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1、一、数学期望的概念一、数学期望的概念二、数学期望的性质二、数学期望的性质三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望四、小结四、小结第一节第一节 数学期望数学期望引例引例1 分赌本问题分赌本问题(产生背景产生背景) A, B 两人赌技相同两人赌技相同, 各出各出赌金赌金100元元,并约定先胜三局者为并约定先胜三局者为胜胜, 取得全部取得全部 200 元元.由于出现意由于出现意外情况外情况 ,在在 A 胜胜 2 局局 B 胜胜1 局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博, 如果要分赌金如果要分赌金,该如何分配才算公平该如何分配才算公平?一、数学期望的概念一、数学期望的概念 A 胜胜 2 局
2、局 B 胜胜 1 局局前三局前三局:后二局后二局:把已赌过的三局把已赌过的三局(A 胜胜2局局B 胜胜1局局)与上述结果与上述结果相结合相结合,即即 A、B 赌完五局赌完五局,A AA B B AB BA 胜胜B 胜胜分析分析 假设继续赌两局假设继续赌两局,则结果有以下四种情况则结果有以下四种情况:A AA B B AB BA胜胜B负负 A胜胜B负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 因此因此, A 能能“期望期望”得到的数目应为得到的数目应为 而而B 能能“期望期望”得到的数目得到的数目, 则为则为故有故有, 在赌技相同的情况下在赌技相同的情
3、况下,A, B 最终获胜的最终获胜的可能性大小之比为可能性大小之比为即即A 应获得赌金的应获得赌金的 而而 B 只能获得赌金的只能获得赌金的因而因而A期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为X的的 “期望期望”值值,等于等于X 的可能值与其概率之积的累加的可能值与其概率之积的累加.即为即为若设随机变量若设随机变量 X 为为:在在 A 胜胜2局局B 胜胜1局的前提局的前提下下, 继续赌下去继续赌下去 A 最终所得的赌金最终所得的赌金.则则X 所取可能值为所取可能值为:其概率分别为其概率分别为: 设某射击手在同样的条设某射击手在同样的条件下件下,瞄准靶子相继射击瞄准靶子相继射击90次次,(命中的环数是
4、一个随机变量命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下射中次数记录如下引例引例2 射击问题射击问题试问试问:该射手每次射击平均命中靶多少环该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数命中环数 k命中次数命中次数频率频率解解平均射中环数平均射中环数设射手命中的环数为随机变量设射手命中的环数为随机变量 Y . 平均射中环数平均射中环数频率随机波动频率随机波动随机波动随机波动随机波动随机波动 稳定值稳定值 “平均射中环数平均射中环数”的稳定值的稳定值 “平均射中环数平均射中环数”等于等于射中环数的可能值与其概率之积的累加射中环数的可能值与其概率之积的累加1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数
5、学期望分赌本问题分赌本问题A 期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为 X 的数学期望的数学期望射击问题射击问题 “平均射中环数平均射中环数”应为随机变量应为随机变量Y 的数学期的数学期望望关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同术平均值不同. (1) E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同 , 它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值, 也称也称均值均值. (2) 级数的绝对收敛
6、性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变.随机变量随机变量 X 的算术平均值为的算术平均值为假设假设它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值取可能值的平均值.当随机变量当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等的期望值与算术平均值相等.试问哪个射手技术较好试问哪
7、个射手技术较好?实例实例1 谁的技术比较好谁的技术比较好? ?乙射手乙射手甲射手甲射手实例实例2 发行彩票的创收利润发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票某一彩票中心发行彩票 10万张万张, 每张每张2元元. 设设头等奖头等奖1个个, 奖金奖金 1万元万元, 二等奖二等奖2个个,奖金各奖金各 5 千元千元;三等奖三等奖 10个个, 奖金各奖金各1千元千元; 四等奖四等奖100个个, 奖金各奖金各100元元; 五等奖五等奖1000个个, 奖金各奖金各10 元元.每张彩票的成每张彩票的成本费为本费为 0.3 元元, 请计算彩票发行单位的创收利润请计算彩票发行单位的创收利润.解解设每张彩票中奖的数
8、额为随机变量设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则则每张彩票平均可赚每张彩票平均可赚每张彩票平均能得到奖金每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为万张彩票的创收利润为实例实例3 如何确定投资决策方向如何确定投资决策方向? ? 某人有某人有10万元现金，想投资于某万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为项目，预估成功的机会为 30%，可得，可得利润利润8万元万元 ， 失败的机会为失败的机会为70%，将，将损失损失 2 万元若存入银行，同期间的万元若存入银行，同期间的利率为利率为5% ，问是否作此项投资，问是否作此项投资?解解设设 X 为投资利润
9、，则为投资利润，则存入银行的利息存入银行的利息:故应选择投资故应选择投资.实例实例4商店的销售策略商店的销售策略解解实例实例5分组验血分组验血解解到站时刻到站时刻概率概率实例实例62.连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义解解因此因此, 顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.实例实例7 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间? ? 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间?1. 设设 C 是常数是常数,
10、则有则有证明证明2. 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数, 则有则有例如例如二、数学期望的性质二、数学期望的性质4. 设设 X, Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量, 则有则有3. 设设 X, Y 是两个随机变量是两个随机变量, 则有则有解解实例实例81. 离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望解解三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为则有则有因此离散型随机变量函数的数学期望为因此离散型随机变量函数的数学期望为若若 Y=g(X), 且且则有则有2. 连续型随机变量函数的数学期望连续型随
11、机变量函数的数学期望若若 X 是连续型的是连续型的,它的分布密度为它的分布密度为 f (x) , 则则3. 二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望解解实例实例9 设设 ( X , Y ) 的分布律为的分布律为由于由于实例实例10 解解实例实例11 解解因此期望所得为因此期望所得为利用软件包求解利用软件包求解,并演示计算结果并演示计算结果.单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停 ESC ESC键退出键退出四、小结四、小结1.数学期望是一个实数数学期望是一个实数, 而非变量而非变量,它是一种它是一种加权加权平均平均, 与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了它从本质上体
12、现了随机变量随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2. 数学期望的性质数学期望的性质 和公式复 习 该公式的重要性在于该公式的重要性在于: 当我们求当我们求Eg(X)时时, 不不必知道必知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便这给求随机变量函数的期望带来很大方便.注意：不是所有的随机变量都有数学期望注意：不是所有的随机变量都有数学期望例如：例如：Cauchy分布的密度函数为分布的密度函数为但但发散发散它的数学期望不存在它的数学期望不存在q E (C ) = Cq E (aX ) = a E (X ) q E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )，q 当当X ,Y 相互独立时相互独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .数学期望的性质数学期望的性质性质性质 4 的逆命题不成立，即的逆命题不成立，即若若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定相互独立不一定相互独立反例反例X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpi注注例例 设二维连续随机变量(X ,Y )的密度函数为求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X)解 数学数学期望的性质注意：注意：X ,Y 相互独立相互独立返回
