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1、第二章第二章 线性时不变系统的时域分析线性时不变系统的时域分析 n学习目标：学习目标：(1)正正确确理理解解零零输输入入响响应应、零零状状态态响响应应、冲冲激激响应和阶跃响应的基本概念；响应和阶跃响应的基本概念；(2)能能应应用用不不同同的的方方法法求求解解零零状状态态响响应应和和冲冲激激响应；响应；(3)掌掌握握用用冲冲激激响响应应卷卷积积求求解解零零状状态态响响应应的的原原理和方法理和方法(4)掌握用冲激响应表征系统的基本特性。掌握用冲激响应表征系统的基本特性。n基本内容基本内容：n（1）系统的定义及表示系统的定义及表示n（2）系统的基本性质系统的基本性质n（3）线性时不变系统的时域描述线
2、性时不变系统的时域描述n（4）零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应n（5）单位冲激响应单位冲激响应n重点难点：重点难点：n（1）零状态零状态响应的求解方法；响应的求解方法；n（2）冲激响应的求解方法；冲激响应的求解方法；一、系统的定义及表示一、系统的定义及表示n系统：具有特定功能的总体，可以看作信号系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换器、处理器。的变换器、处理器。n系统模型：系统物理特性的数学抽象。系统模型：系统物理特性的数学抽象。n系统的表示方法系统的表示方法（1）数学表达式：系统物理特性的数学抽象。数学表达式：系统物理特性的数学抽象。（2）系统框图：形象地表示其功能。）系统
3、框图：形象地表示其功能。数学表达式：数学表达式：微分方程和差分方程微分方程和差分方程n常用的系统描述方法是数学方程，包括有用于连续系统的微分方程和用于离散系统的从差分方程。n列写系统的数学方程有两条基本依据：（1）系统内部元器件或子系统的连接关系（拓扑约束）；（2）另一条是元器件或子系统的电气特性（性能约束）。 系统的框图表示法n框图法就是用一个方框来表示一个系统或子系统，而方框中的符号表示输入和输出之间的关系 :系统分类n线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统n时不变系统和时变系统时不变系统和时变系统n因果系统和非因果系统因果系统和非因果系统n稳定系统和不稳定系统稳定系统和不稳定系统我们主
4、要讨论线性时不变系统。我们主要讨论线性时不变系统。二、系统的基本性质n系统的基本特性包括有线性、时不变性、因果性和稳定性等 。1.线性线性n如果系统的输入和输出之间满足叠加性和比例性，则该系统就是线性系统。叠加性 比例性线性系统例1-17例1-202.时不变性时不变性 n时不变性的含义是，如果系统的输入在时间上有一个平移 t0，则由其引起的响应也产生一个同样的平移.例1-14例1-163.因果性因果性 n如果一个系统在任何时刻的输出只与系统当前时刻的输入和过去的输入有关，而与系统未来的输入无关，则这个系统就是因果系统。 例1-124.稳定性稳定性 n有界输入产生有界输出，则这个系统就是稳定系统
5、。 n所谓有界，即输入或输出的最大幅值是一个有限值。 n例系统 yn=nxn 就是一个不稳定系统，因为，当输入 xn 是有界时，系统的输出却有界，它将随着 n 值的增加而增加，直至无穷。 三、线性时不变系统的时域描述三、线性时不变系统的时域描述 n线性时不变系统也简称为线性时不变系统也简称为LTI系统，其系统，其分析方法建立在信号分解的基础之上。分析方法建立在信号分解的基础之上。n线性时不变系统具有的线性和时不变性，线性时不变系统具有的线性和时不变性，其响应必然是系统对这些基本信号响应其响应必然是系统对这些基本信号响应的组合。的组合。 n连续时间连续时间LTI系统用微分方程描述；系统用微分方程
