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1、一阶线性微分方程一阶线性微分方程 的标准形式的标准形式:上述方程称为上述方程称为 齐次方程齐次方程.上述方程称为上述方程称为 非齐次方程非齐次方程.二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程齐次方程的通解为齐次方程的通解为1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的 解法解法(可分离变量可分离变量)2. 线性非齐次方程线性非齐次方程常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .令令对应齐次方程通解对应齐次方程通解齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解代入非齐次方程，得代入非齐次方程，得故原方程的通
2、解故原方程的通解即即即即两端积分得两端积分得例例1 1. 解方程解方程 解解: :这是一个非齐次线性方程这是一个非齐次线性方程 故原方程通解为故原方程通解为由一阶线性方程由一阶线性方程通解公式通解公式, ,得得例例2 2. 解方程解方程 解解: : 这是一个非齐次线性方程这是一个非齐次线性方程 故原方程通解为故原方程通解为由一阶线性方程由一阶线性方程通解公式通解公式, ,得得解解例例3 3原方程可化为为原方程可化为为伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式伯努利方程伯努利方程解法解法: : 经过变量代换化为一阶线性微分方程经过变量代换化为一阶线性微分方程.求出通解后，将求
3、出通解后，将 代入即得代入即得代入上式代入上式例例4 4. 求方程求方程的通解的通解. .解解: :令令则方程变形为则方程变形为其通解为其通解为将将代入代入, , 得原方程通解得原方程通解: : 例例5 5 用适当的变量代换解微分方程用适当的变量代换解微分方程: :解解所求通解为所求通解为三、几类可降阶的高阶微分方程三、几类可降阶的高阶微分方程 两端积分得两端积分得 n-1 阶方程阶方程同理可得同理可得依次通过依次通过 n 次积分次积分, ,可得含可得含 n 个任意常数的通解个任意常数的通解 .型型例例1. 1. 解解: : 型型设设原方程化为一阶方程原方程化为一阶方程设其通解为设其通解为则得
4、则得两边积分两边积分, , 得原方程的通解得原方程的通解例例2.2.求解求解解解: : 代入方程得代入方程得分离变量分离变量积分得积分得利用利用于是有于是有两端再积分得两端再积分得利用利用因此所求特解为因此所求特解为型型令令故方程化为故方程化为设其通解为设其通解为即得即得分离变量后积分分离变量后积分, , 得原方程的通解得原方程的通解例例3 3. .求解求解代入方程得代入方程得两端积分得两端积分得( (可分离变量可分离变量) )故所求通解为故所求通解为解解: :内容小结内容小结一阶微分方程一阶微分方程齐次方程齐次方程齐次方程的解法齐次方程的解法1. 可分离变量的方程可分离变量的方程1.分离变量
5、分离变量;2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.转化为可分离变量的方程转化为可分离变量的方程2.2.一阶线性方程一阶线性方程方法方法1 1 先解齐次方程先解齐次方程, , 再用再用 常数变易法常数变易法. .方法方法2 2 用通解公式用通解公式转化为线性方程求解转化为线性方程求解. .伯努利方程伯努利方程3.3.可降阶的高阶方程的解法可降阶的高阶方程的解法 转化为一阶方程转化为一阶方程逐次积分逐次积分令令令令练习练习.设设F(x)f (x) g(x), 其中函数其中函数 f(x), g(x) 在在(,+)内满足以下条件内满足以下条件:(1) 求求F(x) 所满足的一阶微分方程所满足的一阶微分方程;(03考研考研) (2) 求出求出F(x) 的表达式的表达式.解解: (1) 所以所以 F(x) 满足一阶线性非齐次微分方程满足一阶线性非齐次微分方程:(2) 由一阶线性微分方程解的公式得由一阶线性微分方程解的公式得于是于是
