《推荐高等量子力学位置表象和动量表象》由会员分享，可在线阅读，更多相关《推荐高等量子力学位置表象和动量表象（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、解：解： 将将n 换成（换成（ n 1） ，就有，就有重复这种递推过程（重复这种递推过程（ n 1）次，即得）次，即得1 设设 则则 为为的特例。的特例。由由的结果，若令的结果，若令 则则 特别地，特别地， 27 位置表象和动量表象位置表象和动量表象3本节主要内容：本节主要内容：7-1 本正值谱和本征矢量本正值谱和本征矢量7-2 位置表象和动量表象位置表象和动量表象7-3 位置表象的函数形式位置表象的函数形式7-5 函数空间的性质函数空间的性质*47-1 本正值谱和本征矢量本正值谱和本征矢量（7.1） （7.2） 我们的任务是：求出本征值我们的任务是：求出本征值x和和p分别可以取哪些值，以及相
2、分别可以取哪些值，以及相应的本征矢量之间的关系。应的本征矢量之间的关系。 讨论的根据是我们的原理讨论的根据是我们的原理1、原理、原理2和原理和原理3，其中唯一的定，其中唯一的定量关系是原理量关系是原理3中的对易关系：中的对易关系： （7.3） 5（7.5） 6即即（7.6） 7（7.7） （7.8） 由上式的左矢形式由上式的左矢形式8（7.9） 9对于动量对于动量P也可以作类似的讨论。引入算符也可以作类似的讨论。引入算符（7.10） （7.11） 107-2 位置表象和动量表象位置表象和动量表象（7.12） （7.13） 因而可以建立位置表象（因而可以建立位置表象（x表象）和动量表象（表象）和
3、动量表象（p表象）。我们表象）。我们首先讨论位置表象。首先讨论位置表象。11而而比较，得比较，得这是算符这是算符X的本征矢量，即位置表象的基矢的正交归一化关系。的本征矢量，即位置表象的基矢的正交归一化关系。 （7.14）12（7.15） （7.16） 13（7.17） （7.18） （7.19） 即即（7.20） 14算符算符A在位置表象中的矩阵元为在位置表象中的矩阵元为（7.21） （7.22） 写成连续矩阵形式即为写成连续矩阵形式即为 （7.23） 15其次看位置算符其次看位置算符X在自己表象中的矩阵形式：在自己表象中的矩阵形式： （7.24） 16(7.25) 17 (7.26) 181
4、9动量算符动量算符P在位置表象中是一个连续矩阵，有在位置表象中是一个连续矩阵，有(7.27) (7.28) 20(7.29) 217-3 位置表象的函数形式位置表象的函数形式2223（7.35） 24仍从矩阵形式出发，有仍从矩阵形式出发，有于是（于是（7.36）式在函数形式中可以写成为）式在函数形式中可以写成为（7.36） （7.37） （7.38） 25对易关系仍为对易关系仍为 （7.40） （7.39） 26（7.41） （7.42） 27 量子力学的位置表象的函数形式，就是初等量子力学一开始量子力学的位置表象的函数形式，就是初等量子力学一开始所用的表示形式。所用的表示形式。 我们在讨论位
5、置表象的函数形式的过程中，建立了一个函数我们在讨论位置表象的函数形式的过程中，建立了一个函数空间。这是一个实变量的复函数的空间，这个空间同抽象的希尔空间。这是一个实变量的复函数的空间，这个空间同抽象的希尔伯特空间一一对应，每一个函数就是函数空间中的一个矢量，与伯特空间一一对应，每一个函数就是函数空间中的一个矢量，与希尔伯特空间（单一空间）中一个矢量相对应，相对应的两个矢希尔伯特空间（单一空间）中一个矢量相对应，相对应的两个矢量都可以描写同一个物理状态。两个空间中各有相对应的算符，量都可以描写同一个物理状态。两个空间中各有相对应的算符，它们可以描写相应的物理量。量子力学的各种关系，可以在某一它们
6、可以描写相应的物理量。量子力学的各种关系，可以在某一空间中讨论，也可以等价地在另一空间中讨论。空间中讨论，也可以等价地在另一空间中讨论。 28与它们想对应的算符，则写成相应的大写字母，如与它们想对应的算符，则写成相应的大写字母，如29三个位置算符三个位置算符X，Y，Z是互相对易的，它们各自有一组本征矢量：是互相对易的，它们各自有一组本征矢量：（7.43） （7.44） 30（7.45） （7.46） （7.47） 即是位置表象中的态函数。即是位置表象中的态函数。31若以若以 z 轴为极轴取极坐标，则轴为极轴取极坐标，则（7.48） （7.49） （7.50） （7.51） （7.52） 32即
7、即 （7.53） （7.54） 33(7.57)34（7.58） 分解开来，得分解开来，得即即（7.59） （7.60） 35（7.61） 类似地，有类似地，有（7.62） 36（7.44） 37(7.63)38（7.64） 397-5 函数空间的性质函数空间的性质 函数空间是为建立位置表象的函数形式而引入的，但是，函数空间是为建立位置表象的函数形式而引入的，但是，我们发现在函数空间中的态矢量和算符，与抽象的希尔伯特空我们发现在函数空间中的态矢量和算符，与抽象的希尔伯特空间中态矢量和算符存在一一对应的关系。间中态矢量和算符存在一一对应的关系。态矢量：态矢量：算符：算符： 本征值方程：本征值方程： 40展开式：展开式： 4142
