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1、透析中考透析中考 本节知识在中考中常以选择题、解答题本节知识在中考中常以选择题、解答题( (压轴题压轴题) )的形的形式出现。二次函数在中考中所占比例较大，它除了以单独式出现。二次函数在中考中所占比例较大，它除了以单独形式命题外，还常常与一次函数、反比例函数、方程、不形式命题外，还常常与一次函数、反比例函数、方程、不等式或圆、多边形等知识结合，成为综合性较强、难度较等式或圆、多边形等知识结合，成为综合性较强、难度较大的压轴题，所以深刻理解大的压轴题，所以深刻理解二次函数及其图象的性质二次函数及其图象的性质，掌，掌握握二次函数解析式的几种求法二次函数解析式的几种求法，理解，理解二次函数与一元二次
2、二次函数与一元二次方程的关系方程的关系，掌握，掌握抛物线图象的平移抛物线图象的平移是学好本节知识的关是学好本节知识的关键。但要注意的是近几年中考中二次函数的难度有所降低，键。但要注意的是近几年中考中二次函数的难度有所降低，越来越多的出现贴近生活实际的阅读理解题、实际应用题越来越多的出现贴近生活实际的阅读理解题、实际应用题和探索题，今后的中考将会更加突出这些特点，如阅读理和探索题，今后的中考将会更加突出这些特点，如阅读理解、开放探索、函数应用等将会更受青睐。本节知识在中解、开放探索、函数应用等将会更受青睐。本节知识在中考中的分会为考中的分会为12-1512-15分。分。考点记要考点记要1.1.二
3、次函数的定义：二次函数的定义： (1)(1)形如形如_的函数叫做二次函数，其中，的函数叫做二次函数，其中，a a、b b、c c是常数，并且是常数，并且_。 (2)(2)二次函数的几种表达式：二次函数的几种表达式：一般式一般式( (三点式三点式) )：_；顶点式：顶点式：_；交点式交点式( (两根式两根式) )：_。y=axy=ax2 2+bx+c+bx+ca0a0y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)(a0)(a0)2.2.二次函数的图象：二次函数的
4、图象： 二次函数的图象是二次函数的图象是_，它是，它是_对称图形，它与对称图形，它与_的交点就是图象的的交点就是图象的_，也是整个图象的最，也是整个图象的最_点或点或最最_点。点。一条抛物线一条抛物线轴轴对称轴对称轴顶点顶点高高低低3.3.二次函数二次函数y= a(x-h)y= a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)的图象特征及其性质：的图象特征及其性质：函数函数草图草图开口开口对称轴对称轴顶点顶点增减性及最值增减性及最值y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k (a0) (a0)a0向向_直线直线_(_，_) 在对称轴左侧在对称轴左侧(即即x_时时)，y随随x的增大的增大而而_；在
5、对称轴右侧；在对称轴右侧(即即x_时时)，y随随x的的增大而增大而_。当。当x=_时，时，y取得最取得最_值值_。a0向向_ 在对称轴左侧在对称轴左侧(即即x_时时)，y随随x的增大的增大而而_；在对称轴右侧；在对称轴右侧(即即x_时时)，y随随x的的增大而增大而_。当。当x=_时，时，y取得最取得最_值值_。yxO上上xyO下下x=hhkh减小减小h增大增大h小小kh增大增大h减小减小h大大k 对于二次函数对于二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)，可以通过，可以通过_将其将其化为化为_式：式：_。于是可以知道，它的顶点。于是可以知道，它的顶点坐标为坐标为_，对称
6、轴为直线，对称轴为直线_。当。当a a0 0时，图象时，图象开口向开口向_，整个图象有，整个图象有_点，函数有点，函数有_值，即当值，即当x=_x=_时，函数取得时，函数取得_值值_；当；当a a0 0时，图时，图象开口向象开口向_，整个图象有，整个图象有_点，函数有点，函数有_值，即当值，即当x=_x=_时，函数取得时，函数取得_值值_。配方配方顶点顶点上上最低最低最小最小最小最小下下最高最高最大最大最大最大 在研究二次函数的图象及其性质时，我们常常通过在研究二次函数的图象及其性质时，我们常常通过_把一般形式的二次函数转化为把一般形式的二次函数转化为_式，从而可以快捷、式，从而可以快捷、准确
