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1、线性代数实践（第三讲）第第7章章 矩阵运算法解方程矩阵运算法解方程7.1 矩阵运算的规则矩阵运算的规则在MATLAB入门中已讲过的，不再重复。由于其乘法不符合交换律，有些公式不能乱用；单列向量与单行向量的左右两种乘法要加区别，而且往往有特别的用途。例如向量长度（范数）的计算；例如二维坐标网格的生成；X=ones(21,1)*-10:10,Y=-10:10*ones(1,21)矩阵的乘幂An,eA和(I-A)-1的级数展开，都要求A是方阵。矩阵乘法不满足交换律有许多我们习惯的公式，其中隐含地包含了交换律，这些公式在矩阵运算中也不能直接使用。比如：正确的做法是展开时不交换次序平面上网格坐标系的产生
2、用列矩阵乘行矩阵生成网格坐标这两个矩阵都是21行21列的，都有441个元素，如何快捷地输入呢？这时可以用到列乘行的乘法运算。可用下面的语句：h10:10;lhlength(h)%输入均分行向量%用全么列乘均分行生成XXones(lh,1)*h%用均分列乘全么行生成YYh*ones(1,lh)7.2 初等变换乘子矩阵的生成初等变换乘子矩阵的生成行交换E1gen(n,i,j)：使n行矩阵中的第i,j两行交换functionE=E1gen(n,i,j)n=size(A);E=eye(n);E(i,i)=0;E(j,j)=0;E(i,j)=1;E(j,i)=1;乘子矩阵E2gen(n,i,k),使n行
3、矩阵中的第i行乘以kfunctionE=E2gen(n,i,k)n=size(A);E=eye(n);E(i,i)=k;E3gen(n,i,j,c)使n行矩阵中的第i行乘以k加到第j行上functionE=E3gen(n,i,j,k)n=size(A);E=eye(n);E(j,i)=k;初等变换乘子矩阵示例初等变换乘子矩阵示例E=E1gen(8,4,6)E2=E2gen(8,4,6)E3=E3gen(8,4,6,5)例如E3=E3gen(3,1,3,4)例7.2.4求消元所需的乘子矩阵要消去下列矩阵的A(2,1),求乘子矩阵E3在第二行加以第一行乘A(2,1)/A(1,1)3，故令BE3ge
4、n（A,1,2,3）行阶梯生成等价于矩阵左乘因此，整个行阶梯形式U的生成过程，可以看作把原矩阵左乘以一系列的初等变换矩阵E1和E3。把这些初等矩阵的连乘积写成Ex，设其逆为L:从而有L*UA（7.10）就是说，A可以分解为一个准下三角矩阵L和一个上三角（即行阶梯）矩阵U的乘积。MATLAB提供了三角分解的函数lu，它的调用方法是：L,Ulu(A)lu分解是求行阶梯的一个方法用lu函数求出的U实际上就是A的行阶梯形式（不是简化行阶梯形式）。所以，求简化行阶梯形式用rref函数，而求行阶梯形式可以用lu函数。不过，它和我们用消元运算所得U的数据不一定相同，尽管得出的阶次和阶梯形状相同。但因为行阶梯
5、形式可以有无数种，用不同步骤算出的结果也不同。只有变成简化行阶梯形式，才能进行比较，看它是不是惟一的。7.3行列式的定义和计算两种定义方法：1。按全排列求和定义，其中tj为第j种排列的逆序数。行列式第2种定义方法2。按解的分母项，从低阶到高阶用归纳法定义二阶：三阶：两种定义方法的比较第一种定义的两个数学难点全排列和逆序数，是绝大多数工科学生一生不会用的。第二种定义方法自然地得出了行列式按行（或按列）展开的公式。美国教材都用第二种定义方法，成电教材（全国精品课程）也用这种方法。两种方法都不能用来计算，因为其计算效率都极低，2525矩阵要算上万年。第8章将指出，行列式的几何意义是面积或体积，可否从
