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1、1.1.3 3.1 .1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 第三课时第三课时 函数的最值函数的最值问题提出问题提出1.1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？确定函数的单调性有哪些手段和方法？2.2.函数函数图象上升与下降反映了函数的象上升与下降反映了函数的单调性，性，如果函数如果函数的图象存在最高点或最低点，它又的图象存在最高点或最低点，它又反映了函数的什么性质？反映了函数的什么性质？知识探究（一）知识探究（一）观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象： 图图1ox0xMy思考思考1:1:这两个函数图象有何共同特征？这两个函数图象有何共同特征？y yx xox0图图2MAB 第一
2、个函数图象有最高点第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高第二个函数图象有最高点点B,也就是说也就是说,这两个函数的图象的共同特征是都有最这两个函数的图象的共同特征是都有最高点高点思考思考2:函数图象上任意点函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什的坐标与函数有什么关系么关系? 函数图象上任意点函数图象上任意点P(x,y)的意义的意义:横坐标横坐标x是自变量是自变量的取值的取值,纵坐标纵坐标y是自变量为是自变量为x时对应的函数值的大小时对应的函数值的大小.思考思考3:函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？ 函数图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大
3、值函数图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值即函数的最大值思考思考4:设函数设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与与M的大小关的大小关系如何系如何?f(x) M思考思考5:设函数设函数f(x)=1-x2,则则f(x) 2成立吗成立吗?f(x)的最大值是的最大值是2吗吗?为什么为什么?思考思考6:在数学中在数学中,形如问题形如问题1中的函数中的函数y=f(x)的图象上的图象上最高点最高点A、B的纵坐标就是函数的纵坐标就是函数y=f(x)的最大值，谁能的最大值，谁能给出函数最大值的定义
4、，用什么符号表示？给出函数最大值的定义，用什么符号表示？一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I，如果存在，如果存在实数实数M满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的 , , 都有都有 ；（2 2）存在）存在 ，使得，使得 . . 那么称那么称M是函数是函数 的最大值，记作的最大值，记作思考思考7:函数的最大值的定义中函数的最大值的定义中f(x) M即即f(x) f(x0),这个不等式反映了函数这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？什么特点？其图象又具有什么特征？ f(X) M反映了函数y=f(X)的所有函数值不大于实数M，
5、这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M。思考思考8：函数最大值的几何意义是什么？函数最大值的几何意义是什么？函数图象最高点的纵坐标。函数图象最高点的纵坐标。思考思考9:9:函数函数 有最大有最大值吗？为什么？点（值吗？为什么？点（-1-1，3 3）是不是最高点）是不是最高点？思考思考10：由问题由问题9你发现了什么值得注意的地方？你发现了什么值得注意的地方？讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点。图图1yox0xm知识探究（二）知识探究（二）观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象： xyox0图图2m
6、思考思考1:1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？象上最低点的纵坐标叫什么名称？思考思考2:2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数仿照函数最大值的定义，怎样定义函数 的最小值？的最小值？ 一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I，如果存在实数如果存在实数m满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的 , , 都有都有 ; ; （2 2）存在）存在 ，使得，使得 . . 那么称那么称m是函数是函数 的最小值，记作的最小值，记作函数最小值的几何意义：函数图象最低点的纵坐标。函数最小值的几何意义：函数图象最低点的纵坐
7、标。讨论函数的最小值，要坚持定义域优先的原则；函数图讨论函数的最小值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点。函数图象上的点。2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M） 注意：注意：1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M；知识探究（三）知识探究（三）思考思考1:1:如果在函数如果在函数 定义域内存在定义域内存在x x1 1和和 x x2 2，使对定义域内任意使对定义域内任意x x都有都有成立，由此
8、你能得到什么结论？成立，由此你能得到什么结论？思考思考2:2:如果函数如果函数 存在最大值，那么有几个？存在最大值，那么有几个？思考思考3:3:如果函数如果函数 的最大值是的最大值是b b，最小值是，最小值是a a，那么函数那么函数 的值域是的值域是aa，bb吗？吗？理论迁移理论迁移例例1 1已知函数已知函数 ，求函数，求函数 的最大值和最小值的最大值和最小值. . 单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到以下一些结论：如果函数y=f(X)在区间（a,b上单调递增，在区间b,c)上单调递减，则函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).如果函数y=f(X)在区间（a,
9、b上单调递减，在区间b,c)上单调递增，则函数y=f(X)在x=b处有最小值f(b).如果函数y=f(X)在区间a,b上单调递增，则函数函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).在x=a处有最小值f(a).1、利用、利用函数单调性函数单调性的求函数的最大（小）值的求函数的最大（小）值 例例 2 “菊花菊花”烟花是最壮观烟花是最壮观 的烟的烟花之一。制造时一般是期望在它花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂达到最高点时爆裂, 如果如果烟花烟花 距地面的距地面的高度高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18 ，那么那么烟花冲出后什么时候是烟
10、花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少? （精确到（精确到1m）2、利用利用二次函数二次函数的性质（的性质（配方法配方法）求函数的最）求函数的最大（小）值大（小）值解：作出函数解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象，如图，显然，的图象，如图，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。1234102015530250ht由二次函数的知识，对于函数由二次函
11、数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2 +14.7t+18 ，我们有：当我们有：当 时，函数有最大值时，函数有最大值 于是，烟花冲出后于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为高度约为29m例例3将进货单价将进货单价40元的商品按元的商品按50元一个售出时，元一个售出时，能卖出能卖出500个，若此商品每个涨价个，若此商品每个涨价1元，其销售量元，其销售量减少减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？ 本题主要考察二次函数的最值问题，以及应用二次本题主要考察二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际
12、问题的能力，解应用题步骤是函数解决实际问题的能力，解应用题步骤是审清题审清题意读懂题；意读懂题；实际问题转化为数学问题来解决；实际问题转化为数学问题来解决；归归纳结论。纳结论。 注意：注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合。值要借助于图象即数形结合。3、利用利用图象图象求函数的最大（小）值求函数的最大（小）值 -2x+1 x-1例例4、求函数、求函数f(x)= 3 -1x2 的最值的最值 2x-1 x2课堂小结：（1）函数的最大（小）值的概念（2）求函数的最大（小）值一般方法课后作业： P39 39 组、组1对于熟悉的对于熟悉的 一次函数、二次函数、反比例函数等一次函数、二次函数、反比例函数等函数可以先画出其图象，根据函数的性质来求最大函数可以先画出其图象，根据函数的性质来求最大（小）值（小）值对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画出其图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利出其图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利用单调性求出函数的最值用单调性求出函数的最值