7、地根据解析式说出二次函数的图象特征及其性质。准确地根据解析式说出二次函数的图象特征及其性质。配方配方顶点顶点字母字母( (组合组合) )字母字母( (组合组合) )的取值的取值对图象的影响对图象的影响a a符号符号a a0 0抛物线开口向抛物线开口向_。a a0 0抛物线开口向抛物线开口向_。绝对值绝对值|a|a|a|a|越大，抛物线开口越越大，抛物线开口越_；|a|a|越小，抛物线开口越越小，抛物线开口越_。a a与与b b=0(=0(即即b=0)b=0)抛物线的对称轴是直线抛物线的对称轴是直线_。0(0(即即a a、b b异号异号) )抛物线的对称轴在抛物线的对称轴在y y轴轴_侧。侧。0
8、(0(即即a a、b b同号同号) )抛物线的对称轴在抛物线的对称轴在y y轴轴_侧。侧。c cc c0 0抛物线与抛物线与y y轴的交点在轴的交点在x x轴轴_。c c0 0抛物线与抛物线与y y轴的交点在轴的交点在x x轴轴_。c=0c=0抛物线经过抛物线经过_。a a、b b、c c( =b( =b2 2- -4ac)4ac)b b2 2-4ac-4ac0 0抛物线与抛物线与x x轴有轴有_个交点。个交点。b b2 2-4ac-4ac0 0抛物线与抛物线与x x轴轴_交点。交点。b b2 2-4ac=0-4ac=0抛物线与抛物线与x x轴有轴有_的交点。的交点。4.4.二次函数二次函数y
9、=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)中，中，a a、b b、c c与图象的关系：与图象的关系：上上下下大大小小x=0(x=0(即即y y轴轴) )左左右右上方上方下方下方原点原点两两没有没有唯一唯一5.5.二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)与一元二次方程、一元二次与一元二次方程、一元二次不等式的关系：不等式的关系： (1)(1)在二次函数在二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)中，当中，当_时，就得时，就得到一元二次方程到一元二次方程_，它的两个根就是函数图象，它的两个根就是函数图象与与_ _轴的交点的轴的
10、交点的_坐标，其具体情况有以下三种：坐标，其具体情况有以下三种：y=0y=0axax2 2+bx+c=0+bx+c=0x x横横抛物线与抛物线与x轴有轴有_个交点个交点0一元二次方程有一元二次方程有_个个_的实数根的实数根抛物线与抛物线与x轴有轴有_个交点个交点=0一元二次方程有一元二次方程有_个个_的实数根的实数根抛物线与抛物线与x轴轴_交点交点0一元二次方程一元二次方程_实数根实数根两两不相等不相等两两两两相等相等唯一一唯一一没有没有没有没有 (2)(2)在二次函数在二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)中，设它的图象与中，设它的图象与x x轴轴的交点坐标为的交
11、点坐标为(x(x1 1，0)0)、(x(x2 2，0)0)，且，且x x1 1x x2 2。当。当_时，时，就得到一元二次不等式就得到一元二次不等式axax2 2+bx+c+bx+c0 0，若，若a a0 0，则它的解，则它的解集为集为_，若，若a a0 0，则它的解集为，则它的解集为_；当当_时，就得到一元二次不等式时，就得到一元二次不等式axax2 2+bx+c+bx+c0 0，若，若a a0 0，则它的解集为，则它的解集为_，若，若a a0 0，则它的解集为，则它的解集为_。y y0 0x xx x1 1或或x xx x2 2x x1 1x xx x2 2y y0 0x x1 1x xx
12、 x2 2x xx x1 1或或x xx x2 26.6.抛物线抛物线y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k在直角坐标系中的几种基本变换：在直角坐标系中的几种基本变换： (1)(1)沿沿x x轴向左平移轴向左平移m m个单位得到的抛物线解式为个单位得到的抛物线解式为_；沿；沿x x轴向右平移轴向右平移m m个单位得到的抛物线解个单位得到的抛物线解析式为析式为_。 (2)(2)沿沿y y轴向上平移轴向上平移n n个单位得到的抛物线解析式为个单位得到的抛物线解析式为_；沿；沿y y轴向下平移轴向下平移n n个单位得到的抛物线个单位得到的抛物线解析式为解析式为_。 (3)(3)沿沿x x轴翻
13、折得到的抛物线解析式为轴翻折得到的抛物线解析式为_；沿沿y y轴翻折得到的抛物线解析式为轴翻折得到的抛物线解析式为_。 (4)(4)绕原点旋转绕原点旋转180180后得到的抛物线解析式为后得到的抛物线解析式为_；绕顶点旋转；绕顶点旋转180180后得到的抛物线解析式后得到的抛物线解析式为为_。y=a(x-h+m)y=a(x-h+m)2 2+k+ky=a(x-h-m)y=a(x-h-m)2 2+k+ky=a(x-h)y=a(x-h)2 2+(k+n)+(k+n)y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+(k-n)+(k-n)y=-a(x-h)y=-a(x-h)2 2-k-ky=a(x+h)y=a(