6、这方面探索，因为它的用途很单一，就是判断奇异性，连正负号都不必关心。行列式的计算方法计算行列式的最好方法还是行阶梯法，可以利用lu分解L,Ulu(A)把A分解为一个准下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。因为det(L)1，所以U和A的行列式相等。det(A)det(U)而三角矩阵U的det(U)很好求。只要把U的主对角线元素连乘就可得到它的行列式。此法所需的乘法次数仅为定义1法的10-23行列式计算实例7.3.1程序如下l,ulu(A),dudiag(u)Dprod(du)结果为du104.8 10.6259.48241.2349D5.9720e00359727.4矩阵的秩和矩阵求逆按定义，
7、矩阵的秩是矩阵A中行列式不等于零的最高阶子式的阶次。是用以衡量联立方程中有效方程数目的指数。按照定义来计算矩阵的秩，可能遇到的问题也是子矩阵的数量很大，每个矩阵的行列式计算又非常麻烦，其计算量也将是不可接受的天文数字。计算矩阵的秩的最好方法仍然是行阶梯法，如第6章所述，行阶梯化简后非全为零的行数，就是该矩阵的秩。用MATLAB函数rrank(A)可以检验A的秩，rank函数对A是否是方阵没有要求，即可以有mn。矩阵求逆对于nn方阵A，当rn时，称A是满秩的，若rn，必有det(A)0，称A是欠秩的或奇异的。奇异矩阵不可以求逆。矩阵求逆的最简单方法也是行阶梯化简，其方法是设定一个由A和I组成的增
8、广矩阵CA,I，求C的简化行阶梯形式UCrref(A,I)，得出UCI,V。V就显示出这个逆矩阵的内容。例7.6求逆矩阵示例求A的逆阵解：程序ag706。A3,0,3,6;5,1,1,5;3,1,4,9;1,3,4,4;CA,eye(4)U0Crref(C)VU0C(:,5:8)程序运行结果右边四列就是其逆阵：矩阵求逆命令：V=inv(A),用inv函数求逆求A的逆阵程序ag707为：A=-16,-4,-6;15,-3,9;18,0,9,V=inv(A)运行结果：Warning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurat
9、e.RCOND=6.042030e-018.条件数衡量奇异程度的量在用数值方法计算矩阵的逆时，由于计算中的误差，人们不大可能得到理想的零合理想的全零行，所以矩阵是否奇异，并不是那么绝对的。为了评价矩阵接近奇异的程度，采用了条件数（ConditionNumber）作为常用的衡量指标。它永远大于1。其数值愈接近于1，计算误差愈小；MATLAB中，条件数用cond(A)计算，它达到104以上时，求逆的误差就可能相当可观。像现在，条件数达到1016（注：条件数是逆条件数RCOND的倒数），结果是根本不能用的。7.5用矩阵除法解线性方程如果mn，则线性代数方程Axb（7.21）中的A是方阵，设det(A
10、)0，则它的逆阵存在。将上式左右同乘以inv(A)，由于inv(A)*AI，得到xinv(A)*b（7.23）MATLAB创立了矩阵除法的概念，因为inv(A)相当于将A放到分母上去，所以可以把上式写成xAb（7.24）就称为左除，因为inv(A)是乘在b的左方。左除解线性方程的扩展左除的功能远远超过了矩阵求逆函数inv，inv(A)函数要求A必须是方阵，所以（7.23）式只能用来解适定方程，而（7.24）式并不要求A为方阵，在A是mn阶且mn（欠定）时，它只要求A与b的行数相等且A的秩为m。所以（7.24）式也可以用来解欠定方程，在下例中可以看出。此外，运算符还能用来解超定方程，左除解欠定方
