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1、浙江财经学院本科教学课程浙江财经学院本科教学课程-经济数学经济数学(三三)概率统计3.5大数定理大数定理1大数定律的概念n例例1 掷一颗骰子, 出现1点的概率是1/6, 在掷的次数比较少时, 出现1点的频率可能与1/6相差很大, 但是在掷的次数很多时, 出现1点的频率接近1/6是必然的.n例例2 测量一个长度a, 一次测量的结果不见得就等于a, 量了若干次, 其算术平均值仍不见得等于a, 但当测量次数很多时, 算术平均值接近于a几乎是必然的.2n在相同条件下对某一个随机变量进行反复地试验, 计划试验n次, 就试验方案而言, 这样的试验将产生出相互独立且同样分布的n个随机变量x1, x2 , .
2、, xn. 将这n个随机变量加起来除以n称做这n个随机变量的算术平均值,算术平均数3n虽然n个随机变量的算术平均值仍然是随机变量, 人们相信当试验次数n无限增大的时候, 此随机变量将趋向于常数, 即数学期望, 这就是大数定律.n这就让人想到极限的概念. 但是, 传统的极限定义在这里遇到了麻烦.n传统的一个数列an的极限是定义为, 任给一个非常小的实数e, 存在着一个正数N, 当nN时, |an-a|00，有有 =1则称依概率收敛于依概率收敛于a a, ,记作10切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 切切比比雪雪夫夫大大数数定定律律: :设设随随机机变变量量序序列列 X Xn n 相相互互独独立立，
3、且且均均存存在在数数学学期期望望E(E(X Xn n)=u)=un n，方方差差D(D(X Xn n)=)=2 2n n k(n=1,2,.),0 0 ，有有11推论推推论论 设 X Xn n 为相互独立的随机变量序列，且有相 同 的 期 望 与 方 差 ： E(E(X Xn n)=u)=u， 方方 差差D(D(X Xn n)=)=2 2(n=1,2,.),(n=1,2,.), ，则对任意的0 0 ，有12辛钦大数定律n定理 (辛钦大数定律) 如果x1,x2,.是相互独立并且具有相同分布的随机变量, 有Exi=a (i=1,2,.), 则有这个定理说明我们应当相信只要反复试验, 则一个随机变量的算术平均值将趋向于常数, 通常就是数学期望.13贝努里利大数定律贝努里利大数定律 定定理理（贝贝努努里里利利大大数数定定律律） 设设每每次次实实验验中中事事件件A A发发生生的的概概率率为为p p，n n次次重重复复独独立立实实验验中中事事件件A A发发生生的的次次数数为为u un n，则则对对任任意意的的0 0 ，事事件件的频率的频率 u un n / /n n ，有有14贝努里利大数定律的注解贝努里利大数定律的注解n这个定理说明在试验条件不变的情况下, 重复进行多次试验时, 任何事件A发生的频率将趋向于概率.15