14、x+h)2 2+k+ky=-a(x+h)y=-a(x+h)2 2-k-ky=-a(x-h)y=-a(x-h)2 2+k+k特别提醒：特别提醒： 根据抛物线的变换规则来确定二次函数解析式时，一根据抛物线的变换规则来确定二次函数解析式时，一定要先把原解析式化为定要先把原解析式化为_式才可以适用，确定解析式变化规律的式才可以适用，确定解析式变化规律的关键是利用数形结合的方法，抓住抛物线变换前后的基本特征之间关键是利用数形结合的方法，抓住抛物线变换前后的基本特征之间的联系，即抛物线的的联系，即抛物线的_、_和和_。顶点顶点开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标7.7.求二次函数的解析式：求二次函
15、数的解析式： (1)(1)用待定系数法求二次函数的解析式时，一般要经历用待定系数法求二次函数的解析式时，一般要经历_、_、_、_四个步骤，其中根据不同条件选设不同形四个步骤，其中根据不同条件选设不同形式的函数解析式可以使求解的过程更为简洁：式的函数解析式可以使求解的过程更为简洁： 当已知条件是三点的坐标或函数的三对对应值时，当已知条件是三点的坐标或函数的三对对应值时，一般把解析式设为一般把解析式设为_；当已知条件中出现了顶当已知条件中出现了顶点坐标或函数的最值点坐标或函数的最值( (最大值或最小值最大值或最小值) )时，一般把解析式时，一般把解析式设为设为_；当已知条件中出现了图象与当已知条件
16、中出现了图象与x x轴的交轴的交点坐标或与点坐标或与x x轴的交点横坐标时，一般把解析式设为轴的交点横坐标时，一般把解析式设为_。 (2)(2)利用抛物线在直角坐标系中的变换的规则来求二次利用抛物线在直角坐标系中的变换的规则来求二次函数解析式时，一定要先把原解析式化为函数解析式时，一定要先把原解析式化为_式，这样才式，这样才能适用变换规则。在适用规则前，应先利用数形结合的方能适用变换规则。在适用规则前，应先利用数形结合的方法，通过画草图分析的方式，找到抛物线变换前后基本特法，通过画草图分析的方式，找到抛物线变换前后基本特征之间的联系。征之间的联系。设设列列解解答答y=axy=ax2 2+bx+
17、c+bx+cy=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+ky=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) )顶点顶点考点例解考点例解1.1.考查二次函数的图象与特征考查二次函数的图象与特征例例1 1 如图是二次函数如图是二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象的一部分，的图象的一部分，给出下列命题：给出下列命题：a+b+ca+b+c=0=0；b b2a2a；axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两的两根分别为根分别为-3-3和和1 1；a-2b+ca-2b+c0 0。其中正确的命题是。其中正确的命题是_。( (只要求填写正确命题的序号只要求
18、填写正确命题的序号) )yxO 1x=-1yxO-111变式训练变式训练 1.1.如图所示的二次函数如图所示的二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b(1)b2 2-4ac-4ac0 0；(2)c(2)c1 1；(3)2a-b(3)2a-b0 0；(4)a+b+c(4)a+b+c0 0。其中，错误的有。其中，错误的有( ( ) )。A.2A.2个；个； B.3B.3个；个； C.4C.4个；个； D.1D.1个。个。D D2.2.考查二次函数的实际应用考查二次函数的实际应用例例2 2 某学校要在
19、围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙圃的一边靠围墙( (墙的长度不限墙的长度不限) )，另三边用木栏围成，建成的苗圃，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形为如图所示的长方形ABCDABCD。已知木栏总长为。已知木栏总长为120120米，设米，设ABAB的边的长的边的长为为x x米，长方形米，长方形ABCDABCD的面积为的面积为S S平方米。平方米。围墙围墙ABCDO1O2(1)(1)求求S S与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式( (不要求写出不要求写出自变量自变量x x的取值范围的取值范围) )。当。当