6、描述；n离散时间离散时间LTI系统用差分方程描述。系统用差分方程描述。1.连续时间连续时间LTI系统的微分方程及其求解系统的微分方程及其求解 对连续时间LTI系统，如果 x(t) 为输入，y(t) 为输出，则描述输入和输出之间的微分方程为：n这个常系数线性微分方程，其完全解由这个常系数线性微分方程，其完全解由齐次解和特解两部分组成齐次解和特解两部分组成 。n齐齐次次解解是是微微分分方方程程在在输输入入为为0时时的的齐齐次次方程的解（式方程的解（式2.111）n而而特特解解则则是是在在输输入入的的作作用用下下满满足足微微分分方方程式程式(2.109)的解。的解。n对于式(2.109)的微分方程，
7、相应的齐次方程为n特征方程为n解此特征方程就可求得特征根。n根根据据特特征征根根是是单单根根、重重根根、共共轭轭复复根根，齐齐次解的形式也有所不同，一般有三种情况。次解的形式也有所不同，一般有三种情况。如如果果特特征征根根a1、a2、an都都是是单单根根，则齐次解的形式为则齐次解的形式为n 如果在特征根中， 是 k 重特征根 am ，则与 am 相对应的齐次解为:n 如果特征根中有共轭复根 ，则共轭复根所对应的齐次解为:n在上述三种齐次解中，Ci 是待定系数，它的确定与特解有关。 n举例2.14 常见激励信号的特解形式常见激励信号的特解形式 n微分方程的特解与激励信号有关，根据不同的激励信号，
8、特解也有不同的形式。n几种常见的激励信号，特解的形式见表2.1所示。n特解的求解过程一般是将表2.1中和激励信号相对应、并具有待定系数 B 的特解代入微分方程后求出待定系数 B，这样也就求出了特解。 n微微分分方方程程的的齐齐次次解解和和特特解解求求出出以以后后，其其完完全全解解的的形形式式也也就就确确定定下下来来了了。但但是是，完完全全解解中中的的待待定定系系数数则则需要由方程给定的初值来确定。需要由方程给定的初值来确定。n为为求求得得这这些些初初值值，我我们们将将系系统统在在激激励励信信号号加加入入前前瞬瞬间间的的状状态态定定义义为为系系统统的的起起始始状状态态，记记为为y(k)(0-)；
9、而而将将系系统统在在激激励励信信号号加加入入后后瞬瞬间间的的状状态态定定义义为为系系统统的的初初始始状状态态，记记为为y(k)(0+)，确确定定系系统统完完全全响响应应所所需需要要的的初初值值是是初初始始状状态态y(k)(0+)，（系系统统的的初初始始状状态就是系统在态就是系统在t=0+时刻的响应）。时刻的响应）。n微分方程的完全解、齐次解和特解是数学上的名词；n在信号与系统的术语中，微分方程的解就是系统的响应。n微分方程的完全解称为完全响应n齐次解称为自由响应（与激励信号无关）n特解称为强迫响应（和激励信号有关）完全响应自由响应强迫响应完全响应自由响应强迫响应3.离散时间离散时间LTI系统的
10、差分方程求解系统的差分方程求解（1 1）差分方程）差分方程 n离散系统的基本部件有移位器（也叫做延时器离散系统的基本部件有移位器（也叫做延时器或延迟器）、相加器和倍乘器，这些基本部件或延迟器）、相加器和倍乘器，这些基本部件常用以下框图来表示：常用以下框图来表示： n下图下图是一个简单的离散系统，它由一个延时器、是一个简单的离散系统，它由一个延时器、一个相加器和一个倍乘器组成。根据图中各个一个相加器和一个倍乘器组成。根据图中各个部件的连接关系和各个部件的基本功能，写出部件的连接关系和各个部件的基本功能，写出该系统输入该系统输入 xn 和输出和输出 yn 之间的关系为：之间的关系为： 一阶差分方程
11、一阶差分方程 N 阶离散系统的差分方程为：阶离散系统的差分方程为： n离离散散系系统统差差分分方方程程的的形形式式类类似似于于连连续续系系统统的的微微分分方方程程，只只不不过过这这里里用用差差分分信信号号替替代代了了微微分分方方程程中中的的微微分信号而已。分信号而已。（2）差分方程的求解差分方程的求解 对于一阶差分方程式，如果输入信号对于一阶差分方程式，如果输入信号 xn=d dn ，则输出信号则输出信号 yn 将如何求得呢？将如何求得呢？ n求解差分方程的方法有两种：（1）迭代法，也叫做递归法，这种方法易于用计算机求解，但不易给出一个闭式的解答。 （2）经典法，这种方法完全可以按照微分方程的