11、程例7.8用矩阵算法解例6.5.1A3,4,3,2,1;0,6,0,3,3;4,3,4,2,2;1,1,1,0,1;2,6,2,1,3;b2;3;2;0;1;x=Ab得到x=inf，无解。改用行阶梯方法找有效行。左除要求的是系数矩阵的行数与秩相同，BA,b,r=rank(B),UB,iprref(B);U0UB(1:r,1:5);dUB(1:3,6);xU0d本例运行结果r=3,及它是此欠定方程的一个特解。7.6.1网络的矩阵分割和连接在电路设计中，经常要把复杂的电路分割为局部电路，每一个电路都用一个网络黑盒子来表示。黑盒子的输入为u1，i1，输出为u2，i2，其输入输出关系用矩阵A来表示（如
12、图7.1所示）：A是22矩阵，称为该局部电路的传输矩阵两个网络的串联两个串接的子网络。第一个子网络包含电阻R1，第二个子网络包含电阻R2，列出第一个子网络的电路方程为：由得矩阵方程两个网络的串联（续）由第二网络：写成矩阵方程为：整个电路的传输矩阵为两者的乘积7.6.2用逆阵进行保密编译码在英文中有一种对消息进行保密的措施，就是把英文字母用一个整数来表示。然后传送这组整数。这种方法是很容易根据数字出现的频率来破译，例如出现频率特别高的数字，很可能对应于字母E。可以用乘以矩阵A的方法来进一步加密。假如A是一个行列式等于1的整数矩阵，则A1的元素也必定是整数。而经过这样变换过的消息，同样两个字母对应
13、的数字不同，所以就较难破译。接收方只要将这个消息乘以A1就可以复原。7.6.3减肥配方的实现设脱脂牛奶的用量为x1个单位（100g），大豆面粉的用量为x2个单位，乳清的用量为x3个单位，表中的三个营养成分列向量为：使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，得到7.6.4弹性梁的柔度矩阵设简支梁如图7.3所示，在梁的三个位置分别施加力f1，f2和f3后，在该处产生的综合变形为图示的y1，y2和y3，通常称为挠度。根据虎克定律，在材料未失去弹性的范围内，力与它引起的变形呈线性关系，可以写出：矩阵中的元素d为单位力f引起的挠度，它愈大，表明这个梁愈柔软。数字实例设柔度矩阵（1）在1，2，3处施加的力为3
14、0，50和20试求出其挠度。（2）要在3处产生0.4挠度，其他两处为零，求应加的力。程序ag764D0.001*5,2,1;2,4,3;1,3,6%输入柔度矩阵f30;50;20,yD*f（排齐）%给定力，求挠度y10;0;0.4%给定挠度，Kinv(D),f1K*y1%求刚度矩阵,求力梁的刚度矩阵计算柔度矩阵的逆就是刚度矩阵K，KD1，其中7.6.5网络和图图为1，2，3，4四个城市之间的空运航线，用有向图表示。则该图可以用下列航路矩阵表示：经过一次转机（也就是坐两次航班）能到达的城市，可以由邻接矩阵的平方A2A12来求得。第8章用向量空间解方程组8.1向量和向量空间二维空间R2中的向量用两
15、个沿列向的元素表示u=2;4;v=3;-1;plot(2,3,4,1,x);holdon%若用中的子程序drawvec，drawvec(u);holdondrawvec(v,g);holdoff二维向量张成的空间平面上的任何一点w1;w2是不是一定能用u和v的线性组合来实现？即是不是一定能找到一组常数c1,c2，使得c1,c2取所有可能的值，得到的w的集合就是u和v张成的子空间，在所给的u和v下，它是一个平面。若u和v两个向量的各元素成简单的比例关系，合成的向量只能在一根直线上，不可能张成整个二维平面。这种情况下，称这两个向量u和v是线性相关的。2三维空间中的向量若v1,v2和v3都是三维空间
