2010中考变式题中考变式题) )如图，如图，ABCABC和和DCEDCE都是边长为都是边长为4 4的等边三的等边三角形，点角形，点B B、C C、E E在同一条直线上，连接在同一条直线上，连接BDBD，则，则BDBD的长为的长为( () )【答案答案】D1111(2012(2012中考预测题中考预测题) )P P是是RtRtABCABC斜边斜边ABAB上任意一点上任意一点( (A A、B B两点除两点除外外) )，过，过P P点作一直线，使截得的三角形与点作一直线，使截得的三角形与RtRtABCABC相似，这样的直线可相似，这样的直线可
25、以作以作( () )A A1 1条条 B B2 2条条C C3 3条条 D D4 4条条【解析解析】过点过点P P分别作两直角边的平行线，得分别作两直角边的平行线，得2 2条直线；过点条直线；过点P P作斜作斜边边ABAB的垂线，得到第的垂线，得到第3 3条直线条直线【答案答案】C C二、填空题二、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共1616分分) )1212(2010(2010中考变式题中考变式题) )在在RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，D D是是ABAB的中点，的中点，CDCD4 cm4 cm，则，则ABAB_cm._cm.【解析解析】根据根据“在直角三角形中，斜边
26、上的中线等于斜边的一半在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”得斜边得斜边ABAB2 2CDCD24248(cm)8(cm)【答案答案】8 81313(2011(2011新疆新疆) )如图所示，如图所示，ABCABC是等边三角形，是等边三角形，ABAB4 cm4 cm，则则BCBC边上的高边上的高ADAD等于等于_ cm._ cm.1414(2011(2011宁波宁波) )如图所示，在如图所示，在ABCABC中，中，ABABACAC，D D、E E是是ABCABC内内的两点，的两点，ADAD平分平分BACBAC，EBCEBCE E6060，若，若BEBE6 cm6 cm，DEDE2 cm2
27、 cm，则则BCBC_ cm._ cm.【答案答案】8三、解答题三、解答题( (共共4040分分) )1616(8(8分分) (2010) (2010中考变式题中考变式题) )在在ABCABC中，中，A A5050，ABABACAC，ABAB的的垂直平分线垂直平分线DEDE交交ACAC于点于点D D，求，求DBCDBC的度数的度数【答案答案】解：解：A A5050，ABABACAC，ABCABCC C65.65.DEDE垂直平分垂直平分ABAB，ADADBDBD，A AABDABD50.50.DBCDBCABCABCABDABD6565505015.15.1717(8(8分分)(2011)(2
28、011陕西陕西) )如图所示，在正方形如图所示，在正方形ABCDABCD中，点中，点G G为为BCBC上任上任意一点，连接意一点，连接AGAG，过，过B B、D D两点分别作两点分别作BEBEAGAG，DFDFAGAG，垂足分别为，垂足分别为E E、F F两点求证：两点求证：ADFADFBAEBAE. .【答案答案】证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，DADAABAB，1 12 290.90.又又BEBEAGAG，DFDFAGAG，1 13 39090，2 24 490.90.2 23 3，4 41.1.ADFADFBAEBAE(ASA)(ASA)1818(12(12分
29、分)(2011)(2011黄冈黄冈) )如图所示，在等腰直角三角形如图所示，在等腰直角三角形ABCABC中，中，ABCABC9090，D D为为ACAC边上中点，过边上中点，过D D点作点作DEDEDFDF，交，交ABAB于于E E，交，交BCBC于于F F. .若若AEAE4 4，FCFC3 3，求，求EFEF的长的长1919(12(12分分)(2012)(2012中考预测题中考预测题) )如图所示，一根长如图所示，一根长2 2a a的木棍的木棍( (ABAB) )，斜靠在与地面斜靠在与地面( (OMOM) )垂直的墙垂直的墙( (ONON) )上，设木棍的中点为上，设木棍的中点为P P，若木棍，若木棍A A端沿墙端沿墙下滑，且下滑，且B B端沿地面向右滑行端沿地面向右滑行(1)(1)请判断木棍滑动的过程中，点请判断木棍滑动的过程中，点P P到点到点O O的距离是否变化，并简述的距离是否变化，并简述理由；理由；(2)(2)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，AOBAOB的面积最大？的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值简述理由，并求出面积的最大值
