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1、第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/26/20247/26/2024第第1 1页页3.1 多维随机变量及其联合分布3.2 边际分布与随机变量的独立性3.3 多维随机变量函数的分布3.4 多维随机变量的特征数3.5 条件分布与条件期望第三章 多维随机变量及其分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/26/20247/26/2024第第2 2页页分布的可加性若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大
2、学7/26/20247/26/2024第第3 3页页二项分布的可加性若 X b(n1, p)，Y b(n2, p)，注意：若 Xi b(1, p)，且独立，则 Z = X1 + X2 + + Xn b(n, p).且独立，则 Z = X+ Y b(n1+n2, p).第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/26/20247/26/2024第第4 4页页正态分布的可加性若 X N( )，Y N( ) ，注意： X Y 不服从 N( ).且独立，则 Z = X Y N( ). X Y N( ).独立正态变量的线性组合仍为正态变量. (见下)第三章第三章
3、多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/26/20247/26/2024第第5 5页页独立正态变量的线性组合仍为正态变量Xi N(i, i2), i =1, 2, . n. 且 Xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ., an 不全为零, 则第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/26/20247/26/2024第第6 6页页2 分布的可加性若 X 2( n1 )，Y 2( n2 ) ，注意： (1) X Y 不服从 2 分布.且独立，则 Z = X + Y 2( n1+n2). (2) 若 Xi N(0, 1)，且
4、独立，则 Z = 2( n ).第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/26/20247/26/2024第第7 7页页3.4.2 数学期望与方差的运算性质1. E(X+Y)=E(X)+E(Y)2. 当X与Y独立时，E(XY)=E(X) E(Y), (性质3.4.1) (性质3.4.2)第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/26/20247/26/2024第第8 8页页讨论 X+Y 的方差1. Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2EXE(X)YE(Y)3. 当X与Y独立时，EXE(X)YE
5、(Y) = 0.4. 当X与Y独立时， Var(X Y) = Var(X)+ Var (Y) .2. EXE(X)YE(Y) = E(XY) E(X)E(Y)注意：以上命题反之不成立.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/26/20247/26/2024第第9 9页页3.4.3 协方差定义3.4.1 称 Cov(X, Y) = EXE(X)YE(Y) 为 X 与 Y 的协方差.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/26/20247/26/2024第第1010页页协方差的性质(4) Cov(X, Y) =
6、 Cov(Y, X). (性质3.4.7)(1) Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y). (性质3.4.4)(2) 若 X 与 Y 独立，则 Cov(X, Y) = 0. (性质3.4.5)(6) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) . (性质3.4.9)(3) Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2 Cov(X, Y) (性质3.4.6)(5) Cov(X, a) = 0. (性质3.4.8)(7) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). (性质3.4.10)第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/26/20247/26/2024第第1111页页3.4.4 相关系数定义3.4.2 称 Corr(X, Y) =为 X 与 Y 的相关系数.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学7/26/20247/26/2024第第1212页页相关系数的性质(2)(2) 1 Corr(X, Y) 1. (3) Corr(X, Y) = 1X 与 Y 几乎处处有线性关系。(性质3.4.11)(性质3.4.12)P(Y=aX+b)=1