16、的列向量。可以用空间坐标中的三个点，或从坐标原点引向这三点的箭头来表示。用矩阵代数表示如下如果三个基本向量之间线性无关，那么它们的线性组合可以覆盖（张成）整个三维空间。如果三个向量共面，即相关，就不能张成三维空间。判断三个向量的线性相关性，可用行列式。三维空间向量的相关性即看三向量并列所得矩阵的行列式det(A)=0相关det(A)0不相关行列式的几何意义:在二维是两个向量组成的平行四边形面积，在三维是三个向量组成的平行六面体的体积。行列式的几何意义二维三维det(A)=右图平行六面体的体积(v1, v2)(u1,0)a2+a1,a3张成的平面a1,a3张成的平面a3a2a10n维向量的相关性
17、在进入三维以上的空间时，已经没有可与面积、体积直接相当的概念可用了，所以采用了秩的概念。如果A的行列式为零，也就是它的秩r小于n时，说明这n个向量是线性相关的。秩的概念也概括了面积存在（r2）和体积存在（r3）的意义，因此，它是更高度的抽象。8.2向量空间和基向量若r个向量是线性无关的，则它们的线性组合的全体V就构成了r维空间Rr。如果它不是空集，则V称为向量空间。生成V的r个线性无关的向量v称为基向量或基（Basis）。当rn时，给定的n个向量就是一组基。如果rn，那就要在n个向量中选出r个线性无关的向量。用秩的概念还无法判定哪些向量是线性无关的，这时又要藉助于把矩阵简化为阶梯形式的方法。例
18、8.2求四个五维向量的子空间这四个向量组成的矩阵如右，对它进行行阶梯简化。程序为：A4,5,4,1;0,3,0,1;2,1,2,0;5,4,5,3;1,4,1,1U0,iprref(A)得到ip=1,2,4其三个枢轴列对应的就是三个线性无关的列向量。三个向量空间位置演示程序三维空间中，为了观察三个向量的空间关系，ATLAST手册还提供了一个演示程序viewsubspaces(u,v,w)，它用蓝色直线显示向量u，同时用红色显示v和w所组张成的平行四边形平面，画在同一张立体图上。例如：u=-1;1;8;v=5;-4;7;w=-3;1;-5;viewsubspaces(u,v,w),gridon三
19、个向量的起点都是xyz0的原点。要看清其几何意义，还是需要一定的空间想象力。三个向量的空间关系例8.3w是否在v1,v2,v3的空间内设w是否能由v1,v2,v3的线性组合构成的问题，取决于线性方程组解的存在性。v1=7;-4;-2;9;v2=-4;5;-1;-7;v3=9;4;4;-7;w=-9;7;1;-4;v=v1,v2,v3;c=vw%把基向量组成矩阵v求解也可以按det(v)是否为零进行判别8.3向量的内积和正交性在三维空间中，x和y两个向量的内积定义为x,yx1y1x2y2x3y3。m维情况可以写成这是一个标量。向量x与自己求内积：得到的是其各分量的平方和，其平方根就等于向量的长度
20、（或模、或范数norm）。内积的几何意义在平面情况，两向量的内积除以它们的长度是它们夹角的余弦，可以利用下图证明。根据余弦定律，最后得到此结果可推广到高维空间，只是被抽象化了：例8.4基向量长度规一化和夹角例8.4求例8.3中的单位基向量v01,v02,v03，并分别求它们之间的夹角。解：解题的程序为ag822：v10=v1/norm(v1),v20=v2/norm(v2),v30=v3/norm(v1),theta12=acos(v1*v2)/(norm(v1)*norm(v2)theta13=acos(v1*v3)/(norm(v1)*norm(v3)theta23=acos(v3*v2)
21、/(norm(v3)*norm(v2)正交基向量的生成两向量x，y正交的条件是它们的内积为零。给出向量求正交基常用施密特算法，ATLAST手册中给出了相应的程序gschmidt。调用时键入Q,R=gschmidt(v)，Q就是单位正交基向量e。MATLAB中不用施密特算法，而用更好的算法编成了正交分解子程序qr.m，它将v分解为Q和R两个矩阵的乘积。调用方法为：Q,Rqr(v)Q就是mm单位正交矩阵。基向量正交化的schmidt公式得到qi(i1,2,k)后，再把它们除以norm(qi)，就可归一化为单位向量ek。基向量正交化的schmidt子程序functionQ,R=gschmidt(V)