20、x x为何值时，为何值时，S S取取得最值得最值( (请指出是最大值还是最小值请指出是最大值还是最小值) )？并？并求出这个最值；求出这个最值；(2)(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为的等圆，其圆心分别为O O1 1和和O O2 2，且点，且点O O1 1到到ABAB、BCBC、ADAD的距离与点的距离与点O O2 2到到CDCD、BCBC、ADAD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够少要留够0.50.5米宽的平直路面，以方便同
21、学们参观学习。当米宽的平直路面，以方便同学们参观学习。当(1)(1)中中S S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由。不可行，请说明理由。ryS=-2x2+120x=-2(x-30)2+1800这个设计不可行。这个设计不可行。变式训练变式训练 2.2.我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售。当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入在当地销售。当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x x万万元，可获利润元，可获利润 （万元）。当地政府拟在（万元）。
22、当地政府拟在“十二十二五五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入目每年最多可投入100100万元的销售投资，在实施规划万元的销售投资，在实施规划5 5年的前两年中，年的前两年中，每年都从每年都从100100万元中拨出万元中拨出5050万元用于修建一条公路，两年修成，通万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3 3年中，该特产既在本年中，该特产既在本地销售，也在外地销售。在外地销售的投资收益为：每投入地销售，也在外地销售。在外地销售
23、的投资收益为：每投入x x万元，可获利润万元，可获利润 （万元）。（万元）。 （1 1）若不进行开发，）若不进行开发，5 5年所获利润的最大值是多少？年所获利润的最大值是多少？（2 2）若按规划实施，）若按规划实施，5 5年所获利润（扣除修路费用后）的最大值年所获利润（扣除修路费用后）的最大值是多少？是多少？205205（万元）（万元）31753175（万元）（万元）（3 3）根据（）根据（1 1）（）（2 2），该方案是否具有实施价值？），该方案是否具有实施价值？有极大的实施价值。有极大的实施价值。3.3.考查二次函数与其他知识的综合应用考查二次函数与其他知识的综合应用例例3 3 如图，直线
24、如图，直线y=3x+3y=3x+3交交x x轴于点轴于点A A，交，交y y轴于点轴于点B B，过，过A A、B B两点的抛物线交两点的抛物线交x x轴于另一点轴于另一点C C（3 3，0 0）。）。（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式； （2 2）在抛物线的对称轴上是否存在一点）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q Q，使，使ABQABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q Q的坐标；若的坐标；若不存在，请说明理由。不存在，请说明理由。yBAOCxy=-xy=-x2 2+2x+3+2x+3存在符合条件的点存在符合条件的点Q Q，其坐标为：，其坐
25、标为：变式训练变式训练3.3.已知二次函数已知二次函数y=xy=x2 2+bx-3+bx-3的图象经过点的图象经过点P(-2P(-2，5)5)。(1)(1)求求b b的值，并写出当的值，并写出当1 1x3x3时，时，y y的取值范围；的取值范围； (2)(2)设点设点P P1 1(m(m，y y1 1) )、P P2 2(m+1(m+1，y y2 2) )、P P3 3(m+2(m+2，y y3 3) )在这个二在这个二次函数的图象上：次函数的图象上： 当当m=4m=4时，时，y y1 1、y y2 2、y y3 3能否作为同一个三角形的三边能否作为同一个三角形的三边长？请说明理由；长？请说明理由； 当当m m取不小于取不小于5 5的任意实数时，的任意实数时，y y1 1、y y2 2、y y3 3一定能作一定能作为同一个三角形的三边长，请说明理由。为同一个三角形的三边长，请说明理由。
