《三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第四章 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第四章 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算课件（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 4.1平面向量的概念及线性运算一、向量的相关概念一、向量的相关概念1.既有大小又有方向的量叫做向量.向量可以用有向线段来表示.2.向量的大小,也就是向量的 (或称模),记作|.3.长度为0的向量叫做零向量,记作0.长度为1个单位长度的向量叫做单位向量.4.方向的非零向量叫做平行向量,也叫做共线向量.规定:0与任一向量平行.长度长度相同或相反相同或相反5.长度相等且方向相同的向量叫做 .相等向量相等向量1.向量的加法法则有三角形法则和平行四边形法则.二、向量的线性运算二、向量的线性运算2.向量加法的交换律:a+b=b+a.向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).3.与a长度相等,方向
2、相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a.规定:0的相反向量是0.4.实数与非零向量a的乘积a是一个向量,它的长度是|a|的|倍,即|a|=|a|.它的方向,当0时,与a同向;当|b|,则ab;(3)若|a|=|b|,则a=b,或a=-b;(4)若M为线段AB的中点,则= ( + ),其中P为平面内任一点;(5),为实数,若a=b,则a与b平行.其中真命题的个数为 ()A.1B.2C.3D.4答案A解析(4)正确.若b=0,则a与c就不一定平行,所以(1)错;向量不可以比较大小,所以(2)错;|a|=|b|,但a与b的方向可以任意,所以(3)错;如果=0,则a=b,但a与b不一定平行,所以(5)
3、错.平面向量的概念辨析题的解题方法及重要结论准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键,特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位,充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.几个重要结论:(1)向量相等具有传递性,非零向量的平行具有传递性;(2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量;(3)向量平行与向量起点的位置无关.1-1给出下列命题:(1)若A,B,C,D是不共线四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;(2)a=b的充要条件是|a|=|b|,且ab;(3)若A,B是相异的两点,则向量与 向 量长度相同,方向相反;(4)a与b平行,则a与b方向相同或相反.其中真命题的个数有(
4、)A.1B.2C.3D.4答案B解析(1),(3)正确.ab,则a与b的方向可以相同也可以相反,所以(2)错;如果a与b中有一个为0,则(4)不正确.c 向量的线性运算向量的线性运算典例2(1)(2015浙江嘉兴桐乡一中调研(二),16)已知非零向量a,b满足|a|=1,且a与a-b的夹角为30,则|b|的取值范围是.(2)如图,在OAB中,C为OA上的一点,且=,D是BC的中点,过点A的直线lOD,P是直线l上的动点,若=1+2,则1-2=.解析(1)如图所示,=a,=a-b,=b,CAB=30.由图可知BCAC时,|b|最小,此时|b|=,|b|无最大值,所以|b|的取值范围是.答案(1)
5、(2)-从而有则1-2=-.(2)因为APOD,则有 = .又D是BC的中点,则 = ( + ),从而 = + = + = + ,又 =1 +2 ,且 与 不共线,(1)向量具有数与形的双重特征,因此向量的运算有三种形式,即:符号形式运算,坐标形式运算,几何形式运算.根据定义用字母表示即可进行符号形式运算;根据条件建立平面直角坐标系,将有关点、向量用坐标表示,则可转化为坐标形式运算;向量加法、减法、数乘、数量积运算的几何意义则是几何形式运算的基础.(2)几何中常见的曲线类型,一些常用结论是向量运算几何意义的潜在背景,而用有向线段表示向量则可将向量运算的几何意义显性化.2-1(2014课标,15
6、,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为.答案90解析由=(+)可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以BAC=90,所以与的夹角为90.2-2设a,b为向量,若a+b与a的夹角为60,a+b与b的夹角为45,则=.c答案解析设=a,=b,=a+b,则四边形OACB为平行四边形,依题意有AOC=60,BOC=45,则在AOC中,OCA=BOC=45,由正弦定理得=,即=. 共线向量定理及应用共线向量定理及应用典例3(1)(2013辽宁,3,5分)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()A.B.C.D.(2)若直线
7、l上不同的三个点A,B,C与直线l外一点O,使得x2+x=2成立,则满足条件的实数x的集合为()A.-1,0B.C.D.-1答案(1)A(2)D解析(1)A(1,3),B(4,-1),=(3,-4),又|=5,与同向的单位向量为=.故选A.(2)因为x2+x=2,所以x2+x=2(-)+=,又因为A,B,C三点共线,所以+=1+=0x=0(不符合题意,舍去)或x=-1.证明(或判断)向量(点)共线的方法有:(1)向量a(a0)与b共线,当且仅当存在唯一实数,使得b=a.(2)若a,b为两个非零向量,则a,b共线的充要条件是存在两个均不为零的实数,使得a+b=0.(3)A,B是平面内不重合两点,P为平面内任一点,点C在直线AB上的充要条件是存在实数, 使 得=+.(4)若=+(,为实数),则A,B,C三点共线的充要条件是+=1.3-1(2015杭州第二次质检)在直角坐标系中,A(3,1),B(-3,-3),C(1,4),P是和夹 角 平 分 线 上 的 一 点 , 且 | = 2 , 则的坐标是()A.B.(-,)C.D.(-,1)答案A解析因为=(-6,-4),=(-2,3),所以|=2,|=,因为P是和夹角平分线上的一点,故可设=(0),即=,则|2=2=22=4,解得=(=-舍去),故=,故选A.c