22、m,n=size(V);R=zeros(n);R(1,1)=norm(V(:,1);Q(:,1)=V(:,1)/R(1,1);fork=2:nR(1:k1,k)=Q(:,1:k1)*V(:,k);Q(:,k)=V(:,k)Q(:,1:k1)*R(1:k1,k);R(k,k)=norm(Q(:,k);Q(:,k)=Q(:,k)/R(k,k);end求单位正交基向量的例例8.5对于例8.3的数据，求其规范化正交基向量e1,e2,en。解：程序为V7,4,9;4,5,4;2,1,4;9,7,7Q,Rqr(v)%或Q,Rgschmidt(v)eQ(:,1:3)得到：8.4齐次方程Ax=0的解空间设有m
23、个方程和n个变量，A的秩是r，则经过行简化后得到的行阶梯矩阵U的有r个枢轴元素，非枢轴元素有nr个。因此该方程的全解将等于Axb的一个特解加上其齐次方程Ax0的通解。本节将从向量空间的视点来讨论它的解，因为通解是nr阶的无穷的集合，所以要研究解所张成的向量空间。Ax0意味着这些解x的集合经过矩阵A变换后都映射到像空间的零点，所以英文把此解所张成的空间称为NullSpace，直译为零空间。我国的通用译名为解空间或基础解系，我们觉得用齐次解空间较为准确。齐次方程Ax=0解空间的例例8.6试求下列系数矩阵的齐次解空间：解：输入A，并求出它的简化行阶梯形式，键入u0,iprref(A)，得到ip1,3
24、齐次解空间的例（续）其通解可以看成三个向量的线性组合这个式子就表示了一个三维的向量空间，在这个空间中所有的向量都能使Ax0。所以它被称为齐次解空间或零空间。求齐次解空间的子程序这样齐次解空间的mis系数矩阵N可以用下面的程序来自动完成：functinN=nulspace(A)m,n=size(A);U0,ip=rref(A)is=1:n;is(ip)=;N(ip,:)=-U0(1:rank(A),is);N(is,:)=eye(n-rank(A)MATLAB中的子程序为N=null(A).计算例题8.7系数矩阵A如右，求Ax0的通解。解：程序ag842先输入A，再键入vnulbasis(A)%
25、或v=null(A,r)r表示用有理分式的基向量得到都是三个分量并列，v=v1,v2,v38.5解超定方程的思路有时用向量空间的方法可以更为简捷地推导公式，超定方程的解就是一个例子。既然我们已讨论了适定方程组和不定方程组的求解方法，自然会提出如何解超定方程组的问题。工程问题都可以允许方程有误差，把一组解代入方程后，每个方程都有误差；要找误差在一定意义下的总和为最小的解。在这样的思路引导下，就产生了超定方程求解的方法。误差线性方程组的建立引入误差向量e。eAxb写出其完全的矩阵形式如下问题是，找到解x，使e的长度或范数为最小。从向量空间的视点分析研究例6.1的超定方程组（d）：改写成简写为选择不
26、同的x1和x2将得到不同的合成向量A*xx1v1x2v2q，q必定处于v1和v2张成的平面之内。而方程中的b则一般不会在这个平面内，本例的向量空间图这时最近似的解就应该是该平面上与b点最近的点所对应的坐标A*xhat。它应该是b点向v1和v2张成的平面的投影。所以和b的连线应该和v1和v2张成的平面垂直，也就是说必须分别与v1和v2正交。如图8.6所示。最小二乘解的公式推导A*xhat和b的连线向量应该是这两个向量之差，即，它与v1和v2正交的要求可以分别表示为：和综合在一起可以写成：最后得到公式最小二乘解的数字例例8.求题6.1(d)方程组的最小二乘解。解：MATLAB程序ag808如下：A