12、求解方式进行，其完全解也分为齐次解和特解两部分。例2.15 根据特征根的性质，差分方程的齐次解也根据特征根的性质，差分方程的齐次解也有以下三种形式：有以下三种形式： 如果特征根 a1、a2 、an 都是单根，则齐次解的形式为 如果在特征根中， am 是 K 重特征根，则齐次解中与 am 相对应的有 K 项，其形式为n 如果特征根中有共轭复根 ，则共轭复根所对应的齐次解为 差分方程的特解形式差分方程的特解形式: : 4差分方程的应用差分方程的应用n差分方程的应用主要表现在两个方面：(1)描述本身就是离散系统的事件，如银行利率、股市行情、人口统计等； (2)用来仿真连续系统，也就是用一个离散系统来
13、近似连续系统。举例： y(t)与yn计算结果的比较四、零输入响应和零状态响应四、零输入响应和零状态响应 1起始状态对系统的影响起始状态对系统的影响 n 用线性方程 y ( t ) = a x ( t ) + b 来描述的系统可能不是一个线性系统！为什么？ n如果方程中没有常数项 b ，则 y(t)=ax(t) 所描述的系统就是一个线性系统 。n将系统的响应分为两部分：（1）与激励信号无关，完全由某些“常数”决定；（2）完全由激励信号确定。 结论：完全由激励信号确定的响应与激励信号之间就可能满足线性关系了。举例说明 如果系统的起始状态y(0)0，则系统的输出 y(t) 和系统的输入 x(t) 之
14、间就不满足线性和时不变性。然而，只要 y(0)=0， y(t) 和 x(t) 之间就能够满足线性和时不变的关系。 n完全响应等于零输入响应加上零状态响应： n零输入响应：在激励信号 x(t) 为0，或者不考虑激励信号的作用时，由系统起始状态 y(k)(0-) 产生的响应；n零状态响应：当系统起始状态 y(k)(0-) 为0，或者不考虑系统的起始状态时，由激励信号 x(t) 产生的响应。n重要意义：（1）零状态响应能够真实地反映系统特性；（2）系统的零状态响应可以用卷积的方法求解。2零输入响应和零状态响应的求解零输入响应和零状态响应的求解 n 零输入响应的求解 零输入响应的解的形式应和微分方程齐
15、次解的形式相同，它应是微分方程齐次解中的一部分。 如果一个 N 阶微分方程的 N 个特征根 ai 都是单根，则零输入响应 yzi(t) 可写为：待定系数待定系数 Ci 完全由系统的起始状态完全由系统的起始状态 y(k)(0-) 确定确定 n 零状态响应的求解 齐次解中剩下的一部分将和特解一起组成系统的零状态响应 。n零状态响应有3种求解方法（1）零状态响应完全响应零输入响应；（2）利用系统从起始状态 y(k)(0-) 到初始状态 y(k)(0+) 的跳变量yD(k)(0) 来求解系统的零状态响应 ；（3）卷积法 n在特征根都是单根的情况下，零状态响应的形式为：n零输入响应和零状态响应的概念同样
16、适用于离散系统，而且，它们的求解方法也相同。 举例：已知 y(0-)=3/2，求自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应和完全响应。解：解：n自由响应：1/2e-3t n强迫响应 ：1n零输入响应： n零状态响应：n完全响应 ：五、单位冲激响应五、单位冲激响应 n单位冲激响应也简称为冲激响应，常用符号 h ( t ) 或 h n 表示 。n单位冲激响应是系统在单位冲激信号激励下的零状态响应；n或者说，是系统在零状态的条件下对单位冲激信号激励时的响应。1.冲激响应的特点冲激响应的特点 n冲激响应的形式和齐次解的形式相同，即n冲激响应的特点： 冲激响应由系统的特征根组成； 冲激响应的形式与齐次解的形式相同； 冲激响应中的待定系数由跳变量确定； 冲激响应中可能含有冲激函数。n举例：对下面的方程所表示的系统求冲激响应 n解出冲激响应为 ：2.冲激响应在系统分析中的作用冲激响应在系统分析中的作用 (1)用冲激响应求解系统的零状态响应 得知系统冲激响应后，我们就不必求解微分方程或差分方程，可以方便地利用卷积运算，来求出系统对任意输入信号的零状态响应了。(2) 用冲激响应表征系统特性线性时不变性、稳定性、因果性、互连性、