27、=1,1;1,1;1,2,b=1;3;3xhat=inv(A*A)*A*be=A*xhatb,norm(e)运行此程序，得到MATLAB中超定方程的解在MATLAB中，把运算(ATA)-1AT单独编成一个子程序，称为pinv函数。求最小二乘解的公式可以写成xpinv(A)*b，与适定方程的解xinv(A)*b非常相似，只是pinv函数并不要求A是方阵。最小二乘解也可用运算符表示，这就把欠定方程、适定方程和超定方程用统一的运算格式：xAbMATLAB会自动根据系数矩阵A的行数m和列数n，来判断采用哪个方法和程序。不过对于欠定方程，这个式子只给出了一个特解，没给通解。数字实例8.9：实验数据处理例
28、8.9设在某一实验中，给某元件加1,2,3,4,5v电压，测得的电流为0.2339，0.3812，0.5759，0.8153，0.9742ma。求此元件的电阻。解：设直线的方程为yc(1)xc(2)，待定的系数是c(1)，c(2)。将上述数据分别代入x，y，把这五个方程联立，用矩阵表述：实验数据处理实例写成datax*c(1)ones(N,1)*c(2)datay其中datax，datay都是5行数据列向量，这是5个一次代数方程，含两个未知数，方程数超过未知数的数目，是一个超定方程，解的程序如下：Adatax,ones(N,1);Bdatay;cAB8.6.1价格平衡模型单位消耗列向量vi表示
29、第i个部门每产出一个单位产品中，本部门和其他各个部门消耗的百分比。于是总的价格平衡方程可以写成为：(IV)p=0此等式右端常数项为零，是一个齐次方程。它有非零解的条件是系数行列式等于零。8.6.2宏观经济模型为了满足外部的最终需求向量d，各生产部门的实际产出x应该是多少，这对于经济计划的制订当然很有价值。因为x=内部需求外部需求d考虑到单位消耗列向量vi和内部需求矩阵V，总的需求方程可以写成为：xVx=d，(IV)x=d因而x=inv(IV)*d8.6.3信号流图模型信号流图是用来表示和分析复杂系统内的信号变换关系的工具。右图方程如下。写成矩阵方程或x=QxPu移项整理，可以得到求信号向量x的
30、公式。ux1G1x2G2信号流图的矩阵解法(IQ)x=Pu， x=inv(IQ)*Pu定义系统的传递函数W为输出信号与输入信号之比x/u，则W可按下式求得：W=x/u=inv(IQ)*P因为得到复杂点的信号流图按右面的信号流图，照上述方法列出它的方程如下：x1=-G4x3+ux2=G1x1-G5x4x3=G2x2x4=G3x3信号流图的矩阵方程列出的矩阵方程为：矩阵中的参数是符号而不是数，MATLAB的许多函数(特别是求逆)都可以处理符号，带来了极大的方便。只要在程序第一行注明哪些是符号变量：symsG1G2用符号运算工具箱求解矩阵代数方法的最大好处是可用于任意高的阶次的信号流图，实现传递函数
31、推导的自动化如下题的MATLAB程序ag863symsG1G2G3G4G5Q=0,0,G4,0;G1,0,0,G5;0,G2,0,0;0,0,G3,0,P=1;0;0;0W=inv(eye(4)Q)*Ppretty(W(4)运行结果为8.6.4数字滤波器系统函数数字滤波器的网络结构图也是一种信号流图。按照图示情况，可以写出矩阵形式的方程为：数字滤波器的矩阵方程可以写出矩阵形式的方程为：系统函数W也可以写成：可以用类似的MATLAB符号运算工具箱求解。MATLAB求数字滤波器系统函数程序ag864symsqQ(1,2)=q;Q(2,3)=3/8*q-1/4;Q(3,1)=1;Q(3,3)=0;P=2;1/4;0W=inv(eye(3)-Q)*Ppretty(W(3)程序运行结果为
